重点04 概率统计的综合运用（八大常考题型）-2024年新高二数学暑假衔接重点知识回顾与新课预习（人教A版2019）

重点04 概率统计的综合运用 考点一 频率分布直方图 1.频率分布直方图的性质：落在各小组内的频率用各小长方形的面积表示，且各小长方形的面积和等于1. 2.众数、中位数、平均数 数字特征 样本数据 频率分布直方图 众数 出现次数最多的数据 取最高的小长方形底边中点的横坐标 中位数 将数据按大小依次排列，处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数) 把频率分布直方图划分左右两个面积相等的分界线与x轴交点的横坐标 平均数 样本数据的算术平均数 每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和 3.极差、方差和标准差 极差：即一组数据中最大值与最小值的差． 方差：. 标准差：. 注：方差和标准差反映了数据波动程度的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越波动；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定． 4.性质 （1）若的平均数为，那么的平均数为. （2）数据与数据的方差相等，即数据经过平移后方差不变． （3）若的方差为s2，那么的方差为. 5.百分位数 （1）定义：一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有的数据小于或等于这个值，且至少有的数据大于或等于这个值． （2）计算一组几个数据第p百分位数的步骤 第1步，按从小到大排列原始数据；第2步，计算. 第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数． （3）四分位数：即把所有数值由小到大排列并分成四等份，处于三个分割点位置的数值就是四分位数． 其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数等，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数等． 考点二 古典概型 1.互斥与对立 互斥事件：若为不可能事件，则称事件A与事件B互斥，符号表示：，如图① 对立事件：若为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件，符号表示：且，如图② 图① 图② 2.古典概型的概率计算公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中k个样本点，则定义事件A的概率，其中n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数． 3.概率的基本性质 性质1：对任意的事件A，都有. 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即 性质3：如果事件A与事件B互斥，那么． 性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么． 性质5：如果，那么． 性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有． 考点三 独立事件 1.相互独立事件 （1）定义：对任意两个事件A与B，如果成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立． （2）判断事件是否相互独立的方法 定义法：若事件A的发生对事件B的发生概率没有影响，反之亦然，则这两个事件是相互独立的 公式法：若对两事件A，B有，则事件A，B相互独立. 2.相互独立事件的概率计算 已知两个事件A，B相互独立，它们的概率分别为，则有 事件 概率 A，B同时发生 A，B都不发生 A，B恰有一个发生 A，B中至少有一个发生 A，B中至多有一个发生 题型一 众数、中位数、平均数与频率分布直方图 1．南京大学开展数学建模选拔赛，对参赛的100名学生的得分情况进行统计，并绘制了如图所示的频率分布直方图（每组为左闭右开的区间），根据图中信息，下列说法错误的是（    ）      A．图中的值为0.020 B．得分在70分及以上的人数为75 C．这组数据的平均数的估计值为76（同一组中的数据用该组区间的中点值代表） D．这组数据的中位数的估计值为78 2．（多选）某校举办了迎新年知识竞赛，随机选取了100人的成绩整理后画出的频率分布直方图如下，则根据频率分布直方图，下列说法正确的是（    ）    A．中位数70 B．众数75 C．平均数68.5 D．平均数70 3．（多选）实践育人是落实立德树人根本任务的重要环节，是培养担当民族复兴大任时代新人的有效途径．某研究性学习小组为了解某校2000名学生参加2023年暑期社会实践的情况，通过分层抽样的方法抽取一个容量为N的样本，对学生某一天社会实践的时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示．己知样本中的人数为20人，则以下说法正确的是（    ）    A． B． C．估计该样本数据的平均数为74 D．估计全校社会实践时间在60分钟以上的学生约为180人 4．（多选）某中学为研究本校高二学生在市联考中的语文成绩，随机抽取了位同学的语文成绩作为样本，得到以，，，，，，分组的样本频率分布直方图如图.则下列说法正确的是（    ）    A． B．样本内语文分数在有位同学 C．用该图表估计本次联考该校语文成绩的中位数为 D．从全校高二学生中随机选出人，则该学生成绩在中的概率为 5．2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场预定区域成功着陆，航天员翟志刚，王亚平，叶光富顺利出舱，神舟十三号载人飞行任务圆满完成．为纪念中国航天事业成就，发扬并传承中国航天精神，某校抽取100名学生进行了航天知识竞赛并纪录得分（满分：100分），根据得分将他们的成绩分成[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]六组，制成如图所示的频率分布直方图．    (1)求图中a的值； (2)估计竞赛成绩不低于60分的概率； (3)估计这100人竞赛成绩的平均数（同一组数据用该组数据的中点值代替）及中位数. 6．某学校为了了解学校食堂的服务情况，随机调查了50名就餐的教师和学生，根据这50名师生对食堂服务质量的评分，绘制出了如图所示的频率分布直方图，其中样本数据分组为[40，50），[50，60），…，[90，100].    (1)求频率分布直方图中的值，以及该组数据的中位数（结果保留一位数）. (2)学校规定：师生对食堂服务质量评分不得低于75分.否则将进行内部调整，用每组数据的中点值，试估计该校师生对食堂服务质量评分的平均分，并据此回答食堂是否需要进行内部整顿. 题型二 总体百分位数 7．样本数据2，3，4，5，6，8，9的第30百分位数是（   ） A．3 B．3.5 C．4 D．5 8．如图，是根据某家长某月的通话明细清单，按每次通话时间长短画出的频率分布直方图，估计这组数据的第50百分位数为 .（保留小数点后面一位） 9．一组数据按从小到大的顺序排列为，若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第百分位数是（    ） A． B． C． D． 10．对某批电子元件的使用寿命进行测试，从该批次的电子元件中随机抽取200个进行使用寿命试验，测得的使用寿命（单位：小时）结果如下表所示： 使用寿命（小时） 100 120 150 165 185 200 210 230 个数 8 32 45 35 23 26 19 12 估计这批电子元件使用寿命的第60百分位数为（    ） A．165 B．170 C．175 D．185 11．为了解高中学生每天的体育活动时间,某市教育部门随机抽取高中学生进行调查,把每天进行体育活动的时间按照时长（单位：分钟）分成组:,,,,,.然后对统计数据整理得到如图所示的频率分布直方图,则可估计这名学生每天体育活动时间的第百分位数为（    ） A． B． C． D． 12．（多选）某电影艺术中心为了解短视频平台的观众年龄分布情况，向各大短视频平台的观众发放了线上调查问卷，共回收有效问卷4000份，根据所得信息制作了如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（    ） A．a＝0.028 B．在4 000份有效问卷中，短视频观众年龄在10~20岁的有1 320人 C．估计短视频观众的平均年龄为32岁 D．估计短视频观众年龄的75%分位数为39岁 题型三 方差、标准差 13．高三学生李丽在一年的五次数学模拟考试中的成绩(单位：分)为x，y，105，109，110.已知她的五次数学成绩数据的平均数为108分，方差为35.2，则|x－y|的值为（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 14．已知样本数据由小到大依次为2，3，3，7，，，12，13．7，18．3，20，且样本的中位数为10.5，若使该样本的方差最小，则，的值分别为（    ）． A．10，11 B．10.5，9.5 C．10.4，10.6 D．10.5，10.5 15．在对某校高三学生体质健康状况某个项目的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生80人，女生120人，其方差分别为15，10，由此估计样本的方差不可能为（    ） A．11 B．13 C．15 D．17 16．厦门一中为提升学校食堂的服务水平，组织全校师生对学校食堂满意度进行评分，按照分层抽样方法，抽取200位师生的评分（满分100分）作为样本，在这200个样本中，所有学生评分样本的平均数为，方差为，所有教师评分样本的半均数为，方差为，总样本的平均数为，方差为，若，抽取的学生样本多于教师样本，则总样本中学生样本的个数至少为 ． 17．为了了解某校高一年级学生注射疫苗的情况，从所有班级中抽取了个班级，统计得到每班注射疫苗的人数各不相同.已知这些数据的平均数为，方差为，则这些数据中最大的数是 . 18．已知数据，，…，的方差为1，且，则数据，，…，的平均数是 . 19．已知样本的平均数为6，方差为4，样本的平均数为8，方差为2，则新样本的方差为 ． 题型四 平均数、标准差、方差的性质 20．若数据、、⋯的平均数是5，方差是4，数据、、⋯、的平均数是4，标准差是，则下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 21．（多选）一组数据，，，，的平均值为5，方差为2，极差为7，中位数为6，记，，，，的平均值为，方差为，极差为，中位数为，则（ ） A． B． C． D． 22．（多选）给定一组数：，且的平均数和方差分别为和，则下列说法正确的是（    ） A．，，…，的平均数为21 B．，，…，的方差为5 C．0，，，…，，30的平均数为11 D．0，，，…，，30的方差为49.8 23．（多选）一组数据的平均数为，方差为，新数据的平均值为，方差为．下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 24．若一组数据的中位数为16，方差为64，则另一组数据的中位数为 ，方差为 . 题型五 互斥事件与对立事件 25．某人射击一次，成绩记录环数均为整数．设事件：“中靶”；事件：“击中环数大于5”；事件：“击中环数大于1且小于6”；事件：“击中环数大于0且小于6”．则正确的关系是（    ） A．与为对立事件 B．与为互斥事件 C．与为对立事件 D．与为互斥事件 26．抛掷一枚骰子 1 次,记“向上的点数是 1,2”为事件 A,“向上的点数是 1,2,3”为事件B,“向上的点数是 1,2,3,4”为事件C,“向上的点数是 4,5,6”为事件D,则下列关于事件 A， B，C，D 判断正确的有 A．A与D是互斥事件但不是对立事件 B．B与D是互斥事件也是对立事件 C．C与D是互斥事件 D．B与C 不是对立事件也不是互斥事件 27．一个人打靶时连续射击两次，事件“两次都中靶”的对立事件是 A．至多有一次中靶 B．至少有一次中靶 C．只有一次中靶 D．两次都不中 28．口袋里有两枚“角”的硬币和两枚“元”的硬币，从中任取若干枚，则与事件“总共取出元钱”互斥的事件是（    ） A．取出的“1元”硬币仅有一枚 B．取出的“5角”硬币仅有一枚 C．恰好取出2枚硬币 D．恰好取出3枚硬币 29．（多选）将一枚质地均匀的骰子抛掷一次，记下骰子面朝上的点数，设事件“点数为4”，事件“点数为奇数”，事件“点数小于4”，事件“点数大于3”，则（    ） A．与互斥 B．与互斥 C．与对立 D．与对立 题型六 概率的基本性质 30．口袋内有一些大小相同的红球、黄球和白球，从中任意摸出一球，摸出的球是红球或黄球的概率为0.4，摸出的球是红球或白球的概率为0.9，那么摸出的球是黄球或白球的概率为（    ） A．0.7 B．0.5 C．0.3 D．0.6 31．口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同的小球，从中取出2球，事件“取出的两球同色”，“取出的2球中至少有一个黄球”，“取出的2球至少有一个白球”，“取出的两球不同色”，“取出的2球中至多有一个白球”.下列判断中正确的序号为 . ①与为对立事件；②与是互斥事件；③与是对立事件：④；⑤. 32．如果事件A与B是互斥事件，且事件的概率是0.8，事件A的概率是事件B的概率的3倍，则事件A的概率为（    ） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.7 33．在一次随机试验中，三个事件的概率分别是，则下列说法正确的个数是 ①与是互斥事件，也是对立事件；②是必然事件；③；④. A．0 B．1 C．2 D．3 34．（多选）设，是一个随机试验中的两个事件，则下列说法正确的是（    ） A．如果事件与事件互斥，那么 B．如果事件与事件互斥，那么 C．如果事件与事件对立，那么 D．如果事件与事件对立，那么 35．从一副去掉大小王牌的52张扑克牌中任取5张牌，求： (1)至少有一张黑桃的概率； (2)至少有一个对子（两张牌的数字一样）的概率. 36．袋中有12个除颜色外均相同的小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，取到红球的概率是，取到黑球或黄球的概率是，取到黄球或绿球的概率是，试求从中任取一球，取到黑球、黄球、绿球的概率各是多少. 题型七 求相互独立事件的概率 37．第33届夏季奥林匹克运动会即将于2024年在巴黎举办，其中游泳比赛分为预赛、半决赛和决赛三个阶段，只有预赛、半决赛都获胜才有资格进入决赛．已知甲在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，乙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，丙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和．则甲、乙、丙三人中恰有两人进入决赛的概率为（    ） A． B． C． D． 38．（多选）如图所示的电路中，5个盒子表示保险匣，设5个盒子分别被断开为事件A，B，C，D，E. 盒中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，则下列结论正确的是（    ） A．A，B两个盒子串联后畅通的概率为 B．D，E两个盒子并联后畅通的概率为 C．A，B，C三个盒子混联后畅通的概率为 D．当开关合上时，整个电路畅通的概率为 39．一名信息员维护甲、乙两公司的5G网络，一天内甲公司需要维护和乙公司需要维护相互独立，它们需要维护的概率分别为0.2和0.3，则至少有一个公司不需要维护的概率为 ． 40．某校组织全校数学老师参加解题大赛，对于大赛中的最后一个解答题，甲得满分的概率为0.8，乙得满分的概率为0.7，记事件A：甲最后一个解答题得满分，事件B：乙最后一个解答题得满分． (1)求甲、乙两人最后一个解答题都得满分的概率； (2)求甲、乙恰有一人最后一个解答题得满分的概率． 41．停车场临时停车按时间收费，收费标准为每辆汽车一次停车不超过半小时免费，超过半小时的部分每小时收费4元（不足1小时的部分按1小时计算）.已知甲、乙两人在该停车场临时停车，停车时间互不影响且都不超过小时，且甲、乙两人停车半小时以上且不超过小时的概率分别为，，停车小时以上且不超过小时的概率分别为，. (1)求甲、乙两人临时停车付费一样的概率； (2)求甲、乙两人停车付费之和不少于8元的概率. 42．某高校的入学面试中有4道题目，第1题2分，第2题3分，第3题4分，第4题4分，每道题目答对得满分，答错得0分，小明答对第1，2，3，4题的概率分别为，，，，且每道题目是否答对相互独立. (1)求小明4道题目至少答错1道题的概率； (2)若该高校规定学生的面试分数不低于8分则面试成功，求小明面试成功的概率. 43．某项考试科目､科目依次进行，只有当科目成绩及格时，才可继续参加科目的考试.已知每个科目只有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书，现某人参加这项考试，科目每次考试合格的概率均为，科目每次考试成绩合格的概率均为.假设各次考试成绩合格与否均互不影响. (1)求该应试者不需要补考就可获得证书的概率； (2)设科目考试､补考费用均为100元/次，科目考试､补考费用均为200元/次，求该应试者花费大于300元且不超过500元获得证书的概率. 题型八 判断是否为相互独立事件 44．（多选）一个不透明的袋中装有红色、黄色、白色小球各1个，3个小球除颜色外完全相同．从中有放回地任意取出1个小球，若取出红色小球，得2分，若取出黄色小球，得1分，若取出白色小球，得0分．记取出1个小球后得1分为事件A，取出2个小球后共得2分为事件B，取出3个小球后共得3分为事件C，则下列结论错误的是（    ） A．事件A与事件B为互斥事件 B．事件A与事件C相互独立 C．事件B与事件C相互独立 D．事件A与事件B相互独立 45．分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A是“第一枚为正面朝上”，事件B是“第二枚为正面朝上”，事件C是“两枚结果相同”，则下列事件具有相互独立性的有 （用数字①②③作答） ①事件A与事件B；②事件A与事件C；③事件C与事件B. 46．（多选）在12张卡片上分别写上数字1~12，从中随机抽出一张，记抽出的卡片上的数字为，甲表示事件“为偶数”，乙表示事件“为质数”，丙表示事件“能被3整除”，丁表示事件“”，则（    ） A．甲与丙为互斥事件 B．乙与丁相互独立 C．丙与丁相互独立 D．甲乙乙丙） 47．（多选）A，B两组各有2名男生、2名女生，从A，B两组中各随机选出1名同学参加演讲比赛.甲表示事件“从A组中选出的是男生小明”，乙表示事件“从B组中选出的是1名男生”，丙表示事件“从A，B两组中选出的是2名男生”，丁表示事件“从A，B两组中选出的是1名男生和1名女生”，则（    ） A．甲与乙互斥 B．丙与丁互斥 C．甲与乙相互独立 D．乙与丁相互独立 48．（多选）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（    ） A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙不相互独立 D．丙与丁不相互独立 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重点04 概率统计的综合运用 考点一 频率分布直方图 1.频率分布直方图的性质：落在各小组内的频率用各小长方形的面积表示，且各小长方形的面积和等于1. 2.众数、中位数、平均数 数字特征 样本数据 频率分布直方图 众数 出现次数最多的数据 取最高的小长方形底边中点的横坐标 中位数 将数据按大小依次排列，处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数) 把频率分布直方图划分左右两个面积相等的分界线与x轴交点的横坐标 平均数 样本数据的算术平均数 每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和 3.极差、方差和标准差 极差：即一组数据中最大值与最小值的差． 方差：. 标准差：. 注：方差和标准差反映了数据波动程度的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越波动；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定． 4.性质 （1）若的平均数为，那么的平均数为. （2）数据与数据的方差相等，即数据经过平移后方差不变． （3）若的方差为s2，那么的方差为. 5.百分位数 （1）定义：一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有的数据小于或等于这个值，且至少有的数据大于或等于这个值． （2）计算一组几个数据第p百分位数的步骤 第1步，按从小到大排列原始数据；第2步，计算. 第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数． （3）四分位数：即把所有数值由小到大排列并分成四等份，处于三个分割点位置的数值就是四分位数． 其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数等，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数等． 考点二 古典概型 1.互斥与对立 互斥事件：若为不可能事件，则称事件A与事件B互斥，符号表示：，如图① 对立事件：若为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件，符号表示：且，如图② 图① 图② 2.古典概型的概率计算公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中k个样本点，则定义事件A的概率，其中n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数． 3.概率的基本性质 性质1：对任意的事件A，都有. 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即 性质3：如果事件A与事件B互斥，那么． 性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么． 性质5：如果，那么． 性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有． 考点三 独立事件 1.相互独立事件 （1）定义：对任意两个事件A与B，如果成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立． （2）判断事件是否相互独立的方法 定义法：若事件A的发生对事件B的发生概率没有影响，反之亦然，则这两个事件是相互独立的 公式法：若对两事件A，B有，则事件A，B相互独立. 2.相互独立事件的概率计算 已知两个事件A，B相互独立，它们的概率分别为，则有 事件 概率 A，B同时发生 A，B都不发生 A，B恰有一个发生 A，B中至少有一个发生 A，B中至多有一个发生 题型一 众数、中位数、平均数与频率分布直方图 1．南京大学开展数学建模选拔赛，对参赛的100名学生的得分情况进行统计，并绘制了如图所示的频率分布直方图（每组为左闭右开的区间），根据图中信息，下列说法错误的是（    ）      A．图中的值为0.020 B．得分在70分及以上的人数为75 C．这组数据的平均数的估计值为76（同一组中的数据用该组区间的中点值代表） D．这组数据的中位数的估计值为78 【答案】D 【详解】对于A选项：由频率分布直方图可得，解得，所以A选项正确，故不选A； 对于B选项，由频率分布直方图可知，得分在70分以上的人数为，所以B选项正确，故不选B；； 对于C选项，由频率分布直方图可知，这组数据平均数的估计值为，所以C选项正确，故不选C；； 对于D选项，由频率分布直方图可知，的频率为，的频率为，则中位数在内，所以这组数据中位数的估计值为，所以D选项错误，故选D. 故选：D. 2．（多选）某校举办了迎新年知识竞赛，随机选取了100人的成绩整理后画出的频率分布直方图如下，则根据频率分布直方图，下列说法正确的是（    ）    A．中位数70 B．众数75 C．平均数68.5 D．平均数70 【答案】ABC 【详解】的频率为 因为最高小矩形的中点横坐标为，显然众数是75，故B正确； 的频率是0.1，的频率是0.15，的频率是0.25，其频率和为0.5，所以中位数为70，故A正确； 平均数，所以C正确,D不正确. 故选:ABC． 3．（多选）实践育人是落实立德树人根本任务的重要环节，是培养担当民族复兴大任时代新人的有效途径．某研究性学习小组为了解某校2000名学生参加2023年暑期社会实践的情况，通过分层抽样的方法抽取一个容量为N的样本，对学生某一天社会实践的时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示．己知样本中的人数为20人，则以下说法正确的是（    ）    A． B． C．估计该样本数据的平均数为74 D．估计全校社会实践时间在60分钟以上的学生约为180人 【答案】ABC 【详解】解：由，得，故A正确； 因为样本中的人数为20人，所以，得，故B正确； 平均数为：，故C正确； 因为全校社会实践时间在60分钟以上的频率为0.9，所以全校社会实践时间在60分钟以上的学生约为，故D错误； 故选：ABC 4．（多选）某中学为研究本校高二学生在市联考中的语文成绩，随机抽取了位同学的语文成绩作为样本，得到以，，，，，，分组的样本频率分布直方图如图.则下列说法正确的是（    ）    A． B．样本内语文分数在有位同学 C．用该图表估计本次联考该校语文成绩的中位数为 D．从全校高二学生中随机选出人，则该学生成绩在中的概率为 【答案】ABC 【详解】对于A，，，A正确； 对于B，样本内语文分数在的频率为， 样本内语文分数在的有人，B正确； 对于C，，， 中位数位于之间，设中位数为， 则，解得：，即中位数为，C正确； 对于D，由频率分布直方图知：样本中学生成绩在中的频率为， 用频率估计概率，则全校高二学生中随机选出人，该学生成绩在中的概率为，D错误. 故选：ABC. 5．2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场预定区域成功着陆，航天员翟志刚，王亚平，叶光富顺利出舱，神舟十三号载人飞行任务圆满完成．为纪念中国航天事业成就，发扬并传承中国航天精神，某校抽取100名学生进行了航天知识竞赛并纪录得分（满分：100分），根据得分将他们的成绩分成[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]六组，制成如图所示的频率分布直方图．    (1)求图中a的值； (2)估计竞赛成绩不低于60分的概率； (3)估计这100人竞赛成绩的平均数（同一组数据用该组数据的中点值代替）及中位数. 【答案】(1) (2) (3)平均数为，中位数为 【详解】（1）， . （2）竞赛成绩不低于60分的概率为. （3）平均数为 前组的频率为， 所以中位数为. 6．某学校为了了解学校食堂的服务情况，随机调查了50名就餐的教师和学生，根据这50名师生对食堂服务质量的评分，绘制出了如图所示的频率分布直方图，其中样本数据分组为[40，50），[50，60），…，[90，100].    (1)求频率分布直方图中的值，以及该组数据的中位数（结果保留一位数）. (2)学校规定：师生对食堂服务质量评分不得低于75分.否则将进行内部调整，用每组数据的中点值，试估计该校师生对食堂服务质量评分的平均分，并据此回答食堂是否需要进行内部整顿. 【答案】(1)，中位数为 (2)平均分为，不需要内部整顿 【详解】（1）解：由频率分布直方图的性质，可得， 解得. 设该组数据的中位数为，则， 解得，所以该组数据的中位数为. （2）解：由题中数据可得对食堂服务质量评分的平均分为： ， 因为，所以食堂不需要内部整顿. 题型二 总体百分位数 7．样本数据2，3，4，5，6，8，9的第30百分位数是（   ） A．3 B．3.5 C．4 D．5 【答案】C 【详解】易知，则该组数据的第三个数4为第30百分位数. 故选：C 8．如图，是根据某家长某月的通话明细清单，按每次通话时间长短画出的频率分布直方图，估计这组数据的第50百分位数为 .（保留小数点后面一位） 【答案】 【详解】由题意， 解得， 因为， 所以第50百分位数在区间内，设为， 则，解得， 所以第50百分位数为. 故答案为：. 9．一组数据按从小到大的顺序排列为，若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第百分位数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据中位数的定义，该组数据的中位数是， 根据极差的定义，该组数据的极差是， 依题意得，，解得， ， 根据百分位数的定义， 该组数据的第百分位数是从小到大排列的第个数，即. 故选：A 10．对某批电子元件的使用寿命进行测试，从该批次的电子元件中随机抽取200个进行使用寿命试验，测得的使用寿命（单位：小时）结果如下表所示： 使用寿命（小时） 100 120 150 165 185 200 210 230 个数 8 32 45 35 23 26 19 12 估计这批电子元件使用寿命的第60百分位数为（    ） A．165 B．170 C．175 D．185 【答案】C 【详解】因为为整数，所以该组数据的第60百分位数是将这组数据从小到大排列后第120个数据和第121个数据的平均数，由表知，第120个数据为165，第121个数据为185，所以第60百分位数为. 故选：C. 11．为了解高中学生每天的体育活动时间,某市教育部门随机抽取高中学生进行调查,把每天进行体育活动的时间按照时长（单位：分钟）分成组:,,,,,.然后对统计数据整理得到如图所示的频率分布直方图,则可估计这名学生每天体育活动时间的第百分位数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】第百分位数设为，而，则所求百分位数在第二组， 则可列方程解得. 故选:A. 12．（多选）某电影艺术中心为了解短视频平台的观众年龄分布情况，向各大短视频平台的观众发放了线上调查问卷，共回收有效问卷4000份，根据所得信息制作了如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（    ） A．a＝0.028 B．在4 000份有效问卷中，短视频观众年龄在10~20岁的有1 320人 C．估计短视频观众的平均年龄为32岁 D．估计短视频观众年龄的75%分位数为39岁 【答案】CD 【详解】对于A，∵(0.015＋0.033＋a＋0.011＋0.011)×10=1， ∴a=0.03，故A错误； 对于B，由频率分布直方图，短视频观众年龄在10～20岁的对应频率为0.15， ∴短视频观众年龄在10~20岁的有4 000×0.15=600(人)，故B错误； 对于C，平均年龄为 ＝(0.015×15＋0.033×25＋0.03×35＋0.011×45＋0.011×55)×10=32(岁)，故C正确； 对于D，设75%分位数为x， 由年龄在10~20岁和20~30岁两组频率是(0.015＋0.033) ×10=0.48， 又年龄在10~20岁和20~30岁，30~40岁三组频率是(0.015＋0.033+0.03) ×10=0.78， 所以75%分位数位于年龄在30~40岁这一组， 则0.015×10＋0.033×10＋(x-30)×0.03=0.75， 解得x=39，故D正确. 故选：CD. 题型三 方差、标准差 13．高三学生李丽在一年的五次数学模拟考试中的成绩(单位：分)为x，y，105，109，110.已知她的五次数学成绩数据的平均数为108分，方差为35.2，则|x－y|的值为（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】D 【详解】由题意得，①,，② 由①②解得或,所以|x－y|＝18. 故选:D. 14．已知样本数据由小到大依次为2，3，3，7，，，12，13．7，18．3，20，且样本的中位数为10.5，若使该样本的方差最小，则，的值分别为（    ）． A．10，11 B．10.5，9.5 C．10.4，10.6 D．10.5，10.5 【答案】D 【解析】利用中位数可得，要使该样本的方差最小，只需最小，将代入，配方即可求解. 【详解】由于样本共有10个值，且中间两个数为，， 依题意，得，即． 因为平均数为， 所以要使该样本的方差最小，只需最小． 又， 所以当时，最小，此时． 故选：D 【点睛】本题考查了样本数据、方差，需熟记方差的计算公式，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题. 15．在对某校高三学生体质健康状况某个项目的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生80人，女生120人，其方差分别为15，10，由此估计样本的方差不可能为（    ） A．11 B．13 C．15 D．17 【答案】A 【详解】设男生体质健康状况的平均数为，女生的平均数为，总体的平均数为，方差为， 则， ， 结合选项，可得A项不符合. 故选：A. 16．厦门一中为提升学校食堂的服务水平，组织全校师生对学校食堂满意度进行评分，按照分层抽样方法，抽取200位师生的评分（满分100分）作为样本，在这200个样本中，所有学生评分样本的平均数为，方差为，所有教师评分样本的半均数为，方差为，总样本的平均数为，方差为，若，抽取的学生样本多于教师样本，则总样本中学生样本的个数至少为 ． 【答案】160 【详解】假设在样本中，学生、教师的人数分别为， 记样本中所有学生的评分为，所有教师的评分为， 由得， 所以 ， 所以，即， 令，则，， 即，解得或， 因为且，得，所以. 所以总样本中学生样本的个数至少为160. 故答案为：160. 17．为了了解某校高一年级学生注射疫苗的情况，从所有班级中抽取了个班级，统计得到每班注射疫苗的人数各不相同.已知这些数据的平均数为，方差为，则这些数据中最大的数是 . 【答案】 【详解】设个样本数据分别为、、，则， 不妨设，且、、，， 当时，，，舍去； 当时，，或，，不符合题意，舍去； 当时，则，，均不符合题意，，符合题意， 即这些数据中最大的数是. 故答案为：. 18．已知数据，，…，的方差为1，且，则数据，，…，的平均数是 . 【答案】或6. 【详解】数据，，…，的方差为1， ， ， ，① ， ， ，② 将②-①得，解得，或， 故答案为：或6. 【点睛】本题主要考查一组数据的平均数的求法，解题时要熟练掌握方差的计算公式的灵活运用，属于中档题. 19．已知样本的平均数为6，方差为4，样本的平均数为8，方差为2，则新样本的方差为 ． 【答案】 【详解】由题意得，则混合后新样本的平均数为， 其方差为 . 故答案为：4. 题型四 平均数、标准差、方差的性质 20．若数据、、⋯的平均数是5，方差是4，数据、、⋯、的平均数是4，标准差是，则下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】根据题意，设数据的平均数为,标准差为， 数据、、⋯、的平均数是4, 则， 解得而数据的平均数是5, 可得，由方差公式可得， ， ， 解得，故D正确. 故选：D. 21．（多选）一组数据，，，，的平均值为5，方差为2，极差为7，中位数为6，记，，，，的平均值为，方差为，极差为，中位数为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】由题意可得，，，. 故选：ACD． 22．（多选）给定一组数：，且的平均数和方差分别为和，则下列说法正确的是（    ） A．，，…，的平均数为21 B．，，…，的方差为5 C．0，，，…，，30的平均数为11 D．0，，，…，，30的方差为49.8 【答案】ACD 【详解】对于A中，由题意得， 所以，所以A正确； 对于B中，由题意得， 所以 ，所以B错误； 对于C中，，所以C正确； 对于D中，将和作为一组，其平均数和方差分别为， ，将中间8个数作为另一组， 其平均数和方差分别为，， 由C知， ，所以D正确． 故选：ACD． 23．（多选）一组数据的平均数为，方差为，新数据的平均值为，方差为．下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】若一组数据的平均数为，方差为， 则新数据的平均值为，方差为. 故选：CD 24．若一组数据的中位数为16，方差为64，则另一组数据的中位数为 ，方差为 . 【答案】 【详解】因为数据的中位数为16，方差为64， 所以数据的中位数为4，方差为， 所以数据的中位数为，方差为4. 故答案为：3；4. 题型五 互斥事件与对立事件 25．某人射击一次，成绩记录环数均为整数．设事件：“中靶”；事件：“击中环数大于5”；事件：“击中环数大于1且小于6”；事件：“击中环数大于0且小于6”．则正确的关系是（    ） A．与为对立事件 B．与为互斥事件 C．与为对立事件 D．与为互斥事件 【答案】D 【详解】当击中环数大于0且小于6时，与同时发生了，不是互斥事件，更不是对立事件，故选项A B错误； 与显然为互斥事件，当击中环数为时，与都不发生，故与不是对立事件，故选项C错误；选项D正确. 故选：D 26．抛掷一枚骰子 1 次,记“向上的点数是 1,2”为事件 A,“向上的点数是 1,2,3”为事件B,“向上的点数是 1,2,3,4”为事件C,“向上的点数是 4,5,6”为事件D,则下列关于事件 A， B，C，D 判断正确的有 A．A与D是互斥事件但不是对立事件 B．B与D是互斥事件也是对立事件 C．C与D是互斥事件 D．B与C 不是对立事件也不是互斥事件 【答案】ABD 【详解】抛掷一枚骰子 1 次,记“向上的点数是 1,2”为事件 A, “向上的点数是 1,2,3”为事件B, “向上的点数是 1,2,3,4”为事件C, “向上的点数是 4,5,6”为事件D. 事件A与D不能同时发生，但能同时不发生， 是互斥事件但不是对立事件，故选项A正确； 事件B与D不可能同时发生，且必有一个发生， 故B与D是互斥事件，也是对立事件， 故选项B正确； 事件C与D可能同时发生，故不是互斥事件， 故选项C错误； 事件B与C能同时发生，不是互斥事件也不是对立事件， 故选项D正确. 故选：ABD. 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查对立事件、互斥事件的定义等基础知识，考查推理能力，属于基础题. 27．一个人打靶时连续射击两次，事件“两次都中靶”的对立事件是 A．至多有一次中靶 B．至少有一次中靶 C．只有一次中靶 D．两次都不中 【答案】A 【详解】根据对立事件的定义可得， 事件“两次都中靶”的对立事件是：至多有一次中靶， 故选A. 【点睛】该题考查的是有关对立事件的选取择问题，涉及到的知识点有对立事件的定义，属于简单题目. 28．口袋里有两枚“角”的硬币和两枚“元”的硬币，从中任取若干枚，则与事件“总共取出元钱”互斥的事件是（    ） A．取出的“1元”硬币仅有一枚 B．取出的“5角”硬币仅有一枚 C．恰好取出2枚硬币 D．恰好取出3枚硬币 【答案】B 【详解】对于A选项：取出的“1元”硬币仅有一枚，这个事件有取出1元钱，1.5元钱，2元钱，共三个事件，包含了总共取出元钱的事件，A不正确； 对于B选项：取出的“5角”硬币仅有一枚，这个事件有取出0.5元钱，1.5元钱，2.5元钱，共三个事件，不包含总共取出元钱的事件，B正确； 对于C选项：恰好取出2枚硬币的事件有取出1元钱，1.5元钱，2元钱，共三个事件，包含了总共取出元钱的事件，C不正确； 对于D选项：恰好取出3枚硬币的事件有取出2元钱，2.5元钱，共两个事件，包含了总共取出元钱的事件，D不正确. 故选：B 29．（多选）将一枚质地均匀的骰子抛掷一次，记下骰子面朝上的点数，设事件“点数为4”，事件“点数为奇数”，事件“点数小于4”，事件“点数大于3”，则（    ） A．与互斥 B．与互斥 C．与对立 D．与对立 【答案】ABD 【详解】事件“点数为4”与“点数为奇数”不能同时发生，所以与互斥，A正确. 事件“点数为4”与“点数小于4”不能同时发生，所以与互斥，B正确. 事件“点数为奇数”的对立事件是“点数为偶数”，不是“点数大于3”，C错误. 事件“点数小于4”的对立事件是“点数不小于4”，即“点数大于3”， 与对立，D正确. 故选：ABD. 题型六 概率的基本性质 30．口袋内有一些大小相同的红球、黄球和白球，从中任意摸出一球，摸出的球是红球或黄球的概率为0.4，摸出的球是红球或白球的概率为0.9，那么摸出的球是黄球或白球的概率为（    ） A．0.7 B．0.5 C．0.3 D．0.6 【答案】A 【详解】设摸出红球的概率为P(A)，摸出黄球的概率为P(B)，摸出白球的概率为P(C)， 所以P(A)＋P(B)＝0.4，P(A)＋P(C)＝0.9， 且P(A)＋P(B)＋P(C)＝1， 所以P(C)＝1－P(A)－P(B)＝0.6， P(B)＝1－P(A)－P(C)＝0.1， 所以P(B)＋P(C)＝0.7. 故选：A. 31．口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同的小球，从中取出2球，事件“取出的两球同色”，“取出的2球中至少有一个黄球”，“取出的2球至少有一个白球”，“取出的两球不同色”，“取出的2球中至多有一个白球”.下列判断中正确的序号为 . ①与为对立事件；②与是互斥事件；③与是对立事件：④；⑤. 【答案】①④ 【详解】口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同小球，从中取出2球， 事件 “取出的两球同色”， “取出的2球中至少有一个黄球”， “取出的2球至少有一个白球”， “取出的两球不同色”， “取出的2球中至多有一个白球”， ①，由对立事件定义得与为对立事件，故①正确； ②，与有可能同时发生，故与不是互斥事件，故②错误； ③，与有可能同时发生，不是对立事件，故③错误； ④，（C），（E），， 从而（C）（E），故④正确； ⑤，，从而（B）（C），故⑤错误． 故答案为：①④． 【点睛】本题考查命题真假的判断，是基础题，考查对立互斥事件，解题时要认真审题，注意对立事件、互斥事件等基本概念的合理运用． 32．如果事件A与B是互斥事件，且事件的概率是0.8，事件A的概率是事件B的概率的3倍，则事件A的概率为（    ） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.7 【答案】C 【解析】根据互斥事件概率的加法公式即可求解. 【详解】因为事件A与B是互斥事件，所以， 又因为，所以. 故选：C 【点睛】此题考查互斥事件概率加法公式的应用，属于简单题目. 33．在一次随机试验中，三个事件的概率分别是，则下列说法正确的个数是 ①与是互斥事件，也是对立事件；②是必然事件；③；④. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】试题分析：设置随机试验：袋子中放有大小相同且标号为的十个小球，从中取一球，设事件为“取出球标号为或”，事件为“取出球标号为或或”，事件为“取出球标号为奇数”，则三个事件的概率分别是，可知与不是互斥事件，不是必然事件，，（当事件为“取出球标号为或或”时，），故只有④正确. 考点：事件的关系与运算. 【思路点睛】本题主要考查概率事件的关系与运算.可结合题给事件概率，设置实验背景：袋子中放有大小相同且标号为的十个小球，从中取一球，设事件为“取出球标号为或”，事件为“取出球标号为或或”，事件为“取出球标号为奇数”，则三个事件满足题意，通过对事件的设置，排除干扰项，进而确认正确选项. 34．（多选）设，是一个随机试验中的两个事件，则下列说法正确的是（    ） A．如果事件与事件互斥，那么 B．如果事件与事件互斥，那么 C．如果事件与事件对立，那么 D．如果事件与事件对立，那么 【答案】ACD 【详解】对于A，事件与事件互斥，则，A正确； 对于B，事件与事件互斥，事件不一定是必然事件，即不一定为1，B错误； 对于C，事件与事件对立，则事件与事件互斥，有，C正确； 对于D，事件与事件对立，事件是必然事件，则，D正确. 故选：ACD 35．从一副去掉大小王牌的52张扑克牌中任取5张牌，求： (1)至少有一张黑桃的概率； (2)至少有一个对子（两张牌的数字一样）的概率. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据题意可知52张扑克牌中有13张黑桃，39张其他花色； 所以任取的5张牌中没有一张黑桃的概率为； 因此至少有一张黑桃的概率为； （2）根据题意52张扑克牌中有共13个数字， 任取5张牌共有种， 从13个数字中任取5个可使数字都不一样， 即5个数字都不相同的种类共有； 所以至少有一个对子的概率为 36．袋中有12个除颜色外均相同的小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，取到红球的概率是，取到黑球或黄球的概率是，取到黄球或绿球的概率是，试求从中任取一球，取到黑球、黄球、绿球的概率各是多少. 【答案】取到黑球、黄球、绿球的概率分别是 【解析】记事件“取到红球”，事件“取到黑球”，事件“取到黄球”，事件“取到绿球”，根据题意，得到，，的方程组，从而解得答案. 【详解】记事件“取到红球”，事件“取到黑球”，事件“取到黄球”，事件“取到绿球”，且事件两两互斥， 根据已知，得解得. 所以取到黑球、黄球、绿球的概率分别是. 【点睛】本题考查互斥事件的概率公式，属于简单题. 题型七 求相互独立事件的概率 37．第33届夏季奥林匹克运动会即将于2024年在巴黎举办，其中游泳比赛分为预赛、半决赛和决赛三个阶段，只有预赛、半决赛都获胜才有资格进入决赛．已知甲在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，乙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，丙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和．则甲、乙、丙三人中恰有两人进入决赛的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意可知，甲进入决赛的概率为， 乙进入决赛的概率为， 丙进入决赛的概率为， 所以甲、乙、丙三人中恰有两人进入决赛的概率： . 故选：A 38．（多选）如图所示的电路中，5个盒子表示保险匣，设5个盒子分别被断开为事件A，B，C，D，E. 盒中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，则下列结论正确的是（    ） A．A，B两个盒子串联后畅通的概率为 B．D，E两个盒子并联后畅通的概率为 C．A，B，C三个盒子混联后畅通的概率为 D．当开关合上时，整个电路畅通的概率为 【答案】ACD 【详解】依题意，， 对于A，A,B两个盒子畅通的概率为，A正确； 对于B，D,E两个盒子并联后畅通的概率为，B错误； 对于C，A,B,C三个盘子混联后畅通的概率为，C正确； 对于D，根据上述分析可知，当开关合上时,电路畅通的概率为，D正确. 故选：ACD 39．一名信息员维护甲、乙两公司的5G网络，一天内甲公司需要维护和乙公司需要维护相互独立，它们需要维护的概率分别为0.2和0.3，则至少有一个公司不需要维护的概率为 ． 【答案】/ 【详解】一名信息员维护甲乙两公司的5G网络， 一天内甲公司需要维护和乙公司需要维护相互独立， 它们需要维护的概率分别为0.2和0.3， 至少有一个公司不需要维护的概率为： ． 故答案为：． 40．某校组织全校数学老师参加解题大赛，对于大赛中的最后一个解答题，甲得满分的概率为0.8，乙得满分的概率为0.7，记事件A：甲最后一个解答题得满分，事件B：乙最后一个解答题得满分． (1)求甲、乙两人最后一个解答题都得满分的概率； (2)求甲、乙恰有一人最后一个解答题得满分的概率． 【答案】(1)0.56； (2)0.38 【详解】（1）事件“甲、乙两人最后一个解答题都得满分”可表示为AB，且事件A，B相互独立， 由题意可知，， 所以． （2）因为事件“甲、乙恰有一人最后一个解答题得满分”可表示为，且，互斥， 所以 ． 41．停车场临时停车按时间收费，收费标准为每辆汽车一次停车不超过半小时免费，超过半小时的部分每小时收费4元（不足1小时的部分按1小时计算）.已知甲、乙两人在该停车场临时停车，停车时间互不影响且都不超过小时，且甲、乙两人停车半小时以上且不超过小时的概率分别为，，停车小时以上且不超过小时的概率分别为，. (1)求甲、乙两人临时停车付费一样的概率； (2)求甲、乙两人停车付费之和不少于8元的概率. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设甲停车的时长不超过半小时、半小时以上且不超过小时、小时以上且不超过小时分别为事件，，， 乙停车的时长不超过半小时、半小时以上且不超过小时、小时以上且不超过小时分别为事件，，， 则， ， 则甲、乙两人临时停车付费一样的概率为： . （2）甲、乙两人停车付费之和少于元的概率为： ， 故甲、乙两人停车付费之和不少于元的概率. 42．某高校的入学面试中有4道题目，第1题2分，第2题3分，第3题4分，第4题4分，每道题目答对得满分，答错得0分，小明答对第1，2，3，4题的概率分别为，，，，且每道题目是否答对相互独立. (1)求小明4道题目至少答错1道题的概率； (2)若该高校规定学生的面试分数不低于8分则面试成功，求小明面试成功的概率. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）小明同学4道题目至少答错1道题的对立事件为小明4道题全部答对， 所以小明同学4道题目至少答错1道题的概率为. （2）由题意得，要使得面试分数不低于8分，若只答对2题，则应是第3题和第4题；若只答对三题或全部答对，面试得分均不低于8分. 设事件A，B，C，D分别为小明答对第1，2，3，4题， 则小明面试成功的概率 . 43．某项考试科目､科目依次进行，只有当科目成绩及格时，才可继续参加科目的考试.已知每个科目只有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书，现某人参加这项考试，科目每次考试合格的概率均为，科目每次考试成绩合格的概率均为.假设各次考试成绩合格与否均互不影响. (1)求该应试者不需要补考就可获得证书的概率； (2)设科目考试､补考费用均为100元/次，科目考试､补考费用均为200元/次，求该应试者花费大于300元且不超过500元获得证书的概率. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：设“科目第一考试合格”为事件，“科目第一次考试合格”为事件， 该应试者不需要补考就可获得证书的事件为,且与相互独立， 所以该应试者不需要补考就可获得证书的概率. （2）解： 设“科目第考试合格”为事件，“科目第次考试合格”为事件， 由科目考试､补考费用均为100元/次，科目考试､补考费用均为200元/次， 若应试者花费大于300元且不超过500元获得证书，可得应试者恰好补考一次， 其概率为. 题型八 判断是否为相互独立事件 44．（多选）一个不透明的袋中装有红色、黄色、白色小球各1个，3个小球除颜色外完全相同．从中有放回地任意取出1个小球，若取出红色小球，得2分，若取出黄色小球，得1分，若取出白色小球，得0分．记取出1个小球后得1分为事件A，取出2个小球后共得2分为事件B，取出3个小球后共得3分为事件C，则下列结论错误的是（    ） A．事件A与事件B为互斥事件 B．事件A与事件C相互独立 C．事件B与事件C相互独立 D．事件A与事件B相互独立 【答案】ABC 【详解】取1个球的情况有(红)、(黄)、(白)共3种，对应分数依次为2、1、0； 取2个球的情况(第一次颜色，第二次颜色)有如下3种： (红红)、(红黄)、(红白)、(黄黄)、(黄白)、(黄红)、(白白)、(白红)、(白黄)， 对应分数依次为4、3、2、2、1、3、0、2、1； 求3个球的情况(第一次颜色，第二次颜色，第三次颜色)有如下27种： (红红红)、(红红黄)、(红红白)、(红黄黄)、(红黄红)、(红黄白)、(红白红)、(红白黄)、(红白白)， 对应分数依次为6、5、4、4、5、3、4、3、2； (黄黄黄)、(黄黄红)、(黄黄白)、(黄红红)、(黄红黄)、(黄红白)、(黄白红)、(黄白黄)、(黄白白)， 对应分数依次为3、4、2、5、4、3、3、2、1； (白黄黄)、(白黄红)、(白黄白)、(白红红)、(白红黄)、(白红白)、(白白红)、(白白黄)、(白白白)， 对应分数依次为2、3、1、4、3、2、2、1、0； 所以，事件A为(黄)，事件B为(红白)、(黄黄)、(白红)，事件C为(红黄白)、(红白黄)、(黄黄黄)、(黄红白)、(黄白红)、(白黄红)、(白红黄)； 由题可知，事件A与事件B可能同时发生，如(黄黄)，所以事件A与事件B不是互斥事件，A错误． ，，， ，，， 根据独立性判断原理，知B，C错误，D正确． 故选：ABC． 45．分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A是“第一枚为正面朝上”，事件B是“第二枚为正面朝上”，事件C是“两枚结果相同”，则下列事件具有相互独立性的有 （用数字①②③作答） ①事件A与事件B；②事件A与事件C；③事件C与事件B. 【答案】①②③ 【详解】依题意，， ， 对于①，，所以与是相互独立本件； 对于②，，所以与是相互独立事件； 对于③，，所以与是相互独立事件. 故答案为：①②③. 46．（多选）在12张卡片上分别写上数字1~12，从中随机抽出一张，记抽出的卡片上的数字为，甲表示事件“为偶数”，乙表示事件“为质数”，丙表示事件“能被3整除”，丁表示事件“”，则（    ） A．甲与丙为互斥事件 B．乙与丁相互独立 C．丙与丁相互独立 D．甲乙乙丙） 【答案】CD 【详解】由已知，该试验的样本空间为． 甲，乙，丙，丁． 对于A，因为甲丙，故甲与丙不互斥，错误； 对于B，乙丁，所以乙丁， 又（乙），（丁），所以（乙）（丁）（乙丁），故乙与丁不相互独立，错误； 对于C，丙丁，所以（丙丁）， 又P（丙），P（丁），P（丙）P（丁）=P（丙丁），故丙与丁相互独立，正确； 对于D，甲乙，乙丙，故P（甲乙）=P（乙丙），正确． 故选：CD. 47．（多选）A，B两组各有2名男生、2名女生，从A，B两组中各随机选出1名同学参加演讲比赛.甲表示事件“从A组中选出的是男生小明”，乙表示事件“从B组中选出的是1名男生”，丙表示事件“从A，B两组中选出的是2名男生”，丁表示事件“从A，B两组中选出的是1名男生和1名女生”，则（    ） A．甲与乙互斥 B．丙与丁互斥 C．甲与乙相互独立 D．乙与丁相互独立 【答案】BCD 【详解】对于A选项，因为， ，，所以，所以甲与乙相互独立，故A选项错误； 对于B选项，丙与丁不会同时发生，故它们互斥，故B选项正确； 对于C选项，由A选项知故C选项正确； 对于D选项，因为，，所以，故乙与丁相互独立，故D选项正确. 故选：BCD. 48．（多选）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（    ） A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙不相互独立 D．丙与丁不相互独立 【答案】BCD 【详解】两次取出的球的数字之和为8，有共5种情况， 所以；两次取出的球的数字之和为7，有共6种情况， 所以；； 对于A，，故甲与丙不相互独立，错误； 对于B，，故甲与丁相互独立，正确； 对于C，，故乙与丙不相互独立，正确； 对于D，，故丙与丁不相互独立，正确. 故选：BCD. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$