3.2双曲线（十大常考题型）-2024年新高二数学暑假衔接重点知识回顾与新课预习（人教A版2019）

3.2双曲线 知识点一 双曲线的定义 一般地,我们把平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 注意：（1）距离的差要加绝对值,否则只有双曲线的一支,若分别表示双曲线的左、右焦点,则有以下两种情形： ①若点P满足,则点P在左支上,如图（1） ②若点P满足,则点P在右支上,如图（2） （2）注意定义中的“小于”这一限制条件,其根据是“三角形两边之差小于第三边”． ①若,即,根据平面几何知识知,当时,动点轨迹是以F2为端点向右延伸的一条射线；当时,动点轨迹是以F1为端点向左延伸的一条射线． ②若,即,根据平面几何知识知,动点轨迹不存在． （3）注意定义中的“非零”这一限制条件,若差的绝对值等于零,则动点轨迹是线段的垂直平分线． 知识点二 双曲线的标准方程 标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 焦点 的关系 知识点三 双曲线的几何性质 标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 性质 焦点 焦距 范围 ,或 或 对称性 关于坐标轴、原点对称 顶点 轴长 实轴长2a,虚轴长2b 离心率 渐近线 知识点四 等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,它有以下性质： (1)方程形式为； (2)渐近线方程为,它们互相垂直； (3)离心率 题型一 双曲线的定义 1．在平面直角坐标系中，已知双曲线：的左焦点为，点在的右支上，关于的对称点为，则（    ） A． B． C． D．4 2．已知是双曲线右支上的动点，是双曲线的左、右焦点，则的最小值为（    ） A．12 B． C． D． 3．已知双曲线的左右焦点分别为，，点在双曲线上，，则（    ） A．13 B．10 C．1 D．13或1 4．若双曲线上的一点到焦点的距离比到焦点的距离大，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 5．平面内动点到两定点的距离之差为，若动点的轨迹是双曲线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（多选）已知、，下列说法中正确的是（    ） A．平面内到、两点的距离相等的点的轨迹是直线 B．平面内到、两点的距离之差等于的点的轨迹是双曲线的一支 C．平面内到、两点的距离之和等于的点的轨迹是椭圆 D．平面内到、两点距离的平方和为的点的轨迹是圆 7．双曲线的左右焦点分别是与是双曲线右支的一点，且，则 ． 8．已知双曲线两个焦点分别为、，双曲线上任一点到两个焦点的距离之差的绝对值等于，求该双曲线的标准方程． 题型二 根据a,b,c求双曲线的标准方程 9．已知双曲线的左､右焦点分别为为双曲线上一点，且，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 10．已知点，，动点满足条件，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 11．焦距为26，且经过点的双曲线的标准方程是 . 12．以椭圆的长轴端点为焦点、以椭圆焦点为顶点的双曲线方程为 ． 13．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)，经过点，焦点在轴上； (2)与椭圆有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为. 14．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线与双曲线在第一象限的交点为A，若，则此双曲线的标准方程可能为（    ） A． B． C． D． 题型三 区分椭圆和双曲线的方程 15．“”是“方程表示的曲线是双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 16．（多选）已知方程，则（    ） A．存在实数，使得该方程对应的图形是圆 B．存在实数，使得该方程对应的图形是平行于轴的两条直线 C．存在实数，使得该方程对应的图形是焦点在轴上的双曲线 D．存在实数，使得该方程对应的图形是焦点在轴上的椭圆 17．（多选）已知曲线的方程为，则（    ） A．当时，曲线表示一个圆 B．当时，曲线表示椭圆 C．当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线 D．当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线 18．（多选）已知曲线，下列命题错误的是（    ） A．若，则是双曲线 B．若，则是椭圆 C．若，则是圆 D．若，则是两条直线 19．（多选）已知角，则方程可能表示下列哪些曲线（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．圆 D．两条直线 20．（多选）设为空间中两直线的夹角，则在平面直角坐标系中方程表示的曲线可能是（    ） A．两条相交直线 B．圆 C．焦点在x轴上的椭圆 D．焦点在x轴上的双曲线 21．（多选）已知关于，的方程（）表示的轨迹可以是（    ） A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 题型四 双曲线的焦点三角形 22．已知双曲线：的左，右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于，两点，且，则的周长为（    ） A．20 B．22 C．28 D．36 23．设双曲线的左、右焦点为、，点是上一点，满足，则的面积为 ． 24．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与的右支交于，两点，若，则 ． 25．设双曲线C：的左焦点和右焦点分别是，，点P是C右支上的一点，则的最小值为 ． 26．已知，分别为双曲线C的左、右焦点，过的直线与双曲线C的左支交于A，B两点，若，，则（   ） A． B． C． D． 27．已知，分别是双曲线C：的左、右焦点，，点P在C的右支上，且的周长为，则（   ） A． B． C． D． 题型五 双曲线上点到焦点和定点的距离的和、差最值 28．在平面直角坐标系中，已知点A坐标为，若动点P位于y轴右侧，且到两定点，的距离之差为定值4，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 29．已知，双曲线C：的左焦点为F，P是双曲线C的右支上的动点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 30．已知等轴双曲线的中心在坐标原点，焦点在轴上，左焦点为，焦距为4，点的坐标为，为双曲线右支上一动点，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 31．已知点，双曲线的左焦点为，点在双曲线的右支上运动.当的周长最小时，（    ） A． B． C． D． 32．已知为双曲线的左焦点，为其右支上一点，点，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 33．已知双曲线方程为，焦距为8，左､右焦点分别为，，点A的坐标为，P为双曲线右支上一动点，则的最小值为 . 34．某石油勘探队在某海湾发现两口大型油气井，海岸线近似于双曲线的右支，现测得两口油气井的坐标位置分别为，，为了运输方便，计划在海岸线上建设一个港口，当港口到两油气井的距离之和最小时，港口的位置为 .（填写坐标即可） 题型六 双曲线的简单几何性质 35．求以椭圆的两个焦点为顶点、两个顶点为焦点的双曲线方程，并求此双曲线的实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程. 36．已知双曲线的焦距为8，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 37．（多选）已知双曲线E：过点，则（    ） A．双曲线E的实轴长为4 B．双曲线E的离心率为 C．双曲线E的渐近线方程为 D．过点P且与双曲线E仅有1个公共点的直线恰有1条 38．（多选）已知，则关于双曲线与双曲线，下列说法中正确的是（     ）. A．有相同的焦距 B．有相同的焦点 C．有相同的离心率 D．有相同的渐近线 39．双曲线的实轴长为4，则 . 40．双曲线的实轴长为 ，渐近线方程为 ． 41．设双曲线C：的左右焦点分别为，它的实轴长为4，P是C上的一点且满足，的面积是4，则C的方程是 . 题型七 根据几何性质求双曲线的标准方程 42．若双曲线的实轴长为，则正数（    ） A． B． C． D． 43．已知椭圆 的左焦点是双曲线 的左顶点，则双曲线的渐近线为（    ） A． B． C． D． 44．已知双曲线的虚轴长为，两个顶点分别为椭圆的两个焦点，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 45．与双曲线1共渐近线，且过点的双曲线的标准方程是（　　） A．1 B．1 C．1 D．1 46．设双曲线C经过点（2 ， 2）， 且与具有相同渐进线， 则C的方程为 ；渐进线方程为 . 47．已知双曲线的离心率为，且与椭圆有公共焦点，则的方程为 ． 48．求适合下列条件的双曲线的标准方程. （1）焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为； （2）过点(2，0)，与双曲线离心率相等. 题型八 双曲线的离心率问题 49．已知双曲线的顶点为椭圆的焦点，的离心率与的离心率之积为1，则的方程为（    ） A． B． C． D． 50．已知双曲线的一条渐近线与圆相交于两点，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 51．若双曲线的右焦点为，且点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 52．设点，分别为双曲线的左、右焦点，点A，B分别在双曲线C的左，右支上.若，，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 53．设，分别为双曲线（，）的上，下焦点，过点的直线与的一条渐近线交于点，若轴，且点到的距离为，则 的离心率为（    ） A． B． C． D． 54．已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线交双曲线的左支于A，B两点，，，则双曲线的离心率为 ． 55．如图，已知，是双曲线C：的左、右焦点，P，Q为双曲线C上两点，满足，且，则双曲线C的离心率为 ． 题型九 双曲线的渐近线问题 56．函数被称为“对勾函数”，它可以由双曲线旋转得到，已知直线和直线是函数的渐近线，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 57．设双曲线：（，）的右焦点为，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若（为坐标原点），则双曲线的离心率为（    ） A． B．3 C．2 D． 58．椭圆的离心率记为，双曲线的离心率记为，若，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 59．已知，分别是双曲线（，）的左、右焦点，过的直线交双曲线左支于A，B两点，，，则双曲线C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 60．双曲线的左、右焦点分别为，为坐标原点，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，且，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 61．已知双曲线的左、右焦点分别为，. 点A在双曲线上，点在轴上，，，则双曲线的渐近线方程为 . 62．已知双曲线的离心率为分别是它的两条渐近线上的两点（不与坐标原点重合），点在双曲线上且 的面积为6，则该双曲线的实轴长为 ． 题型十 双曲线的实际应用 63．江南水乡多石拱桥，现有等轴双曲线形的石拱桥（如图），拱顶离水面10米，水面宽米，若水面上升5米，则水面宽为（    ） A．米 B．米 C．米 D．30米 64．阿波罗尼斯（约公元前262年～约公元前190年），古希腊著名数学家﹐主要著作有《圆锥曲线论》、《论切触》等.尤其《圆锥曲线论》是一部经典巨著，代表了希腊几何的最高水平，此书集前人之大成，进一步提出了许多新的性质.其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点.已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，其离心率，从发出的光线经过双曲线C的右支上一点E的反射，反射光线为EP，若反射光线与入射光线垂直，则（    ） A． B． C． D． 65．从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点；从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点. 如图①，一个光学装置由有公共焦点的椭圆T与双曲线S构成，现一光线从左焦点发出，依次经S与T反射，又回到了点，历时秒；若将装置中的S 去掉，如图②，此光线从点发出，经T两次反射后又回到了点历时秒.已知，则T的离心率与S的离心率之比 . 66．如图，B地在A地的正东方向，相距4km；C地在B地的北偏东方向，相距2km，河流沿岸PQ（曲线）上任意一点到A的距离比它到B的距离远2km，现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向A、B、C三地转运货物．经测算，从M到A、B两地修建公路费用都是10万元/km，从M到C修建公路的费用为20万元/km．选择合适的点M，可使修建的三条公路总费用最低，则总费用最低是 万元（精确到0.01） 67．如图所示，某中心接到其正西､正东､正北方向三个观测点的报告：两个观测点同时听到了一声巨响，观测点听到的时间比观测点晚4秒，假定当时声音传播的速度为米/秒，各观测点到该中心的距离都是米，设发出巨响的位置为点，且均在同一平面内.请你确定该巨响发生的点的位置. 68．某飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员安全救出，地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心(记为A，B，C)，A在B的正东方向，相距6km；C在B的北偏西30°方向，相距4km；P为航天员的着陆点．某一时刻，A接收到P的求救信号，由于B，C两地比A距P远，在此4s后，B，C两个救援中心才同时接收到这一信号．已知该信号的传播速度为1km/s，求在A处发现P的方位角． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.2双曲线 知识点一 双曲线的定义 一般地,我们把平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 注意：（1）距离的差要加绝对值,否则只有双曲线的一支,若分别表示双曲线的左、右焦点,则有以下两种情形： ①若点P满足,则点P在左支上,如图（1） ②若点P满足,则点P在右支上,如图（2） （2）注意定义中的“小于”这一限制条件,其根据是“三角形两边之差小于第三边”． ①若,即,根据平面几何知识知,当时,动点轨迹是以F2为端点向右延伸的一条射线；当时,动点轨迹是以F1为端点向左延伸的一条射线． ②若,即,根据平面几何知识知,动点轨迹不存在． （3）注意定义中的“非零”这一限制条件,若差的绝对值等于零,则动点轨迹是线段的垂直平分线． 知识点二 双曲线的标准方程 标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 焦点 的关系 知识点三 双曲线的几何性质 标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 性质 焦点 焦距 范围 ,或 或 对称性 关于坐标轴、原点对称 顶点 轴长 实轴长2a,虚轴长2b 离心率 渐近线 知识点四 等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,它有以下性质： (1)方程形式为； (2)渐近线方程为,它们互相垂直； (3)离心率 题型一 双曲线的定义 1．在平面直角坐标系中，已知双曲线：的左焦点为，点在的右支上，关于的对称点为，则（    ） A． B． C． D．4 【答案】D 【详解】由题可得.如图，设双曲线右焦点为，因与都关于原点中心对称，则， 后由双曲线的定义知. 故选：D    2．已知是双曲线右支上的动点，是双曲线的左、右焦点，则的最小值为（    ） A．12 B． C． D． 【答案】C 【详解】因为是双曲线右支上的动点， 由双曲线定义，得， 则 ， 当且仅当取得最小值． 故选：C. 3．已知双曲线的左右焦点分别为，，点在双曲线上，，则（    ） A．13 B．10 C．1 D．13或1 【答案】A 【详解】由题意得焦距为，由双曲线定义可得， 所以或，又因为在双曲线中，所以，故A正确. 故选：A. 4．若双曲线上的一点到焦点的距离比到焦点的距离大，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题知，根据题意，由双曲线的定义知，又， 所以，得到，所以双曲线的方程为， 故选：D. 5．平面内动点到两定点的距离之差为，若动点的轨迹是双曲线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由双曲线的定义可得，，且，解得. 故选：D. 6．（多选）已知、，下列说法中正确的是（    ） A．平面内到、两点的距离相等的点的轨迹是直线 B．平面内到、两点的距离之差等于的点的轨迹是双曲线的一支 C．平面内到、两点的距离之和等于的点的轨迹是椭圆 D．平面内到、两点距离的平方和为的点的轨迹是圆 【答案】AB 【详解】设所求动点为，由题意可得. 对于A选项，由题意可知，，则点的轨迹为线段的垂直平分线，A对； 对于B选项，由题意可知，， 所以，点的轨迹是以、为焦点的双曲线的一支，B对； 对于C选项，，所以，点的轨迹为线段，C错； 对于D选项，设点，则，可得， 满足条件的点不存在，D错. 故选：AB. 7．双曲线的左右焦点分别是与是双曲线右支的一点，且，则 ． 【答案】1 【详解】由双曲线的定义可知，， 所以. 故答案为：1. 8．已知双曲线两个焦点分别为、，双曲线上任一点到两个焦点的距离之差的绝对值等于，求该双曲线的标准方程． 【答案】 【详解】解：由于双曲线的焦点在x轴上，故可设它的标准方程为． 由双曲线的定义知，所以． 又因为，所以． 因此，所求双曲线的标准方程为． 题型二 根据a,b,c求双曲线的标准方程 9．已知双曲线的左､右焦点分别为为双曲线上一点，且，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可设双曲线标准方程为，焦距为2c， 则由双曲线的左､右焦点分别为，可知， 由，知，故， 故双曲线的标准方程为， 故选：A 10．已知点，，动点满足条件，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，所以，动点满足， 由双曲线的定义可知，动点的轨迹是以，为焦点的双曲线的左支， 设双曲线方程为，则有，，， 所以动点的轨迹方程为. 故选：D. 11．焦距为26，且经过点的双曲线的标准方程是 . 【答案】 【详解】∵双曲线经过点， ∴为双曲线的一个顶点， 故焦点在y轴上，且. 又，∴， ∴. ∴双曲线的标准方程为. 故答案为： 12．以椭圆的长轴端点为焦点、以椭圆焦点为顶点的双曲线方程为 ． 【答案】 【详解】椭圆的焦点为，长轴上的顶点为， 设所求双曲线方程为， 所以，，所以， 所以双曲线方程为. 故答案为： 13．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)，经过点，焦点在轴上； (2)与椭圆有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为双曲线的焦点在轴上， 所以可设双曲线的标准方程为， 由，经过点， 可得，解得， 故双曲线的标准方程为； （2）椭圆的两个焦点为、， 故该双曲线的焦点在轴上，可设双曲线的标准方程为， 令，即有，解得， 故有，解得， 故双曲线的标准方程为. 14．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线与双曲线在第一象限的交点为A，若，则此双曲线的标准方程可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 由双曲线的定义可知， 可得， 由于过的直线斜率为， 所以在等腰三角形中，，则， 由余弦定理得：， 化简得，可得，即，， 可得，， 所以此双曲线的标准方程可能为：. 故选：C 题型三 区分椭圆和双曲线的方程 15．“”是“方程表示的曲线是双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若，则，所以方程表示双曲线； 若方程表示双曲线，则，解得或， 所以“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件. 故选：A 16．（多选）已知方程，则（    ） A．存在实数，使得该方程对应的图形是圆 B．存在实数，使得该方程对应的图形是平行于轴的两条直线 C．存在实数，使得该方程对应的图形是焦点在轴上的双曲线 D．存在实数，使得该方程对应的图形是焦点在轴上的椭圆 【答案】ACD 【详解】对A，取，此时方程为，表示的图形为圆，故A正确； 对B，，若要该方程对应的图形是平行于轴的两条直线， 则必须满足为一个定值，显然不成立，故B错误； 对C，取，则方程为，其对应的图形是焦点在轴上的双曲线，故C正确； 对D，取，此时方程为，其对应的图形是焦点在轴上的椭圆，故D正确. 故选：ACD. 17．（多选）已知曲线的方程为，则（    ） A．当时，曲线表示一个圆 B．当时，曲线表示椭圆 C．当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线 D．当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线 【答案】ACD 【详解】当时，曲线是，故A正确； 当时，曲线表示一个圆，故B错误； 当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，故C正确； 当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，故D正确. 故选：ACD. 18．（多选）已知曲线，下列命题错误的是（    ） A．若，则是双曲线 B．若，则是椭圆 C．若，则是圆 D．若，则是两条直线 【答案】BCD 【详解】对于A，当时，异号，故曲线是双曲线，故A正确； 对于B，若，则曲线是圆，故B错误； 对于C，若，则曲线不存在，故C错误； 对于D，若，满足，但曲线不存在，故D错误. 故选：BCD. 19．（多选）已知角，则方程可能表示下列哪些曲线（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．圆 D．两条直线 【答案】ABCD 【详解】当时，则，即， 方程可化为，表示双曲线，故B正确； 当时，则， 方程可化为，表示两条直线，故D正确； 当时，则，即 方程可化为，表示焦点在轴上的椭圆，故A正确； 当时，则， 方程可化为，表示圆，故C正确. 故选：ABCD. 20．（多选）设为空间中两直线的夹角，则在平面直角坐标系中方程表示的曲线可能是（    ） A．两条相交直线 B．圆 C．焦点在x轴上的椭圆 D．焦点在x轴上的双曲线 【答案】BC 【详解】因为为空间两直线的夹角，． 若，方程为，方程表示圆，选项B正确； 若，方程为，由于， 方程表示焦点在轴上的椭圆，选项C正确； 若，方程为，即，方程表示两条平行直线，选项A错误； 若，，方程表示焦点在轴上的双曲线，选项D错误． 故选：BC． 21．（多选）已知关于，的方程（）表示的轨迹可以是（    ） A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 【答案】ABD 【详解】因为，所以： 当，如方程可化为，表示双曲线； 当时，方程化为：，表示直线； 当即时，方程可化为：，表示圆； 当时，方程化为：，表示直线； 当，如，方程可化为：，表示双曲线. 故选：ABD 题型四 双曲线的焦点三角形 22．已知双曲线：的左，右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于，两点，且，则的周长为（    ） A．20 B．22 C．28 D．36 【答案】C 【详解】由题意知，， 所以， 又， 所以， 所以的周长为． 故选：C． 23．设双曲线的左、右焦点为、，点是上一点，满足，则的面积为 ． 【答案】 【详解】 由题意，，不妨设， 则，由余弦定理， 所以，， 所以，. 故答案为：. 24．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与的右支交于，两点，若，则 ． 【答案】/ 【详解】依题意过点的直线与的右支交于，两点， 且，，， 则，，， 所以， 可得， 解得或（舍去）． 故答案为：． 25．设双曲线C：的左焦点和右焦点分别是，，点P是C右支上的一点，则的最小值为 ． 【答案】8 【详解】，， ， 而函数在上单调递增， 所以当且仅当时，. 故答案为：8. 26．已知，分别为双曲线C的左、右焦点，过的直线与双曲线C的左支交于A，B两点，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，由于，，且，， 设，则，故， 所以，即，则，，，， 在中由余弦定理. 故选：B 27．已知，分别是双曲线C：的左、右焦点，，点P在C的右支上，且的周长为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由双曲线定义可知：， 则三角形的周长为， 故. 故选：D. 题型五 双曲线上点到焦点和定点的距离的和、差最值 28．在平面直角坐标系中，已知点A坐标为，若动点P位于y轴右侧，且到两定点，的距离之差为定值4，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由动点P到两定点，的距离之差为定值4， 结合双曲线定义可知，动点P的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支， 易得，，由得，则动点P的轨迹方程为， 如图： 又，则，且 故的周长为:， 当且仅当P，A，三点共线且点位于、之间时等号成立，故周长的最小值为． 故选：D 29．已知，双曲线C：的左焦点为F，P是双曲线C的右支上的动点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设C为双曲线右焦点，则，， 而，仅当共线且A在之间时等号成立， 所以， 当共线且A在之间时等号成立． 故选：D． 30．已知等轴双曲线的中心在坐标原点，焦点在轴上，左焦点为，焦距为4，点的坐标为，为双曲线右支上一动点，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可设双曲线的方程为， 则，即，得到，所以， 由双曲线的定义可得， 则， 当三点共线时，取得等号，则的最大值为， 故选：C． 31．已知点，双曲线的左焦点为，点在双曲线的右支上运动.当的周长最小时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由双曲线得到,,，左焦点， 设右焦点.当的周长最小时，取到最小值，所以只需求出的最小值即可. ===. 故选：C. 32．已知为双曲线的左焦点，为其右支上一点，点，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设双曲线的右焦点为，由双曲线的方程可得：，则， 所以，且，所以， 的周长为， 当且仅当M，P，A三点共线时取等号， 则周长的最小值为． 故选：B． 33．已知双曲线方程为，焦距为8，左､右焦点分别为，，点A的坐标为，P为双曲线右支上一动点，则的最小值为 . 【答案】 【详解】解：如图所示， 由双曲线为等轴双曲线，且焦距为8， 所以，， 即，， 所以双曲线的方程为：， 所以，，， 由双曲线定义得， 所以 ， 当三点共线时，最小为 故. 故答案为：. 34．某石油勘探队在某海湾发现两口大型油气井，海岸线近似于双曲线的右支，现测得两口油气井的坐标位置分别为，，为了运输方便，计划在海岸线上建设一个港口，当港口到两油气井的距离之和最小时，港口的位置为 .（填写坐标即可） 【答案】/ 【详解】由双曲线可知，， 故该双曲线的两个焦点分别为和，则恰好为双曲线的右焦点， 如图设为双曲线的左焦点，连接与双曲线右支交于点， 则点即为港口所在位置. 由双曲线的定义可得，，即， 则. 当且仅当，，三点共线时，取得最小值，此时港口到两油气井的距离之和最小. 因为，，所以，则直线， 联立，化简可得，即， 解得或，因为，所以舍去， 将代入直线方程可得， 故点的坐标为，即港口的位置为. 故答案为： 题型六 双曲线的简单几何性质 35．求以椭圆的两个焦点为顶点、两个顶点为焦点的双曲线方程，并求此双曲线的实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程. 【答案】，实轴长为2，虚轴长为6，离心率为，渐近线方程为 【详解】因为椭圆的两个焦点为，即为双曲线的顶点， 因为双曲线的顶点和焦点在同一直线上， 所以双曲线的焦点应为椭圆长轴端点， 故，所以， 得到双曲线的方程为， 故该双曲线的实轴长为，虚轴长为， 离心率为，渐近线方程为. 36．已知双曲线的焦距为8，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得，解得（负值舍去）， 则该双曲线的渐近线方程为. 故选：C. 37．（多选）已知双曲线E：过点，则（    ） A．双曲线E的实轴长为4 B．双曲线E的离心率为 C．双曲线E的渐近线方程为 D．过点P且与双曲线E仅有1个公共点的直线恰有1条 【答案】AB 【详解】由得，. 对A，，故A正确； 对B，，故B正确； 对C，由得，故C错误； 对D，有3条，两条与渐近线平行，分别为，， 第三条与双曲线相切，设切线的斜率为， 则，消去可得， ，， 令，解得，所以，故D错误. 故选：AB. 38．（多选）已知，则关于双曲线与双曲线，下列说法中正确的是（     ）. A．有相同的焦距 B．有相同的焦点 C．有相同的离心率 D．有相同的渐近线 【答案】AC 【详解】由双曲线，可得，则焦距为， 焦点坐标为，渐近线方程为，离心率为； 又由双曲线，可得，则焦距为， 焦点坐标为，渐近线方程为，离心率为， 所以双曲线和有相同的焦距，离心率相同，焦点坐标和渐近线方程不同. 故选：AC. 39．双曲线的实轴长为4，则 . 【答案】1 【详解】显然恒成立，则双曲线的焦点在x轴上， 于是，所以. 故答案为：1 40．双曲线的实轴长为 ，渐近线方程为 ． 【答案】 10 【详解】由双曲线方程为可得，，，即，. ∴实轴长为. ∴渐近线方程为. 故答案为：10；. 41．设双曲线C：的左右焦点分别为，它的实轴长为4，P是C上的一点且满足，的面积是4，则C的方程是 . 【答案】 【详解】根据题意可知不妨取在双曲线左支上，如下图所示：    根据实轴长为4可得，即可得； 又可得， 由的面积是4可得，即； 由， 解得，所以， 可得C方程是. 故答案为： 题型七 根据几何性质求双曲线的标准方程 42．若双曲线的实轴长为，则正数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由双曲线实轴长为，有，又， . 故选：A. 43．已知椭圆 的左焦点是双曲线 的左顶点，则双曲线的渐近线为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设椭圆焦距为， 则，则，所以椭圆 的左焦点为， 所以双曲线 的左顶点为， 所以，所以， 所以双曲线 的渐近线为. 故选：D 44．已知双曲线的虚轴长为，两个顶点分别为椭圆的两个焦点，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题，设双曲线的标准方程为，则，可得， 又因为双曲线的两个顶点分别为椭圆的两个焦点，则， 因此，双曲线的标准方程为. 故选：A. 45．与双曲线1共渐近线，且过点的双曲线的标准方程是（　　） A．1 B．1 C．1 D．1 【答案】D 【详解】由题意知，要求双曲线与双曲线共渐近线， 设要求的双曲线为. 又该双曲线经过点，则，解得， 则要求的双曲线的标准方程为. 故选：D. 46．设双曲线C经过点（2 ， 2）， 且与具有相同渐进线， 则C的方程为 ；渐进线方程为 . 【答案】 【详解】设双曲线C的方程为，将(2，2)代入得， ∴双曲线C的方程为．令得渐近线方程为． 故答案为：； 47．已知双曲线的离心率为，且与椭圆有公共焦点，则的方程为 ． 【答案】 【解析】由椭圆方程求出焦点坐标，得出的值，再由双曲线的离心率得出，进而可得双曲线的标准方程． 【详解】由椭圆方程，可得焦点为 设双曲线的半焦距为，则，因双曲线的离心率为，则 故，所以， 所以双曲线的标准方程为： 故答案为： 48．求适合下列条件的双曲线的标准方程. （1）焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为； （2）过点(2，0)，与双曲线离心率相等. 【答案】（1）；（2）. 【详解】解：(1)设所求双曲线的标准方程为=1(a>0，b>0)，由题意知2b=8，e=， 从而b=4，c=a， 代入c2=a2+b2，得a2=9， 故双曲线的标准方程为=1. (2)由题意知，所求双曲线的焦点在x轴上， 故可设其方程为=λ(λ>0)， 将点(2，0)的坐标代入方程得， 故所求双曲线的标准方程为. 题型八 双曲线的离心率问题 49．已知双曲线的顶点为椭圆的焦点，的离心率与的离心率之积为1，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知，对于椭圆， 焦点为和，离心率为. 设双曲线的标准方程为， 又双曲线的离心率与椭圆的离心率之积为1， 所以双曲线的离心率为，即， 又，所以，， 所以双曲线的标准方程为. 故选：B 50．已知双曲线的一条渐近线与圆相交于两点，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意得，圆心到的渐近线的距离为 设双曲线的一条渐近线方程为，则， . 故选：D． 51．若双曲线的右焦点为，且点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为双曲线的右焦点为，则，即， 双曲线的渐近线方程为， 不妨取， 又点到双曲线的一条渐近线的距离为， 可得， 所以， 所以双曲线的离心率． 故选：C． 52．设点，分别为双曲线的左、右焦点，点A，B分别在双曲线C的左，右支上.若，，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，A、B、三点共线， 设，由双曲线定义得，， 所以，∵，， 即，解得或， 由，则，得，所以， ，解得， 故选：D. 53．设，分别为双曲线（，）的上，下焦点，过点的直线与的一条渐近线交于点，若轴，且点到的距离为，则 的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】双曲线的渐近线方程为，上焦点，下焦点， 由，解得，不妨取， 则直线的方程为，即， 又点到的距离为，则， 即，又，所以，即， 所以离心率. 故选：B 54．已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线交双曲线的左支于A，B两点，，，则双曲线的离心率为 ． 【答案】 【详解】由题可设，， 由余弦定理可得， 即，解得， 因为，所以，即， 在中，，，， 所以， 即，解得， 则所求双曲线的离心率为． 故答案为：． 55．如图，已知，是双曲线C：的左、右焦点，P，Q为双曲线C上两点，满足，且，则双曲线C的离心率为 ． 【答案】/ 【详解】延长与双曲线交于点， 因为，根据对称性可知， 设，则， 可得，即， 所以，则，， 即，可知， 在中，由勾股定理得， 即，解得. 故答案为： 题型九 双曲线的渐近线问题 56．函数被称为“对勾函数”，它可以由双曲线旋转得到，已知直线和直线是函数的渐近线，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为直线和直线的夹角为， 由题意可得双曲线夹角为， 而双曲线的渐近线方程为， 所以， 则，解得（负值舍去）， 所以双曲线的渐近线方程为. 故选：B. 57．设双曲线：（，）的右焦点为，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若（为坐标原点），则双曲线的离心率为（    ） A． B．3 C．2 D． 【答案】D 【详解】由双曲线的几何性质知道，，， ∵， ∴，∴离心率. 故选：D. 58．椭圆的离心率记为，双曲线的离心率记为，若，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设双曲线的渐近线方程为 记椭圆和双曲线的半焦距分别为，因为， 则, 令，则， 解得，（舍去），故，双曲线渐近线方程为： . 故选:A. 59．已知，分别是双曲线（，）的左、右焦点，过的直线交双曲线左支于A，B两点，，，则双曲线C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，， 所以可设，，． 因为，所以． 在中，，，， 所以，则，又， 所以，故双曲线C的渐近线方程为． 故选：D. 60．双曲线的左、右焦点分别为，为坐标原点，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，且，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图所示： 由，得， 因为直线垂直于双曲线的一条渐近线， 所以在中，，则， 在中，， ， ， 由正弦定理，得，即， 即．整理，得， 即．又，所以，所以， 所以双曲线的渐近线方程为． 故选：D． 【点睛】思路点睛：在，由，表示，再在中，利用两角和的正弦公式表示，然后由正弦定理，建立a，b，c的关系而得解. 61．已知双曲线的左、右焦点分别为，. 点A在双曲线上，点在轴上，，，则双曲线的渐近线方程为 . 【答案】 【详解】因为，所以三点共线， 又，所以为直角三角形， 记，则， 由双曲线定义和对称性可得， 则有，即， 解得或（舍去）. 记，则， 在中，由余弦定理得， 整理得，得 所以双曲线的渐近线方程为. 故答案为： 62．已知双曲线的离心率为分别是它的两条渐近线上的两点（不与坐标原点重合），点在双曲线上且 的面积为6，则该双曲线的实轴长为 ． 【答案】 【详解】 如图，由可得，故双曲线的渐近线方程为， 不妨设，因则点为的中点，则， 将其代入中，整理得：， 又,且,则的面积为， 即，解得,故双曲线的实轴长为. 故答案为：. 题型十 双曲线的实际应用 63．江南水乡多石拱桥，现有等轴双曲线形的石拱桥（如图），拱顶离水面10米，水面宽米，若水面上升5米，则水面宽为（    ） A．米 B．米 C．米 D．30米 【答案】D 【详解】设双曲线方程为，如图建立直角坐标系. 水面上升5米后，设水面宽为CD，设D，其中. 又由题可得，代入双曲线方程可得： ，则D. 将D点坐标代入双曲线方程可得：，则D. 又由对称性可得，则水面上升5米，则水面宽为30米. 故选：D 64．阿波罗尼斯（约公元前262年～约公元前190年），古希腊著名数学家﹐主要著作有《圆锥曲线论》、《论切触》等.尤其《圆锥曲线论》是一部经典巨著，代表了希腊几何的最高水平，此书集前人之大成，进一步提出了许多新的性质.其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点.已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，其离心率，从发出的光线经过双曲线C的右支上一点E的反射，反射光线为EP，若反射光线与入射光线垂直，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，，，由题意知，，， 所以，，，所以， 又，所以，解得， 所以. 故选：B. 65．从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点；从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点. 如图①，一个光学装置由有公共焦点的椭圆T与双曲线S构成，现一光线从左焦点发出，依次经S与T反射，又回到了点，历时秒；若将装置中的S 去掉，如图②，此光线从点发出，经T两次反射后又回到了点历时秒.已知，则T的离心率与S的离心率之比 . 【答案】/0.5 【详解】由得， 由椭圆定义可得， 由椭圆和双曲线定义得，， 故 ， 故，解得， 设椭圆T与双曲线S的公共焦点为， 故，所以 故答案为： 66．如图，B地在A地的正东方向，相距4km；C地在B地的北偏东方向，相距2km，河流沿岸PQ（曲线）上任意一点到A的距离比它到B的距离远2km，现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向A、B、C三地转运货物．经测算，从M到A、B两地修建公路费用都是10万元/km，从M到C修建公路的费用为20万元/km．选择合适的点M，可使修建的三条公路总费用最低，则总费用最低是 万元（精确到0.01） 【答案】85.83 【详解】以所在的直线为轴，的垂直平分线为轴建立直角坐标系，如图所示： ，根据双曲线定义知，轨迹为双曲线的右支. 故，，，，故轨迹方程为：. 由题意修建的三条公路总费用 ， 由图形可知，当三点共线，即在点处时，有最小值， 由题意，所以， 所以. 故答案为： 67．如图所示，某中心接到其正西､正东､正北方向三个观测点的报告：两个观测点同时听到了一声巨响，观测点听到的时间比观测点晚4秒，假定当时声音传播的速度为米/秒，各观测点到该中心的距离都是米，设发出巨响的位置为点，且均在同一平面内.请你确定该巨响发生的点的位置. 【答案】答案见解析 【详解】如图，以接报中心为原点，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系． 则，，， 设为巨响为生点，由A、同时听到巨响声，得， 故在的垂直平分线上，的方程为，因点比A点晚听到爆炸声， 故，由双曲线定义知点在以A、为焦点的双曲线上， 依题意得，，， 故双曲线方程为，将代入上式，得， ，，，即 故. 故巨响发生在接报中心的西偏北距中心米处． 68．某飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员安全救出，地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心(记为A，B，C)，A在B的正东方向，相距6km；C在B的北偏西30°方向，相距4km；P为航天员的着陆点．某一时刻，A接收到P的求救信号，由于B，C两地比A距P远，在此4s后，B，C两个救援中心才同时接收到这一信号．已知该信号的传播速度为1km/s，求在A处发现P的方位角． 【答案】P在A的北偏东30°方向 【详解】因为B，C同时接收到信号， 所以PC＝PB，则P在BC的中垂线上． 因为B，C比A处晚4s收到信号， 所以有PB－PA＝4×1<6＝AB， 从而P在以A，B为焦点的双曲线的右支上， 所以2a＝4，c＝3，从而b2＝c2－a2＝5. 以线段AB的中点为坐标原点，AB的中垂线为y轴，正东方向为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系， 则A(3，0)，B(－3，0)，， 所以双曲线的方程为， BC的中垂线的方程为. 联立，解得或(舍去)， 即，从而， 所以PA的倾斜角为60°，则P在A的北偏东30°方向． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$