2.2直线的方程（八大常考题型）-2024年新高二数学暑假衔接重点知识回顾与新课预习（人教A版2019）

2.2直线的方程 知识点1 直线的点斜式方程 1．点斜式方程的推导 如图,直线l经过点,且斜率为k.设为直线l上不同于点P0的任意一点,因为直线l的斜率为k,由斜率公式得,即． 2．直线的点斜式方程 方程由直线上一定点及该直线的斜率k确定,我们把它叫做直线的点斜式方程,简称点斜式． （1）当直线l的倾斜角为0°时,,即k=0,这时直线l与x轴平行或重合,直线l的方程是,即 （2）当直线l的倾斜角为90°时,由于无意义,直线没有斜率,这时直线l与y轴平行或重合,它的方程不能用点斜式表示．又因为这时直线l上每一点的横坐标都等于x0,所以它的方程是或. 知识点2 直线的斜截式方程 1．斜截式方程的推导 如图,如果斜率为k的直线l过点,这时P0是直线l与y轴的交点,代入直线的点斜式方程,得,即. 2．直线的斜截式方程 我们把直线l与y轴的交点(0,b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距．这样,方程y=kx+b由直线的斜率k与它在y轴上的截距b确定,我们把方程叫做直线的斜截式方程,简称斜截式．其中,k和b均有明显的几何意义：k是直线的斜率,b是直线在y轴上的截距． 知识点3 直线的两点式方程 当时,经过两点的直线的斜率. 任取中的一点,例如,取点,由直线的点斜式方程,得, 当时,上式可写为，这就是经过两点 (其中 )的直线的方程,我们把它叫做直线的两点式方程,简称两点式． 知识点4 直线的截距式方程 已知直线l与x轴的交点为,与y轴的交点为,其中,则由直线的两点式方程可以得到直线l的方程为 我们把直线l与x轴的交点的横坐标a叫做直线在x轴上的截距,此时直线在y轴上的截距是b.方程由直线l在两条坐标轴上的截距a与b确定,我们把方程叫做直线的截距式方程,简称截距式． 知识点5 直线的一般式方程 关于的二元一次方程都表示一条直线．我们把关于的二元一次方程 (其中不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式． 知识点6 直线方程的一般式与斜截式、截距式的互化 一般式 斜截式 截距式 (其中不同时为0) 题型一 点斜式方程 1．过点且倾斜角为的直线方程为（   ） A． B． C． D． 2．过点A(0，2)且倾斜角的正切值是的直线方程为（    ） A．3x－5y＋10＝0 B．3x－4y＋8＝0 C．3x＋5y－10＝0 D．3x＋4y－8＝0 3．（多选）若直线，则（    ） A． B． C． D． 4．分别求出经过点，且满足下列条件的直线方程，并画出图形． (1)斜率； (2)与x轴平行； (3)与x轴垂直． 5．（多选）同一坐标系中，直线与大致位置正确的是（    ） A． B． C． D． 6．已知关于直线的对称点为，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 7．一束光线从点射出，沿倾斜角为的直线射到轴上，经轴反射后，反射光线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 题型二 斜截式方程 9．倾斜角为且在轴上的截距是的直线方程是（    ） A． B． C． D． 10．已知直线不经过第一象限，且，，均不为零，则有（    ） A． B． C． D． 11．已知直线l的斜率为，且过点，则直线l在y轴上的截距是 . 12．已知直线的倾斜角为，与轴的交点到坐标原点的距离为，求直线的斜截式方程. 13．已知直线l的斜率为，且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l的斜截式方程． 14．已知直线过点和． （1）求直线的点斜式方程； （2）将（1）中的直线的方程化成斜截式方程，并写出直线在轴上的截距． 题型三 两点式方程 15．数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知的顶点分别为，，，则的欧拉线方程为（    ） A． B． C． D． 16．已知点，直线与直线AB垂直，则实数（    ） A． B． C．4 D． 17．一条光线从射出与x轴相交于点，经x轴反射，求反射光线所在直线的方程（    ） A． B． C． D． 18．某汽车客运公司托运行李的费用y（元）与行李质量x（）之间的关系如图所示，根据图像可知，乘客最多可免费携带行李的质量为（    ）    A．20 B．25 C．30 D．35 19．若，则直线的方程为 ；设直线与两坐标轴的交点为且点在线段上，则的最大值为 ． 20．已知的三个顶点是，求： (1)边所在的直线的方程； (2)边上的高所在直线的方程． 21．已知在中，. （1） 求边的方程； （2）求边上的中线所在直线的方程. 题型四 截距式方程 22．在平面直角坐标系中，直线在轴上的截距为（    ） A． B．8 C． D． 23．已知直线经过第一、二、三象限且斜率小于1，那么下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 24．过点的直线与轴，轴正半轴分别交于点，则的可能值是（      ） A．7 B． C． D． 25．过点，在轴上的截距和在轴上的截距相等的直线方程为 ． 26．已知过点的直线在轴上的截距是其在轴上截距的3倍，则满足条件的一条直线的方程为 ． 27．若直线经过点，则直线l在x轴和y轴上的截距之和取最小值时， . 28．将直线的方程作如下转换： (1)化成斜截式，并指出它们的斜率与在轴上的截距． (2)化成截距式，并指出它在x轴、y轴上的截距． 29．过点作直线分别交，轴正半轴于，两点. (1)当时，求直线的方程； (2)当取最小值时，求直线的方程. 题型五 直线与坐标轴围成的三角形问题 30．已知直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则（    ） A． B．或 C． D．或 31．直线l的倾斜角是直线倾斜角的一半，且直线l与坐标轴所围成的三角形的面积为10，则直线l的方程可能是（    ） A． B． C． D． 32．（多选）直线中，已知．若与坐标轴围成的三角形的面积不小于10，则实数对可以是（    ） A． B． C． D． 33．已知直线l过点，且分别与x轴的负半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，则面积最小值为 ． 34．已知直线l的斜率为，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l的斜截式方程． 35．是直线上的第一象限内的一点，为定点，直线AB交x轴正半轴于点C，求使面积最小的点的坐标. 题型六 一般式方程 36．设，对于直线：，下列说法中正确的是（    ） A．的斜率为 B．在轴上的截距为 C．不可能平行于轴 D．与直线平行 37．若直线的斜率为1，则实数的值为（    ） A．1或2 B．-1或-2 C．-1或2 D．1或-2 38．如图所示，直线与的图象只可能是（    ） A． B． C． D． 39．直线l：与y轴的交点为A，把直线l绕着点A逆时针旋转得到直线，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 40．已知点，则线段的垂直平分线的一般式方程为 . 41．已知直线：的倾斜角为，则 . 42．根据下列条件求直线的一般式方程． (1)直线的斜率为，且经过点； (2)斜率为，且在轴上的截距为； (3)经过两点, ； (4)在轴上的截距分别为． 题型七 直线过定点问题 43．若直线的斜率小于0，那么该直线不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 44．设点，直线：，当点到的距离最大时，直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 45．设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是（    ） A．5 B．10 C． D． 46．若无论实数取何值，直线都经过一个定点，则该定点坐标为 . 47．不论为何实数，直线恒过第 象限. 48．不论k为任何实数，直线恒过定点，若直线过此定点其m，n是正实数，则的最小值是 . 49．已知直线的方程为. (1)证明：不论为何值，直线过定点. (2)过（1）中点，且与直线垂直的直线与两坐标轴的正半轴所围成的三角形的面积最小时，求直线的方程. 50．已知直线l：．（其中a为参数，） (1)若不论x取何值，直线l恒过一定点A，求该定点A的坐标； (2)若直线l不过第二象限，求实数a的取值范围． 题型八 由直线的位置关系求直线方程 51．已知两条直线和，以下说法正确的是（   ）. A． B．与重合 C． D．与的夹角为 52．已知直线与直线互相平行，则实数的值（    ） A．-2 B．-2或1 C．2 D．1 53．已知直线，䒴，，则（    ） A．或 B． C．或 D． 54．（多选）垂直于直线，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在轴上的截距是（    ） A．4 B． C．3 D． 55．设直线l经过点，则当点与直线l的距离最远时，直线l的方程为 ． 56．已知的顶点坐标分别是，，，为边的中点. (1)求中线的方程； (2)求经过点且与直线平行的直线方程. 57．（1）求过点且与直线平行的直线的方程； （2）求与直线垂直，且与两坐标轴围成的面积为的直线方程. 58．已知直线与直线的交点为． (1)求过点且与直线垂直的直线方程； (2)求过点且与直线平行的直线方程． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2直线的方程 知识点1 直线的点斜式方程 1．点斜式方程的推导 如图,直线l经过点,且斜率为k.设为直线l上不同于点P0的任意一点,因为直线l的斜率为k,由斜率公式得,即． 2．直线的点斜式方程 方程由直线上一定点及该直线的斜率k确定,我们把它叫做直线的点斜式方程,简称点斜式． （1）当直线l的倾斜角为0°时,,即k=0,这时直线l与x轴平行或重合,直线l的方程是,即 （2）当直线l的倾斜角为90°时,由于无意义,直线没有斜率,这时直线l与y轴平行或重合,它的方程不能用点斜式表示．又因为这时直线l上每一点的横坐标都等于x0,所以它的方程是或. 知识点2 直线的斜截式方程 1．斜截式方程的推导 如图,如果斜率为k的直线l过点,这时P0是直线l与y轴的交点,代入直线的点斜式方程,得,即. 2．直线的斜截式方程 我们把直线l与y轴的交点(0,b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距．这样,方程y=kx+b由直线的斜率k与它在y轴上的截距b确定,我们把方程叫做直线的斜截式方程,简称斜截式．其中,k和b均有明显的几何意义：k是直线的斜率,b是直线在y轴上的截距． 知识点3 直线的两点式方程 当时,经过两点的直线的斜率. 任取中的一点,例如,取点,由直线的点斜式方程,得, 当时,上式可写为，这就是经过两点 (其中 )的直线的方程,我们把它叫做直线的两点式方程,简称两点式． 知识点4 直线的截距式方程 已知直线l与x轴的交点为,与y轴的交点为,其中,则由直线的两点式方程可以得到直线l的方程为 我们把直线l与x轴的交点的横坐标a叫做直线在x轴上的截距,此时直线在y轴上的截距是b.方程由直线l在两条坐标轴上的截距a与b确定,我们把方程叫做直线的截距式方程,简称截距式． 知识点5 直线的一般式方程 关于的二元一次方程都表示一条直线．我们把关于的二元一次方程 (其中不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式． 知识点6 直线方程的一般式与斜截式、截距式的互化 一般式 斜截式 截距式 (其中不同时为0) 题型一 点斜式方程 1．过点且倾斜角为的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】过点，且倾斜角为的直线斜率为1，则，即． 故选：B． 2．过点A(0，2)且倾斜角的正切值是的直线方程为（    ） A．3x－5y＋10＝0 B．3x－4y＋8＝0 C．3x＋5y－10＝0 D．3x＋4y－8＝0 【答案】A 【详解】因为所求直线的倾斜角的正切值是， 所以所求直线的斜率为， 由点斜式可知直线方程为， 即3x－5y＋10＝0. 故选：A. 3．（多选）若直线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】设的斜率分别为， 结合题意易得：， 因为，所以 因为且，所以. 故选：BD. 4．分别求出经过点，且满足下列条件的直线方程，并画出图形． (1)斜率； (2)与x轴平行； (3)与x轴垂直． 【答案】(1)，图形见解析 (2)，图形见解析 (3)图形见解析 【详解】（1）由点斜式方程得，即 （2）与x轴平行时，， ∴，即 （3）与x轴垂直，斜率不存在，方程为 5．（多选）同一坐标系中，直线与大致位置正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】因为，， 对于A，由图可得直线的斜率，在轴上的截距； 而的斜率，矛盾，故A错误； 对于B，由图可得直线的斜率，在轴上的截距； 而的斜率，在轴上的截距，即，符合题意，故B正确； 对于C，由图可得直线的斜率，在轴上的截距； 而的斜率，在轴上的截距，即，符合题意，故C正确． 对于D，由图可得直线的斜率，在轴上的截距； 而的斜率，矛盾，故D错误. 故选：BC. 6．已知关于直线的对称点为，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，直线的斜率，则直线的斜率为，且过点， 所以直线的方程是，即. 故选：B 7．一束光线从点射出，沿倾斜角为的直线射到轴上，经轴反射后，反射光线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】先求得入射光线所在直线与轴的交点，进而求得反射光线所在直线方程. 【详解】由，可得：， 则直线AB的方程为：，即. 又因为动点在线段AB上运动， 所以， 则，当且仅当，即，时等号成立， 所以.最大值为3. 故选：C. 题型二 斜截式方程 9．倾斜角为且在轴上的截距是的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】倾斜角为，直线的斜率为1， 在轴上的截距是，直线方程. 故选：B. 10．已知直线不经过第一象限，且，，均不为零，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由不经过第一象限，且，，均不为零， 化为， ，， 与必然同号，. 故选：D. 11．已知直线l的斜率为，且过点，则直线l在y轴上的截距是 . 【答案】 【详解】由点斜式方程得，转化为斜截式方程可得， 所以该直线在轴上的截距为. 故答案为：. 12．已知直线的倾斜角为，与轴的交点到坐标原点的距离为，求直线的斜截式方程. 【答案】或 【详解】解：因为直线的倾斜角为，则直线的斜率为， 因为直线与轴的交点到坐标原点的距离为， 所以，直线在轴上的截距为， 故直线的斜截式方程为或. 13．已知直线l的斜率为，且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l的斜截式方程． 【答案】或 【详解】设直线方程为，则令得；令得， 由题意得，即，所以， 所以直线l的方程为或. 14．已知直线过点和． （1）求直线的点斜式方程； （2）将（1）中的直线的方程化成斜截式方程，并写出直线在轴上的截距． 【答案】（1）（或）；（2）；直线在轴上的截距为． 【详解】（1）直线的斜率， 故直线的点斜式方程为（或）． （2）由得， 所以直线的斜截式方程为， 当时，，所以直线在轴上的截距为． 题型三 两点式方程 15．数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知的顶点分别为，，，则的欧拉线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为的顶点分别为，，， 所以的重心为， 因为，， 所以， 所以， 所以的外心为的中点， 因为三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上， 所以的欧拉线为直线， 所以的欧拉线方程为，即， 故选：C． 16．已知点，直线与直线AB垂直，则实数（    ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【详解】直线AB的方程为，即， 因为直线与直线AB垂直，所以，解得. 故选：D 17．一条光线从射出与x轴相交于点，经x轴反射，求反射光线所在直线的方程（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】关于 x轴的对称点， 光线从射出与x轴相交于点，则反射光线经过点， 由两点式方程可知， 所求直线方程为，化简得. 故选：D. 18．某汽车客运公司托运行李的费用y（元）与行李质量x（）之间的关系如图所示，根据图像可知，乘客最多可免费携带行李的质量为（    ）    A．20 B．25 C．30 D．35 【答案】A 【详解】由图像可得，直线过点，由直线方程的两点式可得， 化简可得，令，解得，即乘客最多可免费携带行李的质量为. 故选：A 19．若，则直线的方程为 ；设直线与两坐标轴的交点为且点在线段上，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】由两点式得，整理为．又在上， ，当且仅当，即时，等号成立． 所以的最大值为． 20．已知的三个顶点是，求： (1)边所在的直线的方程； (2)边上的高所在直线的方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由两点式可知 化简可得 即为边所在的直线的方程， （2）因为边上的高垂直， 所以斜率为， 又点在高线上， 所以由点斜式可知 即 21．已知在中，. （1） 求边的方程； （2）求边上的中线所在直线的方程. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）利用两点式方程直接写出直线方程，再化成一般式，再加上横坐标的范围； （2）设的中点为，求出点的坐标，再结合点的坐标，即可得答案； 【详解】（1）边过两点， 由两点式，得，即， 故边的方程是. （2）设的中点为， 则，所以， 又边的中线过点， 所以，即， 所以边上的中线所在直线的方程为. 【点睛】本题考查直线方程的两点式和中点坐标公式，考查运算求解能力，属于基础题. 题型四 截距式方程 22．在平面直角坐标系中，直线在轴上的截距为（    ） A． B．8 C． D． 【答案】A 【详解】对方程，令，解得； 故直线在轴上的截距为. 故选：A. 23．已知直线经过第一、二、三象限且斜率小于1，那么下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知直线经过第一、二、三象限，则直线在轴上的截距，在轴上的截距， 由直线的斜率小于1，可知，结合可得， 对于A，由绝对值的性质可知，故选项A错误， 对于B，由幂函数的单调性可知，故选项B错误， 对于C，由不等式的性质，可得，，则，故选项C错误， 对于D，，，则，故选项D正确. 故选：D 24．过点的直线与轴，轴正半轴分别交于点，则的可能值是（      ） A．7 B． C． D． 【答案】D 【详解】设直线方程为， 由题得， 所以，且小于7.5. 故选： D. 25．过点，在轴上的截距和在轴上的截距相等的直线方程为 ． 【答案】或 【详解】当直线过原点时，直线在轴上的截距和在轴上的截距相等，则直线方程为； 当直线不过原点时，设直线方程为，则，解得，直线方程为， 所以所求直线方程为或. 故答案为：或 26．已知过点的直线在轴上的截距是其在轴上截距的3倍，则满足条件的一条直线的方程为 ． 【答案】（答案不唯一：或） 【详解】由题意若过点的直线在坐标轴上的截距均为0，则显然满足题意，即， 否则设满足题意的直线方程为，将代入得，即也满足题意. 故答案为：（答案不唯一：或）. 27．若直线经过点，则直线l在x轴和y轴上的截距之和取最小值时， . 【答案】/ 【详解】因为直线经过点，可得， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以直线l在x轴和y轴上的截距之和取最小值为， 此时，则. 故答案为：. 28．将直线的方程作如下转换： (1)化成斜截式，并指出它们的斜率与在轴上的截距． (2)化成截距式，并指出它在x轴、y轴上的截距． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【详解】（1）解：将原方程移项，可得，可得直线的截距式方程为， 则直线的斜率为，在轴上的截距为. （2）解：将原方程化简为，可得直线的截距式方程为， 所以直线在轴和轴上的截距分别为. 29．过点作直线分别交，轴正半轴于，两点. (1)当时，求直线的方程； (2)当取最小值时，求直线的方程. 【答案】(1) (2). 【详解】（1）当时，为中点，则，， 此时直线的方程为：，即. （2）由题可知：直线的斜率存在，且， 设的方程为：，则，， 则，， ， 因为，所以，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以，当取最小值时，直线的方程为. 题型五 直线与坐标轴围成的三角形问题 30．已知直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【详解】令，得；令,得． 故与坐标轴围成的三角形的面积为，解得. 故选：B 31．直线l的倾斜角是直线倾斜角的一半，且直线l与坐标轴所围成的三角形的面积为10，则直线l的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 所以直线的斜率为负值，因此直线的倾斜角为钝角， 设直线l的倾斜角为，则 因为，所以或舍去 设直线l的方程为，则直线l与坐标轴的交点分别为，， 由，得， 故直线l的方程可能是，显然ABD不符合， ，或， 故选：C 32．（多选）直线中，已知．若与坐标轴围成的三角形的面积不小于10，则实数对可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】因为， 所以直线与坐标轴围成的三角形的面积为， 则，得， 结合选项可知，满足题意. 故选：AC. 33．已知直线l过点，且分别与x轴的负半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，则面积最小值为 ． 【答案】24 【详解】     由题意可知，直线的斜率存在且不为0，设直线的斜率为， 则直线的方程为， 因为直线分别与x轴的负半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，所以， 令，则，即， 令，则，即， 所以 其中，当且仅当时，即时，等号成立， 所以，即面积最小值为. 故答案为： 34．已知直线l的斜率为，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l的斜截式方程． 【答案】或 【详解】设直线方程为，则时，时，. 由已知可得， 即，∴. 故所求直线方程为或 35．是直线上的第一象限内的一点，为定点，直线AB交x轴正半轴于点C，求使面积最小的点的坐标. 【答案】 【详解】如图，设点A的坐标为（）.    （1）当直线AB不垂直于x轴时， 由两点式得AB的方程为（，且）. 令，得. 因为点C在x轴的正半轴上，所以，即. 所以的面积： ， 当且仅当，时等号成立，此时点A的坐标为. （2）当直线AB与轴垂直时，点A的坐标为，此时. 综上所述，的面积的最小值为，此时点A的坐标为. 题型六 一般式方程 36．设，对于直线：，下列说法中正确的是（    ） A．的斜率为 B．在轴上的截距为 C．不可能平行于轴 D．与直线平行 【答案】B 【详解】直线：即，它的斜率为，在轴上的截距为，故A错，B对， 令，则直线：与轴平行，且与直线垂直，故CD错误. 故选：B. 37．若直线的斜率为1，则实数的值为（    ） A．1或2 B．-1或-2 C．-1或2 D．1或-2 【答案】C 【详解】该直线方程可以变形为, 由直线的斜率为1可得，解得或， 故选：. 38．如图所示，直线与的图象只可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对A，由经过第一，四，三象限，可知，， 由过第一，二，三象限知，，故本选项错误； 对B，由经过第一，二，四象限，可知，， 由过第一，二，三象限知，，故本选项错误； 对C，由经过第一，三，四象限，可知，， 由过第一，三，四象限知，，故本选项错误； 对D，由经过第一，二，四象限，可知，， 由过第一，二，四象限知，，故本选项正确； 故选：D. 39．直线l：与y轴的交点为A，把直线l绕着点A逆时针旋转得到直线，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设直线l：的倾斜角为，则， 由题意可得，直线的倾斜角为， 则直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 故选：C 40．已知点，则线段的垂直平分线的一般式方程为 . 【答案】 【详解】易知的中点坐标为，且， 所以线段的垂直平分线的斜率为2， 可得所求直线方程为，即. 故答案为： 41．已知直线：的倾斜角为，则 . 【答案】 【详解】， ， 故答案为： 42．根据下列条件求直线的一般式方程． (1)直线的斜率为，且经过点； (2)斜率为，且在轴上的截距为； (3)经过两点, ； (4)在轴上的截距分别为． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）因为，且经过点， 由直线的点斜式方程可得， 整理可得直线的一般式方程为． （2）由直线的斜率，且在轴上的截距为 得直线的斜截式方程为． 整理可得直线的一般式方程为． （3）由直线的两点式方程可得， 整理得直线的一般式方程为 （4）由直线的截距式方程可得， 整理得直线的一般式方程为 题型七 直线过定点问题 43．若直线的斜率小于0，那么该直线不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【详解】直线过定点， 且斜率， 故该直线不经过第三象限. 故选：C. 44．设点，直线：，当点到的距离最大时，直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵直线：， ∴可将直线方程变形为， 由，解得， 由此可得直线恒过点， 当时，点到的距离最大时， ，则由，得. 故选：A. 45．设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是（    ） A．5 B．10 C． D． 【答案】A 【详解】容易知道动直线过定点为， 由可得，所过定点为， 由可知两条动直线互相垂直，即，因为， 所以， 所以，当且仅当时等号成立. 故选：A 46．若无论实数取何值，直线都经过一个定点，则该定点坐标为 . 【答案】 【详解】令，解得，故经过定点坐标为. 故答案为： 47．不论为何实数，直线恒过第 象限. 【答案】二 【详解】直线方程可变形为：， 由，求得， 直线过定点，因此直线必定过第二象限， 故答案为：二. 48．不论k为任何实数，直线恒过定点，若直线过此定点其m，n是正实数，则的最小值是 . 【答案】/ 【详解】直线即， 由题意，解得，即直线恒过点， 因为直线过此定点，其中m，n是正实数，所以， 则 ，当且仅当即时取等号， 所以的最小值是. 故答案为： 49．已知直线的方程为. (1)证明：不论为何值，直线过定点. (2)过（1）中点，且与直线垂直的直线与两坐标轴的正半轴所围成的三角形的面积最小时，求直线的方程. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【详解】（1）证明：直线的方程， 可整理为. 由，解得， 所以直线过定点. （2）由（1）知，直线过定点， 设过点且与直线垂直的直线方程为， 令，则. 令，则. 所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 50．已知直线l：．（其中a为参数，） (1)若不论x取何值，直线l恒过一定点A，求该定点A的坐标； (2)若直线l不过第二象限，求实数a的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由化为， 当时，无论a取何值都有． 所以直线l恒过定点． （2）由（1）知，直线l恒过定点，要使直线l不过第二象限， 故直线l过原点时倾斜角最小，且直线斜率恒正， 所以，只需直线的斜率，即. 题型八 由直线的位置关系求直线方程 51．已知两条直线和，以下说法正确的是（   ）. A． B．与重合 C． D．与的夹角为 【答案】A 【详解】依题意，，所以，与的夹角为， 故A正确，B、C、D错误. 故选：A 52．已知直线与直线互相平行，则实数的值（    ） A．-2 B．-2或1 C．2 D．1 【答案】A 【详解】由题意得，解得或， 当时，两直线都为，两直线重合，舍去； 当时，两直线分别为和，两直线平行，满足要求； 故选：A 53．已知直线，䒴，，则（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】B 【详解】已知直线， 由，得，且，解得， 由，得，故. 故选：B. 54．（多选）垂直于直线，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在轴上的截距是（    ） A．4 B． C．3 D． 【答案】CD 【详解】因为直线垂直于直线，可令直线， 所以直线与轴交点为，与轴交点为， 所以与两坐标轴围成的三角形的面积为， 所以，所以在轴上的截距为， 故选：CD 55．设直线l经过点，则当点与直线l的距离最远时，直线l的方程为 ． 【答案】 【详解】当直线时，点与直线的距离最大， 此时直线的斜率为， 所以直线的斜率为. 所以此时的方程为,即为. 故答案为：. 56．已知的顶点坐标分别是，，，为边的中点. (1)求中线的方程； (2)求经过点且与直线平行的直线方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由于，，故，而，故的方程是，即. （2）由于直线的斜率是，且不在直线上. 所以经过点且与直线平行的直线方程为，即. 57．（1）求过点且与直线平行的直线的方程； （2）求与直线垂直，且与两坐标轴围成的面积为的直线方程. 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）设直线的方程为， 将代入得，，解得， 故直线的方程为； （2）与直线垂直的直线设为， 中，令得，令得， 故，所以， 解得， 故直线方程为. 58．已知直线与直线的交点为． (1)求过点且与直线垂直的直线方程； (2)求过点且与直线平行的直线方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）联立方程与，解得，，故， 而的斜率为，故所求直线斜率为， 则所求直线方程为，化简得. （2）易知的斜率为，故所求直线斜率为， 则所求直线方程为，化简得. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$