广东省珠海市第一中学2023-2024学年高二下学期数学期末模拟试卷

2023-2024学年高二数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．某运动物体的位移s（单位：米）关于时间t（单位：秒）的函数关系式为，则该物体在秒时的瞬时速度为（    ） A．10米/秒 B．9米/秒 C．7米/秒 D．5米/秒 2．展开式中项的系数为 A． B． C． D． 3．某莲藕种植塘每年的固定成本是3万元，每年最大规模的种植量是15万斤，每种植1斤莲藕，成本增加1元，销售额（单位：万元）与莲藕种植量（单位：万斤）满足，要使销售利润最大，每年需种植莲藕（    ） A．12万斤 B．10万斤 C．8万斤 D．6万斤 4．4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，仅有两人报同一项目的报名方法种数为（    ） A．18 B．24 C．30 D．36 5．已知函数在定义域内可导，的大致图象如图所示，则其导函数的大致图象可能为（    ） A．B．C． D． 6．2020年12月4日，中国科学技术大学宣布该校潘建伟等科学家成功构建光子的量子计算原型机“九章”，求解数学算法“高斯玻色取样”只需要秒，而目前世界最快的超级计算机要用亿年，这一突破使我国成为全球第二个实现“量子优越性”的国家.“九章”求得的问题名叫“高斯玻色取样”，通俗的可以理解为量子版本的高尔顿钉板，但其实际情况非常复杂.高尔顿钉板是英国生物学家高尔顿设计的，如图，每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子，上一层的每个钉子水平位置恰好位于下一层的两颗钉子的正中间，从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间距离的白色圆玻璃球，白球向下降落的过程中，首先碰到最上面的钉子，碰到钉子后皆以二分之一的概率向左或向右滚下，于是又碰到下一层钉子.如此继续下去，直到滚到底板的一个格子内为止.现从入口放进一个白球，则其落在第③个格子的概率为 A． B． C． D． 7．2024年3月16日下午3点，在贵州省黔东南苗族侗族自治州榕江县“村超”足球场，伴随平地村足球队在对阵口寨村足球队中踢出的第一脚球，2024年第二届贵州“村超”总决赛阶段的比赛正式拉开帷幕.某校足球社的五位同学准备前往村超球队所在村寨调研，将在第一天前往平地村、口寨村、忠诚村，已知每个村至少有一位同学前往，五位同学都会进行选择并且每位同学只能选择其中一个村，若学生甲和学生乙必须选同一个村，则不同的选法种数是（    ） A．18 B．36 C．54 D．72 8．设，其中是自然对数的底数，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．随机变量服从正态分布，则下述正确的是（    ） A． B． C． D． 10．不透明袋子中装有5个编号为的小球，这5个小球除编号外其余完全相同，从袋子中随机取出3个小球，记取出的3个小球的编号之和为，编号之积为，则（    ） A．是3的倍数的概率为0.4 B．是3的倍数的概率为0.6 C．是3的倍数的概率为0.4 D．是3的倍数的概率为0.6 11．设函数，则（    ） A．当时，直线不是曲线的切线 B．当时，函数有三个零点 C．若有三个不同的零点，，，则 D．若曲线上有且仅有四点能构成一个正方形，则 三、填空题 12．随机变量X的取值为0、1、2，P（X＝0）＝0.2，DX＝0.4，则P（X＝1）＝ ；若Y＝2X，则DY＝ ． 13．如图所示，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每隔等可能地向左或向右移动一个单位，共移动5次.该质点在有且仅有一次经过位置的条件下，共经过两次1位置的概率为 . 14．已知函数的定义域为，其导函数是.若恒成立，则关于的不等式的解集为 . 四、解答题 15．一组学生共有6人，其中3名男生和3名女生． (1)如果从中选出3人参加一项活动，共有多少种选法？ (2)如果从中选出4人分别参加数学、物理、化学、生物学科竞赛，其中男生甲不能参加数学竞赛，女生乙不能参加物理竞赛，共有多少种选法？ (3)如果从中选出男生2人，女生2人，参加三项不同的活动，要求每人参加一项且每项活动都有人参加的选法有多少种？ 16．已知在的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是14∶1． (1)求展开式中的系数； (2)求展开式中系数绝对值最大的项； (3)求的值. 17．已知函数． (1)若函数的图象在点处的切线与直线垂直，求的单调递增区间； (2)若函数在上为增函数，求实数k的取值范围． 18．甲、乙两人进行知识答题比赛，每答对一题加20分，答错一题减20分，且赛前两人初始积分均为60分，两人答题相互独立．已知甲答对每题的概率均为，乙答对每题的概率均为，且某道题两人都答对的概率为，都答错的概率为． (1)求，的值； (2)乙回答3题后，记乙的积分为，求的分布列和期望． 19．已知函数. (1)当时，恒成立，求的取值范围； (2)设，证明：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 参考答案： 1．B 【分析】利用导数的物理意义，即可计算瞬时速度. 【详解】由，得，则物体在秒时的瞬时速度米/秒. 故选：B 2．D 【详解】因为，令，可得项的系数为. 考查二项式定理展开式中特定项问题，解决此类问题主要是依据二项展开式的通项 3．A 【分析】写出销售利润，求导得到函数单调性和最值，得到答案. 【详解】设销售利润为， 则， 所以， 令得，令得， 可知在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，销售利润最大. 故选：A 4．D 【分析】由题意先分组再排列即可得解. 【详解】由题意，四名同学分为三组，其中一组2人，安排报名3个项目即可， 共有种不同的方法. 故选：D 5．B 【分析】根据给定函数的图象，确定函数的单调性，再探讨导函数的正负及零点个数可得答案. 【详解】观察图象知，当时，先单调递减，再单调递增， 则先为负数，再为正数， 在当时，先单调递增，再单调递减，最后单调递增， 所以先为正数，再为负数，最后为正数， 故只有B选项符合. 故选：B. 6．C 【分析】小球从起点到第③个格子一共跳了7次，其中要向右边跳动2次，由二项分布概率即可求解. 【详解】小球从起点到第③个格子一共跳了7次，其中要向左边跳动5次，向右边跳动2次，而向左或向右的概率均为，则向右的次数服从二项分布，所以所求的概率为 故答案为：C. 【点睛】本题的解题关键是判断小球向右边跳动的次数服从二项分布. 7．B 【分析】分和两种情况，分别求出不同的选法再相加即可. 【详解】若五位同学最终选择为，先选择一位同学和学生甲和学生乙组成3人小组， 剩余两人各去一个村，进行全排列，此时有种选择， 若五位同学最终选择为，将除了甲乙外的三位同学分为两组，再进行全排列， 此时有种选择， 综上，共有种选择. 故选：B 8．C 【分析】先构造函数得到，判断出，由二项式定理判断出，比较出a、b；对于a、c，构造函数，利用单调性证明出，即可得到答案. 【详解】记，则， 所以在上单调递减，所以，所以在上， 所以， 又单调递增，所以， 所以，即， 而由二项式定理得： ， 对于a、c，由，， 记，则， 所以在上单调递增，所以， 所以，所以. 综上所述：. 故选：C. 【点睛】方法点睛：比较大小： （1）结构相同的，构造函数，利用函数的单调性比较大小； （2）结构不同的，寻找“中间桥梁”，通常与0、1比较； （3）根据式子结构，构造新函数，利用导数判断单调性，比较大小. 9．AC 【分析】利用随机变量正态分布的性质逐一判断即可. 【详解】由随机变量服从正态分布， 所以，， 所以，，故A正确；B错误； 根据正态分布密度曲线的对称性， ， ， 即 所以， 故C正确；D错误； 故选：AC 【点睛】本题考查了正态分布密度曲线的性质，掌握性质是解题的关键，属于基础题. 10．AD 【分析】根据题意计算取出3个小球的所有可能性，再找出编号之和是3的倍数和编号之积是3的倍数的情况，然后求其概率. 【详解】从5个小球中随机取出3个，共有种不同的取法， 其中编号之和是3的倍数的有，共4种不同的取法， 编号之积是3的倍数的有6种不同的取法， 故是3的倍数的概率为， 是3的倍数的概率为. 故选：AD. 11．BCD 【分析】求导即可判断A，由函数的单调性结合三次函数的图像特征即可判断B，结合零点的定义代入计算，即可判断C，由正方形的特点结合导数的运算即可判断D 【详解】当时，，则，则， 则曲线在点处的切线方程为，故选项错误. 当时，，则， 当和时，，单调递增， 时，，单调递减. 又因为，，结合三次函数的图像特征， 此时，有三个零点，故B选项正确. 设的三个零点分别为，，， 则有， 展开后比对含项的系数，可得，故选项C正确. 当时，易知在上单调递增， 结合图像知不符合题意，故. 因为， 因此函数的图像关于点成中心对称图形. 则此正方形必以为中心， 不妨设正方形的四个顶点分别为A，，，， 其中一条对角线的方程为，则， 即，解得，则， 同理可得. 由得， 根据题意，方程只有一个正解， 当时，显然不成立. 故，则， 因为，则，设，则.设， 根据题意，只需要直线与函数的图像只有唯一的公共点即可. 结合双勾函数的图像可得，解得.所以选项D正确. 故选：BCD 【点睛】关键点睛：对于选项D：根据函数对称性，结合正方体分析可知只有一个正解，进而可得结果. 12． 0.6 1.6 【解析】设P（X＝1）＝x，则P（X＝2）＝0.8﹣x，0≤x≤0.8，则EX＝0×0.2+x+2（0.8﹣x）＝1.6﹣x，通过DX，解得x，由此能求出P（X＝1）以及DY． 【详解】∵随机变量X的取值为0、1、2，P（X＝0）＝0.2，DX＝0.4， ∴设P（X＝1）＝x，则P（X＝2）＝0.8﹣x，0≤x≤0.8， 则EX＝0×0.2+x+2（0.8﹣x）＝1.6﹣x， DX＝（x﹣1.6）2×0.2+（x﹣0.6）2x+（x+0.4）2（0.8﹣x）＝0.4， 整理，得：x2﹣0.2x﹣0.24＝0， 解得x＝0.6或x＝﹣0.4（舍），P（X＝1）＝0.6， ∴EX＝1.6﹣x＝1.6﹣0.6＝1．D（Y）＝D（2X）＝4D（X）＝1.6 故答案为：0.6；1.6． 【点睛】本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查随机变量的分布列、数学期望、方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 13．/ 【分析】设事件“有且仅有一次经过”，事件“共经过两次位置1”，分1步到位为事件，3步到位为事件和5步到位为事件，三种情况讨论，结合独立事件的概率乘法公式，求得，再利用列举法求得，利用条件概率的计算公式，即可求解. 【详解】设事件“有且仅有一次经过”，事件“共经过两次位置1”， 按到位置需要1步，3步，5步分类讨论.记向左，向右， ①若1步到位为事件，则满足要求的是，（第5步无关），，（第5步无关），所以； ②若3步到位为事件，则满足要求的是， 所以； ③若5步到位为事件，则满足要求的是， 所以， 所以 满足的情况有：，，，，,所以 所以. 故答案为： 14． 【分析】构造函数，利用导数判断函数在定义域内为单调递增，将不等式转化为，利用函数的单调性即可求解. 【详解】由题意可知，令，则， 所以在定义域内单调递增. 因为， 所以关于的不等式可化为， 即. 因为，所以， 即不等式的解集为. 故答案为：. 15．(1) (2) (3) 【分析】（1）从6个学生中任选3人，不需考虑顺序，利用组合数求解即可； （2）由所有安排方法减去男生甲参加数学竞赛的安排方法和女生乙参加物理竞赛的安排方法，再加上男生甲参加数学竞赛且女生乙参加化学竞赛的安排方法即可； （3）先求出从6个学生中选2名男生和2名女生的选法，再求将4人安排到三个不同活动的方法数，再由分步乘法计数原理求解. 【详解】（1）所有的不同选法种数，就是从6名学生中选出3人的组合数， 所以选法种数为． （2）从6人中任选4人分别参加数学、物理、化学、生物学科竞赛的安排方法有种方法， 其中男生甲被安排到参加数学竞赛的安排方法有种， 女生乙被安排到参加物理竞赛的安排方法有种， 男生甲参加数学竞赛且女生乙参加物理竞赛的安排方法有种， 所以满足要求的安排方法有种， （3）从6个学生中选2名男生和2名女生的选法有种， 将所选四人安排参加三项活动的安排方法有种方法， 根据分步计数原理得共有 16．(1) (2) (3) 【分析】（1）求出展开式的通项，根据题意求得，再令的指数等于6，即可得出答案； （2）设第项系数的绝对值最大，则，求出，从而可得出答案； （3）原式再根据二项式定理即可得出答案. 【详解】（1）解：的展开式的通项为， 由题意得，解得， 即的展开式的通项为， 令，得， 所以的系数为； （2）解：设第项系数的绝对值最大， 则，解得， 于是只能为6， 所以系数绝对值最大的项为； （3）解：原式． 17．(1)， (2) 【分析】 （1）求导，根据直线垂直得，即可得，进而根据导数正负即可确定函数的单调性， （2）根据导数恒为正，可将问题转化为在区间上恒成立，构造函数，利用基本不等式即可求解最值. 【详解】（1） 的定义域为，， 由题意可知，解得， 所以． 由，得或， 所以函数的单调递增区间是，； （2） 函数的定义域为，要使函数在定义域内为增函数， 只需在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 即在区间上恒成立. 令， ， 则，当且仅当时等号成立， 所以，即实数的取值范围为． 18．(1)， (2)分布列见解析， 【分析】（1）借助相互独立事件的乘法公式可得方程组，解出该方程组即可得； （2）得出的所有可能取值后计算相应概率即可得分布列，借助分布列计算即可得其期望. 【详解】（1）由题意可得，解得； （2）的可能取值为， ，， ，， 则其分布列为： . 19．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题意得，构造函数，然后利用导数求出其最小值即可； （2）由（1）得在上恒成立，当且仅当时，等号成立，令，则可得，再利用累加法和放缩法可证得结论. 【详解】（1）解：当时，等价于. 令，则. 令，则. 当时，单调递增，则， 从而在上恒成立，则在上单调递增， 故，所以， 所以的取值范围为. （2）证明：令，由（1）可得，在上恒成立，当且仅当时，等号成立. 令，则，则，即. 因为， 所以. 【点睛】关键点点睛：此题考查利用导数解不等式恒成立问题，考查利用导数证明不等式，第（2）问解题的关键是令结合（1）得，考查转化思想和计算能力，属于较难题. 学科网（北京）股份有限公司 $$