精品解析：2024年广西壮族自治区钦州市共美学校九年级中考三模数学试题

九年级数学 一、选择题（本大题共12小题，共36分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 的倒数是（ ） A B. C. D. 2. 下面一些车标图形中，能够通过基本图形平移得到的图形是（ ） A. B. C. D. 3. 去年某市有万名学生参加联招考试，为了了解他们的数学成绩，从中抽取2000名考生的数学成绩进行统计分析，下列说法错误的是（ ） A. 个体是每名考生的数学成绩 B. 万名学生是总体 C. 2000是样本容量 D. 2000名考生的数学成绩是总体的一个样本 4. 如图，直线相交于点， ， 若， 则等于（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 反比例函数图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 7. 有四根细木棒，长度分别为，，，，则随机抽出三根木棒，能够组成三角形的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将三角形AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到三角形A'OB'，若∠AOB=21°，则∠AOB′度数是（　　） A. 21° B. 24° C. 45° D. 66° 9. 如图，在中，点在边上，连接并延长交的延长线于点．若，则与的周长之比为（ ） A. B. C. D. 10. 《九章算术》是我国传统数学的重要著作之一，奠定了我国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”大意：有一形状是矩形的门，它的高比宽多6尺8寸，它的对角线长1丈，问它的高与宽各是多少？利用方程思想，设矩形门高为尺，则依题意所列方程为（1丈尺，1尺寸）（ ） A. B. C. D. 11. 在平面直角坐标系中，二次函数的图像如图所示，以下结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 若为任意实数，则 12. 小明和爸爸从家里出发，沿同一路线到学校．小明匀速跑步先出发，2分钟后，爸爸骑自行车出发，匀速骑行一段时间后，在途中商店购买水果花费了5分钟，这时发现小明已经跑到前面，爸爸骑车速度增加60米/分钟，结果与小明同时到达学校．小明和爸爸两人离开家的路程s（米）与爸爸出发时间t（分钟）之间的函数图象如图所示．则下列说法错误的是（　　） A. a＝15 B. 小明的速度是150米/分钟 C. 爸爸从家到商店的速度为200米/分钟 D. 爸爸出发7分钟追上小明 二、填空题（本大题共6小题，共12分） 13. 若分式有意义，则x的取值范围是___________． 14. 因式分解： ________． 15. 如图，AB是半圆O的直径，∠ABD＝35°，点C是上的一点，则∠C=_______ 度． 16. 设，为有理数，定义新运算：．例如：，若，则值为________． 17. 某种型号飞机着陆后滑行的距离为s(米)，所用的滑行时间为t(秒)，已知s关于t的函数解析式为，则飞机着陆后的最远滑行距离是______________． 18. 如图、、在上，连接、、，若，劣弧的度数是，．则图中阴影部分的面积是 __． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 19. 计算题： 20. 先化简代数式，再从，，三个数中选一个恰当的数作为的值代入求值． 21. 如图，已知平面直角坐标系中，点、、．请按如下要求画图： （1）将绕点逆时针旋转得到，请画出； （2）以点为位似中心，位似比为，将在位似中心的异侧进行放大得到，请画出； （3）内部一点的坐标为，写出在中的对应点的坐标． 22. 我国大力发展职业教育，促进劳动力就业．某职业教育培训中心开设：A（旅游管理）、B（信息技术）、C（酒店管理）、D（汽车维修）四个专业，对某中学有参加培训意向的学生进行随机抽样调查，每个被调查的学生必须从这四个专业中选择一个且只能选择一个，该培训中心将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据图中信息解答下列问题： （1）本次被调查的学生有________人；扇形统计图中A（旅游管理）专业所对应的圆心角的度数为________ （2）请补全条形统计图，若该中学有名学生有培训意向，请估计该中学选择“信息技术”专业意向的学生有多少人？ （3）从选择D（汽车维修）专业的甲、乙、丙、丁四名同学中随机抽取两人去某汽车维修店观摩学习．请用列表法或画树状图的方法求出恰好抽到甲、丙两名同学的概率． 23. 如图（1）是我国明末《崇祯历书》之《割圆勾股八线表》中所绘的割圆八线图，如图（），将图（）中的丙、戊、乙、庚、辛、丁点分别表示、、、、、，扇形的圆心角为，切弧所在的于点，交于点． （1）证明：是弧所在的的切线； （2）若，扇形的半径为，求线段的长． 24. 钦州老街已经被打造成为广西一个重要的旅游休闲街区，不仅有各式传统文化遗物向游人诉说着历史，更有新兴的现代手工制品吸引着世人的目光，现老街某文创专卖店在旅游文化节期间准备购进甲、乙两种坭兴陶水杯，其中乙种坭兴陶水杯的进价比甲种坭兴陶水杯的进价少元，已知甲种坭兴陶水杯的售价为每个元，乙种坭兴陶水杯的售价为每个元，若用元购进甲种坭兴陶水杯的数量与用元购进乙种坭兴陶水杯的数量相同． （1）求甲、乙两种坭兴陶水杯每个的进价； （2）要使购进的甲、乙两种坭兴陶水杯共个的总利润不超过元，且甲坭兴陶水杯至少个，问该文创专卖店有几种进货方案； （3）文创专卖店准备对甲种坭兴陶水杯进行价格调整，甲种坭兴陶水杯每星期可卖出个，市场调查反映，如调整价格，甲种坭兴陶水杯每降价元，每星期可多卖出个，乙种坭兴陶水杯售价不变，若该专卖店一星期要购进甲、乙共个坭兴陶水杯且全部售出，如何给甲种坭兴陶水杯定价才能使一星期总利润最大？ 25. 【综合与探究】如图①是2023年11月份的日历，小乐在其中画出一个的方框（粗线框），框住九个数，计算其中位置如图②所示的四个数“”的值，探索其运算结果的规律． （1）初步分析：计算图①中的结果为________． 将的方框移动到图①中的其他位置，通过计算可以发现的值均为0． （2）数学思考：小乐认为（1）中猜想正确，其推理的过程如下，请你将其补充完整． 解：设，则，，________． （ ）=________． ∴的值均为0． （3）开放性拓广探究：同学们利用小乐的方法，借助图①中的日历，继续进行如下探究．请从下列A，B两题中任选一题作答． A．在日历中用“Z型框”框住位置如图③所示的四个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由； B．任日历中用“Y型框”框住位置如图④所示的四个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由． 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 a b c d a b c d a b c d 图① 图② 图③ 图④ 26. （1）证明推断如图1，在中，，，是边上的高，点E是边上一点，连接，过点A作的垂线，垂足为F，交于点G． ①求证：； ②的值为________； （2）类比探究如图2，在中，，，是边上高，点E是边上一点，连接，过点A作的垂线，垂足为F，交于点G．探究的值（用含m的式子表示），并写出探究过程； （3）拓展运用在（2）的条件下，连接，当，平分时，若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级数学 一、选择题（本大题共12小题，共36分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据倒数的定义：如果两个数的乘积为1，那么这两个数互为倒数，进行求解即可 【详解】解：∵， ∴的倒数是， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了求一个数的倒数，熟知倒数的定义是解题的关键． 2. 下面一些车标图形中，能够通过基本图形平移得到的图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是利用平移设计图案，熟知图形平移的不变性的性质是解答此题的关键． 根据图形平移的性质即可得出结论． 【详解】解：由图可知，A、B、D不能通过基本图形平移得到，C能够通过基本图形平移得到． 故选：C． 3. 去年某市有万名学生参加联招考试，为了了解他们的数学成绩，从中抽取2000名考生的数学成绩进行统计分析，下列说法错误的是（ ） A. 个体是每名考生的数学成绩 B. 万名学生是总体 C. 2000是样本容量 D. 2000名考生的数学成绩是总体的一个样本 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，掌握总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位是关键． 总体是指考察的对象的全体，个体是总体中的每一个考察的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考察的对象．从而找出总体、个体． 【详解】解：A、个体是每名考生的数学成绩，故说法正确，不符合题意； B、5.6万名考生数学成绩是总体，故说法错误，符合题意； C、2000是样本容量，故说法正确，不符合题意； D、2000名考生的数学成绩是总体的一个样本，故说法正确，不符合题意． 故选：B． 4. 如图，直线相交于点， ， 若， 则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意先根据补角的定义求出∠BEC的度数，再由平行线的性质即可得出结论． 【详解】解：∵∠AEC=110°， ∴∠BEC=180°-110°=70°． ∵DF∥AB， ∴∠D=∠BCE=70°． 故选：A． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，注意掌握两直线平行，同位角相等这一平行线的性质． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的除法，积的乘方，合并同类项，幂的乘法，按照以上知识进行计算即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项正确，符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 6. 反比例函数图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，将各选项中的横坐标代入，判断y值是否等于纵坐标即可． 【详解】解：A，当时，，在反比例函数图象上，符合题意； B，当时，，不在反比例函数图象上，不合题意； C，当时，，不在反比例函数图象上，不合题意； D，当时，，不在反比例函数图象上，不合题意； 故选A． 7. 有四根细木棒，长度分别为，，，，则随机抽出三根木棒，能够组成三角形的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了列举法求概率、三角形的三边关系的应用等知识点，先利用列举法得到所有四种可能的结果数，再根据三角形三边的关系得到能够组成三角形的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：从四根细木棒中随机抽出三根木棒，所有结果为①；②；③；④，其中④满足三角形的三边关系能够组成三角形，所有能够组成三角形的概率为． 故选：C． 8. 如图，将三角形AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到三角形A'OB'，若∠AOB=21°，则∠AOB′的度数是（　　） A. 21° B. 24° C. 45° D. 66° 【答案】B 【解析】 【分析】由旋转的性质可得∠AOB=∠A'OB'=21°，∠A'OA=45°，可求∠AOB′的度数． 【详解】解：∵将三角形AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到三角形A'OB'， ∴∠AOB=∠A'OB'=21°，∠A'OA=45° ∴∠AOB'=∠A'OA-∠A'OB'=24°． 故选B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 9. 如图，在中，点在边上，连接并延长交的延长线于点．若，则与的周长之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得，可知，再根据，得，可知与的周长之比为， 详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， 与的周长之比为． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的基本模型是解题的关键． 10. 《九章算术》是我国传统数学的重要著作之一，奠定了我国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”大意：有一形状是矩形的门，它的高比宽多6尺8寸，它的对角线长1丈，问它的高与宽各是多少？利用方程思想，设矩形门高为尺，则依题意所列方程为（1丈尺，1尺寸）（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，勾股定理，矩形的性质，设矩形门高为尺，则矩形门宽为尺，再根据勾股定理结合对角线的长为1丈列出方程即可． 【详解】解：设矩形门高为尺，则矩形门宽为尺， 由题意得，， 故选：B． 11. 在平面直角坐标系中，二次函数的图像如图所示，以下结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 若为任意实数，则 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的图象判断的符号，根据抛物线与轴的交点即可判断B,C选项，根据抛物线开口向上，对称轴为直线，得出最小值为，进而即可求解． 【详解】解：抛物线开口向上，则， 抛物线的对称轴为直线，则 ∴， 抛物线与轴交于负半轴，则 ∴，故A选项错误； ∵当时，， ∴ ∴，故B正确 ∵抛物线的对称轴为直线，和时， ∴，故C错误； ∵，对称轴为直线 ∴若为任意实数，则，即，故D错误， 故选：B． 12. 小明和爸爸从家里出发，沿同一路线到学校．小明匀速跑步先出发，2分钟后，爸爸骑自行车出发，匀速骑行一段时间后，在途中商店购买水果花费了5分钟，这时发现小明已经跑到前面，爸爸骑车速度增加60米/分钟，结果与小明同时到达学校．小明和爸爸两人离开家的路程s（米）与爸爸出发时间t（分钟）之间的函数图象如图所示．则下列说法错误的是（　　） A. a＝15 B. 小明的速度是150米/分钟 C. 爸爸从家到商店的速度为200米/分钟 D. 爸爸出发7分钟追上小明 【答案】D 【解析】 【分析】利用到商店时间+停留时间可确定A，利用爸爸所用时间+2分与路程3300米可求小明速度可确定B，利用设爸爸开始时车速为x米/分，列方程10x+5(x+60)=3300，解出可确定C，利用小明和爸爸行走路程一样，设t分爸爸追上小明，列方程150（t+2）=200t，求解可知D． 【详解】解：A．a＝10+5=15，故A正确，不合题意； B．小明的速度为3300÷22=150米/分，故B正确，不合题意； C．设爸爸开始时车速为x米/分，10x+5(x+60)=3300，解得x=200米/分，故爸爸从家到商店的速度为200米/分钟正确，不合题意； D．设t分爸爸追上小明，150（t+2）=200t，t=6，故爸爸出发7分钟追上小明不正确， 故选择：D． 【点睛】本题考查行程问题的函数图像，会看图像，能从中获取信息，掌握速度，时间与路程三者关系，把握基准时间是解题关键． 二、填空题（本大题共6小题，共12分） 13. 若分式有意义，则x的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件为分母不为零，列不等式解不等式即可求解． 【详解】解：由题意可得， 解得， 故答案为． 【点睛】本题考查分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键． 14. 因式分解： ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，根据提公因式因式分解，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 15. 如图，AB是半圆O的直径，∠ABD＝35°，点C是上的一点，则∠C=_______ 度． 【答案】125 【解析】 【分析】先由已知求得的大小，进而由圆的内接四边形的性质可直接求得答案． 【详解】解：∵AB是半圆O的直径 ∴ ∵∠ABD＝35° ∴ ∴ 故答案为：125． 【点睛】本题考查圆的内接四边形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 16. 设，为有理数，定义新运算：．例如：，若，则的值为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查新定义，解一元一次方程，根据新定义列方程求解即可． 【详解】解：，， ， ， ， 或． 故答案为：或． 17. 某种型号飞机着陆后滑行的距离为s(米)，所用的滑行时间为t(秒)，已知s关于t的函数解析式为，则飞机着陆后的最远滑行距离是______________． 【答案】600米 【解析】 【分析】将化为顶点式，即可求得s的最大值，从而可以解答本题． 【详解】解：； ∴当时，s取最大值，最大值为． 故答案为：600米． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，会将二次函数的一般式化为顶点式，根据顶点式求函数的最值． 18. 如图、、在上，连接、、，若，劣弧的度数是，．则图中阴影部分的面积是 __． 【答案】## 【解析】 【分析】先求出，，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出的度数，解直角三角形求出长，再分别求出扇形和的面积即可． 【详解】解：，劣弧的度数是， ，，， ， ， ， ， 解得：， 阴影部分面积 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查求不规则图形的面积，解决问题的关键是把不规则图形转化为扇形面积减去直角三角形的面积． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 19. 计算题： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据有理数的乘方，算术平方根，零指数幂，进行计算即可求解． 【详解】解： 20. 先化简代数式，再从，，三个数中选一个恰当的数作为的值代入求值． 【答案】； 【解析】 【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后根据分式有意义的条件确定的值，将字母的值代入求解． 【详解】解： ， ∵，， ∴当时，原式 【点睛】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解． 21. 如图，已知在平面直角坐标系中，点、、．请按如下要求画图： （1）将绕点逆时针旋转得到，请画出； （2）以点为位似中心，位似比为，将在位似中心的异侧进行放大得到，请画出； （3）内部一点的坐标为，写出在中的对应点的坐标． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了利用位似变换作图，利用旋转变换作图，旋转的性质； （1）根据网格结构找出点绕点逆时针旋转的对应点的位置，然后顺次连接即可； （2）根据位似的性质，找到，顺次连接，即可求解； （3）根据旋转的性质即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求 【小问3详解】 解：如图所示， 过点分别作轴的垂线，垂足分别为， ∴ ∵ ∴， ∵， ∴ 又 ∴ ∴ 当，时，在第四象限，在第一象限， ∴ 当时，在第一象限，在第二象限， ∴， 综上所述， 22. 我国大力发展职业教育，促进劳动力就业．某职业教育培训中心开设：A（旅游管理）、B（信息技术）、C（酒店管理）、D（汽车维修）四个专业，对某中学有参加培训意向的学生进行随机抽样调查，每个被调查的学生必须从这四个专业中选择一个且只能选择一个，该培训中心将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据图中信息解答下列问题： （1）本次被调查的学生有________人；扇形统计图中A（旅游管理）专业所对应的圆心角的度数为________ （2）请补全条形统计图，若该中学有名学生有培训意向，请估计该中学选择“信息技术”专业意向的学生有多少人？ （3）从选择D（汽车维修）专业的甲、乙、丙、丁四名同学中随机抽取两人去某汽车维修店观摩学习．请用列表法或画树状图的方法求出恰好抽到甲、丙两名同学的概率． 【答案】（1）200； （2）见解析；900 （3） 【解析】 【分析】本题考查的是条形统计图与扇形统计图、用树状图法求概率． （1）由选择专业的人数除以所占百分比即可求出总数，由乘以选择（旅游管理）专业的人数所占的比例即可得出扇形统计图中（旅游管理）专业所对应的圆心角的度数； （2）求出专业的人数，补全条形统计图即可，根据该中学选择“信息技术”专业意向的学生所占比例估计实际人数； （3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两名同学的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 本次被调查的学生有：（人）； （2）扇形统计图中，（旅游管理）专业所对应的圆心角的度数为：， 故答案为：200；； 【小问2详解】 条形统计图中，（信息技术）专业的人数为：（人）， 补全条形统计图如下： 若该中学有300名学生有培训意向，估计该中学选择“信息技术”专业意向的学生有（人）， 答：估计该中学选择“信息技术”专业意向的学生有人 【小问3详解】 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两名同学的结果有2种， ∴恰好抽到甲、乙两名同学的概率为． 23. 如图（1）是我国明末《崇祯历书》之《割圆勾股八线表》中所绘的割圆八线图，如图（），将图（）中的丙、戊、乙、庚、辛、丁点分别表示、、、、、，扇形的圆心角为，切弧所在的于点，交于点． （1）证明：是弧所在的的切线； （2）若，扇形的半径为，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质得出，则，即可得出是弧所在的的切线 （）根据得出，由可知，根据切线的性质得出，则，得出，根据平行线的性质可得，在中：，求得，进而即可求解． 【小问1详解】 解：证明：，， ， ， 又点是半径的外端点， 是弧所在的的切线 【小问2详解】 ， ， 切弧于点， ， ， ， 在中：， ， ． 【点睛】本题考查了切线的系数，解直角三角形，掌握以上知识熟练掌握是解题的关键． 24. 钦州老街已经被打造成为广西一个重要的旅游休闲街区，不仅有各式传统文化遗物向游人诉说着历史，更有新兴的现代手工制品吸引着世人的目光，现老街某文创专卖店在旅游文化节期间准备购进甲、乙两种坭兴陶水杯，其中乙种坭兴陶水杯的进价比甲种坭兴陶水杯的进价少元，已知甲种坭兴陶水杯的售价为每个元，乙种坭兴陶水杯的售价为每个元，若用元购进甲种坭兴陶水杯的数量与用元购进乙种坭兴陶水杯的数量相同． （1）求甲、乙两种坭兴陶水杯每个的进价； （2）要使购进的甲、乙两种坭兴陶水杯共个的总利润不超过元，且甲坭兴陶水杯至少个，问该文创专卖店有几种进货方案； （3）文创专卖店准备对甲种坭兴陶水杯进行价格调整，甲种坭兴陶水杯每星期可卖出个，市场调查反映，如调整价格，甲种坭兴陶水杯每降价元，每星期可多卖出个，乙种坭兴陶水杯售价不变，若该专卖店一星期要购进甲、乙共个坭兴陶水杯且全部售出，如何给甲种坭兴陶水杯定价才能使一星期总利润最大？ 【答案】（1）甲、乙两种坭兴陶水杯每个的进价分别为元和元 （2）种 （3）甲种坭兴陶水杯定价为117元时能使一星期总利润最大 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，二次函数的应用．熟练掌握分式方程的应用，一元一次不等式的应用，二次函数的应用是解题的关键． （1）设乙种坭兴陶水杯的进价为x元，则甲种坭兴陶水杯的进价为元，依题意得：，计算求出满足要求的解，然后求解作答即可； （2）设购进甲种坭兴陶水杯a个，则购进乙种坭兴陶水杯个，依题意列出不等式组，计算求解，然后作答即可； （3）设甲种坭兴陶水杯降了y元，则每星期可多卖出个，且，该文创专卖店一星期的总利润为w元， 依题意得，，整理得：，根据二次函数的图象与性质求解作答即可． 【小问1详解】 解：设乙种坭兴陶水杯的进价为x元，则甲种坭兴陶水杯的进价为元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解且满足题意， ∴（元）， 答：甲、乙两种坭兴陶水杯每个的进价分别为元和元． 【小问2详解】 解：设购进甲种坭兴陶水杯a个，则购进乙种坭兴陶水杯个， 依题意得，， 解得：， ∵a为正整数， ∴该文创专卖店有种进货方案； 【小问3详解】 解：设甲种坭兴陶水杯降了y元，则每星期可多卖出个，且，该文创专卖店一星期的总利润为w元， 依题意得，， 整理得：， ∵， ∴当时，w有最大值， 此时，甲种坭兴陶水杯的售价为：（元）， ∴甲种坭兴陶水杯定价为117元时能使一星期总利润最大． 25. 【综合与探究】如图①是2023年11月份的日历，小乐在其中画出一个的方框（粗线框），框住九个数，计算其中位置如图②所示的四个数“”的值，探索其运算结果的规律． （1）初步分析：计算图①中的结果为________． 将的方框移动到图①中的其他位置，通过计算可以发现的值均为0． （2）数学思考：小乐认为（1）中猜想正确，其推理的过程如下，请你将其补充完整． 解：设，则，，________． （ ）=________． ∴的值均为0． （3）开放性拓广探究：同学们利用小乐的方法，借助图①中的日历，继续进行如下探究．请从下列A，B两题中任选一题作答． A．在日历中用“Z型框”框住位置如图③所示的四个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由； B．任日历中用“Y型框”框住位置如图④所示的四个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由． 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 a b c d a b c d a b c d 图① 图② 图③ 图④ 【答案】（1）0 （2）；；0 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了数字类规律探索，整式的加减， （1）根据图形规律即可求解； （2）设，则，，，根据数量关系列出算式计算即可求解； （3）A．设，则，，，根据数量关系列出算式计算即可求解；B．设，则，，，根据数量关系列出算式计算即可求解； 【小问1详解】 解：， 将的方框移动到图1中的其他位置，通过计算可以发现的值均为0， 故答案：0 【小问2详解】 设，则，，， ． 所以，的值均为0， 故答案为：；；0； 【小问3详解】 A．的值均为0， 理由：设，则，，， ， 所以，的值均为0 B．的值均为， 理由：设，则，，， ， 所以，的值均为． 26. （1）证明推断如图1，在中，，，是边上的高，点E是边上一点，连接，过点A作的垂线，垂足为F，交于点G． ①求证：； ②的值为________； （2）类比探究如图2，在中，，，是边上的高，点E是边上一点，连接，过点A作的垂线，垂足为F，交于点G．探究的值（用含m的式子表示），并写出探究过程； （3）拓展运用在（2）的条件下，连接，当，平分时，若，求的长． 【答案】（1）①见解析；②1；（2），证明见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）①根据等腰直角三角形的性质，得到，，再利用对顶角相等和三角形内角和定理，得出，即可证明； ②根据全等三角形的性质，得到，即可求出答案； （2）根据垂线和三角形内角和定理，得到，，进而证明，得到，再根据的正切值，得出，即可求出的值； （3）根据已知条件，证，得到，，设，，则，由勾股定理求得，进而得出，再根据，求出，从而得到，，，然后利用的正弦值，求出，由勾股定理求出，，最后利用直角三角形斜边中线等于斜边一半，即可求出的长． 【详解】解：（1）①，， 是等腰直角三角形， 是边上的高， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； ②， ， ； 故答案为：； 解：（2）是边上的高， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）， ， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， 设，，则， 由勾股定理得：， ， ， ， ， ，，， ， ， ， 在中，， ， 在中，， 中，是的中点， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用相关知识点解决问题是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$