精品解析：上海市南洋中学2023-2024学年高二下学期期末数学试题

南洋中学2023学年第二学期高二年级数学期末 2024.06 一、填空题（本大题共有12题，满分52分，第1-8题每题4分，第9-12题每题5分） 1. 已知，则________． 【答案】4 【解析】 分析】求导代值即可. 【详解】，. 故答案为：4. 2. 直线的倾斜角为______． 【答案】 【解析】 【分析】由直线方程可得直线的斜率，再由斜率计算倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为，，由方程可知直线斜率，则，所以． 故答案为：. 3. 在的展开式中，常数项为______． 【答案】60 【解析】 【分析】由二项式定理可得二项式展开式的通项公式，令，运算即可得解. 【详解】解：二项式的展开式的通项公式为， 令，解得， 所以的二项展开式中，常数项为. 故答案为：. 4. 正方体的棱长为，是棱的中点，则异面直线与的距离为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据正方体的性质可得，，则即为异面直线与的距离； 【详解】解：依题意可得，面，面，所以，即为与的公垂线，所以即为异面直线与的距离， 故答案为： 5. 一盒子装有5件产品，其中有3件一等品，2件二等品.从中不放回地抽取两次，每次任取一件，设事件A为“第一次取到的是一等品”，事件B为“第二次取到的是一等品”，则条件概率的值为__________. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】求出，利用条件概率求出答案. 【详解】事件为“两次均取到一等品”，故， 因为， 所以. 故答案为： 6. 设双曲线的左、右焦点为、，点是上一点，满足，则的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】由双曲线的方程得到，设，再根据双曲线的定义余弦定理，求得，进而求得三角形的面积. 【详解】 由题意，，不妨设， 则，由余弦定理， 所以，， 所以，. 故答案为：. 7. 若函数，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先将函数化为，然后根据求导法则求解出. 【详解】解析：因为， 所以， 故答案为：. 8. 已知，且，i为虚数单位，则的最大值是______________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用复数模几何意义求解． 【详解】满足的对应的点在复平面上以为圆心，1为半径的圆上，表示点到点的距离， ，所以． 故答案为：． 9. 极限__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据导数的定义结合题意直接求解即可. 【详解】 . 故答案为： 10. 人群中患肺癌的概率约为0.1%，在人群中有10%是吸烟者，他们患肺癌的概率约为0.5%，则不吸烟者中患肺癌的概率是________.（用分数表示） 【答案】 【解析】 【分析】设患肺癌为事件A，吸烟为事件B，由题有，即可得答案. 【详解】设患肺癌为事件A，吸烟为事件B，则 ，不吸烟者中患肺癌的概率为. 又由全概率公式有， 则，解得． 故答案为：. 11. 设、分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，，且，则不等的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，判断出函数的奇偶性，由导数得出的单调性，根据，求出的取值规律，可得答案. 【详解】、分别是定义在上的奇函数和偶函数， 所以、， 令，则， 因此函数在上是奇函数， 当时，， 在上单调递增，在上单调递增，且， ， 因为，， 所以时，，时，， 时，，时，， 不等式的解集是. 故答案为：. 12. 如图，已知是椭圆的左焦点，为椭圆的下顶点，点是椭圆上任意一点，以为直径作圆，射线与圆交于点，则的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意求得点轨迹，根据轨迹判断计算的取值范围. 【详解】设为椭圆的右焦点，连接，如图所示： 、分别为、的中点，，为直径，， ， 所以点轨迹是以为圆心为半径的圆，在圆内，且， 所以，，， 即的取值范围为. 故答案为：. 二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 13. 为了研究关于的线性相关关系，收集了5组样本数据（见表）：若已求得一元线性回归方程，则下列选项中正确的是（ ） 1 2 3 4 5 0.5 0.9 1 1.1 1.5 A. B. 去掉样本点后，与的样本相关系数不会改变 C. 当时，的预测值为2.2 D. 与的样本是负相关 【答案】B 【解析】 【分析】由表格数据求出样本点的中心坐标，代入可得的值由此即可判断A，由相关系数公式即可判断B，根据回归方程代入计算即可判断C，由的正负即可判断D. 【详解】，所以样本点的中心坐标为， 将它代入得，，解得，故A错误； 由相关系数公式可知，去掉样本点后，x与y的样本相关系数r不会改变，故B正确； 当时，y的预测值为，故C错误； 因为，所以与的样本是正相关，故D错误. 故选：B 14. 设是双曲线上一点，分别是双曲线左右两个焦点，若，则等于（ ） A. 1 B. 17 C. 1或17 D. 5或13 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，然后根据双曲线的定义结合可求得. 【详解】双曲线的， 由双曲线的定义可得． 因为，所以，得或17， 若，则在右支上，应有，不成立； 若，则在左支上，应有，成立． 故选：B． 15. 设，随机变量的分布是: 1 2 4 则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用分布列的性质列出相等关系，通过计算并消元，最后再利用已知条件分析自变量的取值范围，即可作出判断. 【详解】由分布列的概率和为1，可知，可得， 又因为，所以，即， ， 故选：C. 16. 抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，又点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用抛物线定义及两点间距离公式列式，再借助均值不等式求解作答. 【详解】抛物线的准线方程为，，则，， ，当时，， 当时，，当且仅当时取等号，而， 所以的最小值是. 故选：B 三、解答题（共5道大题，其中17~19题14分，20题18分，21题18分，共计78分） 17. 求函数在上的最大值和最小值． 【答案】最大值为，最小值为7 【解析】 【分析】用导数求出在上单调性，再比较的大小即可求解. 【详解】， 当时，时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在上的最大值为， 又，所以在上的最小值为. 18. 已知函数. （1）若，求函数在处的切线方程； （2）若函数在上严格增，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数几何意义，即可求出函数在点处的切线方程； （2）求导，由题意，转化为恒成立问题，利用分离参数法，求出函数最值，即可求出的取值范围. 【小问1详解】 ，， 所以，， 即切线的斜率，切点， 所以切线方程为：，即， 故切线方程为； 【小问2详解】 因为函数在上严格增， 所以在恒成立， 所以在恒成立， 即在恒成立， 所以小于等于的最小值，因为， 所以， 故的取值范围为. 19. 已知、是双曲线的两点，的中点的坐标为． （1）求直线的方程； （2）求两点间距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，结合中点弦的“点差法”，即可求解； （2）由（1）知，直线的方程为，联立方程组，求得，结合弦长公式. 【小问1详解】 设， 因为的中点的坐标为，可得，即， 又由，两式相减，可得， 可得，即直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 联立方程组，整理得， 则，即直线与双曲线相交，满足条件. 所以直线的方程为. 【小问2详解】 由（1）知，直线的方程为， 联立方程组，整理得， 则，且， 所以两点间的距离为：. 20. 某商店随机抽取了当天100名客户的消费金额，并分组如下：，，，…，（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图. （1）若该店当天总共有1350名客户进店消费，试估计其中有多少客户的消费额不少于800元； （2）若利用分层随机抽样方法从消费不少于800元的客户中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人做进一步调查，则抽到的2人中至少有1人的消费金额不少于1000元的概率是多少； （3）为吸引顾客消费，该商店考虑两种促销方案.方案一：消费金额每满300元可立减50元，并可叠加使用；方案二：消费金额每满1000元即可抽奖三次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响.中奖1次当天消费金额可打9折，中奖2次当天消费金额可打6折，中奖3次当天消费金额可打3折.若两种方案只能选择其中一种，小王准备购买的商品又恰好标价1000元，请帮助他选择合适的促销方案并说明理由. 【答案】（1）405； （2）； （3）选取方案2，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图得出消费额不少于800元的频率，由此可计算出结论； （2）由频率分布直方图提供的概率及分层抽样的定义得出抽取的6人在两个区间中人数，再结合对立事件概率公式计算概率； （3）根据两个方案求出其付款的期望值，比较后可得．其中方案1每300元减小50元，计算出付款额，方案2由超几何分布概率公式分别求得抽取3次得奖次数分别是0，1，2，3的概率，再根据折扣计算出付款期望值． 【小问1详解】 由频率分布直方图估计消费额不少于800元的客户人数约为，即约有405人； 【小问2详解】 由频率分布直方图抽取的6人中，有4人消费金额在区间上，有2人不少于1000元，因此再从这6人中随机抽取2人做进一步调查，则抽到的2人中至少有1人的消费金额不少于1000元的概率为； 【小问3详解】 按方案1，小王实付款； 按方案2，小王抽奖3次，中1次奖的概率为，中2次奖的概率为，中3次奖的概率为，一次都不中的概率为， 因此本次购物小王付款的期望值为， 又，因此选取方案2较合适． 21. 把右半个椭圆和圆弧合成的封闭曲线称为“曲圆”，“曲圆”与轴的左、右交点依次记为、，与轴的上、下交点依次记为、，过椭圆的右焦点的直线与“曲圆”交于、两点. （1）当点与重合时，求的周长； （2）当、两点都在半椭圆时，是否存在以为直径的圆恰好经过点？若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由； （3）当点在第一象限时，求的面积的最大值. 【答案】（1）8 （2）不存在，理由见解析 （3）3 【解析】 【分析】（1）由焦点三角形周长求解即可； （2）假设存在，设出直线的方程联立方程组，由判断可知不存在； （3）分类讨论由求面积的最大值即可. 【小问1详解】 因为圆弧的左顶点， 刚好是半椭圆的左焦点， 所以点与重合时，的周长为； 【小问2详解】 假设存直线， 因为、两点都在半椭圆，或， 所以，联立 得， 设、，则恒成立. 所以，. 以为直径的圆恰好经过点， 所以，即， 即， 代入韦达定理得， 即，解得， 所以不存在直线，满足题意. 【小问3详解】 ①由(2)知，当、两点都在半椭圆时， 设直线的方程为，当在第一象限时，. 且 当且仅当得时等号成立，即的面积为， ②当、两点分别在半椭圆与圆弧上时，此时当与重合时取得最大值， 此时. 综上，面积的最大值为3. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南洋中学2023学年第二学期高二年级数学期末 2024.06 一、填空题（本大题共有12题，满分52分，第1-8题每题4分，第9-12题每题5分） 1. 已知，则________． 2. 直线的倾斜角为______． 3. 在的展开式中，常数项为______． 4. 正方体的棱长为，是棱的中点，则异面直线与的距离为________. 5. 一盒子装有5件产品，其中有3件一等品，2件二等品.从中不放回地抽取两次，每次任取一件，设事件A为“第一次取到的是一等品”，事件B为“第二次取到的是一等品”，则条件概率的值为__________. 6. 设双曲线的左、右焦点为、，点是上一点，满足，则的面积为________． 7. 若函数，则________． 8. 已知，且，i为虚数单位，则的最大值是______________． 9. 极限__________． 10. 人群中患肺癌的概率约为0.1%，在人群中有10%是吸烟者，他们患肺癌的概率约为0.5%，则不吸烟者中患肺癌的概率是________.（用分数表示） 11. 设、分别是定义在上奇函数和偶函数，当时，，且，则不等的解集是________． 12. 如图，已知是椭圆的左焦点，为椭圆的下顶点，点是椭圆上任意一点，以为直径作圆，射线与圆交于点，则的取值范围为________. 二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 13. 为了研究关于的线性相关关系，收集了5组样本数据（见表）：若已求得一元线性回归方程，则下列选项中正确的是（ ） 1 2 3 4 5 05 0.9 1 1.1 1.5 A. B. 去掉样本点后，与的样本相关系数不会改变 C. 当时，的预测值为2.2 D. 与的样本是负相关 14. 设是双曲线上一点，分别是双曲线左右两个焦点，若，则等于（ ） A. 1 B. 17 C. 1或17 D. 5或13 15. 设，随机变量的分布是: 1 2 4 则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 16. 抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，又点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 三、解答题（共5道大题，其中17~19题14分，20题18分，21题18分，共计78分） 17. 求函数在上的最大值和最小值． 18. 已知函数. （1）若，求函数在处的切线方程； （2）若函数在上严格增，求实数的取值范围. 19. 已知、是双曲线的两点，的中点的坐标为． （1）求直线方程； （2）求两点间距离． 20. 某商店随机抽取了当天100名客户消费金额，并分组如下：，，，…，（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图. （1）若该店当天总共有1350名客户进店消费，试估计其中有多少客户的消费额不少于800元； （2）若利用分层随机抽样的方法从消费不少于800元的客户中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人做进一步调查，则抽到的2人中至少有1人的消费金额不少于1000元的概率是多少； （3）为吸引顾客消费，该商店考虑两种促销方案.方案一：消费金额每满300元可立减50元，并可叠加使用；方案二：消费金额每满1000元即可抽奖三次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响.中奖1次当天消费金额可打9折，中奖2次当天消费金额可打6折，中奖3次当天消费金额可打3折.若两种方案只能选择其中一种，小王准备购买的商品又恰好标价1000元，请帮助他选择合适的促销方案并说明理由. 21. 把右半个椭圆和圆弧合成的封闭曲线称为“曲圆”，“曲圆”与轴的左、右交点依次记为、，与轴的上、下交点依次记为、，过椭圆的右焦点的直线与“曲圆”交于、两点. （1）当点与重合时，求周长； （2）当、两点都在半椭圆时，是否存在以为直径的圆恰好经过点？若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由； （3）当点在第一象限时，求的面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $