精品解析：山东省聊城市第一中学2023-2024学年高一下学期第二次阶段测试数学试题

2023级高一下学期第二次阶段性测试 数学试题 时间：120分钟 分值：150分 命题人：赵春刚 审题人：董雪珂 做题人：朱潇霞 第I卷（选择题，共58分） 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 总体由编号为01，02，…，39，40的40个个体组成，从中选取5个个体.利用科学计算器依次生成一组随机数如下，则选出来的第5个个体的编号为（ ） 66 06 58 61 54 35 02 42 35 48 96 21 14 32 52 41 52 48 A. 54 B. 14 C. 21 D. 32 2. 样本数据的中位数是（ ） A. 12 B. 11 C. 10 D. 10.5 3. 为了提升学生的文学素养，某校将2024年5月定为读书月，要求每个学生都只选择《平凡的世界》与《麦田里的守望者》中的一本.已知该校高一年级学生选择《平凡的世界》的人数为450，选择《麦田里的守望者》的人数为550.现采用按比例分层随机抽样的方法，从高一学生中抽取20名学生进行阅读分享，则被抽到的这20名学生中选择了《平凡的世界》的人数为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 4. 下列命题是真命题的是（ ） A. 上底面与下底面相似的多面体是棱台 B. 若一个几何体所有的面均为三角形，则这个几何体是三棱锥 C. 若直线在平面外，则 D. 一个圆柱的侧面展开图是一个边长为2的正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比值是 5. 从某中学抽取10名同学，他们的数学成绩如下：82，85，88，90，92，92，92，96，96，98（单位：分），则这10名同学数学成绩的众数、第25百分位数分别为（ ） A 92，85 B. 92，88 C. 95，88 D. 96，85 6. 四棱锥，底面为平行四边形，点满足，设四棱锥的体积为，则三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知球O为正三棱柱的外接球，正三棱柱的底面边长为1，高为3，则球O的表面积是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在长方体中，分别是棱的中点，若点是平面内的动点，且满足平面，则线段长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知某省2023年各地市地区生产总值的占比如图所示，则根据图中关于该省2023年各地市地区生产总值占比的统计情况，下列结论正确的是（ ） A. A市2023年地区生产总值比B市2023年地区生产总值多 B. 图中11个地市2023年地区生产总值占比的分位数为 C. 图中11个地市2023年地区生产总值占比的分位数为 D. 若该省2024年各地市地区生产总值的增长率相等，则该省2024年各地市地区生产总值的占比不变 10. 在空间中，是两条不同的直线，是两个不重合的平面，则下列说法一定正确的是（ ） A. 若则 B. 若内的两条相交直线分别垂直于内的两条相交直线，则 C. 若，则存在使得 D. 若是异面直线，，则 11. 已知棱长为2的正方体，点是的中点，点在上，满足，则下列表述正确的是（ ） A. 时，平面 B. 时，平面平面 C. 任意，三棱锥体积为定值 D. 过点的平面分别交于，则的范围是 第II卷（非选择题，共92分） 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 某人任意统计次上班步行到单位所花的时间(单位：分钟)分别为．则．这组数据的标准差为________________． 13. 为了了解我国13岁男孩平均身高，从北方抽取了300个男孩，平均身高1.60m；从南方抽取了200个男孩，平均身高1.50m，由此可推断我国13岁男孩的平均身高为_____________. 14. 在直三棱柱中，若，则直线到平面的距离为__________.. 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 如图：在正方体中，为的中点. （1）求三棱锥的体积； （2）求证：平面； （3）若为的中点，求证：平面平面. 16. 某校高中年级举办科技节活动，开设A，B两个会场，其中每个同学只能去一个会场且25%的同学去A会场，剩下的同学去B会场.已知A，B会场学生年级及比例情况如下表所示： 高一 高二 高三 A会场 50% 40% 10% B会场 40% 50% 10% 记该校高一、高二、高三年级学生所占总人数的比例分别为x，y，z，利用分层随机抽样的方法从参加活动的全体学生中抽取一个容量为n的样本. （1）求值； （2）若抽到B会场的高二学生有150人，求n的值以及抽到的A会场高一、高二、高三年级的学生人数. 17. 在如图所示的四棱锥P-ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，ADBC，∠BAD=90°，PA=AB=BC=1，AD=2，E为PD的中点. （1）求证：CE//平面PAB； （2）求证：平面PAC⊥平面PDC； （3）求直线EC与平面PAC所成角的正切值. 18. 已知某工厂一区生产车间与二区生产车间均生产某种型号的零件，这两个生产车间生产的该种型号的零件尺寸的频率分布直方图如图所示（每组区间均为左开右闭）. 尺寸大于的零件用于大型机器中，尺寸小于或等于的零件用于小型机器中. （1）若，试分别估计该工厂一区生产车间生产的500个该种型号的零件和二区生产车间生产的500个该种型号的零件用于大型机器中的零件个数. （2）若，现有足够多的来自一区生产车间与二区生产车间的零件，分别用于大型机器､小型机器各5000台的生产，每台机器仅使用一个该种型号的零件. 方案一：直接将一区生产车间生产的零件用于大型机器中，其中用了尺寸小于或等于的零件的大型机器每台会使得工厂损失200元；直接将二区生产车间生产的零件用于小型机器中，其中用了尺寸大于的零件的小型机器每台会使得工厂损失100元. 方案二：重新测量一区生产车间与二区生产车间生产的零件尺寸，并正确匹配型号，重新测量的总费用为35万元. 请写出采用方案一，工厂损失费用的估计值（单位：万元）的表达式，并从工厂损失的角度考虑，选择合理的方案. 19. 如图①，在直角梯形中，，，，E为的中点，将沿折起构成几何体，如图②．在图②所示的几何体中： （1）在棱上找一点F，满足平面，求几何体与几何体的体积比； （2）当几何体的体积最大时， ①求证：平面； ②求二面角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023级高一下学期第二次阶段性测试 数学试题 时间：120分钟 分值：150分 命题人：赵春刚 审题人：董雪珂 做题人：朱潇霞 第I卷（选择题，共58分） 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 总体由编号为01，02，…，39，40的40个个体组成，从中选取5个个体.利用科学计算器依次生成一组随机数如下，则选出来的第5个个体的编号为（ ） 66 06 58 61 54 35 02 42 35 48 96 21 14 32 52 41 52 48 A. 54 B. 14 C. 21 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】根据随机数表法可得结果. 【详解】生成的随机数中落在编号01，02，…，39，40内的依次有06，35，02，35（重复）， 21，14，32，故第5个编号为14， 故选：B. 2. 样本数据的中位数是（ ） A. 12 B. 11 C. 10 D. 10.5 【答案】D 【解析】 【分析】将数据从小到大排列，按照法则求出中位数即可. 【详解】将数据从小到大排列：.故这组数据的中位数是. 故选：D 3. 为了提升学生的文学素养，某校将2024年5月定为读书月，要求每个学生都只选择《平凡的世界》与《麦田里的守望者》中的一本.已知该校高一年级学生选择《平凡的世界》的人数为450，选择《麦田里的守望者》的人数为550.现采用按比例分层随机抽样的方法，从高一学生中抽取20名学生进行阅读分享，则被抽到的这20名学生中选择了《平凡的世界》的人数为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】利用分层抽样比与总体抽样比相等即可求出答案. 【详解】依题意，被抽到的这20名学生中选择了《平凡的世界》的人数为. 故选：A. 4. 下列命题是真命题的是（ ） A. 上底面与下底面相似的多面体是棱台 B. 若一个几何体所有的面均为三角形，则这个几何体是三棱锥 C. 若直线在平面外，则 D. 一个圆柱的侧面展开图是一个边长为2的正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比值是 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用多面体与旋转体的几何结构特征，圆柱的侧面积公式，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，如图（1）所示，在多面体中，满足，但该几何体不是棱台，所以A错误； 对于B中，如图（2）所示的几何体，所有的面均为三角形，但该几何体不是三棱锥，所以B错误； 对于C中，若直线在平面外，则或直线与平面相交，所以C错误； 对于D中，设圆柱的底面圆半径为，则，解得，所以，， 所以，所以D正确； 故选：D. 5. 从某中学抽取10名同学，他们的数学成绩如下：82，85，88，90，92，92，92，96，96，98（单位：分），则这10名同学数学成绩的众数、第25百分位数分别为（ ） A. 92，85 B. 92，88 C. 95，88 D. 96，85 【答案】B 【解析】 【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数，计算，取第三个数即可得解． 【详解】本题中数据92出现了3次，出现的次数最多，所以本题的众数是92； 将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，得： ， 计算，取第三个数，第25百分位数是88． 故选：B． 6. 四棱锥，底面为平行四边形，点满足，设四棱锥的体积为，则三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据底面为平行四边形，可知对角线平分底面，三棱锥体积为四棱锥体积的一半，再根据得，进而得到答案. 【详解】 四棱锥，底面为平行四边形，则， 且，则， 那么， 即三棱锥的体积为. 故选：D 7. 已知球O为正三棱柱的外接球，正三棱柱的底面边长为1，高为3，则球O的表面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】外接球球心为正三棱柱上下底面的外接圆圆心连线的中点，先求出底面外接圆半径，再由勾股定理即可求出外接球半径. 【详解】解：设三棱柱的高为h，底边边长为a．设球O的半径为R， 则三棱柱底面三角形的外接圆半径满足：，解得： 由题知，， ， 故球O的表面积为， 故选：B. 8. 如图，在长方体中，分别是棱的中点，若点是平面内的动点，且满足平面，则线段长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，建立空间坐标系，求出各点和各线段的坐标，求出平面的法向量，利用向量法表示线面平行得出，结合二次函数的性质即可得出结果. 【详解】如图设立空间坐标系，由题意可知： ， ，设， 则 ， 设平面的一个法向量为， 由，即，令，得， 又，PE平面， 所以，解得，所以， 故 ， 所以. 故选：C. 二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知某省2023年各地市地区生产总值的占比如图所示，则根据图中关于该省2023年各地市地区生产总值占比的统计情况，下列结论正确的是（ ） A. A市2023年地区生产总值比B市2023年地区生产总值多 B. 图中11个地市2023年地区生产总值占比的分位数为 C. 图中11个地市2023年地区生产总值占比的分位数为 D. 若该省2024年各地市地区生产总值的增长率相等，则该省2024年各地市地区生产总值的占比不变 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据统计图及百分位数的定义一一判断即可. 详解】由图中统计数据，可得市2023年地区生产总值比B市2023年地区生产总值多，故A正确； 因为，所以图中11个地市2023年地区生产总值占比的分位数为，故B正确； 因为，所以图中11个地市2023年地区生产总值占比的分位数为，故C错误； 若该省2024年各地市地区生产总值的增长率相等，则该省2024年各地市地区生产总值的占比不变，D正确. 故选：ABD 10. 在空间中，是两条不同的直线，是两个不重合的平面，则下列说法一定正确的是（ ） A. 若则 B. 若内的两条相交直线分别垂直于内的两条相交直线，则 C. 若，则存在使得 D. 若是异面直线，，则 【答案】CD 【解析】 【分析】根据线面位置关系的判定定理和性质定理，以及长方体的结构特征，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，若，则与平行、相交或异面，所以A不正确； 对于B中，例如在长方体中，如图所示，可得， 此时平面中有两条相交直线分别垂直于平面内的两相交直线， 但平面平面，所以B不正确； 对于C中，由，根据面面垂直的性质，可得在存在直线， 又由，所以，所以C正确； 对于D中，若是异面直线，，根据平面与平面平行的判定定理，可得证得，所以D正确. 故选：CD. 11. 已知棱长为2的正方体，点是的中点，点在上，满足，则下列表述正确的是（ ） A. 时，平面 B. 时，平面平面 C. 任意，三棱锥的体积为定值 D. 过点的平面分别交于，则的范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用并使用线面平行的判定定理即可；对于B，使用反证法，并利用面面平行的性质即可；对于C，证明到直线的距离和到平面的距离均为定值即可；对于D，直接计算得到即可. 【详解】 如图，设的中点为，的中点为，直线与直线和分别交于点. 对于A，当时，是的中点，而是的中点， 所以，而在平面内，不在平面内， 所以平行于平面，A正确； 对于B，假设平面平行于平面， 由于在平面内，故平行于平面. 由于是的中点，是的中点，所以，. 这就得到四边形是平行四边形， 所以，且该平行四边形确定一个平面. 由于在平面内，平行于平面，平面和平面有公共点， 所以平面和平面有一条过的交线，且该直线平行于. 又因为，所以该交线就是，这意味着在平面内， 再由在直线上，知四点共面，这与正方体的性质矛盾. 故平面与平面不平行，B错误； 对于C，由于，在直线上，所以到直线的距离恒为定值. 同样因为，可知一对平行线和确定一个平面， 设到平面的距离为，则由在直线上，可知到平面的距离为. 从而，恒为定值，C正确； 对于D，由于均在平面上，故是和的交点，是和的交点. 同时，我们有，. 当时，由相似三角形知识可得，. 所以，. 从而，. 注意到的中点为，则当时，分别与重合； 当时，分别与重合，容易验证知，亦成立. 所以，而，所以的取值范围是，D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于对线面平行与面面平行的性质，以及平面的性质的灵活运用。 第II卷（非选择题，共92分） 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 某人任意统计次上班步行到单位所花的时间(单位：分钟)分别为．则．这组数据的标准差为________________． 【答案】 【解析】 【分析】先求得平均数，代入标准差公式，即可得答案. 【详解】由题意得，这组数据的平均数， 所以标准差. 故答案为： 13. 为了了解我国13岁男孩的平均身高，从北方抽取了300个男孩，平均身高1.60m；从南方抽取了200个男孩，平均身高1.50m，由此可推断我国13岁男孩的平均身高为_____________. 【答案】1.56m 【解析】 【分析】根据平均数的计算公式，准确计算，即可求解. 【详解】根据平均数计算公式，我国13岁男孩的平均身高为：米. 故答案为：. 14. 在直三棱柱中，若，则直线到平面的距离为__________.. 【答案】## 【解析】 【分析】先证得平面，转化为到平面的距离，再证得平面，得到平面平面，过点作，证得平面，得到的长即为点到平面的距离，在直角中，即可求解. 【详解】在直三棱柱中，可得， 因为平面，且平面，所以平面， 所以到平面的距离，即为到平面的距离， 因为为直三棱柱，且，可得， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，平面平面， 过点作，由平面平面，且平面， 所以平面，则的长即为点到平面的距离， 在直角中，可得， 所以点到平面距离为. 故答案为：. 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 如图：在正方体中，为的中点. （1）求三棱锥的体积； （2）求证：平面； （3）若为的中点，求证：平面平面. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据锥体的体积公式计算即可； （2）根据线面平行的判定进行证明； （3）根据面面平行的的判定进行证明. 【小问1详解】 显然平面，于是. 【小问2详解】 设，连接， 在正方体中，四边形是正方形，是中点， 是的中点，， 平面平面 平面； 【小问3详解】 为的中点，为的中点， ， 四边形为平行四边形，， 又平面平面平面， 由（2）知平面平面平面， 平面平面. 16. 某校高中年级举办科技节活动，开设A，B两个会场，其中每个同学只能去一个会场且25%的同学去A会场，剩下的同学去B会场.已知A，B会场学生年级及比例情况如下表所示： 高一 高二 高三 A会场 50% 40% 10% B会场 40% 50% 10% 记该校高一、高二、高三年级学生所占总人数的比例分别为x，y，z，利用分层随机抽样的方法从参加活动的全体学生中抽取一个容量为n的样本. （1）求值； （2）若抽到的B会场的高二学生有150人，求n的值以及抽到的A会场高一、高二、高三年级的学生人数. 【答案】（1） （2），50，40，10. 【解析】 【分析】（1）设该校高一、高二、高三年级的人数分别为a，b，c，列表表示出去会场的各年级人数，由此可得比例. （2）由B会场的高二学生人数求得样本容量，按比例求得抽到的A会场高一、高二、高三年级的学生人数． 【小问1详解】 设该校高一、高二、高三年级的人数分别为a，b，c， 则去A会场的学生总数为，去B会场的学生总数为， 则对应人数如下表所示： 高一 高二 高三 A会场 B会场 则. 【小问2详解】 依题意，，解得，则抽到的A会场的学生总数为100人， 所以高一年级人数为，高二年级人数为，高三年级人数为. 17. 在如图所示的四棱锥P-ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，ADBC，∠BAD=90°，PA=AB=BC=1，AD=2，E为PD的中点. （1）求证：CE//平面PAB； （2）求证：平面PAC⊥平面PDC； （3）求直线EC与平面PAC所成角的正切值. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）. 【解析】 【分析】（1）根据中位线定理求证出四边形MEBC为平行四边形，再根据线面平行的判定定理即可证明； （2）先证明以DC⊥平面PAC，再利用面面垂直的判定定理求解即可； （3）取PC的中点F，证明∠ECF为直线EC与平面PAC所成的角，再解三角形即可． 【详解】（1）取PA的中点M，连接BM，ME，则MEAD且ME=AD， 又因为BCAD且BC=AD， 所以MEBC且ME=BC， 所以四边形MECB为平行四边形，所以BMCE， 又CE⊄平面PAB，BM⊂平面PAB，所以CE平面PAB. （2）证明：因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD， 所以PA⊥DC，又因为AC2+CD2=2+2=AD2， 所以DC⊥AC，因为AC∩PA=A，AC，PA⊂平面PAC，所以DC⊥平面PAC. 又因为DC⊂平面PDC，所以平面PAC⊥平面PDC. （3）解：取PC的中点F，连接EF，则EFDC， 由（2）知DC⊥平面PAC，则EF⊥平面PAC， 所以∠ECF为直线EC与平面PAC所成的角. 因为，EF=CD=， 所以tan∠ECF==即直线EC与平面PAC所成角的正切值为. 18. 已知某工厂一区生产车间与二区生产车间均生产某种型号的零件，这两个生产车间生产的该种型号的零件尺寸的频率分布直方图如图所示（每组区间均为左开右闭）. 尺寸大于的零件用于大型机器中，尺寸小于或等于的零件用于小型机器中. （1）若，试分别估计该工厂一区生产车间生产的500个该种型号的零件和二区生产车间生产的500个该种型号的零件用于大型机器中的零件个数. （2）若，现有足够多的来自一区生产车间与二区生产车间的零件，分别用于大型机器､小型机器各5000台的生产，每台机器仅使用一个该种型号的零件. 方案一：直接将一区生产车间生产的零件用于大型机器中，其中用了尺寸小于或等于的零件的大型机器每台会使得工厂损失200元；直接将二区生产车间生产的零件用于小型机器中，其中用了尺寸大于的零件的小型机器每台会使得工厂损失100元. 方案二：重新测量一区生产车间与二区生产车间生产的零件尺寸，并正确匹配型号，重新测量的总费用为35万元. 请写出采用方案一，工厂损失费用的估计值（单位：万元）的表达式，并从工厂损失的角度考虑，选择合理的方案. 【答案】（1）420；200 （2），选择方案二. 【解析】 【分析】（1）计算出两个生产车间生产的零件尺寸大于60的频率，进而求出两个生产车间生产的500个该种型号的零件用于大型机器中的零件数； （2）计算出一区生产车间生产的零件尺寸小于或等于的频率和二区生产车间生产的零件尺寸大于的频率，从而得到，结合，求出，与35比较后得到结论. 【小问1详解】 一区生产车间生产的零件尺寸大于60的频率为， 则该工厂一区生产车间生产的500个该种型号的零件用于大型机器中的零件个数为； 二区生产车间生产的零件尺寸大于60的频率为， 则该工厂二区生产车间生产的500个该种型号的零件用于大型机器中的零件个数为. 【小问2详解】 一区生产车间生产的零件尺寸小于或等于的频率为 . 二区生产车间生产的零件尺寸大于的频率为 . 故. 因为，所以. 又因为采用方案二重新测量的总费用为35万元， 所以从工厂损失的角度考虑，应选择方案二. 19. 如图①，在直角梯形中，，，，E为中点，将沿折起构成几何体，如图②．在图②所示的几何体中： （1）在棱上找一点F，满足平面，求几何体与几何体的体积比； （2）当几何体的体积最大时， ①求证：平面； ②求二面角的余弦值． 【答案】（1） （2）①证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）取中点M，连，可得，进一步可证平面，M就是所找点F，此时将体积比转换为面积比即可得解； （2）①几何体的体积最大即平面平面，再通过平面几何知识证明，结合面面垂直的性质即可证明平面； ②通过定义法说明就是二面角的平面角，结合平面几何知识即可进一步求解. 【小问1详解】 取中点M，连，则是的中位线，即得，又平面， 平面，即有平面，即M就是所找点F． 由，从而得． 【小问2详解】 ①由题意，当几何体的体积最大时，而底面的面积确定，从而点D到底面的距离最大，此时应有平面平面． 由已知，在图①中，取中点Q，连，在图②中连． 由已知，又，则四边形为正方形， 从而为等腰直角三角形，又，，， 所以，即为直角三角形，得． 在图②中，E为中点，则， 又平面平面且平面平面， 则有平面，得． 又，，则平面． ②过点E作于M，连，由①知平面，则，又， ，则平面，从而，即就是二面角的平面角．显然是直角三角形，且． 令，则，， 则，则． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$