精品解析：2024年安徽省合肥市瑶海区中考三模数学试题

2024年安徽省合肥市瑶海区中考数学三模试卷 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分）在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列四个数中，最大的数是（ ） A. B. 0 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据正数大于0，0大于负数，以及无理数的大小比较方法即可判断． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， 故最大的数是． 故选：C． 【点睛】本题考查了实数的大小比较，掌握实数的大小比较的方法是解题的关键． 2. 国家统计局2024年1月17日发布数据：初步核算，2023年中国国内生产总值超126万亿元，比上年增长，高于去年年初确定的预期目标．其中数据“126万亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中， 为整数，表示时关键要正确确定的值以及 的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中， 为整数．确定 的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时， 是正数；当原数的绝对值时， 是负数． 【详解】解：126万亿． 故选：D 3. “斗”是我国古代称量粮食的量器，它无盖，其示意图如图所示，下列图形是“斗”的俯视图的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查简单几何体的三视图，解题的关键是掌握：俯视图是从上面看到的图形．据此可得答案． 【详解】解：从上面看，看到的图形为一个正方形，在这个正方形里面还有一个小正方形，且四条线段连接对应顶点， A．该图形不是“斗”的俯视图，故此选项不符合题意； B．该图形不是“斗”的俯视图，故此选项不符合题意； C．该图形是“斗”的俯视图，故此选项符合题意； D．该图形不是“斗”的俯视图，故此选项不符合题意． 故选：C． 4. 把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．需要注意的是：如果是表示大于或小于号的点要用空心圆圈，如果是表示大于等于或小于等于号的点要用实心圆点．分别求解两个不等式，得到不等式组的解集，然后判断即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∴表示在数轴上为： 故选：A． 5. 如图是某款婴儿手推车的平面示意图，若，则的度数为（ ） A. 75° B. 80° C. 85° D. 90° 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，关键是由平行线的性质推出，由三角形外角的性质即可求出的度数． 由平行线的性质推出，由邻补角的性质得到，由三角形外角的性质即可求出． 【详解】解：如图， ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 6. 甲、乙、丙三位同学把自己的数学课本放在一起，每人从中随机抽起一本（不放回），三位同学抽到的课本都是自己课本的概率是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设甲、乙、丙三位同学的数学课本分别记为 ，， ，画树状图得出所有等可能的结果数以及三位同学抽到的课本都是自己课本的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：设甲、乙、丙三位同学的数学课本分别记为 ，， ， 画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中三位同学抽到的课本都是自己课本的结果有1种， 三位同学抽到的课本都是自己课本的概率是， 故选：B． 【点睛】本题考查列表法与树状图法求概率，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 7. 如图， 的顶点， 落在 上， 经过圆心 ，与 相交于点 ，已知，，，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接 ，有圆周角定理得出，由等边对等角结合三角形内角和定理得出，由三角形外角的定义及性质得出，证明是等边三角形，得出，最后再由弧长公式计算即可得出答案． 【详解】解：连接 ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的长为：． 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理、弧长公式、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 8. 如图，在 中，，，点D在 的延长线上，，则的面积为（ ） A. B. C. 7 D. 【答案】A 【解析】 【分析】作 交 于点E，作交 于点F，根据等腰直角三角形的性质求出 ，根据勾股定理求出，设，证明出，然后利用相似三角形的性质列方程求出，最后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】如图所示，作 交 于点E，作交 于点F， ∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∵ ，， ∴， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴解得， ∴， ∴的面积． 故选：A． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点并灵活添加辅助线． 9. 已知三个实数a、b、c，满足，，且 、、，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由两个已知等式3a+2b+c＝5和2a+b﹣3c＝1．可用其中一个未知数表示另两个未知数，然后由条件：a，b，c均是非负数，列出c的不等式组，可求出未知数c的取值范围，再把m＝3a+b﹣7c中a，b转化为c，即可得解． 【详解】解：联立方程组， 解得，， 由题意知：a，b，c均是非负数， 则， 解得， ∴3a+b﹣7c ＝3（﹣3+7c）+（7﹣11c）﹣7c ＝﹣2+3c， 当c＝时，3a+b﹣7c有最小值，即3a+b﹣7c＝﹣2+3×＝﹣． 故选：B． 【点睛】此题主要考查代数式求值，考查的知识点相对较多，包括不等式的求解、求最大值最小值等，另外还要求有充分利用已知条件的能力． 10. 已知等腰直角 的斜边，正方形的边长为，把 和正方形如图放置，点与点 重合，边 与 在同一条直线上，将 沿 方向以每秒个单位的速度匀速平行移动，当点 与点 重合时停止移动．在移动过程中， 与正方形重叠部分的面积 与移动时间的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图，二次函数图像的性质，根据题意得出相应的函数关系式是解答本题的关键．分别求出 ，，，的函数关系式即可判断． 【详解】解：①当 时，， 函数图像为开口方向向上的抛物线； ②当时，如图， 设 交于 ，则， 则， ， 函数图像为开口方向向下的抛物线； ③当时，； ④当时，同理可得， 函数图像为开口方向向下的抛物线； 故只有选项C符合题意． 故选：C． 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 因式分解：_______________________． 【答案】 【解析】 【分析】先提公因式，再用平方差公式分解． 【详解】解： 【点睛】本题考查因式分解，掌握因式分解方法是关键． 12. 已知实数， 是方程的两根，则的值为______． 【答案】-1 【解析】 【分析】利用根与系数的关系得到a+b=1，ab=-1，再根据异分母分式加减法法则进行计算代入求值. 【详解】∵， 是方程的两根， ∴a+b=1，ab=-1， ∴ = = =-1， 故答案为：-1. 【点睛】此题考查一元二次方程根与系数的关系式，异分母分式的加减法计算法则. 13. 如图，矩形 中，点 在双曲线上，点， 在 轴上，延长 至点 ，使，连接 交轴于点 ，连接，则 的面积为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】设 交于，交 于点，设 ，则，，证明，，相似三角形性质求出，最后运用三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图，设 交于，交 于点，设 ，则，， ， 点A在双曲线上， ， ， 四边形 是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的几何意义、矩形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，学会利用参数解决问题是解题的关键． 14. 如图，在矩形 中，， ，E、F为 、 边上的动点，以 为斜边作等腰直角 （其中 ，），连接 、． （1）若点E、F分别是的中点，则点G到 的距离是________； （2）的最小值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）分别过点G作 于M，于H，根据矩形的性质及全等三角形的判定得出，，确定四边形是正方形，再由等腰三角形的判定和性质得出，设，则，结合图形即可求解； （2）过点作，，可证得，进而证得点在的角平分线 上，在的延长线上取点，使得，可得，可证得，可得，可知，当、、 在同一直线上时去等号，进而可知的最小值为． 【详解】解：分别过点G作 于M，于H，如图1，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∵E，F分别是边上的中点， ∴， ∴． ∵是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点G到 的距离为， 故答案为：； （2）∵四边形 是矩形，， ， ∴ ， ， 过点作，，则四边形是矩形， ∴ ，， ∵ ，，则， ∴， ∴， ∴， ∴点在的角平分线 上， ∴ ， 在的延长线上取点，使得，则， 则 ∵ ， ∴， ∴， 则，当、、 在同一直线上时取等号， 即：的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系等知识，确定点的运动轨迹是解题的关键． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】7 【解析】 【分析】题目主要考查实数的混合运算，零次幂、求算术平方根、绝对值化简，特殊角的三角函数，根据这几个运算先计算，然后计算加减法即可，熟练掌握各个运算法则是解题关键． 【详解】解： ． 16. 我国古代名著《增删算法统宗》中有一题：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴的玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完．”请用列方程的方法求出这个问题中的牧童人数． 【答案】牧童人数为人 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用—古代问题：设竹有x竿，根据每人6竿，多14竿，可知有人，根据每人8竿，恰好用完可知有人，再根据人数固定即可列出方程． 【详解】解：依题意，设竹有x竿， 解得 则（人） ∴牧童人数为人． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，将形状大小完全相同的★按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中★的个数为，第2幅图中★的个数为，第3幅图中★的个数为，…，以此类推，第n幅图中★的个数为．则： （1）　　　　， 　　　　　； （2）求的值． 【答案】（1）2， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，数字类的规律探索． （1）根据图形即可得到，观察图形可知第n幅图中★的个数为； （2）由（1）得，再找到规律，据此把所求式子裂项求解即可． 【小问1详解】 解：第1幅图中★的个数为， 第2幅图中★的个数为， 第3幅图中★的个数为， ， 以此类推，第n幅图中★的个数为； 【小问2详解】 解：由（1）知，第n幅图中★的个数为， ， ， ， ， 以此类推，可知， ∴ ． 18. 在 的方格纸中，点A，B，C都在格点上，按要求画图： （1）在图1中，找一点D，使点D在线段 上，且 ； （2）在图2中，将线段 绕点A逆时针旋转后得到线段 ．点B的对应点为点M，点C的对应点为点N． （3）填空： 的值为___________． 【答案】（1） 解：如图： （2） 解：如图： （3） 【解析】 【分析】本题考查了复杂作图，旋转作图，求一个角的正切值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）取格点 ， 作直线 交 于点 ，根据网格特征，得出，则 因为 ，所以 ，即，根据网格特征，得，运用三线合一的逆运用，得出是等腰三角形，则 ，所以 ，即证明点 为所求． （2）根据旋转性质，作图即可； （3）根据正切定义：对边比邻边的值，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图：连接 ∴ 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 某中学为了提高学生对航天知识的认识，在全校开展了主题为“弘扬航天精神”的知识竞赛．为了解学生的竞赛情况，学校从中随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并绘制出如下两幅不完请根据图中信息解答以下问题： （1）本次调查随机抽取了　　　名参赛学生的成绩．在扇形统计图中F组所在扇形圆心角的度数是　　　； （2）补全频数分布直方图； （3）估计全校1200名学生中，知识竞赛成绩达到优秀（）的学生有多少人？ 【答案】（1）50， （2） 补全直方图如图： （3）知识竞赛成绩达到优秀（）的学生有480人 【解析】 【分析】本题考查直方图和扇形图，从统计图中有效的获取信息，是解题的关键． （1） 组学生人数除以所占的比例求出调查人数， 组所占的比例乘以360度求出圆心角度数即可； （2）求出 组人数，补全条形图即可； （3）利用样本估计总体的思想，进行求解即可． 【小问1详解】 解： （名）； ； 故答案为：50，； 【小问2详解】 解： 组人数为： （人）； 【小问3详解】 解：（名）； 答：知识竞赛成绩达到优秀（）的学生有480人． 20. 图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面 的倾斜角为，长为3米的真空管 与水平线 的夹角为，倾斜屋顶上的 处到水平线的距离为米， 、 、 在同一直线上，且．求安装热水器的铁架水平横管 的长度（参考数据：，，，，，，结果精确到米）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，过点B作于G，则四边形 是矩形，可得，解得到，解得得到，则． 【详解】解：如图所示，过点B作于G，则四边形 是矩形， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴安装热水器的铁架水平横管 的长度约为． 六、（本题满分12分） 21. 如图， 是 的外接圆，，弦交于点E，且． （1）求证：是等边三角形； （2）过点O作于点F，延长交 于点G，若 ，，求 的长． 【答案】（1） 证明：在 中，， ∵ ，， ∴． ∴． 又∵， ∴为等边三角形； （2） 【解析】 【分析】（1）先证明 可得，结合，可得结论； （2）先证明 ，求解，可得，证明 ．如图，过B作于点M，求解，，再利用勾股定理可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴ ． ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴，， ∴ ． 如图，过B作于点M， ∵ ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，等边三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，垂径定理的应用，作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键． 七、（本题满分12分） 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数 的图象与 轴交于点 和点两点，与轴交于点 ．点 为线段 上的一动点． （1）求二次函数的表达式； （2）如图1，求 周长的最小值； （3）如图2，过动点 作 交抛物线第一象限部分于点 ，连接，，记与 的面积和为 ，当 取得最大值时，求点 的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，包括待定系数法确定函数解析式，周长最短问题及面积问题， （1）根据题意设抛物线的表达式为，将代入求解即可； （2）作点O关于直线 的对称点E，连接，根据点坐特点及正方形的判定得出四边形为正方形，，连接 ，交 于点D，由对称性，此时有最小值为 的长，再由勾股定理求解即可； （3）根据 得出，则，由待定系数法确定直线 的表达式为，过点 自拍轴交 于点，设，则，得出的长，进而表示出 ，根据二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：由题意可知，设抛物线的表达式为， 将代入上式得：， ， 所以抛物线的表达式为 ； 【小问2详解】 作点O关于直线 的对称点E，连接， ∵，，， ∴， ∵O、E关于直线 对称， ∴四边形为正方形， ∴， 连接 ，交 于点D，由对称性，此时有最小值为 的长， ， ∵的周长为， ，的最小值为 ， ∴的周长的最小值为； 【小问3详解】 设直线 的表达式为 ， 将， ，代入 中， ， 解得， ∴直线 的表达式为， ∵ ∴，则， 过点 作轴交 于点，设，则， ∴ ， ∴当时，取的最大值， ∴， 当时，， ∴． 八、（本题满分14分） 23. 如图，将正方形纸片ABCD沿PQ折叠，使点C的对称点E落在边AB上，点D的对称点为点F，EF交AD于点G，连接CG交PQ于点H，连接CE． （1）求证：△PBE∽△QFG； （2）求∠ECG的度数； （3）求证：EG2﹣CH2＝GQ•GD． 【答案】（1） 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A＝∠B＝∠BCD＝∠D＝90°， 由折叠可知：∠GEP＝∠BCD＝90°，∠F＝∠D＝90°， ∴∠BEP+∠AEG＝90°， ∵∠A＝90°， ∴∠AEG+∠AGE＝90°， ∴∠BEP＝∠AGE， ∵∠FGQ＝∠AGE， ∴∠BEP＝∠FGQ， ∵∠B＝∠F＝90°， ∴△PBE∽△QFG； （2）∠ECG＝45°； （3） 证明：如图，过点C作CM⊥EG于M，连接DH，MH，HE， 由折叠的性质可得：QP垂直平分EC， 由（2）∠ECH=45°可得：∠CHP＝45°， ∴∠GHQ＝∠CHP＝45°， 由折叠可得：∠EHP＝∠CHP＝45°， ∴EH⊥CG， ∴EG2﹣EH2＝GH2， 由折叠可知：EH＝CH， ∴EG2﹣CH2＝GH2， ∵CM⊥EG，EH⊥CG， ∴∠EMC＝∠EHC＝90°， ∴△MEC和△HEC所在外接圆直径相同， ∴E，M，H，C四点共圆， ∴∠HMC＝∠HEC＝45°， 在△CMH和△CDH中， ， ∴△CMH≌△CDH（SAS）， ∴∠CDH＝∠CMH＝45° ， ∵∠CDA＝90°， ∴∠GDH＝45°， ∵∠GHQ＝∠CHP＝45°， ∴∠GHQ＝∠GDH＝45°， ∵∠HGQ＝∠DGH， ∴△GHQ∽△GDH， ∴， ∴GH2＝GQ•GD， ∴GE2﹣CH2＝GQ•GD； 【解析】 【分析】（1）ABCD是正方形，由折叠的性质可得∠GEP＝∠BCD＝90°，∠F＝∠D＝90°，由同角的余角相等可得∠BEP＝∠AGE，再由对顶角相等即可证明； （2）过点C作CM⊥EG于M，由折叠可得∠GEC＝∠DCE，再由AB∥CD可得∠BEC＝∠GEC，于是△BEC≌△MEC，∠BCE=∠MCE，CB＝CM，进而Rt△CMG≌Rt△CDG，∠MCG＝∠DCG，于是∠ECG＝∠BCD＝45° ； （3）过点C作CM⊥EG于M，连接DH，MH，HE， 由QP⊥CE，∠ECH=45°，可得∠GHQ＝∠CHP＝45°，∠EHP＝∠CHP＝45°，于是EG2﹣EH2＝GH2，进而EG2﹣CH2＝GH2；由∠EMC＝∠EHC＝90°可得E，M，H，C四点共圆，∠HMC＝∠HEC＝45°，由△CMH≌△CDH可得∠CDH＝∠CMH＝45° ，于是∠GHQ＝∠GDH＝45°，由△GHQ∽△GDH可得GH2＝GQ•GD，便可证明； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点C作CM⊥EG于M， ∴∠EMC＝∠CMG=90°， 由折叠可得：∠GEC＝∠DCE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B＝=∠BCD=∠ADC=90°，CB=CD，AB∥CD ， ∴∠BEC＝∠DCE， ∴∠BEC＝∠GEC， ∴在△BEC和△MEC中， ， ∴△BEC≌△MEC（AAS）， ∴∠BCE=∠MCE，CB＝CM， ∴CM=CD ∵CG＝CG， ∴Rt△CMG≌Rt△CDG（HL）， ∴∠MCG＝∠DCG， ∴∠ECG＝∠ECM+∠GCM＝∠BCD＝45°； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形外接圆，正确作出辅助线是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年安徽省合肥市瑶海区中考数学三模试卷 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分）在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列四个数中，最大的数是（ ） A. B. 0 C. D. 2 2. 国家统计局2024年1月17日发布数据：初步核算，2023年中国国内生产总值超126万亿元，比上年增长，高于去年年初确定的预期目标．其中数据“126万亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. “斗”是我国古代称量粮食的量器，它无盖，其示意图如图所示，下列图形是“斗”的俯视图的是（ ） A. B. C. D. 4. 把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图是某款婴儿手推车的平面示意图，若，则的度数为（ ） A. 75° B. 80° C. 85° D. 90° 6. 甲、乙、丙三位同学把自己的数学课本放在一起，每人从中随机抽起一本（不放回），三位同学抽到的课本都是自己课本的概率是（    ） A. B. C. D. 7. 如图， 的顶点 ，落在 上， 经过圆心 ， 与 相交于点 ，已知，，，则的长为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在 中，，，点D在 的延长线上，，则的面积为（ ） A. B. C. 7 D. 9. 已知三个实数a、b、c，满足，，且 、、，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 10. 已知等腰直角 的斜边，正方形的边长为，把 和正方形如图放置，点 与点 重合，边 与在同一条直线上，将 沿 方向以每秒个单位的速度匀速平行移动，当点 与点 重合时停止移动．在移动过程中， 与正方形重叠部分的面积与移动时间的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 因式分解：_______________________． 12. 已知实数， 是方程的两根，则的值为______． 13. 如图，矩形 中，点 在双曲线上，点 ，在 轴上，延长 至点 ，使，连接 交轴于点 ，连接，则 的面积为_____． 14. 如图，在矩形 中，，，E、F为 、 边上的动点，以为斜边作等腰直角 （其中 ，），连接 、． （1）若点E、F分别是的中点，则点G到 的距离是________； （2）的最小值为______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 16. 我国古代名著《增删算法统宗》中有一题：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴的玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完．”请用列方程的方法求出这个问题中的牧童人数． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，将形状大小完全相同的★按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中★的个数为，第2幅图中★的个数为，第3幅图中★的个数为，…，以此类推，第n幅图中★的个数为．则： （1）　　　　， 　　　　　； （2）求的值． 18. 在 的方格纸中，点A，B，C都在格点上，按要求画图： （1）在图1中，找一点D，使点D在线段 上，且 ； （2）在图2中，将线段 绕点A逆时针旋转后得到线段．点B的对应点为点M，点C的对应点为点N． （3）填空： 的值为___________． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 某中学为了提高学生对航天知识的认识，在全校开展了主题为“弘扬航天精神”的知识竞赛．为了解学生的竞赛情况，学校从中随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并绘制出如下两幅不完请根据图中信息解答以下问题： （1）本次调查随机抽取了　　　名参赛学生的成绩．在扇形统计图中F组所在扇形圆心角的度数是　　　； （2）补全频数分布直方图； （3）估计全校1200名学生中，知识竞赛成绩达到优秀（）的学生有多少人？ 20. 图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面的倾斜角为 ，长为3米的真空管 与水平线 的夹角为，倾斜屋顶上的 处到水平线的距离为米，、 、 在同一直线上，且．求安装热水器的铁架水平横管 的长度（参考数据：，，，，，，结果精确到米）． 六、（本题满分12分） 21. 如图， 是 的外接圆，，弦 交 于点E，且． （1）求证：是等边三角形； （2）过点O作于点F，延长交 于点G，若 ，，求 的长． 七、（本题满分12分） 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数 的图象与 轴交于点 和点两点，与轴交于点 ．点 为线段 上的一动点． （1）求二次函数的表达式； （2）如图1，求 周长的最小值； （3）如图2，过动点 作 交抛物线第一象限部分于点 ，连接，，记与 的面积和为，当取得最大值时，求点 的坐标． 八、（本题满分14分） 23. 如图，将正方形纸片ABCD沿PQ折叠，使点C的对称点E落在边AB上，点D的对称点为点F，EF交AD于点G，连接CG交PQ于点H，连接CE． （1）求证：△PBE∽△QFG； （2）求∠ECG的度数； （3）求证：EG2﹣CH2＝GQ•GD． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $