第一章 集合与常用逻辑用语 重难点检测卷-2024-2025学年高一数学重难点专题提升精讲精练（人教A版2019必修第一册）

第一章 集合与常用逻辑用语 重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（2024高二下·天津河东·学业考试）若集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合的子集个数为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 3．（2024·全国·高考真题）已知命题p：，；命题q：，，则（    ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 4．（23-24高一上·陕西西安·开学考试）已知集合，，则“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 5．（2024·四川成都·三模）设全集，集合M、N满足，，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高三下·重庆·阶段练习）集合，，若，则实数（    ） A． B．0 C． D．1 7．（23-24高一上·河南郑州·阶段练习）某年级先后举办了数学、历史、音乐讲座，其中有人听了数学讲座，人听了历史讲座，人听了音乐讲座，记 是听了数学讲座的学生，是听了历史讲座的学生，是听了音乐讲座的学生.用来表示有限集合中元素的个数，若 ，，则（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·上海·期末）已知集合是由某些正整数组成的集合，且满足：若，则当且仅当（其中正整数、且）或（其中正整数、且）．现有如下两个命题：①；②集合．则下列判断正确的是（    ） A．①对②对 B．①对②错 C．①错②对 D．①错②错 二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．（22-23高三上·河北衡水·阶段练习）已知集合，若集合满足且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．集合的个数为6 D．集合的个数为5 10．（23-24高一上·陕西西安·开学考试）已知集合，若，则实数a的值可以是（    ）． A． B． C．0 D． 11．（2024·河北石家庄·三模）某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是（    ） A．三项比赛都参加的有2人 B．只参加100米比赛的有3人 C．只参加400米比赛的有3人 D．只参加1500米比赛的有1人 12．（22-23高一上·江苏宿迁·期中）设集合是实数集的子集，如果点满足：对任意，都存在，使得，称为集合的聚点，则在下列集合中，以0为聚点的集合有（    ） A． B． C． D． 三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13．（23-24高一上·河南濮阳·阶段练习）集合用列举法表示为 ． 14．（2024·江西吉安·模拟预测）设集合，则集合的子集个数为 . 15．（23-24高一上·江西南昌·期中）对于两个集合，满足.且中元素个数不属于中元素个数不属于.求满足题意的不同的的个数为 . 16．（23-24高一上·北京·期中）定义集合的“长度”是，其中a，R．已如集合，，且M，N都是集合的子集，则集合的“长度”的最小值是 ；若，集合的“长度”大于，则n的取值范围是 . 四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 17．（23-24高一上·陕西西安·开学考试）已知命题，命题或，其中．若是成立的充分不必要条件，求的取值范围． 18．（22-23高三上·甘肃定西·阶段练习）已知全集． (1)求； (2)求． 19．（23-24高一上·云南曲靖·期中）已知集合． (1)若，求实数的值； (2)若命题为真命题，求实数的值． 20．（23-24高二下·江西南昌·期中）设集合，， (1)若，求，； (2)若中只有一个整数，求实数m的取值范围． 21．（23-24高一上·江苏徐州·期末）已知集合，. (1)求的真子集； (2)若______，求实数的取值集合. 从以下两个条件中任选一个补充在横线上，并进行解答. ①“”是“”的充分条件；②. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 22．（23-24高一上·北京丰台·期末）设，若非空集合同时满足以下4个条件，则称是“无和划分”: ①； ②； ③，且中的最小元素大于中的最小元素； ④，必有. (1)若，判断是否是“无和划分”，并说明理由. (2)已知是“无和划分”（）. ①证明:对于任意，都有； ②若存在，使得，记,证明：中的所有奇数都属于. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 集合与常用逻辑用语 重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（2024高二下·天津河东·学业考试）若集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据交集的定义即可轻松求解. 【详解】,,则, 故选:D. 2．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合的子集个数为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】先求出集合，再求出图中阴影部分表示的集合；最后利用集合的子集个数公式即可求解. 【详解】由图可知：阴影部分表示的集合为. 因为集合， 所以， 则， 所以阴影部分表示的集合的子集个数为. 故选：B. 3．（2024·全国·高考真题）已知命题p：，；命题q：，，则（    ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【分析】对于两个命题而言，可分别取、，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解. 【详解】对于而言，取，则有，故是假命题，是真命题， 对于而言，取，则有，故是真命题，是假命题， 综上，和都是真命题. 故选：B. 4．（23-24高一上·陕西西安·开学考试）已知集合，，则“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】若，即可得到，从而求出的范围，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若，则，又，，所以， 所以由推得出，故充分性成立； 由推不出，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 5．（2024·四川成都·三模）设全集，集合M、N满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先得到，，，根据交集，并集和补集得到ABC错误，D正确. 【详解】，，故， 又，故，， A选项，由题意得交集，并集和，故A错误； B选项，由于，故，B错误； C选项，由于，故，C错误； D选项，由于，故，且， 又，故. 故选：D 6．（23-24高三下·重庆·阶段练习）集合，，若，则实数（    ） A． B．0 C． D．1 【答案】C 【分析】根据集合的包含关系，讨论或或，结合集合中元素的互异性，即可判断和选择. 【详解】因为，故． ①当时，，则，与元素的互异性矛盾，故不成立； ②当时，解得，与元素的互异性矛盾，故不成立； ③当时，即，则，，故成立，故. 故选：C． 7．（23-24高一上·河南郑州·阶段练习）某年级先后举办了数学、历史、音乐讲座，其中有人听了数学讲座，人听了历史讲座，人听了音乐讲座，记 是听了数学讲座的学生，是听了历史讲座的学生，是听了音乐讲座的学生.用来表示有限集合中元素的个数，若 ，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将已知条件用Venn图表示出来，然后逐项求解即可判断. 【详解】将已知条件用Venn图表示出来如下图， 对A：，故A错误； 对B：，故B正确； 对C：，故C错误； 对D：，故D错误； 故选：B.    8．（23-24高一上·上海·期末）已知集合是由某些正整数组成的集合，且满足：若，则当且仅当（其中正整数、且）或（其中正整数、且）．现有如下两个命题：①；②集合．则下列判断正确的是（    ） A．①对②对 B．①对②错 C．①错②对 D．①错②错 【答案】A 【分析】根据集合的定义即可判断①是假命题，根据集合的定义先判断，，再由，有，，且，所以，可判断 ②是真命题. 【详解】因为若，则当且仅当其中且，或其中且， 且集合是由某些正整数组成的集合， 所以，， 因为，满足其中且，所以， 因为，且，，所以， 因为，，，所以，故①对； 下面讨论元素与集合的关系， 当时，； 当时，，，，所以； 当时，，，，所以； 当时，，，，所以；依次类推， 当时，，，， 所以，则，故②对. 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题解题的关键在于判断，，，，再根据集合的定义求解. 二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．（22-23高三上·河北衡水·阶段练习）已知集合，若集合满足且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．集合的个数为6 D．集合的个数为5 【答案】BC 【分析】解集合B中的方程，得集合B，由已知列举出集合C，验证选项即可. 【详解】，当时，方程的解为或； 当时，方程的解为， 得，A选项错误，B选项正确； 由且，则，共6个． C选项正确，D选项错误. 故选：BC 10．（23-24高一上·陕西西安·开学考试）已知集合，若，则实数a的值可以是（    ）． A． B． C．0 D． 【答案】BCD 【分析】根据题意，求得，再分和，求得集合，结合，即可求解. 【详解】由方程，解得或，即， 当时，则方程无实数解，此时，满足，符合题意； 当时，由，可得 此时， 要使得，可得或，解得或. 综上可得，实数的值为或或. 故选：BCD. 11．（2024·河北石家庄·三模）某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是（    ） A．三项比赛都参加的有2人 B．只参加100米比赛的有3人 C．只参加400米比赛的有3人 D．只参加1500米比赛的有1人 【答案】ABD 【分析】根据总人数和各个项目的人数，可求出三项比赛都参加的人数，从而可判定各选项. 【详解】根据题意，设{是参加100米的同学}， {是参加400米的同学}， {是参加1500米的同学}， 则 且 则， 所以三项比赛都参加的有2人，只参加100米比赛的有3人， 只参加400米比赛的有2人，只参加1500米比赛的有1人. 故选：ABD 12．（22-23高一上·江苏宿迁·期中）设集合是实数集的子集，如果点满足：对任意，都存在，使得，称为集合的聚点，则在下列集合中，以0为聚点的集合有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据集合聚点的定义，逐一分析每个集合中元素的性质，并判断是否满足集合聚点的定义，从而得到答案. 【详解】对于集合，对任意的，都存在，使得， 所以0是集合的聚点，A选项正确； 对于集合，对于某个实数，比如， 此时对任意的，都有， 也就是说不可能，从而0不是集合的聚点，B选项错误； 对于集合，对任意的，都存在，即， 使，所以0是集合的聚点，C选项正确； 对于集合，，随着n增大而增大， 的最小值为，故当时，即不存在x，使得，D选项错误. 故选：AC 【点睛】关键点点睛：集合新定义的应用，其中解答中认真审题，正确理解集合的新定义——集合中聚点的含义，结合集合的表示及集合中元素的性质，逐项判定是解答的关键，着重考查推理与论证能力. 三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13．（23-24高一上·河南濮阳·阶段练习）集合用列举法表示为 ． 【答案】 【分析】根据4能被整除分类即可. 【详解】时，时，时，时，时，；时，. 故． 故答案为：. 14．（2024·江西吉安·模拟预测）设集合，则集合的子集个数为 . 【答案】4 【分析】由交集的运算得到，再由集合子集的个数计算公式计算即可. 【详解】由题意可得，故的子集个数为. 故答案为：4. 15．（23-24高一上·江西南昌·期中）对于两个集合，满足.且中元素个数不属于中元素个数不属于.求满足题意的不同的的个数为 . 【答案】 【分析】确定，考虑中的元素个数为几种情况，计算得到答案. 【详解】，， 当的元素个数为时，中的元素个数为，此时且，1种情况； 当的元素个数为时，中的元素个数为，此时且，4种情况； 当的元素个数为时，中的元素个数为，不成立； 当的元素个数为时，中的元素个数为，根据对称性知有4种情况； 当的元素个数为时，中的元素个数为，根据对称性知有1种情况； 综上所述：共有10个不同的满足条件. 故答案为：. 16．（23-24高一上·北京·期中）定义集合的“长度”是，其中a，R．已如集合，，且M，N都是集合的子集，则集合的“长度”的最小值是 ；若，集合的“长度”大于，则n的取值范围是 . 【答案】 / 【分析】空1：根据区间长度定义得到关于的不等式组，再分类讨论即可；空2：代入得到，再根据区间长度大于，得到关于的不等式组，解出即可. 【详解】集合，，且M，N都是集合的子集， 由，可得，由，可得． 要使的“长度”最小，只有当取最小值、取最大或取最大、取最小时才成立. 当，，，“长度”为， 当，，，“长度”为， 故集合的“长度”的最小值是； 若，， 要使集合的“长度”大于，故或 即或又，故. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是充分理解区间长度的定义，再根据交并集的含义得到不等式组，结合分类讨论的思想即可. 四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 17．（23-24高一上·陕西西安·开学考试）已知命题，命题或，其中．若是成立的充分不必要条件，求的取值范围． 【答案】或 【分析】令，或，依题意可得真包含于，即可得到不等式（组），解得即可. 【详解】令，或， 因为是的充分不必要条件，所以真包含于， 所以或，解得或， 故的取值范围为或． 法二：由真包含于，可得如下两种情况， 结合数轴得或， 解得或， 故的取值范围为或． 18．（22-23高三上·甘肃定西·阶段练习）已知全集． (1)求； (2)求． 【答案】(1)，． (2) 【分析】集合B中，绝对值去掉得到，然后与集合A进行并补运算.先算补集，然后与集合P求交集. 【详解】（1）由，可得， ， ，． （2）， ． 19．（23-24高一上·云南曲靖·期中）已知集合． (1)若，求实数的值； (2)若命题为真命题，求实数的值． 【答案】(1)4 (2)0 【分析】（1）由得是方程的根，代入方程可求答案； （2）根据两个方程有公共解可求实数的值． 【详解】（1）因为，所以，解得； （2）因为命题为真命题， 所以方程组有公共解，解得， 当时，经检验知，符合题意. 20．（23-24高二下·江西南昌·期中）设集合，， (1)若，求，； (2)若中只有一个整数，求实数m的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据条件得到，再利用集合的运算即可求出结果； （2）由（1）知或，根据条件，借助数轴，即可求出结果. 【详解】（1）因为，所以， 又，所以或， 所以，． （2）由（1）知或，又中只有一个整数， 由图知，，且，+ 解得，所以实数m的取值范围是． 21．（23-24高一上·江苏徐州·期末）已知集合，. (1)求的真子集； (2)若______，求实数的取值集合. 从以下两个条件中任选一个补充在横线上，并进行解答. ①“”是“”的充分条件；②. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）先求出集合，再根据真子集的定义即可得解； （2）选①，由“”是“”的充分条件，可得，再分两种情况讨论即可. 选②，由，可得，再分两种情况讨论即可. 【详解】（1）， 所以集合的真子集有； （2）选①，因为“”是“”的充分条件， 所以， 当时，，符合题意， 当时，， 因为，所以或，所以或， 综上所述，实数的取值集合为. 选②，因为，所以， 当时，，符合题意， 当时，， 因为，所以或，所以或， 综上所述，实数的取值集合为. 22．（23-24高一上·北京丰台·期末）设，若非空集合同时满足以下4个条件，则称是“无和划分”: ①； ②； ③，且中的最小元素大于中的最小元素； ④，必有. (1)若，判断是否是“无和划分”，并说明理由. (2)已知是“无和划分”（）. ①证明:对于任意，都有； ②若存在，使得，记,证明：中的所有奇数都属于. 【答案】(1)不是，理由见解析 (2)①证明见解析；②证明见解析 【分析】（1）取，则，即可得到结论； （2）①假设存在，使得，记的最小值为，得到，设B中最小的元素为，求得 不同属于，列出方程组，即可得到结论； ②由①知 ，设中最小的元素为, 得出 矛盾， 求得，进而得到，，得到对于任意奇数 都有 ，进而得到结论. 【详解】（1）解：不是. 理由如下：取，则，说明不是“无和划分”. （2）解：①假设存在，使得, 记的最小值为，则； 设B中最小的元素为，则，所以， 所以，（否则与矛盾）， (否则与 矛盾)，所以 ， 因为 ，所以 不同属于， 所以 这与矛盾，所以假设不成立. ②因为是“无和划分”, 且存在, 使得 记i的最小值为， 所以 ， 由①知 ， 因为, 所以 ，所以， 设中最小的元素为, 若，则，所以 ， 所以 (否则与 矛盾)， 所以 (否则 与 矛盾)， 所以 ，又因为 和 不同属于C，所以 ， 这与 矛盾， 所以，即， 所以，所以，所以， 所以(否则与 矛盾)，所以 ， 若，则与 和 矛盾， 所以所以, (否则与 矛盾)， (否则与 矛盾)，所以 ， 以此类推，对于任意奇数 都有 ， 所以为偶数(否则， 与2∈B和 矛盾), 所以 均为奇数. 因为 ，所以 (否则与 矛盾)，所以 ， 所以 ，所以 (否则与 矛盾)，所以 ， 以此类推，对于任意大于，小于或等于的奇数都属于集合， 综上所述，中的所有奇数都属于集合. 【点睛】知识方法点拨：与新定义有关的问题的求解策略： 1、通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的； 2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决. 方法点拨：与数列有关的问题的求解策略： 3、若新定义与数列有关，可得利用数列的递推关系式，结合数列的相关知识进行求解，多通过构造的分法转化为等差、等比数列问题求解，求解过程灵活运用数列的性质，准确应用相关的数列知识. 4、若新定义与集合的运算有关，要熟记集合的性质以及集合的运算法则，必要时可利用集合的韦恩图，更加直观的求解. 学科网（北京）股份有限公司 $$