精品解析：2024年湖南省永州市李达中学中考三模数学试题

2024年湖南省永州市李达中学中考三模 数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 的相反数是（　　） A. B. C. 3 D. -3 2. 年1月26日春运首日，我国铁路发送旅客万人次，其中万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列汽车图标，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 购买一张彩票中奖． B. 射击运动员射击一次，命中靶心． C. 经过不同的两点，能作出两条不同的直线． D. 将实心铁球放在水中，铁球下沉． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，．若，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 7. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 8. 已知正比例函数的图象和反比例函数的图象相交于点和点B．下列说法正确的是（ ） A. 反比例函数的解析式为 B. 随x值的增大而增大 C. 当或时， D. 在x轴上不存在点C，使 9. 如图，在中，D是边上的中点，连接，把沿翻折，得到与交于点E，连接，若，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 的面积为 10. 如果一个整数是另一个整数的平方，那么我们就把这个整数称为“平方数”，如0，1，4，9，16…都是平方数；如果一个整数是两个整数的平方和，那么我们就把这个整数称为“亚平方数”．如：．所以0，1，5，13…都是亚平方数．下面关于“平方数”和“亚平方数”的结论中，错误的是（ ） A. 任何一个平方数一定是亚平方数 B. 一个平方数与一个亚平方数的积一定是一个亚平方数 C. 两个亚平方数的积一定是一个亚平方数 D. 两个亚平方数的和一定是一个亚平方数 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 4的平方根是_______． 12. 代数式有意义时，x应满足的条件是________． 13. 分解因式： ____________． 14. 甲、乙两人进行排球垫球比赛，每人各垫球5次，甲的成绩（单位：个）为：38、32、40、35、30．甲、乙两人的平均成绩相等，乙成绩的方差为12，则甲、乙两人中成绩较为稳定的是___________．（填“甲”或“乙”） 15. 如图，矩形中，O为的中点．对角线的垂直平分线分别交于点E、F，若，则的面积是___________． 16. 《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，那么木头长 ___________尺． 17. 如图，二次函数的图象与x轴交于点，其中．下列四个结论：①，②，③，④．其中正确结论的序号是___________（将所有正确结论的序号都填上）． 18. 如图①②③④分别是的内接正三角形、正方形、正五边形、正n边形，点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在上逆时针运动，连接交于点P．在图①②③中，的度数分别为、、，则在图④中___________（用含n的代数式表示）． 三、解答题（共8道题，满分66分） 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 解不等式组，并将解集表示在数轴上． 21. 某校为了解初中学生每天在校体育活动的时间（单位：h），随机调查了该校的部分初中学生，根据调查结果，绘制出如下统计图． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）本次接受调查的初中学生人数为___________，图（1）中m的值为___________； （2）求接受调查的学生每天在校体育活动时间的平均数、众数和中位数； （3）若接受调查的学生中，每天在校体育活动时间小于的4人中，有男、女学生各2人现从这4人中随机选取2人，求选取的2人中，恰好是一男一女的概率． 22. 湘沙中学为了丰富学生的课余生活，计划购买围棋和中国象棋供学生使用．若购买3副围棋和5副中国象棋需要109元，购买5副围棋和8副中国象棋需要178元． （1）求每副围棋和每副中国象棋各多少元； （2）湘沙中学决定购买围棋和中国象棋共50副，总费用不超过750元，那么湘沙中学最多可以购买多少副围棋？ 23. 五轮塔位于长沙市岳麓山区，是北伐阵亡将士纪念塔．如图，小涵的身高为米．他站在处测得塔顶的仰角．小颖的身高为米，她站在距离塔底中心点米远的处．测得塔顶的仰角．（点在同一水平线上，参考数据：）． （1）求小涵与塔底中心的距离（用含的式子表示）； （2）若小涵与小颖相距米，求五轮塔的高度（精确到米）． 24. 如图，在中，．以为直径作交于点D，E为的中点，连接并延长交的延长线于点F． （1）求证：是的切线． （2）若．求的面积． 25. 在中，，．将绕点C顺时针旋转一个角度得到，点A、B的对应点分别为D、E． （1）若点E恰好落在边上，如图（1），连接，求的大小； （2）若，F为的中点，如图（2），连接，求证：四边形是平行四边形． （3）若，如图（3）．连接，且与分别交于点G、H，求证：． 26. 如图，已知抛物线经过、两点，与x轴的另一个交点为，顶点为，连接，点为抛物线上一动点． （1）求抛物线的表达式． （2）若点在直线的下方运动时，过点作交于点E，过点作y轴的平行线交直线于点．求周长的最大值及此时点的坐标． （3）在该抛物线上是否存在点，使得若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年湖南省永州市李达中学中考三模 数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 的相反数是（　　） A. B. C. 3 D. -3 【答案】A 【解析】 【分析】根据相反数的定义即可解答． 【详解】解：的相反数为． 故选：A． 【点睛】本题考查了相反数，熟记相关定义是解答本题的关键． 2. 年1月26日春运首日，我国铁路发送旅客万人次，其中万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键． 将万等于写成其中，n为整数的形式即可． 【详解】解：． 故选A． 3. 下列汽车图标，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐项判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B．是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； C．是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； D．是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意． 故选B． 4. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 购买一张彩票中奖． B. 射击运动员射击一次，命中靶心． C. 经过不同的两点，能作出两条不同的直线． D. 将实心铁球放在水中，铁球下沉． 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，熟记必然事件、不可能事件、随机事件的概念是解题关键．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据定义，对每个选项逐一判断． 【详解】解：A、是随机事件，不符合题意，选项错误； B、是随机事件，不符合题意，选项错误； C、是随机事件，不符合题意，选项错误； D、是必然事件，符合题意，选项正确； 故选：D． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的乘方、同底数幂相乘、同底数幂相除、完全平方公式等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． 根据幂的乘方、同底数幂相乘、同底数幂相除、完全平方公式逐项判断即可． 【详解】解：A. ，则该选项错误，不符合题意； B. ，则该选项错误，不符合题意； C. ，则该选项正确，符合题意； D. ，则该选项错误，不符合题意． 故选C． 6. 如图，．若，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了垂直的定义、角的和差、平行线的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 根据垂直的性质可得,根据角的和差可得,最后根据平行线的性质即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴, ∵， ∴． 故选A． 7. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根据判断一元二次方程根的情况，先根据一元二次方程得到判别式，根据判别式的取值得到根的情况，根据判别式的大小得到根的情况是解题的关键． 【详解】解：根据一元二次方程可得到判别式为， ∵恒成立， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 8. 已知正比例函数的图象和反比例函数的图象相交于点和点B．下列说法正确的是（ ） A. 反比例函数的解析式为 B. 随x值的增大而增大 C. 当或时， D. 在x轴上不存在点C，使 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练运用反比例函数与一次函数的性质解决问题是本题的关键． 由题意可求得正比例函数解析式和反比例函数解析式，再根据正比例函数和反比例函数的性质可逐项判断即可． 【详解】解：∵正比例函数的图象和反比例函数的图象相交于点和点B， ∴正比例函数，反比例函数，故A选项错误； 由，则函数图像在二、四象限，且在每个象限y随x的增大而增大，故B选项错误； ∵正比例函数中，y随x的增大而减小，反比例函数中，在每个象限内随y随x的增大而增大，则当或时，，即C选项正确； 若存在，则，得，设点的坐标为，，所以，解得，所以在x轴上存在两个点C，使得，故D选项错误． 故选C． 9. 如图，在中，D是边上的中点，连接，把沿翻折，得到与交于点E，连接，若，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 的面积为 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定及性质、折叠的性质等知识点，熟练掌握性质定理是解题的关键．根据折叠的性质可得、可判断B选项，再结合中点定义以及已知条件可得可判断A选项，易证为等腰三角形可判定C选项；如图：连接交于，根据折叠的性质以及可得，再解直角三角形可得，最后运用三角形的面积公式即可解答． 【详解】解：∵把沿翻折，得到与交于点E， ∴，，即B选项正确，不符合题意； ∵D是边上的中点， ∴， ∵， ∴，即A选项正确，不符合题意； ∴为等边三角形， ∴，即C选项正确，不符合题意； 如图：连接交于， ∵把沿翻折，得到与交于点E， ∴，，, ∴, ∴, ∴的面积为，即D错误，符合题意． 故选D． 10. 如果一个整数是另一个整数的平方，那么我们就把这个整数称为“平方数”，如0，1，4，9，16…都是平方数；如果一个整数是两个整数的平方和，那么我们就把这个整数称为“亚平方数”．如：．所以0，1，5，13…都是亚平方数．下面关于“平方数”和“亚平方数”的结论中，错误的是（ ） A. 任何一个平方数一定是亚平方数 B. 一个平方数与一个亚平方数的积一定是一个亚平方数 C. 两个亚平方数的积一定是一个亚平方数 D. 两个亚平方数的和一定是一个亚平方数 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查有理数的乘方、整式乘法运算、完全平方公式等知识，根据题中定义，利用相关运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A、任何一个平方数一定是亚平方数，说法正确， 理由：设这个平方数为， ∵， ∴任何一个平方数一定是亚平方数，说法正确，不符合题意； B、一个平方数与一个亚平方数的积一定是一个亚平方数，说法正确， 理由：设一个平方数为，一个亚平方数为， 则, ∴一个平方数与一个亚平方数的积一定是一个亚平方数，说法正确，不符合题意； C、两个亚平方数的积一定是一个亚平方数，说法正确， 理由：设一个亚平方数为，一个亚平方数为， 则 ， ∴两个亚平方数的积一定是一个亚平方数，说法正确，不符合题意； D、两个亚平方数的和一定是一个亚平方数，说法错误， 理由：如：，， 则，但6不能写成两个整数的平方和， ∴两个亚平方数的和一定是一个亚平方数，说法错误，符合题意， 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 4的平方根是_______． 【答案】±2 【解析】 【详解】解：∵， ∴4的平方根是±2． 故答案为±2． 12. 代数式有意义时，x应满足的条件是________． 【答案】x<3 【解析】 【分析】通过分式有意义的条件与二次根式有意义的条件相结合可求出结果． 【详解】由题可得 解得：. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件,解题中准确把二次根式有意义的条件与分式有意义条件结合是解题的关键． 13. 分解因式： ____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的提公因式法与完全平方公式的应用，解题的关键是先提取多项式各项的公因式，再对剩余部分判断是否能利用公式进一步分解． 先观察多项式各项，提取公因式，得到；再发现括号内的二次三项式符合完全平方公式，将其分解为，最终得到因式分解结果． 【详解】解： 故答案为：． 14. 甲、乙两人进行排球垫球比赛，每人各垫球5次，甲的成绩（单位：个）为：38、32、40、35、30．甲、乙两人的平均成绩相等，乙成绩的方差为12，则甲、乙两人中成绩较为稳定的是___________．（填“甲”或“乙”） 【答案】乙 【解析】 【分析】本题考查方差的定义：一般地设个数据，，，的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．先计算出甲的平均数，再计算甲的方差，然后比较甲乙方差的大小可判定谁的成绩稳定． 【详解】解：甲的平均数， 所以甲的方差， ， 乙的方差比甲的方差小， 所以乙的成绩比较稳定． 故答案为：乙． 15. 如图，矩形中，O为的中点．对角线的垂直平分线分别交于点E、F，若，则的面积是___________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解题的关键．连接，由线段垂直平分线的性质得出，，证明得出，得出，，由勾股定理求出，再求解的面积． 【详解】解：连接，如图： 是的垂直平分线， ，， 四边形是矩形， ，， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， ， 的面积是， 故答案为：5 16. 《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，那么木头长 ___________尺． 【答案】6.5 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设木头长尺，则绳子长尺，根据“将绳子对折再量木条，木头剩余1尺”，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设木头长尺，则绳子长尺， 根据题意得：， 解得， 答：木头长6.5尺． 故答案为：6.5 17. 如图，二次函数的图象与x轴交于点，其中．下列四个结论：①，②，③，④．其中正确结论的序号是___________（将所有正确结论的序号都填上）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考主要查了二次函数图象与系数关系，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 根据抛物线开口向上,抛物线对称轴,抛物线与y轴的交点可判断①正确；根据图象与x轴交于两点和对称轴的位置可判断②错误；当时，y的值为结合对称轴可判断③错误；根据对称轴；可得，变形可判断④正确. 【详解】解：①∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线对称轴在y轴的右侧， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴， ∴，所以①正确； ②有函数图像可得当时，，即，故②正确； ③当时，y的值为， 给乘以4，可得， ∵图象与x轴交于两点，其中， ∴， ∴， ∵抛物线的对称轴在， ∴关于对称轴对称点的横坐标在和之间， 由图象可知在和2之间y为负值，2和之间y为正值， ∴与0的关系不能确定，故③错误； ④∵， ∴． 故答案：①②④． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数关系，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 18. 如图①②③④分别是的内接正三角形、正方形、正五边形、正n边形，点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在上逆时针运动，连接交于点P．在图①②③中，的度数分别为、、，则在图④中___________（用含n的代数式表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形内角和公式和三角形外角性质，熟练掌握正多边形内角度数与边的关系是解题的关键； 根据点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在上逆时针运动， 得，然后利用三角形的外角性质定理得，通过正三角形和四边形得出规律和多边形边数的关系就是和多边形边数的关系，然后利用正多边形内角公式，即可得出结论． 【详解】∵点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在上逆时针运动， ∴， ∴． 又∵， ∴，即 ， ∵是正三角形， ∴， 在图②中， ∵点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在上逆时针运动， ∴， ∴． 又∵， ∴，即 ∵四边形是正方形， ∴∴． 同理可得：在图③中，； 和多边形边数的关系就是和多边形边数的关系， 由多边形内角和公式可知：正多边形每个内角的度数为（，且n为整数）， ． 故答案为： 三、解答题（共8道题，满分66分） 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，掌握分式混合运算法则成为解题的关键．先根据分式的混合运算法则化简，然后再将代入计算即可． 【详解】解： ， 原式． 20. 解不等式组，并将解集表示在数轴上． 【答案】 解集表示在数轴上如下： 【解析】 【分析】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集、解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，继而表示在数轴上． 【详解】解：由①得， 由②得， 解集为． 21. 某校为了解初中学生每天在校体育活动的时间（单位：h），随机调查了该校的部分初中学生，根据调查结果，绘制出如下统计图． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）本次接受调查的初中学生人数为___________，图（1）中m的值为___________； （2）求接受调查的学生每天在校体育活动时间的平均数、众数和中位数； （3）若接受调查的学生中，每天在校体育活动时间小于的4人中，有男、女学生各2人现从这4人中随机选取2人，求选取的2人中，恰好是一男一女的概率． 【答案】（1）40,25 （2），众数为，中位数 （3） 【解析】 【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图的关联，涉及求平均数、中位数和众数，用树状图法求事件的概率等知识，能从统计图中准确获取有用信息是解答的关键． （1）根据初中学生每天在校体育活动的时间为的人数除以其所占的百分比可得调查总人数，用初中学生每天在校体育活动的时间是的人数除以调查总人数即可求解m值； （2）分别根据平均数、众数、中位数的求解方法求解即可； （3）画树状图得到所有等可能的结果数，然后找出恰好是一男一女的结果数，进而利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：本次接受调查的初中学生人数为（人），， 故答案为：40，25； 【小问2详解】 解：根据统计数据，接受调查的学生每天在校体育活动时间的平均数为 ； ∵40个数据中，出现了15次，出现次数最多， ∴众数是； ∵40个数据从小到大顺序排列，第20、21个数据都是1.5， ∴中位数是； 【小问3详解】 解：2名女生分别记为A、B，2名男生分别记为C、D， 画树状图如图： 共有12种等可能的结果，其中恰好恰好是一男一女的8种结果， ∴选取的2人中，恰好是一男一女的概率为． 22. 湘沙中学为了丰富学生的课余生活，计划购买围棋和中国象棋供学生使用．若购买3副围棋和5副中国象棋需要109元，购买5副围棋和8副中国象棋需要178元． （1）求每副围棋和每副中国象棋各多少元； （2）湘沙中学决定购买围棋和中国象棋共50副，总费用不超过750元，那么湘沙中学最多可以购买多少副围棋？ 【答案】（1）每副围棋18元，每副象棋11元 （2）最多可以购买28副围棋 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组及一元一次不等式的实际应用： （1）设每副围棋元，每副象棋元，根据题意可列得二元一次方程组，求解即可； （2）根据围棋和象棋的价格，可设购买围棋副，根据题意列得不等式求解即可； 理解题意，找准题中等量关系是解题的关键． 【小问1详解】 解：每副围棋元，每副象棋元， 则， 解得， ∴每副围棋18元，每副象棋11元； 【小问2详解】 解：设购买围棋副，则购买象棋副， 根据题意可得：， 解得：， 的最大整数为， ∴最多可以购买28副围棋． 23. 五轮塔位于长沙市岳麓山区，是北伐阵亡将士纪念塔．如图，小涵的身高为米．他站在处测得塔顶的仰角．小颖的身高为米，她站在距离塔底中心点米远的处．测得塔顶的仰角．（点在同一水平线上，参考数据：）． （1）求小涵与塔底中心的距离（用含的式子表示）； （2）若小涵与小颖相距米，求五轮塔的高度（精确到米）． 【答案】（1）； （2）五轮塔的高度为米． 【解析】 【分析】（）由题意得，四边形为矩形，求得，在中，利用的正切求得，从而得，在中，根据等腰直角三角形的性质求得，由此即可求得答案； （）由题意可得关于的方程，解方程求得的值即可得答案； 本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，，熟练掌握知识点的应用，构造直角三角形是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意得，四边形，为矩形， ∴，， ∴， 在中，，则， ∴， 在中，， ∴， ∴， 答：小涵与塔底中心的距离 为米； 【小问2详解】 由（）得，，（米），（米） ∴（米）， 由题意得：， 解得：， ∴（米）， ∴（米）， 答：五轮塔的高度为米． 24. 如图，在中，．以为直径作交于点D，E为的中点，连接并延长交的延长线于点F． （1）求证：是的切线． （2）若．求的面积． 【答案】（1）证明：如图，连接、． ∵为的直径， ∴， ∴，即是直角三角形， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了圆切线的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线，勾股定理等等，熟知圆切线的性质与判定是解题的关键． （1）连接、，由为的直径知是直角三角形，结合E为的中点知，由且可得答案； （2）设的半径为，由，即可得，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设的半径为， ∵， ∴，即， 解得：， ∴的面积为． 25. 在中，，．将绕点C顺时针旋转一个角度得到，点A、B的对应点分别为D、E． （1）若点E恰好落在边上，如图（1），连接，求的大小； （2）若，F为的中点，如图（2），连接，求证：四边形是平行四边形． （3）若，如图（3）．连接，且与分别交于点G、H，求证：． 【答案】（1） （2）证明：∵F为的中点，在中，，将绕点C顺时针旋转一个角度得到， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， 由旋转可知，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． （3）证明：由旋转可知， ， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 过点A作交于点P，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴是的中点， ∴， ∴ 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质得到，，再求出，即可得到答案； （2）证明是等边三角形，则，证明，则，即可得到结论； （3）证明，得到，过点A作交于点P，连接，证明四边形是平行四边形， 则是的中点，得到，即可得到． 【小问1详解】 ∵将绕点C顺时针旋转一个角度得到，点A、B的对应点分别为D、E． ∴， ∴， ∴ 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、旋转的性质、平行四边形的判定和性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 26. 如图，已知抛物线经过、两点，与x轴的另一个交点为，顶点为，连接，点为抛物线上一动点． （1）求抛物线的表达式． （2）若点在直线的下方运动时，过点作交于点E，过点作y轴的平行线交直线于点．求周长的最大值及此时点的坐标． （3）在该抛物线上是否存在点，使得若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）周长最大为，此时点坐标为 （3）存在，点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）延长交轴于点，作轴于点，根据抛物线的解析式可得到，，进而求出直线的解析式为，设，则，得到，证明，得到，由，，可推出，即可求解； （3）分两种情况讨论：①当点在上方时，过点作交抛物线于点，则，利用待定系数法求出直线的解析式为，进而可求出直线的解析式为，联立，即可求解；②当点在下方时，作交轴于点，连接交抛物线于点，可得到是直角三角形，且，，由，，知是等腰直角三角形，得到，进而得到也是等腰直角三角形，推出，求出直线的解析式为， 联立，即可求解． 【小问1详解】 解：将、代入抛物线中得： ， 解得：， 抛物线的表达式为：； 【小问2详解】 在中，令，则， 解得：或， ， 又， 顶点， 设直线的解析式为， 将，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 设， 轴， ， ， 如图，延长交轴于点，作轴于点，即， ， ， ， ， ， ， ， 又，， ， 又， ， 当时，有最大值， 周长最大为，此时点坐标为； 【小问3详解】 存在，理由如下： ①当点在上方时，如图，过点作交抛物线于点， 则， 设直线的解析式为，将，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将代入得：， 解得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：或（舍去）， ； ②当点在下方时，作交轴于点，连接交抛物线于点， 在中，，，， ， 是直角三角形，且， ， 由，，知是等腰直角三角形， ， 又， ， 也是等腰直角三角形， ，， ， ， 设直线的解析式为， 将，代入得：， 解得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：或（舍去）， ， 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数与几何图形的综合，涉及二次函数的图像与性质，一次函数的性质，相似三角形的判定与性质，三角函数等知识，解题的关键是灵活运用这些知识． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $