精品解析：江苏省盐城市盐城中学2024届高三下学期第一次模拟考试数学试卷

【新结构】江苏省盐城市盐城中学2024届高三第一次模拟考试数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化，由正弦型函数的周期性即可求解. 【详解】由题意，得， 所以的最小正周期. 故选：A. 2. 已知随机事件A，B相互独立，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据A，B相互独立可得，再根据计算即可. 【详解】因为事件A，B相互独立，且，可得， 所以=. 故选：B. 3. 已知向量，满足，，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】把给出的两个等式两边平方化简后，解方程组即可求解. 【详解】解：由，可得，① 由，可得， 整理得， 代入①得， 解得 故选：D. 4. 若从1至99个整数中随机取2个不同的数，则这2个数的和是3的倍数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出基本事件总数，再求出这2个数的和为3的倍数包含的基本事件个数，由此能求出这2个数的和为3的倍数的概率. 【详解】解：从1至9的9个整数中随机取2个不同的数，基本事件总数， 这2个数的和为3的倍数包含的基本事件为，，，，，，，，，，，， 共12个，即， 则这2个数的和是3的倍数的概率是. 故选：C. 5. 已知为数列的前n项和，则“”是“数列为单增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】由数列的前n项和与项得关系可判断，进而得数列为单调递增数列，设公差为，此时，推出当时先减后增，可判断充分性，举例可判断必要性，即可得结果. 【详解】解：若， 故，即， 故为单调递增数列，设公差为， 此时，，， 令，对称轴为，当时，此时对称轴， 此时先减后增， 故不能推出“数列为单增数列”， 若数列为单增数列， 例如，则，， 则， 故不能推出， 所以“”是“数列为单增数列”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 6. 已知，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据求出，从而可得的范围，即可得出的范围，再求和的值，即可得结果. 【详解】因为，，， 则， 可知，，则， 又因为， 可得， 所以. 故选：D. 7. 已知球与圆台的上下底面和侧面都相切.若圆台上下底面半径分别为，且.若球和圆台的体积分别为和，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设球O的半径为R，利用球与圆台相切得和圆台的高为，再利用圆台和球的体积得，再利用对勾函数的图象与性质，计算得结论. 【详解】 因为球O与圆台的上下底面和侧面都相切， 圆台上下底面半径分别为、，且， 由切线长定理有圆台的母线长为， 设球O的半径为R，几何体轴截面上右端点为，下右端点为， 过点作于，则圆台的高，， 则由勾股定理有，化简得， 因为球O与圆台的体积分别为和， 所以， 因为，所以， 令，，由对勾函数可知，时，随的增大而减小， 当时，取得最小值，最小值为， 所以的最大值为. 故选：D. 8. 已知函数的零点为，存在零点，使，则不能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的零点的取值范围，分别求出函数的零点，判断不等式是否成立即可. 【详解】解：函数定义域为， 函数在上单调递增， 而 ，因此， 对于A，由，得， 解得或或， 显然或，故A错误； 对于B，由，得， 则，， 解得，， 取，，此时存在零点，使，故B错误； 对于C，的定义域为， ， 令，由指数函数和幂函数单调性可知： 在上为增函数， 因为，所以， 且，， 所以使得. 当时，，为减函数， 当时，，为增函数， ， 所以存在零点， 所以不满足，故C正确. 对于D，由，得， 则解得， ， 即，，故D错误. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题C选项的关键是利用导数结合隐零点法得到使得，再利用零点存在性定理即可判断. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知非零复数在复平面内对应的点分别为为坐标原点，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 若，则存在实数，使得 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【详解】结合复数运算法则及复数几何意义化简计算即可. 【解答】对A，即，两边平方可得，A对； 对，取，则，当，B错； 对，即，两边平方可得， 故，故，因此存在实数，使得，C对； 对，取，但，D错. 故选：AC 10. 定义平面斜坐标系，记，，分别为x轴、y轴正方向上的单位向量，若平面上任意一点P的坐标满足：，则记向量的坐标为，给出下列四个命题，正确的选项是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，以O为圆心、半径为1的圆的斜坐标方程为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题目的新定义，结合向量的线性运算与向量数量积的坐标运算等对选项逐一判断即可. 【详解】对于A，，，则， ，A正确； 对于B，，，则， ，显然，则，B错误； 对于C，，，由选项A同理得， 即，， ，C错误； 对于D，设以O为圆心、半径为1的圆上任意一点为， 由，得，于是， 由，得，即，D正确. 故选：AD 11. 已知直四棱柱，，底面是边长为1的菱形，且，点E，F，G分别为，，的中点，点H是线段上的动点（含端点）.以为球心作半径为R的球，下列说法正确的是（ ） A. 直线与直线所成角的正切值的最小值为 B. 存在点H，使得平面 C. 当时，球与直四棱柱的四个侧面均有交线 D. 在直四棱柱内，球外放置一个小球，当小球体积最大时，球直径的最大值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】A选项，作出辅助线，建立空间直角坐标系，设出，，表达出直线与直线所成角的余弦值，求出最大值为，从而得到正切值的最小值；B选项，作出截面，进而可找出满足条件的点H；C选项，找到与四个侧面的交线即可；D选项，球外放置一个小球O，当小球O与四个侧面均相切时，小球O体积最大，得到小球O的半径为，得到，结合得到球直径的最大值. 【详解】A选项，连接，因为底面是边长为1的菱形，且， 所以为等边三角形， 因为为的中点， 所以，故， 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴， 建立空间直角坐标系，如图所示： 故，，， 设，， 则，， 设直线与直线所成角的大小为， 则， 令， 故， 因为， 所以当时，取得最大值， 最大值为，此时， 因为在上单调递减， 在上单调递增， 故直线与直线所成角的正切值的最小值为，故A正确； B选项，取，，的中点，，， 连接，，，，，， 由平行关系可知，过，，三点的平面截直四棱柱， 得到的截面为六边形， 当与重合时，平面，平面. 所以平面，故B正确； C选项，连接，则，， 如图，当时，直四棱柱截球体下半部分的， 球与直四棱柱四个侧面都有一段圆弧状交线， 截面如下： 故C正确； D选项，球外放置一个小球O，当小球O与四个侧面均相切时，小球O体积最大， 此时小球O在底面上的射影刚好与菱形相切， 故小球O的半径为，底面的中心为，⊥平面， 其中，， 故，因为， 则， 故球直径的最大值为，故D错误. 故选：ABC. 【点睛】立体几何中截面的处理思路： （1）直接连接法：有两点在几何体的同一个平面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面就是找交线的过程； （2）作平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的平面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体与截面的交线； （3）作延长线找交点法：若直线相交但在立体几何中未体现，可通过作延长线的方法先找到交点，然后借助交点找到截面形成的交线； （4）辅助平面法：若三个点两两都不在一个侧面或者底面中，则在作截面时需要作一个辅助平面. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 展开式中的常数项为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用二项式展开式的通项公式，令x的指数为0，求得参数r的值，即可求得答案. 【详解】由题意的展开式的通项为 ， 令， 故展开式中的常数项为， 故答案为：60 13. 下图是单叶双曲面的立体结构图，且为中心对称图形，此双曲面可由线段绕与其不共面的直线旋转而成，其轴截面为双曲线的一部分，若该几何体的高为2，上底面圆的直径为4，垂直于旋转轴的截面圆的面积最小值为，则双曲线的离心率为___________. 【答案】 【解析】 【分析】先设出截面双曲线方程，再利用条件直接求出，进而求出结果. 【详解】根据图形特点，以对称中心为原点，设截面双曲线所在的方程为， 因为垂直于旋转轴的截面圆的面积最小值为，所以， 又由几何体的高为2，上底面圆的直径为4，得到双曲线一点坐标为，代入方程可得，所以，得到，所以. 故答案为：. 14. 在中，已知，，点P在内，且满足，，则四边形面积的最大值为__________. 【答案】2 【解析】 【分析】设，，分别在和中，由余弦定理得到与的关系式，然后根据四边形的面积可得到面积与和的关系式，利用同角三角函数的关系最终得到面积与的关系式，利用基本不等式即可求出最大值. 【详解】如图所示 设，，则，，. 分别在和中，由余弦定理得， ， ， 所以， ，由，可知. 所以四边形的面积： ， 又， 当且仅当，即，，时，四边形的面积最大，最大值为2. 故答案为：2. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知正项数列中，，且. （1）求数列的通项公式； （2），证明：. 【答案】（1），； （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由已知得，得到是以为公比的等比数列，求出通项公式； （2）求出，利用裂项相消法即可求证. 【小问1详解】 由，， 得，又， 则是以为首项，为公比的等比数列， 所以，. 【小问2详解】 证明：因为 ， 所以 . 16. 如图，在以P，A，B，C，D为顶点的五面体中，四边形ABCD为等腰梯形，∥，，平面平面，． （1）求证：平面平面； （2）若二面角的余弦值为，求直线PD与平面PBC所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的性质得到平面，由面面垂直的判定即可证明； （2）过作，，垂足分别为，，连接，由几何法可证即为二面角的平面角，过作平面，以为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设，再由向量法求出直线PD与平面PBC所成角即可． 【小问1详解】 （1）因为平面平面，平面平面，，平面， 所以平面，又因为平面，所以平面平面． 【小问2详解】 过作，，垂足分别为，，连接， 因为平面平面，平面平面，，平面， 所以平面，又平面，所以， 又，且，，平面， 所以平面， 因为平面，所以，即即为二面角的平面角， 不妨设，则可知，且，， 因为，所以，所以， 过作平面，以为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，，所以， 设直线PD与平面PBC所成角为，则， 直线PD与平面PBC所成角的正弦值为 17. 某学习平台中“挑战答题”积分规则如下：选手每天可参加一局“挑战答题”活动.每局中选手需依次回答若干问题，当累计回答正确3道题时，答题活动停止，选手获得10个积分；或者当累计回答错误2道题时，答题活动停止，选手获得8个积分.已知选手甲正确回答每一道题的概率均为. （1）记X为“甲完成一局‘挑战答题’活动时回答的题数”，求的概率； （2）记Y为“甲连续9天参加‘挑战答题’活动获得的积分”，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用相互独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式，计算得结论； （2）记Z为“1天中参加‘挑战答题’活动获得的积分”，利用离散型随机变量的分布列和均值得，再利用均值的性质，计算得结论. 【小问1详解】 记为“第个题目回答正确”，为“第个题目回答不正确”. 因为选手甲正确回答每一道题的概率均为，X为“甲完成一局‘挑战答题’活动时回答的题数”， 所以. 【小问2详解】 记Z为“1天中参加‘挑战答题’活动获得的积分”，则Z所有可能的取值为8，10. 因为选手甲正确回答每一道题的概率均为， 所以 ， ， 因此， 而，所以. 18. 已知抛物线：，圆：，为坐标原点. （1）若直线：分别与抛物线相交于点A，（在B的左侧）、与圆相交于点S，（S在的左侧），且与的面积相等，求出的取值范围； （2）已知，，是抛物线上的三个点，且任意两点连线斜率都存在.其中，均与圆相切，请判断此时圆心到直线的距离是否为定值，如果是定值，请求出定值；若不是定值，请说明理由. 【答案】（1） （2）是，定值为1. 【解析】 【分析】（1）根据题意，将三角形面积相等转化为，再利用设而不求分别求得，，从而得到，再由判别式即可得解. （2）充分利用，得到直线与方程，利用与圆相切的性质同构出直线的方程，从而得解. 【小问1详解】 因为与的面积相等，且与的高均为原点到直线的距离， 所以，则， 设，，，， 则，即， 直线：代入抛物线，得， 因为直线与抛物线交于，两点， 所以，则， 直线：代入圆：， 得， 因为直线与圆于S，T两点，所以， 即， 即， 所以， 由，得， 又，则，所以, 将其代入得，解得； 将其代入得，解得. 综上，的取值范围为. 【小问2详解】 由题，易知直线，，斜率一定存在， 设，，， 则， 则直线的方程为：， 即，即， 因为圆：的圆心为，半径为， 因为直线与圆相切，则， 平方化简得：， 看成关于，为变量的式子得：， 同理得直线与圆C相切，化简式子后得：， 所以可以同构出直线的方程为：， 所以圆心到直线的距离为： ， 此时圆心到直线的距离为定值，定值为. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 19. 已知函数，，（是自然对数的底数），. （1）若是上的单调递增函数，求的取值范围； （2）若函数的图象与直线有且仅有三个公共点，公共点横坐标的最大值为，求证：. （3）当a，b满足什么条件时，恒成立. 【答案】（1）； （2）证明见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）利用导数由函数的单调性求参，计算得出结论； （2）利用函数图象，结合求曲线上一点的切线的斜率和题目条件得，再利用两角和与差的余弦公式和同角三角函数基本关系证明即可； （3）利用导数证明不等式，结合对参数a、b的讨论，计算得出结论. 【小问1详解】 因为，函数是上的单调递增函数， 所以即对恒成立，而当时，， 因此，所以的取值范围是. 【小问2详解】 作直线和函数的图象如下： 要使直线和函数的图象有且仅有三个公共点， 且公共点横坐标的最大值为， 则直线与函数的图象在内相切， 且切点为， 因为当时，，所以此时， 因此，即， 因为 ， 所以. 【小问3详解】 令， 则恒成立等价于恒成立. ①当时，因为当时，，，， 所以当时，，因此存在，使得，不符合题意. ②当时，因为， 当，即时，恒成立，符合题意； 当，即时，令， 则， 若，则， 因此存在，使得， 即不恒成立，不符合题意 ③当时，， 令，则. 令得；令得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 因此. 当，即时，恒成立， 因此恒成立，符合题意； 当，即时， 因为 ， 所以当，即时，， 即不恒成立，不符合题意. 综上所述，a，b满足或时，恒成立. 【点睛】关键点睛：第二问的关键是要采用数形结合并结合导数的几何意义确定切点横坐标为最大值，从而得出，再结合三角函数恒等变换即可证明等式；第三问的关键是先定一个参数的范围，再结合导数讨论另一个参数的范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【新结构】江苏省盐城市盐城中学2024届高三第一次模拟考试数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数最小正周期是（ ） A. B. C. D. 2. 已知随机事件A，B相互独立，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，满足，，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4. 若从1至9的9个整数中随机取2个不同的数，则这2个数的和是3的倍数的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知为数列的前n项和，则“”是“数列为单增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 7. 已知球与圆台的上下底面和侧面都相切.若圆台上下底面半径分别为，且.若球和圆台的体积分别为和，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的零点为，存在零点，使，则不能是（ ） A. B. C D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知非零复数在复平面内对应的点分别为为坐标原点，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 若，则存在实数，使得 D. 若，则 10. 定义平面斜坐标系，记，，分别为x轴、y轴正方向上的单位向量，若平面上任意一点P的坐标满足：，则记向量的坐标为，给出下列四个命题，正确的选项是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，以O为圆心、半径为1的圆的斜坐标方程为 11. 已知直四棱柱，，底面是边长为1的菱形，且，点E，F，G分别为，，的中点，点H是线段上的动点（含端点）.以为球心作半径为R的球，下列说法正确的是（ ） A. 直线与直线所成角正切值的最小值为 B. 存在点H，使得平面 C. 当时，球与直四棱柱的四个侧面均有交线 D. 在直四棱柱内，球外放置一个小球，当小球体积最大时，球直径的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 展开式中的常数项为__________. 13. 下图是单叶双曲面立体结构图，且为中心对称图形，此双曲面可由线段绕与其不共面的直线旋转而成，其轴截面为双曲线的一部分，若该几何体的高为2，上底面圆的直径为4，垂直于旋转轴的截面圆的面积最小值为，则双曲线的离心率为___________. 14. 在中，已知，，点P在内，且满足，，则四边形面积的最大值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知正项数列中，，且. （1）求数列的通项公式； （2），证明：. 16. 如图，在以P，A，B，C，D为顶点的五面体中，四边形ABCD为等腰梯形，∥，，平面平面，． （1）求证：平面平面； （2）若二面角的余弦值为，求直线PD与平面PBC所成角的正弦值． 17. 某学习平台中“挑战答题”积分规则如下：选手每天可参加一局“挑战答题”活动.每局中选手需依次回答若干问题，当累计回答正确3道题时，答题活动停止，选手获得10个积分；或者当累计回答错误2道题时，答题活动停止，选手获得8个积分.已知选手甲正确回答每一道题的概率均为. （1）记X为“甲完成一局‘挑战答题’活动时回答的题数”，求的概率； （2）记Y为“甲连续9天参加‘挑战答题’活动获得的积分”，求. 18. 已知抛物线：，圆：，为坐标原点. （1）若直线：分别与抛物线相交于点A，（在B的左侧）、与圆相交于点S，（S在的左侧），且与的面积相等，求出的取值范围； （2）已知，，是抛物线上的三个点，且任意两点连线斜率都存在.其中，均与圆相切，请判断此时圆心到直线的距离是否为定值，如果是定值，请求出定值；若不是定值，请说明理由. 19. 已知函数，，（是自然对数的底数），. （1）若是上的单调递增函数，求的取值范围； （2）若函数图象与直线有且仅有三个公共点，公共点横坐标的最大值为，求证：. （3）当a，b满足什么条件时，恒成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$