精品解析：江西省南昌市青山湖区江西育华学校2023-2024学年下学期5月八年级数学素养测试卷

八年级数学素养测试卷 说明：本试卷共有五个大题，22小题，全卷满分100分，考试时间100分钟． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列曲线中能表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 估算＋÷的运算结果应在(　　) A. 1到2之间 B. 2到3之间 C. 3到4之间 D. 4到5之间 3. 三角形的三边为a、b、c，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（ ）． A. B. C. D. 4. 点和都在直线上，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 5. “漏壶”是一种古代计时器，如图所示．在壶内盛一定量的水，水从壶底的小孔漏出，壶内壁画有刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间．用x表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度，不考虑水量变化对压力的影响，下列图象能表示y与x的对应关系的是（　　） A. B. C. D. 6. 对于函数y=﹣3x+1，下列结论正确的是（ ） A. 它的图象必经过点（﹣1，3） B. 它的图象经过第一、三、四象限 C. 当x＞时，y＜0 D. y的值随x值的增大而增大 7. 如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为；如图2，分别以直角三角形三边长为半径向外作半圆，面积分别为．其中，则（ ） A. 86 B. 64 C. 54 D. 48 8. 如图，矩形ABOC的顶点A的坐标为（-4，5），D是OB的中点，E是线段OC上的一动点，DE+AE的最小值是（　　　） A. B. 10 C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 一次函数的图象经过点，则______． 10. 函数y= 中，自变量x的取值范围是________． 11. 直线向下平移3个单位长度，求平移后直线的解析式为______． 12. 已知，如图直线与直线交于点，则不等式的解集为 ___________． 13. 如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出的部分是一个小正方形，这样就组成了一个“赵爽弦图”，如果大正方形面积为25，且直角三角形中较短的直角边的长为3，则中间小正方形面积（阴影部分）为______． 14. 如图，点，点，点，连接，点为线段的中点，在射线上有一动点，若是直角三角形，则写出所有符合要求的点的坐标______． 三、简答题（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 15. 计算： （1）； （2）. 16. 如图，在平行四边形ABCD中，E为AD边上一点，BE平分∠ABC，连接CE，已知DE＝6，CE＝8，AE＝10． （1）求AB的长； （2）求平行四边形ABCD的面积； 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知点、、、．请仅用无刻度的直尺，分别在图1、图2中画出满足条件的直线（保留画图痕迹，不写作法） （1）在图1中，画直线：； （2）在图2中，画直线：． 18. 已知一次函数的图象经过，两点． （1）求这个一次函数的解析式； （2）若将这个一次函数的图像向上平移2个单位长度，求平移后的直线与两坐标轴围成的三角形的面积． 四、简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 19. 某校组织学生从学校出发，乘坐大巴车前往距离学校360千米的基地进行研学活动．大巴车匀速行驶1小时后，学校因事派人乘坐轿车匀速沿同一路线追赶，大巴车降低速度继续匀速行驶，轿车行驶小时后追上大巴车，两车继续匀速行驶到达基地．如图表示大巴车和轿车离学校的距离（千米）与大巴车出发时间（时）之间函数关系的部分图象．结合图中提供的信息，解答下列问题： （1）轿车的速度为______千米/时，大巴车行驶1小时后的速度为______千米/时； （2）求大巴车出发1小时后与的函数解析式，并补全函数图象； （3）轿车到达基地时，大巴车距离基地还有多远？ 20. 如图，在中，是边上的一点，是的中点，过点作的平行线交的延长线于点，且，连接． （1）与有什么数量关系，并说明理由； （2）当满足什么条件时，四边形是菱形？并说明理由． 21. 如图1所示，正方形中，，点从点出发，沿折线运动，当它到达点时停止运动，连接，记点运动的路程为，的面积为． （1）当时，写出与之间的函数解析式______．当时，写出与之间的函数解析式______． （2）根据自变量的取值范围，在如图2所示的平面直角坐标系中画出点整个运动过程中的函数图象； （3）请根据函数的图象，写出该函数的一条性质； （4）请根据函数的图象，直接写出当时的取值范围． 五、简答题（本大题共1小题，共10分） 22. 如图，正方形ABCD的边长为4，E是线段AB延长线上一动点，连结CE． （1）如图1，过点C作CF⊥CE交线段DA于点F． ①求证：CF=CE； ②若BE=m（0＜m＜4），用含m的代数式表示线段EF的长； （2）在（1）的条件下，设线段EF的中点为M，探索线段BM与AF的数量关系，并用等式表示． （3）如图2，在线段CE上取点P使CP=2，连结AP，取线段AP的中点Q，连结BQ，求线段BQ的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学素养测试卷 说明：本试卷共有五个大题，22小题，全卷满分100分，考试时间100分钟． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列曲线中能表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的定义：对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应． 【详解】解：A．图像中出现给定一个x，有两个y值与它对应，不能表示是的函数，不合题意； B．图像中出现给定一个x，有两个y值与它对应，不能表示是的函数，不合题意； C．图像中出现给定一个x，有两个y值与它对应，不能表示是的函数，不合题意； D．图像中给定一个x，只有1个y值与它对应，能表示是的函数，符合题意． 2. 估算＋÷的运算结果应在(　　) A. 1到2之间 B. 2到3之间 C. 3到4之间 D. 4到5之间 【答案】D 【解析】 【详解】，所以选D. 3. 三角形的三边为a、b、c，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理，逐项进行计算即可判断． 【详解】A. ，设， 则，， 故A选项不能判断它是直角三角形，符合题意； B. ，即，故能判断是直角三角形，不符合题意； C. ，即，故能判断是直角三角形，不符合题意； D. ，设，则，， ，故能判断是直角三角形，不符合题意． 故选A． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 4. 点和都在直线上，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数的性质，当k＜0时，y随x的增大而减小，可以解答本题． 【详解】解：∵y=-3x+2，k=-3＜0， ∴y随x的增大而减小， ∵点A（-5，y1），B（-2，y2）都在直线y=-3x+2上，-5＜-2 ∴y1>y2， 故选A． 【点睛】本题考查一次函数y=kx+b（k≠0，且k，b为常数）的图象性质：当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y将随x的增大而减小． 5. “漏壶”是一种古代计时器，如图所示．在壶内盛一定量的水，水从壶底的小孔漏出，壶内壁画有刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间．用x表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度，不考虑水量变化对压力的影响，下列图象能表示y与x的对应关系的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的实际应用，根据函数图像性质解题即可． 【详解】解：∵不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，x表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度， ∴y随x的增大而减小，符合一次函数图像. 故选：A． 6. 对于函数y=﹣3x+1，下列结论正确的是（ ） A. 它的图象必经过点（﹣1，3） B. 它的图象经过第一、三、四象限 C. 当x＞时，y＜0 D. y的值随x值的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征对A进行判断；根据一次函数的性质对B、D进行判断；利用x＞时，函数图象在y轴的左侧，y＜0，则可对C进行判断． 【详解】A、当x=-1时，y=﹣3x+1=4，则点（-1，3）不在函数y=﹣3x+1的图象上，所以A选项错误； B、k=﹣3＜0，b=1＞0，函数图象经过第一、二、四象限，所以B选项不正确； C、当x＞时，y＜0，所以C选项正确； D、y随x的增大而减小，所以D选项错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数的性质：k>0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k<0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降；由于y=kx+b与y轴交于（0，b）,当b>0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b<0,（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴，掌握知识点是解题关键． 7. 如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为；如图2，分别以直角三角形三边长为半径向外作半圆，面积分别为．其中，则（ ） A. 86 B. 64 C. 54 D. 48 【答案】C 【解析】 【分析】分别用AB、BC和AC表示出 S1、S2、S3，然后根据AB2=AC2+BC2即可得出S1、S2、S3的关系．同理，得出S4、S5、S6的关系，即可得到结果． 【详解】解：如图1，过点E作AB的垂线，垂足为D， ∵△ABE是等边三角形， ∴∠AED=∠BED=30°，设AB=x， ∴AD=BD=AB=x， ∴DE==x， ∴S2==， 同理：S1=，S3=， ∵BC2=AB2-AC2， ∴S3=S2-S1， 如图2，S4==， 同理S5=，S6=， 则S4=S5+S6， ∴S3+S4=45-16+11+14=54． 【点睛】本题考查了勾股定理、等边三角形的性质．勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2． 8. 如图，矩形ABOC的顶点A的坐标为（-4，5），D是OB的中点，E是线段OC上的一动点，DE+AE的最小值是（　　　） A. B. 10 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作A关于y轴的对称点，连接交y轴于E，则此时，DE+AE的最小值即为的长，根据A的坐标为（-4，5），得到（4，5），B（-4，0），D（-2，0），进而求出直线的解析式，进而求出点E的坐标，最后利用勾股定理即可得到结论． 【详解】解：作A关于y轴的对称点，连接交y轴于E， ∴， ∴DE+AE的最小值即为的长． ∵四边形ABOC是矩形， ∴，， ∵A的坐标为（-4，5）， ∴（4，5），B（-4，0），． ∵D是OB的中点， ∴D（-2，0）， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查轴对称--最短路线问题，矩形的性质，勾股定理，解决此类问题，一般都是运用轴对称的性质，将求折线问题转化为求线段问题，其说明最短的依据是三角形两边之和大于第三边． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 一次函数的图象经过点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，将代入函数解析式得出，求解即可得出答案． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点， ∴， 解得：， 故答案为：． 10. 函数y= 中，自变量x的取值范围是________． 【答案】x≠ 【解析】 【详解】解：由题意得：2x﹣1≠0，解得x≠．故答案为x≠． 11. 直线向下平移3个单位长度，求平移后直线的解析式为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据上加下减的平移规律进行求解即可． 本题考查了一次函数的平移，熟练掌握一次函数的平移规律是解题的关键． 【详解】解：直线向下平移3个单位长度，求平移后直线的解析式为，即， 故答案为：． 12. 已知，如图直线与直线交于点，则不等式的解集为 ___________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据函数图象交点左侧直线图象在直线：图象的下面，即可得出不等式的解集． 【详解】解：∵直线，与直线交于点， ∴不等式为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 13. 如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出的部分是一个小正方形，这样就组成了一个“赵爽弦图”，如果大正方形面积为25，且直角三角形中较短的直角边的长为3，则中间小正方形面积（阴影部分）为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，结合图形求解是解题关键．设直角三角形中较长的直角边的长为a，利用勾股定理求得直角边的较长边，进一步求得阴影部分的面积即可． 【详解】解：设直角三角形中较长的直角边的长为a，由题意得 ， 解得：， 则中间小正方形面积(阴影部分)为， 故答案为：1． 14. 如图，点，点，点，连接，点为线段的中点，在射线上有一动点，若是直角三角形，则写出所有符合要求的点的坐标______． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形、勾股定理、直角三角形的性质，由题意得，，轴，再分情况讨论：当或时，当时，分别画出图形，求解即可得出答案． 【详解】解：∵点，点，点为线段的中点， ∴，， ∵， ∴轴， ∵是直角三角形， ∴如图，当或时， ∵点为线段的中点， ∴， ∴点的坐标为，点的坐标为； 如图，当时， ∵在射线上有一动点， ∴设，则，，， ∵， ∴， 解得：， ∴此时点的坐标为； 综上所述，符合要求的点的坐标为或或， 故答案为：或或． 三、简答题（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 15. 计算： （1）； （2）. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）先化简二次根式，然后再进行加减运算即可； （2）先利用平方差公式和二次根式的除法进行计算，最后算减法即可. 【详解】（1） （2） 【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握平方差公式和二次根式的运算法则是解题的关键. 16. 如图，在平行四边形ABCD中，E为AD边上一点，BE平分∠ABC，连接CE，已知DE＝6，CE＝8，AE＝10． （1）求AB的长； （2）求平行四边形ABCD的面积； 【答案】（1）10；（2）128． 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质及角平分线的定义可得出AB=AE，进而再利用题中数据即可求解结论； （2）易证△CED为直角三角形，则CE⊥AD，基础CE为平行四边形的高，利用平行四边形的面积公式计算即可． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠AEB=∠CBE， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE=∠AEB， ∴AB=AE=10； （2）∵四边形ABCD是平行四边形． ∴CD=AB=10， 在△CED中，CD=10，DE=6，CE=8， ∴ED2+CE2=CD2， ∴∠CED=90°． ∴CE⊥AD， ∴平行四边形ABCD的面积=AD•CE=（10+6）×8=128． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行四边形的面积公式运用及角平分线的性质，勾股定理的逆定理等问题，解题的关键是熟练掌握有关性质． 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知点、、、．请仅用无刻度的直尺，分别在图1、图2中画出满足条件的直线（保留画图痕迹，不写作法） （1）在图1中，画直线：； （2）在图2中，画直线：． 【答案】（1） 直线即为所求： ． （2） 直线即为所求： ． 【解析】 【分析】（1）直线经过点，，据此即可求解； （2）直线经过点，，据此即可求解． 【小问1详解】 解：连接并延长交y轴点E， 【小问2详解】 解：连接并延长交y轴点E，连接相交于点F， 【点睛】本题考查了一次函数的性质，确定一次函数的图象上特殊点坐标是解题的关键． 18. 已知一次函数的图象经过，两点． （1）求这个一次函数的解析式； （2）若将这个一次函数的图像向上平移2个单位长度，求平移后的直线与两坐标轴围成的三角形的面积． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，图象的平移，一次函数与坐标轴围成的三角形的面积的计算，熟练的求解一次函数与坐标轴的交点坐标是解本题的关键． （1）利用待定系数法求解一次函数的解析式即可； （2）先确定平移后的函数解析式，然后求解一次函数与坐标轴的交点坐标，再利用三角形的面积公式计算即可． 【小问1详解】 解：设一次函数为，将，两点代入得： ∴， 解得：， ∵一次函数为：； 【小问2详解】 根据题意得：平移后的函数解析式为：， 当时，； 当时，， ∴与坐标轴的交点坐标分别为， ∴， ∴． 四、简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 19. 某校组织学生从学校出发，乘坐大巴车前往距离学校360千米的基地进行研学活动．大巴车匀速行驶1小时后，学校因事派人乘坐轿车匀速沿同一路线追赶，大巴车降低速度继续匀速行驶，轿车行驶小时后追上大巴车，两车继续匀速行驶到达基地．如图表示大巴车和轿车离学校的距离（千米）与大巴车出发时间（时）之间函数关系的部分图象．结合图中提供的信息，解答下列问题： （1）轿车的速度为______千米/时，大巴车行驶1小时后的速度为______千米/时； （2）求大巴车出发1小时后与的函数解析式，并补全函数图象； （3）轿车到达基地时，大巴车距离基地还有多远？ 【答案】（1）120；60 （2）， 补全函数图象如下： ； （3）大巴车距基地地的距离为还有90千米 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的实际应用、求一次函数的解析式，解题的关键是读懂题意，明确图象中横坐标与纵坐标代表的含义． （1）根据函数图象中的数据可以求得轿车的速度和大巴车的速度； （2）求出大巴车到基地的时间，然后根据待定系数法求解即可； （3）由图知轿车到达基地时，大巴车行驶了4小时，然后根据路程=速度×时间，求出大巴行驶的路程，即可求解． 【小问1详解】 解：根据图象知：轿车的速度为千米/时， 大巴车行驶1小时后的速度为千米/时， 故答案为：120；60； 【小问2详解】 解：（小时） 由题意，设，将点、代入， ∴解得； ∴函数表达式为， 【小问3详解】 解：轿车达到基地时大巴车的行程为（千米） ∴大巴车距基地地的距离为（千米） 答：大巴车距基地地的距离为还有90千米． 20. 如图，在中，是边上的一点，是的中点，过点作的平行线交的延长线于点，且，连接． （1）与有什么数量关系，并说明理由； （2）当满足什么条件时，四边形是菱形？并说明理由． 【答案】（1） ， 理由如下：∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2） 当时，四边形是菱形， 理由如下： ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、菱形的判定、直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）证明，得出，即可得证； （2）先证明四边形是平行四边形，再证明，即可得出结论． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 解：略． 21. 如图1所示，正方形中，，点从点出发，沿折线运动，当它到达点时停止运动，连接，记点运动的路程为，的面积为． （1）当时，写出与之间的函数解析式______．当时，写出与之间的函数解析式______． （2）根据自变量的取值范围，在如图2所示的平面直角坐标系中画出点整个运动过程中的函数图象； （3）请根据函数的图象，写出该函数的一条性质； （4）请根据函数的图象，直接写出当时的取值范围． 【答案】（1）， （2） 画出函数图象如图所示： （3） 由图象可得：当时，随的增大而增大； （4） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用、从函数图象中获取信息、画函数图象，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）当时，点在上，由题意得，，，再由三角形面积公式即可得解；当时，点在上，则，再由三角形面积公式即可得解； （2）当时，点在上，此时，再根据函数解析式画出函数图象即可； （3）由函数图象即可得出答案； （4）由函数图象即可得出答案． 【小问1详解】 解：当时，点在上， ， 由题意得：，，， ∴； 当时，点在上， ， 则， ∴； 【小问2详解】 解：当时，点在上， ， 此时， ∴ 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：由图象可得：当时的取值范围为：． 五、简答题（本大题共1小题，共10分） 22. 如图，正方形ABCD的边长为4，E是线段AB延长线上一动点，连结CE． （1）如图1，过点C作CF⊥CE交线段DA于点F． ①求证：CF=CE； ②若BE=m（0＜m＜4），用含m的代数式表示线段EF的长； （2）在（1）的条件下，设线段EF的中点为M，探索线段BM与AF的数量关系，并用等式表示． （3）如图2，在线段CE上取点P使CP=2，连结AP，取线段AP的中点Q，连结BQ，求线段BQ的最小值． 【答案】（1）①证明：∵正方形ABCD， ∴BC=CD，∠DCB=∠CBE=90°． ∵CF⊥CE，∠FCE=90°， ∴∠DCF=∠BCE， ∴△DCF≌△BCE（ASA）， ∴CE=CF． ②； （2）BM= AF；证明： 在直线AB上取一点G，使BG=BE． ∵M为EF的中点， ∴FG=2BM， 由（1）知，DF=BE， 又AD=AB， ∴AF=AG． ∵∠A=90°， ∴FG=AF， ∴2BM=AF， ∴BM=AF． （3） 【解析】 【分析】（1）①根据正方形的性质以及余角的性质即可证明△DCF≌△BCE，再根据全等三角形对应边相等即可得出结论； ②根据全等三角形的性质可得DF=BE=m．在Rt△ECF中，由勾股定理即可得出结论； （2）在直线AB上取一点G，使BG=BE，由三角形中位线定理可得FG=2BM，可以证明AF=AG．在Rt△AFG中由勾股定理即可得出结论． （3）在AB的延长线上取点R，使BR=AB=4，连结PR和CR，由三角形中位线定理可得BQ=PR．在Rt△CBR中，由勾股定理即可得出CR的长，再由三角形三边关系定理即可得出结论． 【详解】（1）解：①略 ②∵△DCF≌△BCE， ∴DF=BE=m， ∴AF=4-m，AE=4+m，由四边形ABCD是正方形得∠A=90°， ∴EF==； （2）略 （3）解：在AB的延长线上取点R，使BR=AB=4，连结PR和CR． ∵Q为AP的中点， ∴BQ=PR． ∵CP=2，CR==， ∴PR≥CR-CP=， ∴BQ的最小值为． 【点睛】本题考查了正方形的性质以及三角形中位线定理．作出恰当的辅助线是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $