精品解析：云南省保山市智源高级中学2023-2024学年高二下学期第二次（6月）月考数学试题

保山市智源中学 2023-2024学年下学期高二年级 第二次月考 数学试卷 （闭卷考试，考试时间 120 分钟，全卷满分150） 命题人：李晓翠 审题人：徐阳 注意事项： 1、答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、班级、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2、每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案的标号，在试卷上作答无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数满足，则复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 2. 随着“一带一路”经贸合作持续深化，西安某地对外贸易近几年持续繁荣，2023年6月18日，该地很多商场都在搞“618”促销活动．市物价局派人对某商品同一天的销售量及其价格进行调查，得到该商品的售价（单位：元）和销售量（单位：百件）之间的一组数据（如表所示），用最小二乘法求得关于的线性回归方程是，预测当售价为45元时，销售量件数大约为（ ）（单位：百件） 20 25 30 35 40 5 7 8 9 11 A. 12 B. 12.5 C. 13 D. 11.75 3. 若，则（　　） A. 1 B. 32 C. 81 D. 243 4. 攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式,宋代称为撮尖,清代称为攒尖.通常有圆形攒尖,三角攒尖,四角攒尖,八角攒尖,也有单檐和重檐之分,多见于亭阁式建筑,园林建筑.如图所示的建筑屋顶是圆形攒尖,可近似看作一个圆锥,已知其轴截面是底边长为m,顶角为的等腰三角形,则该屋顶的面积约为（ ）. A. m2 B. m2 C. m2 D. m2 5. 设经过点的直线与抛物线相交于，两点，若线段中点的横坐标为，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，图象向左平移个单位后关于直线对称，则下列说法正确的是（ ） A. 在区间上有一个零点 B. 关于对称 C. 在区间上单调递增 D. 在区间上的最大值为2 7. 已知两圆和恰有三条公切线，若，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知各项均为正数的数列的前n项和为，，，，则（ ） A. 511 B. 61 C. 41 D. 9 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合,则（ ） A. B. C. D. 10. 下列四个结论正确的是（　　） A. 若平面上四个点P，A，B，C，，则A．B，C三点共线 B. 已知向量，若，则为钝角. C. 若G为△ABC的重心，则 D. 若，△ABC一定为等腰三角形 11. 已知定义在上的奇函数连续，函数的导函数为．当时，，其中为自然对数的底数，则（ ） A. 在上为减函数 B. 当时， C. D. 在上有且只有1个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 等差数列前项和分别为，且，则__________. 13. 寒假期间某校6名同学打算去安徽旅游，体验皖北与皖南当地的风俗与文化，现有黄山，宏村，八里河三个景区可供选择，若每个景区中至少有1名同学前往打卡，则不同方案的种数为____________．（用数字作答） 14. 如图，在正方体，中，，分别为线段，上的动点.给出下列四个结论: ①存在点，存在点，满足∥平面； ②任意点，存在点，满足∥平面； ③任意点，存在点，满足； ④任意点，存在点，满足. 其中所有正确结论的序号是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 我国老龄化时代已经到来，老龄人口比例越来越大，出现很多社会问题.2021年8月20日，全国人民代表大会常务委员会会议表决通过了关于修改人口与计划生育法的决定，国家提倡适龄婚育、优生优育，一对夫妻可以生育三个子女．随着国家三孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的三孩生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了200位育龄妇女，结果如下表． 一线 非一线 总计 愿生 60 y 100 不愿生 x 20 100 总计 140 60 200 （1）求x和y的值． （2）分析调查数据，依据小概率值的独立性检验，能否认为“生育意愿”与“城市级别”有关联？ 参考公式：， 0.10 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 16. 2023年11月19日，以“激发创新活力，提升发展质量”为主题的第二十五届中国国际高新技术成果交易会（以下简称“高交会”）在深圳闭幕，作为“中国科技第一展”的高交会距今已有25年的历史．福田展区的专业展设有新一代信息技术展、环保展、新型显示展、智慧城市展、数字医疗展、高端装备制造展等六类．现统计了每个展区的备受关注率﹝一个展区中受到所有相关人士（或企业）关注的企业数与该展区的参展企业数的比值﹞，如下表： 展区类型 新一代信 息技术展 环保展 新型显示展 智慧城市展 数字医疗展 高端装备 制造展 展区的企 业数量/家 60 360 650 450 70 990 备受关注率 0.20 0.10 0.24 0.30 0.10 0.20 （1）从参展的6个展区的企业中随机选取一家企业，求这家企业是“新型显示展”展区备受关注的企业的概率． （2）若视备受关注率为概率，某电视台现要从“环保展”“智慧城市展”“高端装备制造展”3个展区中随机抽取2个展区，再从抽出的2个展区中各抽取一家企业进行采访，求采访的两家企业都是备受关注的企业的概率． （3）从“新一代信息技术展”展区备受关注的企业和“数字医疗展”展区备受关注的企业中，任选2家接受记者采访．记为这2家企业中来自“新一代信息技术展”展区的企业数量，求随机变量的分布列和数学期望． 17. 如图，三棱锥中，正三角形所在平面与平面垂直，为的中点，是的重心，，，． （1）证明：∥平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知函数，. （1）求函数图象在处的切线方程． （2）若对于函数图象上任意一点处的切线，在函数图象上总存在一点处的切线，使得，求实数的取值范围． 19. 已知椭圆的离心率为，A，分别为椭圆的左顶点和上顶点，为左焦点，且的面积为． （1）求椭圆的标准方程： （2）设椭圆的右顶点为、是椭圆上不与顶点重合的动点． ①若点，点在椭圆上且位于轴下方，设和的面积分别为，，若，求点的坐标； ②若直线与直线交于点，直线交轴于点，如下图，求证：为定值，并求出此定值（其中、分别为直线和直线的斜率）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 保山市智源中学 2023-2024学年下学期高二年级 第二次月考 数学试卷 （闭卷考试，考试时间 120 分钟，全卷满分150） 命题人：李晓翠 审题人：徐阳 注意事项： 1、答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、班级、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2、每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案的标号，在试卷上作答无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数满足，则复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算及减法运算得，再根据复数的概念即可得到答案． 【详解】由，则， 所以复数的虚部是． 故选：A． 2. 随着“一带一路”经贸合作持续深化，西安某地对外贸易近几年持续繁荣，2023年6月18日，该地很多商场都在搞“618”促销活动．市物价局派人对某商品同一天的销售量及其价格进行调查，得到该商品的售价（单位：元）和销售量（单位：百件）之间的一组数据（如表所示），用最小二乘法求得关于的线性回归方程是，预测当售价为45元时，销售量件数大约为（ ）（单位：百件） 20 25 30 35 40 5 7 8 9 11 A. 12 B. 12.5 C. 13 D. 11.75 【答案】D 【解析】 【分析】求出，，根据回归直线方程必过样本中心点求出，从而得到回归直线方程，再代入计算可得. 【详解】因为，， 所以回归直线过点，故，即，所以． 将代入中，得． 故选：D． 3. 若，则（　　） A. 1 B. 32 C. 81 D. 243 【答案】D 【解析】 【分析】在所给的式子中，令可得选项. 【详解】在中，令得， 故选：D. 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，是给变量赋值的问题,关键是根据要求的结果，选择合适的数值代入，属于基础题. 4. 攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式,宋代称为撮尖,清代称为攒尖.通常有圆形攒尖,三角攒尖,四角攒尖,八角攒尖,也有单檐和重檐之分,多见于亭阁式建筑,园林建筑.如图所示的建筑屋顶是圆形攒尖,可近似看作一个圆锥,已知其轴截面是底边长为m,顶角为的等腰三角形,则该屋顶的面积约为（ ）. A. m2 B. m2 C. m2 D. m2 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意作出圆锥轴截面图像,根据图像求出圆锥底面半径和母线,根据侧面积公式即可求解. 【详解】如图所示为该圆锥轴截面,    由题意,底面圆半径,母线, 所以侧面积. 故选：C. 5. 设经过点的直线与抛物线相交于，两点，若线段中点的横坐标为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线与抛物线的位置关系以及韦达定理、弦长公式求解即可. 【详解】因为经过点的直线与抛物线相交于，两点， 所以该直线的斜率不等于0，所以可假设直线方程为， 设， 联立，整理得， 所以 所以， 因为线段中点的横坐标为， 所以，所以， 所以， 故选：B. 6. 已知函数，图象向左平移个单位后关于直线对称，则下列说法正确的是（ ） A. 在区间上有一个零点 B. 关于对称 C. 在区间上单调递增 D. 在区间上的最大值为2 【答案】A 【解析】 【分析】通过函数的平移变换后图象关于直线对称可求得值，从而可求出函数解析式，然后使用换元法画出函数图象，再逐项判断即可. 【详解】函数，图象向左平移个单位后的图象对应的解析式为：； 而图象关于直线对称，且，于是，； ； ，所以不关于对称，故B错误； 当时，则，令，则，此时函数图象如图: 结合图象可知，当时，即，与坐标轴只有一个交点，即只有一个零点，故A正确； 当时，则，结合图象可知，此时有增有减，故C错误； 当时，则，结合图象可知，此时单调递增，所以，当时，即，函数取最大值，，故D错误； 故选：A. 7. 已知两圆和恰有三条公切线，若，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】确定两圆圆心和半径，根据公切线得到两圆外切，得到，变换得到，展开利用均值不等式计算得到答案. 【详解】，即，圆心，； ，即，圆心，半径； 两圆恰有三条公切线，即两圆外切，故， 即， . 当且仅当，即，时等号成立. 故选：A 8. 已知各项均为正数的数列的前n项和为，，，，则（ ） A. 511 B. 61 C. 41 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】利用对数运算法则可求得，即可知数列的奇数项与偶数项分别成等比数列，再由分组求和可得结果. 【详解】由可得， 即，所以，两式相除可得； 即， 由可得，因此数列的奇数项是以为首项，公比为2的等比数列， 偶数项是以为首项，公比为2的等比数列， 所以 . 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合,则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据不等式运算化简集合,再根据集合的交、并、补运算规则计算即可. 【详解】 故正确,错误； 又故正确. 故选：ABD. 10. 下列四个结论正确的是（　　） A. 若平面上四个点P，A，B，C，，则A．B，C三点共线 B. 已知向量，若，则为钝角. C. 若G为△ABC的重心，则 D. 若，△ABC一定为等腰三角形 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，利用共线向量定理判断，对于B，举例判断，对于C，由重心性质判断，对于D，利用三角函数的性质判断 【详解】对于A，由，所以，即，所以共线，因为有公共端点，所以A．B，C三点共线，所以A正确， 对于B，当时，，此时，则的夹角为，不是钝角，所以B错误， 对于C，延长，交于，因为G为△ABC的重心，所以为的中点，， 所以，所以，所以，所以C正确， 对于D，因为，，所以或，所以或，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，所以D错误， 故选：AC 11. 已知定义在上的奇函数连续，函数的导函数为．当时，，其中为自然对数的底数，则（ ） A. 在上为减函数 B. 当时， C. D. 在上有且只有1个零点 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，令，利用导数求得在上单调递增，结合，得到，可判定C正确；再由时，，可判定B正确；根据是定义在上的奇函数，结合单调性和零点的定义，可判定D正确．根据的单调性无法判断，可判定A错误． 【详解】由，可得． 令， 则当时，，所以在上单调递增， 所以，即， 可得，所以，所以C正确； 因为，所以当时，， 又因为，所以当时，，所以B正确； 由是定义在上的奇函数，故当时，， 又因为，所以在上有且只有1个零点，所以D正确． 因为的单调性无法判断，所以A错误． 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 等差数列前项和分别为，且，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】通过等差数列性质其前项和，结合已知可得，即可解出答案. 【详解】由等差数列性质可得，解得， 故答案为：. 13. 寒假期间某校6名同学打算去安徽旅游，体验皖北与皖南当地的风俗与文化，现有黄山，宏村，八里河三个景区可供选择，若每个景区中至少有1名同学前往打卡，则不同方案的种数为____________．（用数字作答） 【答案】540 【解析】 【分析】分三种方案：4，1，1；3，2，1；2，2，2，根据部分分组法结合排列数、组合数分析求解. 【详解】将6名同学分成三组，其中有三种方案：4，1，1；3，2，1；2，2，2． 则不同方案的种数为种． 故答案为：540. 14. 如图，在正方体，中，，分别为线段，上的动点.给出下列四个结论: ①存在点，存在点，满足∥平面； ②任意点，存在点，满足∥平面； ③任意点，存在点，满足； ④任意点，存在点，满足. 其中所有正确结论的序号是__________. 【答案】①③ 【解析】 【分析】对①②，举例判断说明即可；对③④，以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，则，其中，根据满足分析即可. 【详解】对①，当，分别为，的中点时，取中点，连接，则根据中位线的性质可得， 又平面，平面，故平面，同理平面，又，平面，故平面平面. 又平面，故平面.故①正确. 对②，当在时，∥平面不成立，故②错误； 对③④，以为坐标原点建立如图空间直角坐标系，设正方体棱长为1， 则，. 设，，则，其中，故， 则当时，即. 故对任意的，存在满足条件，即任意点，存在点，满足.故③正确； 当，即在点时，若，则，不满足，即不在上，故④错误. 故答案为：①③ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 我国老龄化时代已经到来，老龄人口比例越来越大，出现很多社会问题.2021年8月20日，全国人民代表大会常务委员会会议表决通过了关于修改人口与计划生育法的决定，国家提倡适龄婚育、优生优育，一对夫妻可以生育三个子女．随着国家三孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的三孩生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了200位育龄妇女，结果如下表． 一线 非一线 总计 愿生 60 y 100 不愿生 x 20 100 总计 140 60 200 （1）求x和y的值． （2）分析调查数据，依据小概率值的独立性检验，能否认为“生育意愿”与“城市级别”有关联？ 参考公式：， 0.10 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）， （2）认为“生育意愿”与“城市级别”有关联 【解析】 【分析】（1）根据题中数据分析求解即可； （2）根据列联表求，并与临界值对比分析即可. 【小问1详解】 由题意得，； 【小问2详解】 零假设：“生育意愿”与“城市级别”没有关联， 因为， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 所以可以认为“生育意愿”与“城市级别”有关联. 16. 2023年11月19日，以“激发创新活力，提升发展质量”为主题的第二十五届中国国际高新技术成果交易会（以下简称“高交会”）在深圳闭幕，作为“中国科技第一展”的高交会距今已有25年的历史．福田展区的专业展设有新一代信息技术展、环保展、新型显示展、智慧城市展、数字医疗展、高端装备制造展等六类．现统计了每个展区的备受关注率﹝一个展区中受到所有相关人士（或企业）关注的企业数与该展区的参展企业数的比值﹞，如下表： 展区类型 新一代信 息技术展 环保展 新型显示展 智慧城市展 数字医疗展 高端装备 制造展 展区的企 业数量/家 60 360 650 450 70 990 备受关注率 0.20 0.10 0.24 0.30 0.10 0.20 （1）从参展的6个展区的企业中随机选取一家企业，求这家企业是“新型显示展”展区备受关注的企业的概率． （2）若视备受关注率为概率，某电视台现要从“环保展”“智慧城市展”“高端装备制造展”3个展区中随机抽取2个展区，再从抽出的2个展区中各抽取一家企业进行采访，求采访的两家企业都是备受关注的企业的概率． （3）从“新一代信息技术展”展区备受关注的企业和“数字医疗展”展区备受关注的企业中，任选2家接受记者采访．记为这2家企业中来自“新一代信息技术展”展区的企业数量，求随机变量的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2） （3）的分布列为: 0 1 2 ， 【解析】 【分析】（1）根据古典概型的概率公式计算即可求解； （2）利用条件概率和全概率公式计算即可求解； （3）求出“新一代信息技术展”、 “数字医疗展”展区中备受关注的企业数量，确定X的值，利用超几何分布求出对应的概率，列出分布列，结合数学期望计算公式求解即可. 【小问1详解】 根据统计表，所有展区的企业数量为， 其中“新型显示展”展区备受关注的企业数量为． 所以所求概率为． 【小问2详解】 用事件A，，分别表示从3个展区中随机抽取2个展区为“环保展与智慧城市展”“环保展与高端装备制造展”“智慧城市展与高端装备制造展”， 事件表示“采访的两家企业都是备受关注的企业”， 则 ． 【小问3详解】 “新一代信息技术展”展区中备受关注的企业数量为， “数字医疗展”展区中备受关注的企业数量为． 易知所有可能的取值为0，1，2． 所以，，． 故的分布列为 0 1 2 则． 17. 如图，三棱锥中，正三角形所在平面与平面垂直，为的中点，是的重心，，，． （1）证明：∥平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 在三棱锥中，连接PG并延长交BC于D，连接OD、OG， 由G为的重心，则D为BC的中点， 又因为O是AC中点，则∥， 且平面POG，平面POG，所以∥平面． （2） 【解析】 【分析】（1）作辅助线，可证∥，结合线面平行的判定定理分析证明； （2）根据面面垂直的判定定理可知平面ABC，过B作于F，建系，利用空间向量求面面夹角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由是正三角形，O是AC的中点，则， 又平面平面ABC，平面平面，平面PAC， 则平面ABC， 因为是直角三角形，在中，，， 则，则， 过B作于F，则， 以O为原点，直线OC，OP分别为y，z轴，在平面ABC中过点O且垂直于AC的直线为x轴，建立空间直角坐标系， 则， 可得，， 设平面PAB的法向量为，则， 令，则，可得， 设平面PBC的法向量为，则， 令，则，可得， 则， 所以平面PAB与平面PBC夹角的余弦值为. 18. 已知函数，. （1）求函数图象在处的切线方程． （2）若对于函数图象上任意一点处的切线，在函数图象上总存在一点处的切线，使得，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）计算出，的值，由此即可得解； （2）首先，由题意得出总存在，即的值域包含，由此即可列出不等式组求解. 【小问1详解】 ，，， 所以函数图象在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 由（1）可得，， 若对于函数图象上任意一点处的切线，在函数图象上总存在一点处的切线，使得， 即对任意的，总存在使得，即， 又， 从而的值域包含， 当时，的值域为， 所以，解得， 当时，的值域为， 所以，解得， 即实数的取值范围为. 19. 已知椭圆的离心率为，A，分别为椭圆的左顶点和上顶点，为左焦点，且的面积为． （1）求椭圆的标准方程： （2）设椭圆的右顶点为、是椭圆上不与顶点重合的动点． ①若点，点在椭圆上且位于轴下方，设和的面积分别为，，若，求点的坐标； ②若直线与直线交于点，直线交轴于点，如下图，求证：为定值，并求出此定值（其中、分别为直线和直线的斜率）． 【答案】（1） （2）① ； ②设直线的斜率为，则直线的方程为：， 又因为，，则直线的方程为， 联立方程，解得，即， 联立方程，消去y得， 则，可得，解得， 则，即， 依题意、不重合，则，即，可得， 则直线的方程为，令，即，解得， 即，可得， 所以为定值. 【解析】 【分析】（1）根据题意列式求解、、，即可得方程； （2）（i）连接，由面积公式推导出，从而得到，即可求出的方程，联立直线与椭圆方程，求出点坐标；（ii）设直线的斜率为，的方程为，再求出直线的方程，联立求出、点坐标，从而求出的方程，即可求出点坐标，再由斜率公式计算可得. 【小问1详解】 由题意可得，解得，所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 ①由（1）可得， 因为， 则，可知， 所以，可知直线的方程为， 联立方程，解得或（舍去），即； ②略 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $