广东省汕头某校2023-2024学年高一下学期第二次阶段考试数学试题

2023-2024学年度第二学期阶段性考试 高一 数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．已知集合，则（     ） A． B． C． D． 2．若复数（为虚数单位），则（     ） A． B．1 C．5 D． 3．已知向量，满足，，且，的夹角为30°，则（     ） A．7 B． C． D．3 4．函数的部分图象的大致形状是（     ） A．B．C．D． 5．已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（     ） A．，，则 B．，，，则 C．，，，则 D．，，，，则 6．下列说法错误的是（     ） A．若，则或 B．若，，且，则的最小值为4 C．若，则的最小值为 D．函数的值域为 7．如图，角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，角的始边与角的始边重合，且终边与单位圆交于点，记.若角为锐角，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 8．已知正三棱锥的四个顶点都在半径为R的球面上，且，若三棱锥的体积为，则该球的表面积为（     ） A． B． C． D． 2、 多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9．如图，已知正六边形ABCDEF的边长为1，记，则（     ） A． B． C． D．在方向上的投影向量为 10．已知函数的部分图象如图所示，则（     ） A．函数的最小正周期为π B．点是曲线的对称中心 C．函数在区间内单调递增 D．函数在区间内有两个最值点 11．如图，在三棱柱中，四边形是矩形，，平面，直线与所成的角的余弦值为，则下列说法正确的是（     ） A．平面 B． C．三棱锥的外接球的表面积为 D．三棱锥的外接球的体积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数，则_____________. 13．已知是第四象限角，且，则 . 14．对实数、定义一个运算：，设函数（），若函数的图象与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是_____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本题13分）如图，在四边形中，，，，且 (1)用表示； (2)点在线段上，且，求与的夹角的余弦值. 16．（本题15分）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求角B； (2)若b=4，求周长的最大值. 17．（本题15分）如图，在两块钢板上打孔，用钉帽呈半球形、钉身为圆柱形的铆钉（图1）穿在一起，在没有帽的一端锤打出一个帽，使得与钉帽的大小相等，铆合的两块钢板，成为某种钢结构的配件，其截面图如图2.（单位：mm）.（加工中不计损失）. (1)若钉身长度是钉帽高度的3倍，求铆钉的表面积； (2)若每块钢板的厚度为mm，求钉身的长度（结果精确到mm）. 18．（本题17分）如图，在四棱锥中，四边形是矩形，，分别是，中点，，，． (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求证：平面平面． 19．（本题17分）已知函数， (1)判断 的奇偶性并证明； (2)若，求的最小值和最大值； (3)定义，设.若在内恰有三个不同的零点，求a的取值集合. 2023-2024学年度第二学期阶段性考试 高一数学答案 【选择题】： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C A B D B C A D BC ACD AC 【填空题】： 12. 【答案】 13. 【答案】 14.【答案】 【部分详解】 3．【详解】由题意得：， 所以.故选：B. 4．【详解】由，所以为奇函数，排除A，C； 因为 的大于0的零点中，最小值为；又因为，排除B，故选：D． 5．【详解】对于A，，，则或，A错误； 对于B，，，则，又因为，所以，B正确； 对于C，，，无法得到，只有加上条件才能得出结论，C错误； 对于D，若，，，，则或相交，只有加上条件相交，结论才成立，D错误.故选:B. 6．【详解】选项A：，所以则或，故A正确； 选项B：，当且仅当时取得等号，故B正确； 选项C，，当且仅当时取得等号，而，从而上述不等式取不到等号，最小值要大于，故C错误； 选项D，可令，，则，，，，，故D正确．故选：C 7．【详解】由题意得，， 所以 ， 因为，所以则所以的取值范围是选：A. 8．【详解】 由题意得，为等边三角形，取的中心，设球心为， 易得共线，设三棱锥的高为， ，则，则， 又， 由正弦定理得，，在中，，即， 解得，则球的表面积为.故选：D 9．【详解】，故A错误； 因为，故B正确； ，又，所以，故C正确； 在方向上的投影向量为，故D错误.故选： 10．【解答过程】由图可知，所以，又，所以， 所以，，，得，， 又，得，所以，所以，所以函数的周期为，A正确； 由，得，，，取得，，对称中心为， 取得，，对称中心为，所以点不是曲线的对称中心，B错误； 由，得，，，当时，， 函数在区间内单调递增，C正确； 由，可得，，取得，为函数的最值点，所以区间内有一个最值点，D错误.故选：AC 11．【解答过程】根据题意，因为平面，，平面， 所以，， 又四边形是矩形，所以， 平面，平面，且， 所以平面.即A正确； 可得平面，，ABC两两垂直，所以三棱锥外接球的直径等于， 又直线与所成的角的余弦值为，所以，由可得，所以B错误； 设三棱锥的外接球的半径为，则满足，所以； 所以三棱锥的外接球的体积为,表面积为. 所以D正确，V错误.故选：AD. 14．【解答过程】由可得，即， 所以，解得或（舍去）， 因为是第四象限角，故，所以， 故答案为：. 15．【详解】由可得：，则：. 据此有：.当时，x-x2=-2,当时，. 函数y=f(x)-c的图象与x轴恰有两个公共点等价于函数y=f(x)与y=c的图象有两个交点. 如图所示：函数y=c在和之间及y=-2以下与函数f(x)有两个交点. 据此可得：实数的取值范围是 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．【详解】方法一：（1）由得：； 由得：为中点；由得：；.....................................2分 以为坐标原点，正方向为轴，可建立平面直角坐标系，....................................3分 则，，，....................................4分 ，，，....................................5分 设，则，解得：，.....................................7分 （2）由（1）知：， 由得：，则，....................................9分 ，又，....................................11分 ....................................13分 方法二：（1）由得：，....................................2分 则.....................................5分 （2）由得：，由且得：，....................................6分 由得：；....................................7分 ，....................................8分 ，...................10分 又，...........................11分 ，....................................12分 ....................................13分 16．【详解】（1）因为，则，....................................2分 在中，由正弦定理得，，而，即，...........4分 整理得，即，....................................5分 又，解得，....................................7分 （2）在中，由余弦定理得：，即，........10分 而，于是得，当且仅当a=c=4时取“=”，...........................12分 因此，当a=c=4时，a+c取最大值8，从而a+b+c取最大值12，...........................14分 所以周长的最大值为12...........................15分 17.【详解】（1）解：由已知可得，铆钉为以为半径的半球与圆柱的组合体. 由钉身长度是钉帽高度的3倍，可知圆柱的高为，圆柱底面半径为........................2分 由图可知，铆钉的表面积等于半球的表面积加上圆柱的侧面积加上以为半径的圆的面积. 半球的表面积为，...........................4分 圆柱的侧面积为，...........................5分 圆的面积............................6分 所以，铆钉的表面积...........................7分 （2）解：设钉身的长度为，，则钉身的体积..........................9分 由已知加工前后体积不变，加工后体积为钉身与钉帽体积之和，其中钉身长度为20，底面圆半径为，钉帽是以半径的半球..........................10分 所以..........................12分 所以，解得，满足条件..........................14分 所以钉身的长度为..........................15分 18．【详解】（1）证明：连接，交于，连接，则，.........................2分 ∵平面，平面，.........................4分 ∴平面；.........................5分 （2）证明：∵，是的中点，∴，.........................7分 ∵，，平面，.........................9分 ∴平面；.........................10分 （3）证明：∵平面，平面，∴，.........................11分 ∵，，四边形是矩形，是中点， ∴，∴，∴，.........................13分 ∵，平面，.........................15分 ∴平面，.........................16分 ∵平面，∴平面平面.........................17分 19．【详解】(1)是偶函数.........................1分 证：因为的定义域为,.........................2分 且.........................3分 ∴f（x）是偶函数.........................4分 (2)当，则 .........................6分 又∴当时，当时，.........................9分 (3)因为都是偶函数. 所以在上是偶函数，因为恰有3个零点，所以， 则有：或，.........................10分 1 当时，即且时，因为当，令， 因为，解得或，所以恰有3个零点，即满足条件：.........................11分. ② 当时，即且时，此时，.........................12分 当时，只有1个零点，且，所以恰有3个零点等价于恰有2个零点， 所以，解得，此时有2个零点符合要求，.........................13分 当时只有一个零点x=0，有2个零点符合要求，.........................14分 当时，解得或，.........................15分 令解得或（舍去）， 所以的根为，要使恰有3个零点，则.........................16分 综上：.........................17分 高一 数学 科 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$