辽宁省名校联盟2023-2024学年高一下学期6月月考数学试题

17.(15分) 已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且3(a-b2=3sinC-2sinB C sin A+sin B (1)求sinA; (②若△ABC的面积为15： ()已知E为BC的中点，求AE的最小值； (i)求内角A的平分线AD的最大值. 18.(17分) 设∫n(x)=sin'wx+cos"wx,其中w>0,n∈N', (1)若f6(x)的最小正周期为π，求w的值； (2)若对任意x[器，]x<恒有f(x)f(x:)<f,(x(x),求u的取值范围。 19.(17分) 数学中有很多相似的问题，材料一：十七世纪法国数学家，被誉为业余数学家之王的皮埃尔· 德·费马提出了一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶 点的距离之和最小”，他的答案是：“当三角形的三个内角均小于120°时，所求的点为三角形的正 等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角120°，当三角形有一内角大于或等于120° 时，所求点为三角形最大内角的顶点”，在费马问题中所求的点称为费马点. 材料二：布洛卡点，也叫“勃罗卡点”，定义为：已知△ABC内一点P满足∠PAB=∠PBC= ∠PCA=0,则称P为△ABC的布洛卡点，0为△ABC的布洛卡角，1875年，三角形的这一特殊 点，被一个数学爱好者—法国军官布洛卡重新发现，并用他的名字命名.。 已知a,b,c分别是△ABC的内角A,B,C的对边，且acos(B一C)+acos A-23 csin Bcos A=0. (1)求A: (2)若H为△ABC的费马点，且a2-(b-c)=4,求HA·HB+HB.HC+HA·HC的值； (3)若△ABC为锐角三角形，P为△ABC的布洛卡点，0为△ABC的布洛卡角，证明：am0 1 tan∠BAC+an∠ABC+tan∠ACB 数学第4页（共4页）辽宁名校联盟高一6月联考 ·数学· 叁专管案及解析 一、选择题 2,所以R=150=75,所以球的直径为2R=150.故选 1.D【解析】=1012一1012i,则对应的点位于第四象 2 A项. 限.故选D项. 2.A【解析】由题意可知圆柱的高为BC=5,故该陀螺的 体积为x×2X5+号x×2X3=24元故选A项。 3.C【解析】因为a=3,b=2,|a十b=19,所以 a·b=3,所以12a-3b|=√/(2a-3b)产= √a-12a·b+9b=√/A×9-12X3+9X4=6.故选 C项. 4,B【解析】使得△ABC有两组解，由正弦定理得8.C【解析】设三棱锥SABC外接球的球心为O,在 bsin牙<a<b,解得2<u<4.故选B项. △ABC中，由余弦定理得os∠ACB=9+3-3=图】 2X3×3 2· 5.B【解析】由题意可得，MA·M亦=(M心+OA), 因为∠ACB∈(0，x,所以∠ACB=,设△ABC外接圆 (Mò+Oi)=(Mò+Oi)·(Md-Oi)=M01￥ AB OAP=M1一1，当OM与正六边形的边垂直时， 的半径为r,外心为0，由正弦定理得2rmCB Mò==3，当点M运动到正六边形的顶点时， 1 Mò=2尽，所以Mò1∈[3,23]，则Mò：∈[9， =2,3,则r=B,由△ABC的面积5么m=2X3× 1 12],即Mi.M亦=Mò-1∈[8,11].故选B项. 6,D【解析】因为角a的终边经过点(1，一2)，所以 尽m吾-3华为定直，得当三棱锥SAC的体积最大 m。=-2,所以2点。 时，点S到平面ABC的距离最大，设此时点S到平面 十sina= ABC的距离为h,则三棱锥SABC体积的最大值为 sin a(sin'a+cos'a)+3cos'a sin 6cos a-2sin acos a sin'a+cos'a 号×-号，解得为=2，由图可知，当三棱维的体积 4 tan'a十tana十3+tana ana十一0故选D项 最大时，S,O,O三点共线且SO,=h=2,由球心的性质 6-2tan a 可知O)⊥平面ABC.设外接球的半径为R,在 7.A【解析】如图，设球的截面圆圆心为O,半径为R,连 Rt△OOC中，OO=2一R,OC=r,OC=R,则(2 接OB,OC,由圆的切线性质可得∠(OCA=15°， R)十r=R,即(2-R+()=R,解得R=子，则 tan 157,AB--R ∠OBA=30°，则AC=,R an30,所以BC 该球的表面积S=x·R=故选C项。 150=AC-AB= tan 15 tan30,可得R(ami5 R R 1 1 an30)=150.即R= 150 1—,又因为an30= tan 15 tan 30 3,tan 15'=tan (45-30)=tan 45-tan 30" 1十tan45tan30 二、选择题 1、3 1 9.AB【解析】因为这=(1一i)(2+i)=3一i,所以= 3=2-3,所以an15an302-√58= 1 3 3-i_i3-边--1-3i,方程x+2x+10=0可化为 1 ·数学· 参考答案及解析 (x十1)2=一9，所以方程的根为x=一1士3i,故A项正 确：由三角函数图像知B项正确：如图所示： 对于C项，sim∠OPB=号，0<∠OPB<是，所以 ∠OPB=受，则∠APB-专，过点P作平面a截圆锥 的截面面积最大时，对应三角形为等腰直角三角形，则 其面积S=P=2,故C项错误：对于D项，如图@ 若下面是一个正四棱柱，上面是一个以正四棱柱上底面 为下底面的斜四棱柱，上、下棱柱的则面不在同一平面 把圆锥的侧面展开一半，点A展开到A',PM=1, 内，但它们的组合体不是棱柱，故C项错误：cos36°· PA=PA=2.∠APB=华=，由余弦定理得 2 cos72°=2sin362cos36cos72°-2sim72cos72° 2sin 36 4sin 36 A'M=PA+PF-2×PA'X PMcos,∠A'PB=5 4in36一sm36=,放D项错误.故选AB项。 sin144°sin36°1 4cos三，所以从点A沿圆锥表面到M的最短路线长 10.ACD【解析】不妨设=mr+子，当r∈[0.2x]时， AM=√5-4os宫，放D项正确，故选ABD项 <r+<2+即：[，2w+音]观察 函数y=2n:在[，2十]上的图.对于 A项，由题意知5m<2m十吾<6x,解得子≤w<名， 17 故A项正确：对于B项，当x∈(0.2)时，号<or十 ② 普<2w十吾由图知当号≤2十号<6x时， 三、填空题 12.10+2√2+2【解析】如图，过点D作D'E⊥OB', 的图像在(0,2x)上可以有6条对称轴，故B项错误：对 于C项，由上分析及观察f(x)的图像，不难得到，f(x) 的图像在(0,2x)上有且仅有3个最大值点，故C项正 确：对于D项，当x(0,音)时，号<ar+音<音叶 014) 由等腰梯形A'B'C'D'可得△A'D'E是等腰直角三角 音，因为了<<吕所以特<帝+音<受则 形，即AD'=EAE=号X(6-)XE=E,还原平 在(0，)上单调递增，放D项正确，故选ACD项。 面图如下图所示， 11,ABD【解析】对于A项，设圆锥母线为L,高为h,由 半径r=B,体积为，得V=子×(3)×h=解得 h=1,l=√+F=2,则侧面积为rl=23π，故A项 正确：对于B项，如图①，过圆锥的内切球球心()作 OD⊥PB,垂足为点D,设OD=OO=R,则PO 即AB=6,CD=4,AD=2V2,过点C作CF⊥AB,由勾 1-R曲m∠0PB-器-8-9即昌-停 股定理得CB=2v3,故四边形ABCD的周长为4十6+ 2√2+2/3=10+22+23. 解得R=2√3一3，所以内切球O的表面积为4πR 4x×(2√3-3)=(84-483)x,故B项正确： 18.(9,8]【解析】由正弦定理得(a-6)(a+b)=(c )c,整理可得+2一d=c,所以osA=+c一d 2 2 ·2· 辽宁名校联盟高一6月联考 ·数学· 45,所以6+-(5sB)'+(5mc)- D 3 9mB+9ir(停+）=9+g如(2B-吾）》” 因为△ABC是锐角三角形，所以A十B>乏，所以 B 受>B>吾，则2B-吾∈（晋，吾），所以sin(2B (2)若将这块铁料最大限度地打磨为一个圆台，则圆台 吾)∈（合1]所以方+∈（婴8] (O)的上、下底面圆与正四棱台的上、下底面正方形相 切，高为正四棱台的高，则圆台O)上底面圆的半径 14.3【解析】因为a=1b=2,a·b=2,且a·b 为OQ=10cm,下底面圆的半径为OP=20cm,高 a·b1cosa,b=2,所以cosa:b)=号，又a,b∈ 0,0=30cm, (7分) [0,],所以(a,b)=受，所以a-b=V(a-b 则圆台00，的体积V,=号x×10+20+10×20)× 30=7000xcm3. (9分) a-2a·b+b=2,|a+b|=(a+b) √a+2a·b+b=25,21a+b=45,因为向量c 又正四棱台的体积V=吉×(2++V0X)× 满足c-2a-2b1=a-b,所以1c-2a-2b|=2.如 30=28000cm, 图所示 所以削去部分的体积V2=(28000一7000x)m, (11分) 2(a+b) 故削去部分与圆台的体积之比为28000-7000x= 7000x c-2(a+b 4一元 (13分) 16.解：1)由C定+B正-C市+C立-Ci=0, 得C=号C=号(Ai-AC, (1分) 设OA=a.Oi=b.O正=2(a+b),Od=c,则BA=a-b. FC=c-2(a+b),所以1EC1=|c-2(a+b)|=2,所以 由A0=3F元，得C=-3AC, (2分) 点C在以E为圆心，2为半径的圆上，设OD=b,则 D心=c一边，由图像可得当且仅当E,C,D三点共线且 所以球=市-C花=一子A苏+A, (3分) ED⊥OD时，D1最小，即e-b(∈R)取得最小 E 值，此时∠E0D=吾，1O币1=O21cos吾=6，又 =-2a+日0 b=2,Oj=b,所以入=3. 馆+需心-名a成.a心-网 (6分) 四、解答题 15.解：(1)如图，正四棱台侧面是全等的等腰梯形，分别取 (2)由CD=rAB+yAC,得Fi=Ci-C市=xAi+ B:C.BC的中点M,N,连接O,M,ON,MN,OO. (+)花. (7分) 过点M作MH⊥ON,交ON于点H, (1分) 0,0=MH=30 cm,O M=10 cm.ON 20 cm. 又点D在直线EF上，所以FD∥E苹，可设FD=AEF, HN=10 cm, (2分) 即x店+(+号)花--合A+合心 所以MN=MF+HW=√30+10=10/ocm, (9分) (3分) 得(x+合)筋-（合y-)d 所以正四棱台ABCD-A:BCD的表面积S=20十 因为AB与A心不共线.所以十号=合-y一号=0， 40+4X号 2 ×(20+40)×10√10=2000+1200√/10cm. 得x=-3y-1, (6分) 则C市=(-3y-1)AB+yA心， (10分)） ·3 ·数学· 参考答案及解析 又直线CD经过△ABC的垂心，所以CD⊥AB, 6326 即CD·AB=(-3y-1)AB+yAB·AC=0.(12分 3 3 (13分) 即-21y-9+3y=0,得y=-号则x=3:15分) 因为b十≥2√c=8,当且仅当b=c时等号成立， 17.解：(1)由正弦定理得3(a-)=3c-26 所以2，-AD:C+≥2VE·AD=8AD. 4+b 即2+F-a=2 (1分) 则AD<,故AD的最大值为， (15分) 18.解：(1)f(x）=sinr+cos'wr=(sinar+cos2ar)产- 故cosA=+2-a 3sin curcos aur(sin ar+cos ur)=1-3sin'crcos oxr=1- 2be 2=3· (2分) 子m2ar=1-31-g4a0-音+景os4arn 3 因为cosA>0,所以A∈(0，吾) 8 (4分) 所以mA=厂sA√--2 (4分) 由x)的最小正周期为不得T=无=，即。是 1 3 (2)(D由1)知sinA=22 (6分) 3 因为△ABC的面积为16,2 2)设F()-品依题意可知Y [ 3 所以号sin A=162,解得c=16, 2」<，恒有F(m)<F(). 3 (6分) 上单调递增。 (8分) 因为A店=号+心，所以A龙-(A疗+AC+ 即F)在[ 由f,(x）=sinr+cos'z=(sin2x+cos2ur)2- 2Ai.Ad)=}(+8+2osA)=4(+B+ 2sin'w.rcos wr=1- 2sin'2ur. 号)≥(2+号)-x号-号当且仅当 得F(x) b=c时等号成立， (8分) =6(r) f(r) 所以正≥号→A正≥ 3 =sin'wr+cos or sin'cur十cos'cur 故AE的最小值为 (9分) (sin'wr+cos'wr):-2sin'mrcos'mr sin'or+cos'wr ()因为AD为内角A的平分线， =sin'mr十cos'x 2sin'wrcos'r sin'or+cos'w.r 所以sim∠BAD=sin∠CAD=A =1 2 sin'2or- 8 sin'2or 因为S△g十S△Mr=S△Ae, 所以AD·s会+号ADbsn 人 2 sin2wr 11 sin?22 8 sin zor2 1 (10分) =1 1- 2 sin'2ot 因为in号≠0.所以AD.(c+b)=2cos令， A (11分) 2 sin2ur+ =1-1 1+子sn2an 1 2 2-sin'2our 因为c0sA=2号-1= 1 3 =1+2-sin'2our 2-sin 2uc (12分) 4 A2 A6 所以cos=3co=3 31 1-2-sin'2o cos ar. 又bc=16,所以AD·(c+b)=2 becos =2×16× 则y=1+号-在0，十∞)内单调递增， ·4 辽宁省名校联盟2024年高一6月份联合考试 数学 题号 题型 分值 考查的主要内容及知识点 难度 1 选择题 5 复数的概念和运算 易 2 选择题 5 圆柱、圆锥体积公式 易 3 选择题 5 向量的模 易 4 选择题 5 三角形解的个数问题 易 5 选择题 5 向量的数量积 中 6 选择题 同角三角函数基本关系式 中 7 选择题 5 三角形的实际应用 中 8 选择题 外接球 难 9 选择题 复数、已知三角函数值求角、棱柱概念、三角恒等变换 易 10 选择题 6 三角函数的图像与性质 中 11 选择题 空间几何体 难 12 填空题 5 斜二测画法与直观图 多 13 填空题 解三角形与三角恒等变换 中 14 填空题 5 平面向量最值问题 论 15 解答题 13 立体儿何 易 16 解答题 15 平面向量 中 17 解答题 15 解三角形 中 18 解答题 17 三角恒等变换与三角函数 娘 19 解答题 17 新定义，三角形、平面向量，三角恒等变换综合问题 难