精品解析：广东省江门市某校2023-2024学年高一下学期期末热身模拟数学试题

2023级高一第二学期6月热身考试（数学）试题 满分：150分 时长：120分钟 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，再判断即可. 【详解】因为复数，所以复数的虚部为． 故选：D． 2. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】C 【解析】 【分析】ABD可举出反例；C选项，根据直线与平面垂直的性质得到C正确. 【详解】对于A，若，，则或，故A错误； 对于B，若，，，则或与异面，即B错误； 对于C，若，，由直线与平面垂直性质可得，故C正确； 对于D，若，，，则与的关系为平行、相交或异面，故D错误； 故选：C 3. 如图，正方形的边长为2，为的中点，，则的值为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】以点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则：， 据此可得：， 由平面向量数量积的坐标运算法则有：. 本题选择A选项. 点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用． 4. 已知，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出的值，根据投影向量的定义即可求得答案. 【详解】由向量，， 得， 故向量在方向上的投影向量为， 故选：B. 5. 已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则圆锥底面直径为（ ） A. 6 B. 3 C. 12 D. 【答案】A 【解析】 【详解】设圆锥的底面半径为，高为，则母线长为， 则圆锥的侧面积为， 故表面积为，得①， 又底面圆周长等于侧面展开半圆的弧长，故， 即，得②， 联立①②得：，，则圆锥底面直径为6． 故答案：A． 6. 在中，，，则（ ） A. 2 B. C. -2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由求出和，再用两角和的正切公式即可求出. 【详解】因为在中，，所以为锐角， 所以，， 则. 故选：C 7. 如图，在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角形的中位线做出异面直线所成角，然后利用余弦定理计算即可. 【详解】如图所示: 连接A1C,交AC1于D,取BC的中点E,连接AE,DE, 则DE//A1B,∴为异面直线A1B和AC1所成的角或其补角. 由题意，可设该正三棱柱的棱长为2，易得, 则AE=, ∴, ∴异面直线A1B和AC1所成的角的余弦值为， 故选：B. 8. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且若，外接圆的半径为1，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据余弦定理求得，由正弦定理求得，结合三角形面积公式和基本不等式求出结果. 【详解】由，得， ∵，∴， ∵外接圆的半径为1，∴由正弦定理得，则， ∴，则， ∴，当且仅当时等号成立， ∴，即面积的最大值为. 故选：A. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.若答案有三个，每答对一项得2分；若答案有两个，每答对一项得3分；有答错的得0分.） 9. 得到函数的图象，只需将函数图象上所有点的坐标（ ） A. 向左平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变） B. 向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变） C. 横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度 D. 横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度 【答案】AD 【解析】 【分析】根据三角函数图象的伸缩与平移变换规律即可得出结果． 【详解】先平移后伸缩： 函数的图象向左平移个单位长度，得， 再将横坐标缩短到原来倍（纵坐标不变），得； 先伸缩后平移： 函数图象将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得， 再向左平移个单位长度，得，即． 故AD符合题意. 故选：AD． 10. 下列说法正确的是（ ） A. 中，D为BC中点，则 B. 向量，可以作为平面向量的一组基底 C. 若非零向量与满足，则为等腰三角形 D. 已知点，，点P是线段AB的三等分点，则点P的坐标可以为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，根据平面向量的运算即可判断；对于B，根据平面向量的基本定理即可判断；对于C，根据平面向量的运算及三角形性质即可判断；对于D，根据平面向量的运算即可判断. 【详解】对于A，在中，因为D为BC的中点，所以， 所以， 故选项A正确； 对于B，因为向量，，所以， 可知与共线，不能作为平面向量的一组基底，故选项B错误； 对于C，因为和分别表示与向量和同向的单位向量， 所以以和为邻边的平行四边形是菱形， 根据平行四边形法则可知在的平分线上， 又因为，所以的平分线垂直于，所以， 即为等腰三角形，故选项C正确； 对于D，若点P是线段AB的三等分点，则或， 因为，，所以， 所以或， 即点P的坐标可以为或，故选项D错误. 故选：AC. 11. 已知正四面体的棱长为，为的重心，为线段上一点，则（ ） A. B. 正四面体的体积为 C. 正四面体的外接球的体积为 D. 点到各个面的距离之和为定值，且定值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于，取中点，连接，利用线面垂直的判定定理及性质分析判断，对于B，把正四面体放到正方体中，则正四面体的体积为正方体的体积减去四个相同体积的三棱锥，从而可求得，对于C，利用正四面体与正方体有相同的外接球进行计算，对于D，利用等体积法求解判断. 【详解】解：对于，取中点，连接，因为， 所以，，且，平面，平面， 所以平面，又平面，所以，故选项A正确； 对于B，如右图，把正四面体放到正方体中，则正方体的面对角线长为， 所以正方体棱长为，则正四面体的体积为正方体的体积减去四个相同体积的三棱锥， 所以三棱锥的体积为，正方体的体积为， 所以正四面体的体积为，选项B正确； 对于C，在B中，正四面体与正方体有相同的外接球， 且外接球的直径即为正方体的体对角线，且直径为， 所以正四面体的外接球的体积为，选项C正确； 对于D，连接、、，设点到各个面的距离分别为、、、， 正四面体的一个侧面面积为， 所以，由B选项可得， ，解得， 所以点到各个面的距离之和为定值，且定值为，选项D错误． 故选：ABC． 【点睛】关键点点睛：此题考查正四面体的有关性质，解题的关键是将正四面体补体成正方体，然后根据正方体的有关性质计算，考查空间想象能力，属于较难题. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 当复数是纯虚数时，实数______． 【答案】 【解析】 【分析】根据纯虚数实部为，虚部不为列式计算即可. 【详解】因为复数是纯虚数， 所以， 解得 故答案为：. 13. 已知，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】由，利用余弦的二倍角公式，代入即得解. 【详解】因为， 由余弦的二倍角公式可得： 故答案为： 14. 已知长方体中，，点M为的中点，且，则平面被长方体截得的平面图形的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先利用几何体中的垂直关系求出，进一步求出截面，再求出周长． 【详解】长方体中，，点为的中点，且，如图所示： 设，由于点为的中点，则，, 由于，利用勾股定理， 即，解得，故， 设为平面与棱的交点， 则平面被长方体截得的平面图形为四边形， 连接，由于平面平面，平面平面，平面平面， ，又，， 为的中点，为的中点， 所以，，，，， 因此，截面图形的周长为. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 在中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，，，． （1）求的面积； （2）若D为AC的中点，求BD的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理得，又由余弦定理得：，可解得，利用三角形面积公式可得答案； （2）方法一：由于，所以，结合余弦定理求解即可； 方法二：由于为的中点，所以，结合数量积的运算求解即可. 【小问1详解】 中，，由正弦定理得， 由余弦定理得：，即， 解得：， 所以的面积. 【小问2详解】 方法一： 因为为的中点，所以． 由（1）知. 由于，所以， 在和中， 由余弦定理得：， 即 ， 解得. 方法二： 由于为的中点，所以， ， 则. 16. 已知函数图象相邻的两条对称轴的距离为，在一个周期内的图象如图所示． （1）求函数的解析式； （2）求函数在上的单调递增区间． 【答案】（1） （2）和 【解析】 【分析】（1）由已知可得出，，根据图象最高点与最低点求得，由图象过点，结合的范围得出，即可得出的解析式； （2）由得出函数的单调递增区间，然后令，，分别求出单调区间与定义域的交集，即可得出答案. 【小问1详解】 由已知得，，故 由图可知，，则， 故. 由图象过点，可得， 则，或， 即，或， 又，经检验，当时，符合题意， 故. 【小问2详解】 由，可得， 则的单调递增区间为， 令，得， 令，得， 故在上的单调递增区间为和. 17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，为中点， 为中点，为线段上动点． （1）若为中点，求证：平面； （2）证明：平面． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接，即可证明，从而得证； （2）首先证明平面，即可得到，再由，即可得证. 【小问1详解】 如图，连接交于点，连接， 底面为正方形，为中点，为中点， 且， 四边形为平行四边形，为中点． 又中点，， 又平面，平面，平面． 【小问2详解】 底面为正方形，， 平面，平面，， 又，，平面，平面， 平面，， ，且为中点，则， 又，，平面， 平面． 18. 如图，已知、均为等边三角形，的边长为，、、分别为、、的中点． （1）用基底表示向量 （2）延长与交于点，延长与交于点，求 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量基本定理结合题意求解即可； （2）由，，三点共线，可设，则，再由，，三点共线，可求出，再利用向量的加减法将用表示，由，，三点共线，可设，则，由，，三点共线，可求出，则将用表示，从而可求出 【小问1详解】 因为、均为等边三角形，且、、分别为、、的中点， 所以 ， 所以，所以． 【小问2详解】 由已知，，三点共线，可设，则， 又，，三点共线，所以，得， 所以， 由已知，，三点共线，可设，则 又，，三点共线，所以，得，故， 所以，所以 19. 某高一数学研究小组，在研究边长为1的正方形某些问题时，发现可以在不作辅助线的情况下，用高中所学知识解决或验证下列有趣的现象．若分别为边上的动点，当的周长为2时，有最小值（图1）、为定值（图2）、到的距离为定值（图3）．请你分别解以上问题． （1）如图1，求的最小值； （2）如图2，证明：为定值； （3）如图3，证明：到的距离为定值． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设，由锐角三角函数与三角形的周长得到，从而表示出，再由两角和的正弦公式及正弦函数的性质计算可得； （2）设，，则，，从而可得，，，再通过的周长为，建立等式，再由两角和的正切公式求出，即可求出； （3）由三角形的面积公式得到，再将（2）中数据代入求出，即可得证. 【小问1详解】 设，，则，， 的周长为， ， 所以， 又，， ， 当，即时，取得最小值，且的最小值为； 【小问2详解】 设，，， 则，， ，，， 的周长为， ， ， ， ，又，， ， ， ，为定值； 【小问3详解】 ， ， ，， ， 又，， ， ， ， 由（2）知， ， ，即到的距离的定值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023级高一第二学期6月热身考试（数学）试题 满分：150分 时长：120分钟 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 2. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C 若，，则 D. 若，，，则 3. 如图，正方形的边长为2，为的中点，，则的值为 A. B. C. D. 4. 已知，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则圆锥底面直径为（ ） A. 6 B. 3 C. 12 D. 6. 中，，，则（ ） A. 2 B. C. -2 D. 7. 如图，在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A. 0 B. C. D. 8. 在中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且若，外接圆的半径为1，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.若答案有三个，每答对一项得2分；若答案有两个，每答对一项得3分；有答错的得0分.） 9. 得到函数的图象，只需将函数图象上所有点的坐标（ ） A. 向左平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变） B. 向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变） C. 横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度 D. 横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度 10. 下列说法正确是（ ） A. 中，D为BC的中点，则 B. 向量，可以作为平面向量的一组基底 C. 若非零向量与满足，则为等腰三角形 D. 已知点，，点P是线段AB的三等分点，则点P的坐标可以为 11. 已知正四面体的棱长为，为的重心，为线段上一点，则（ ） A. B. 正四面体的体积为 C. 正四面体的外接球的体积为 D. 点到各个面的距离之和为定值，且定值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 当复数是纯虚数时，实数______． 13. 已知，则______． 14. 已知长方体中，，点M为的中点，且，则平面被长方体截得的平面图形的周长为______． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 在中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，，，． （1）求的面积； （2）若D为AC的中点，求BD的长． 16. 已知函数图象相邻的两条对称轴的距离为，在一个周期内的图象如图所示． （1）求函数的解析式； （2）求函数在上的单调递增区间． 17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，为中点， 为中点，为线段上动点． （1）若中点，求证：平面； （2）证明：平面． 18. 如图，已知、均为等边三角形，的边长为，、、分别为、、的中点． （1）用基底表示向量 （2）延长与交于点，延长与交于点，求 19. 某高一数学研究小组，在研究边长为1的正方形某些问题时，发现可以在不作辅助线的情况下，用高中所学知识解决或验证下列有趣的现象．若分别为边上的动点，当的周长为2时，有最小值（图1）、为定值（图2）、到的距离为定值（图3）．请你分别解以上问题． （1）如图1，求的最小值； （2）如图2，证明：为定值； （3）如图3，证明：到的距离为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$