精品解析：安徽省宣城市宁国市城西、开实、津河三校联考2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

八年级数学六月学情调研试题卷 （考试时间90分钟， 满分100分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】最简二次根式是满足下列两个条件的二次根式：1.被开方数的因数是整数，因式为整式；2.被开方因数因式不能再被开方． 【详解】A. ，故A不是最简二次根式； B. ，故B不是最简二次根式； C是最简二次根式； D. ，故D不是最简二次根式， 故选：C． 【点睛】本题考查最简二次根式，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 2. 如果，，那么下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先判断出，，然后根据二次根式的意义，二次根式的性质化简，即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，无意义， ∴A的结论不正确； ∵， ∴B的结论正确； ∵， ∴C的结论不正确； ∵， ∴D的结论不正确， 故选B． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，二次根式的意义等知识，掌握二次根式的性质是解题的关键． 3. 如果关于x的一元二次方程的一个解是，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要一元二次方程的解的定义，将代入一元二次方程，可得，由此可得答案．解题的关键是掌握定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解． 【详解】解：关于x的一元二次方程的一个解是， ， ， ， 即代数式值为1． 故选：B． 4. 若一正多边形的一个外角为，则这个正多边形的边数为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】A 【解析】 【分析】根据正多边形每个外角都相等且外角和为列式解答即可． 【详解】解：∵正多边形每个外角都相等且外角和为， ∴正多边形的边数是， 故选A． 【点睛】本题主要考查了正多边形的外角的性质和外角和，灵活运用正多边形每个外角都相等且外角和为是解答本题的关键． 5. 已知，中的对边分别是a、b、c，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. ，， C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用直角三角形定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可． 【详解】解：A、∵，∴，∴是直角三角形，故此选项不符合题意； B、∵，，，∴，∴是直角三角形，故此选项不符合题意； C、∵，，∴，∴是直角三角形，故此选项不符合题意； D、∵，，∴，，，∴不是直角三角形，故此选项符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查直角三角形的判定方法，掌握判定直角三角形的方法是解题的关键，可以利用定义也可以利用勾股定理的逆定理． 6. 如果，那么的值为（　　） A. 2或 B. 2 C. 0或2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先利用零指数幂的性质整理一元二次方程，进而利用因式分解法解方程得出即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， 解得，， 当时，， 故， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了因式分解法解一元一次方程，零指数次幂，最后检验是解题的关键． 7. 已知：a＝，b＝，则a与b的关系是（ ） A. a－b＝0 B. a＋b＝0 C. ab＝1 D. a2＝b2 【答案】C 【解析】 【分析】先分母有理化求出a、b，再分别代入求出ab、a+b、a-b、a2、b2各个式子的值，即可得出选项． 【详解】解：分母有理化，可得a=2+，b=2-， ∴a-b=（2+）-（2-）=2，故A选项错误，不符合题意； a+b=（2+）+（2-）=4，故B选项错误，不符合题意； ab=（2+）×（2-）=4-3=1，故C选项正确，符合题意； ∵a2=（2+）2=4+4+3=7+4，b2=（2-）2=4-4+3=7-4， ∴a2≠b2，故D选项错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了分母有理化的应用，能求出每个式子的值是解此题的关键． 8. 已知菱形的边长等于2，菱形的一条对角线长也是2，则另一条对角线长是（　　） A. 4 B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】先根据题意画出图形，然后由菱形的性质，求得，，然后由勾股定理求得的长，从而可求得答案． 【详解】解：如图，菱形中，， ，， ， ， 即另一条对角线的长是， 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质以及勾股定理，注意根据题意画出图形，再结合图形求解是关键． 9. 如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形面积为4，若用，表示直角三角形的两条直角边长（），下列四个说法：①；②；③；④，其中正确的说法是（　　） A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理和正方形的性质即可得到，即可判定①；根据图形可知，即可判断②；根据，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，可得，即可判断③；进而得到，即可判断④． 【详解】解：如图所示， ∵正方形的面积为49， ∴， ∵是直角三角形， ∴根据勾股定理得：，故①正确； ∵正方形的面积为4， ∴， ∴，故②正确； 由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积， 列出等式为， 即，故③错误； 由可得， 又∵， 两式相加得：， 整理得：， ，故④错误； 故正确的是①②． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理、直角三角形的面积公式和完全平方公式是解题的关键． 10. 如图，在正方形中，是的中点，点在上，，则下列结论中正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把绕A点逆时针旋转得，根据旋转的性质得，，，，则，即G，B，F共线，再根据，，可得到，则；设正方形的边长为2a，则，设，则，在中，利用勾股定理得到，，，，即可得出正确选项． 【详解】解：把绕A点逆时针旋转得，如图， ∴，，，， ∴，即G，B，F共线， 又∵，， ∴， ∴， ∴； 设正方形的边长为2a，则， 设，则，在中，， 解得， 则，， ∴． 所以D选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质，旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，正方形的性质以及勾股定理． 二、填空题：（每空3分，共计15分） 11. 使二次根式有意义的x的取值范围是______________． 【答案】 【解析】 【分析】二次根式有意义的条件为，由此计算即可． 【详解】二次根式有意义，则，即． 故答案为：． 【点睛】本题考核知识点：二次根式的意义；解题关键点：理解二次根式的意义，注意被开方数必须大于或等于0． 12. 北京冬奥会金牌榜前十位的金牌数分别为16，12，9，8，8，8，7，7，6，5．这组数据的平均数、众数和中位数中，最大的是__________． 【答案】平均数 【解析】 【分析】分别根据平均数的计算公式、众数和中位数的定义求出平均数、众数和中位数，再比较大小即可得． 【详解】解：平均数为， 因为8出现的次数最多， 所以众数为8， 将这组数据按从大到小排序后，第5个数和第6个数的平均数即为中位数， 则中位数为， 所以在平均数、众数和中位数中，最大的是平均数， 故答案为：平均数． 【点睛】本题考查了平均数、众数和中位数，熟练掌握计算公式和定义是解题关键． 13. 如果，其中、为有理数，那么等于___________． 【答案】3 【解析】 【分析】先计算，求出，，再代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，完全平方公式，正确计算是解题的关键． 14. 如图，矩形中，，．点N是边上一动点，将沿折叠，使点B落在点M处，延长交矩形的一边与点E， （1）当为的角平分线时，的度数为____________； （2）当点E为中点时，则的长为____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质，得到，根据为的角平分线，得到，于是得到，结合矩形的性质计算即可． （2）延长，，二线交于点P，证明，根据折叠性质，矩形性质和勾股定理计算即可． 【详解】（1）∵矩形， ∴， ∵沿折叠， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． （2）延长，交于点P， ∵矩形， ∴，， ∵点E为中点， ∴， ∵， ∴， ∴，． ∵，， ∴． 根据折叠的性质，得到，，， 故． 设， 则， 在中， ， 故， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，三角形全等的判断和性质，熟练掌握上述知识是解题的关键． 三、计算与应用：（共计55分） 15 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键． （1）直接化简二次根式，进而利用二次根式的加减运算法则计算得出答案； （2）直接化简二次根式，再利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案． 【小问1详解】 解： ； 小问2详解】 解： ． 16. 用适当方法解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程．根据方程的特征选择恰当方法求解是解题的关键． （1）用配方法求解即可； （2）用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴，． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴或， ∴，． 17. 关于x的方程有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根． 【答案】，此时方程的根为 【解析】 【分析】直接利用根的判别式≥0得出m的取值范围进而解方程得出答案． 【详解】解：∵关于x的方程x2-2x+2m-1=0有实数根， ∴b2-4ac=4-4（2m-1）≥0， 解得：m≤1， ∵m为正整数， ∴m=1， ∴此时二次方程为：x2-2x+1=0， 则（x-1）2=0， 解得：x1=x2=1． 【点睛】此题主要考查了根的判别式，正确得出m的值是解题关键． 18. 在三角形中，内角、、所对的边分别为、、，若，求证：三角形是直角三角形． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】根据结合分式的性质得到，进一步推出，由此即可证明结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在三角形中，内角、、所对的边分别为、、， ∴三角形是直角三角形． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，分式的基本性质，推出是解题的关键． 19. 观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； … 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第4个等式： ； （2）写出你猜想的第n个等式： （用含n的式子表示），并证明． 【答案】（1）；（2），证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据数字规律求解； （2）根据数字规律及二次根式的性质计算． 【详解】解：（1）由题意： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 第4个等式为：， 故答案为：； （2）由（1）可得： 第个等式为：， 证明：左边， 左边右边， 等式成立． 故答案为：． 【点睛】本题考查数字类规律探索，分式的加减运算和二次根式的化简，理解题意发现数字间的规律是解题关键． 20. 如图，在中，，D是斜边的中点，连接，分别过点B，C作，，与交于点E． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，菱形的面积为，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）4 【解析】 【分析】（1）根据一组邻边相等的平行四边形是菱形证明即可． （2）连接交于点O，设，则，根据菱形的面积为列等式计算即可． 【小问1详解】 ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，D是斜边的中点， ∴， ∴四边形是菱形． 【小问2详解】 连接交于点O，设， ∵，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∵菱形的面积为， ∴， 解得（舍去）． 故． 【点睛】本题考查了直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，菱形的判定和性质，平行四边形的判定，熟练掌握直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，菱形的判定和性质是解题的关键． 21. 第24届冬奥会于2022年2月20日在北京胜利闭幕．某校七、八年级各有500名学生．为了解这两个年级学生对本次冬奥会的关注程度，现从这两个年级各随机抽取n名学生进行冬奥会知识测试，将测试成绩按以下六组进行整理（得分用x表示）： A：，B：，C：， D：，E：，F：， 并绘制七年级测试成绩频数直方图和八年级测试成绩扇形统计图，部分信息如下： 已知八年级测试成绩D组的全部数据如下：86，85，87，86，85，89，88 请根据以上信息，完成下列问题： （1）n＝______，a＝______； （2）八年级测试成绩的中位数是______﹔ （3）若测试成绩不低于90分，则认定该学生对冬奥会关注程度高．请估计该校七、八两个年级对冬奥会关注程度高的学生一共有多少人，并说明理由． 【答案】（1）20；4 （2）86.5 （3）该校七、八两个年级对冬奥会关注程度高的学生一共有人． 【解析】 【分析】（1）八年级D组：的频数为7÷D组占35%求出n，再利用样本容量减去其他四组人数÷2求即可； （2）根据中位数定义求解即可； （3）先求出七八年级不低于90分的人数，求出占样本的比，用两个年级总数×计算即可． 【小问1详解】 解：八年级测试成绩D组：的频数为7，由扇形统计图知D组占35%， ∴进行冬奥会知识测试学生数为n=7÷35%=20， ∴， 故答案为：20；4； 【小问2详解】 解：A、B、C三组的频率之和为5%+5%+20%=30%＜50%， A、B、C、D四组的频率之和为30%+35%=65%＞50%， ∴中位数在D组，将D组数据从小到大排序为85，85，86，86，87， 88 ，89， ∵20×30%=6，第10与第11两个数据为86，87， ∴中位数， 故答案为：86.5； 【小问3详解】 解：八年级E：，F：两组占1-65%=35%， 共有20×35%=7人 七年级E：，F：两组人数为3+1=4人， 两年级共有4+7=11人， 占样本， ∴该校七、八两个年级对冬奥会关注程度高的学生一共有（人）． 【点睛】本题考查从频率直方图和扇形统计图获取信息与处理信息，样本的容量，频数，中位数，用样本的百分比含量估计总体中的数量，掌握样本的容量，频数，中位数，用样本的百分比含量估计总体中的数量是解题关键． 22. 如图，在边长为4的正方形中， （1）如图1，，垂足为点O，求证：； （2）如图2，垂直平分，且，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形全等判定和性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，熟练掌握上述性质，并灵活运用是解题的关键． （1）利用证明即可． （2）连接，利用正方形性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质计算即可． 【小问1详解】 证明：∵正方形， ∴，， ∴， ∵，垂足为点O， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 连接， ∵正方形， ∴， ∵垂直平分，且， ∴， 设， 则，， ∴， 解得， ∴， 设， 则， ∴， ∴， 解得， 故． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级数学六月学情调研试题卷 （考试时间90分钟， 满分100分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列二次根式中，最简二次根式（　　） A. B. C. D. 2. 如果，，那么下列各式中正确的是（ ） A. B. C D. 3. 如果关于x的一元二次方程的一个解是，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 4. 若一正多边形的一个外角为，则这个正多边形的边数为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 5. 已知，中的对边分别是a、b、c，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. ，， C. D. 6. 如果，那么的值为（　　） A. 2或 B. 2 C. 0或2 D. 7. 已知：a＝，b＝，则a与b的关系是（ ） A. a－b＝0 B. a＋b＝0 C. ab＝1 D. a2＝b2 8. 已知菱形的边长等于2，菱形的一条对角线长也是2，则另一条对角线长是（　　） A. 4 B. C. D. 3 9. 如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形面积为4，若用，表示直角三角形的两条直角边长（），下列四个说法：①；②；③；④，其中正确的说法是（　　） A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 10. 如图，在正方形中，是的中点，点在上，，则下列结论中正确的是（　　） A B. C. D. 二、填空题：（每空3分，共计15分） 11. 使二次根式有意义的x的取值范围是______________． 12. 北京冬奥会金牌榜前十位的金牌数分别为16，12，9，8，8，8，7，7，6，5．这组数据的平均数、众数和中位数中，最大的是__________． 13. 如果，其中、为有理数，那么等于___________． 14. 如图，矩形中，，．点N是边上一动点，将沿折叠，使点B落在点M处，延长交矩形一边与点E， （1）当为的角平分线时，的度数为____________； （2）当点E为中点时，则的长为____________． 三、计算与应用：（共计55分） 15. 计算 （1）； （2）． 16. 用适当方法解方程： （1）； （2）． 17. 关于x的方程有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根． 18. 在三角形中，内角、、所对的边分别为、、，若，求证：三角形是直角三角形． 19. 观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； … 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第4个等式： ； （2）写出你猜想的第n个等式： （用含n的式子表示），并证明． 20. 如图，在中，，D是斜边的中点，连接，分别过点B，C作，，与交于点E． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，菱形的面积为，求的长． 21. 第24届冬奥会于2022年2月20日在北京胜利闭幕．某校七、八年级各有500名学生．为了解这两个年级学生对本次冬奥会的关注程度，现从这两个年级各随机抽取n名学生进行冬奥会知识测试，将测试成绩按以下六组进行整理（得分用x表示）： A：，B：，C：， D：，E：，F：， 并绘制七年级测试成绩频数直方图和八年级测试成绩扇形统计图，部分信息如下： 已知八年级测试成绩D组全部数据如下：86，85，87，86，85，89，88 请根据以上信息，完成下列问题： （1）n＝______，a＝______； （2）八年级测试成绩的中位数是______﹔ （3）若测试成绩不低于90分，则认定该学生对冬奥会关注程度高．请估计该校七、八两个年级对冬奥会关注程度高的学生一共有多少人，并说明理由． 22. 如图，在边长为4的正方形中， （1）如图1，，垂足为点O，求证：； （2）如图2，垂直平分，且，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$