专题05 九种函数与抽象函数模型归类（16题型提分练）-【上好课】2025年高考数学一轮复习知识清单

专题05 九种函数与抽象函数模型归类 目录 题型一：三大补充函数：对勾函数 1 题型二：三大补充函数：复杂分式型“反比例”函数 2 题型三：三大补充函数：双曲函数（双刀函数） 3 题型四：一元三次函数 3 题型五：高斯取整函数 4 题型六：绝对值函数 5 题型七：对数绝对值型 7 题型八：对数无理型 8 题型九：对数反比例型 8 题型十：指数反比例型 9 题型十一：抽象函数模型：过原点直线型 10 题型十二：抽象函数模型：不过原点直线型 11 题型十三：抽象函数模型：正切型 11 题型十四：抽象函数模型：一元二次型 12 题型十五：抽象函数模型：一元三次函数型 13 题型十六：抽象函数模型：余弦或者双曲余弦模型 13 题型一：三大补充函数：对勾函数 对勾函数：图像特征 形如称为对勾函数 1.有“渐近线”：y=ax 2.“拐点”：解方程（即第一象限均值不等式取等处） 1.（2022秋·四川成都·高三成都七中校考阶段练习）若对任意的，不等式恒成立，则的最大值是 . 2.（2022·安徽合肥·高二校联考开学考试）已知函数，关于x的不等式只有一个整数解，则正数a的取值范围是 ． 3.．（2023·高三单元测试）已知函数，若存在，使得，则正整数的最大值为 . 4.（2022·上海闵行·高三上海市七宝中学校考开学考试）已知函数，若对任意的，长为的三条线段均可以构成三角形，则正实数的取值范围是 . 题型二：三大补充函数：复杂分式型“反比例”函数 反比例与分式型函数 解分式不等式，一般是移项（一侧为零），通分，化商为积，化为一元二次求解，或者高次不等式，再用穿线法求解 形如：。对称中为P，其中 ①； ② ③一、三或者二、四象限，通过 计算判断 1.（2022·湖北武汉·高三校联考模拟）已知函数为奇函数，与的图像有8个交点，分别为，则 . 2.（2023·全国·高三对口高考）函数的值域是或，则此函数的定义域为 . 3.（2023·全国·高三专题练习）已知集合，其中且，函数，且对任意，都有，则的值是 ． 4.（2023·浙江·高二校联考开学考试）已知函数，若函数在的最大值为2，则实数的值为 . 题型三：三大补充函数：双曲函数（双刀函数） 双刀函数 （两支各自增），或者 （两支各自减） 1.有“渐近线”：y=ax与y=-ax 2.“零点”：解方程（即方程等0处） 1.（2023·江苏南通·高二统考期末）已知函数，则关于x的不等式的解集是 . 2.（2023春·湖北·高二统考期末）已知奇函数，有三个零点，则t的取值范围为 . 3.（2023春·辽宁铁岭·高二校联考期末）已知函数若，则 ． 4...2023春·上海黄浦·高三上海市大同中学校考）已知函数，则不等式的解集为 ． 题型四：一元三次函数 一元三次函数： 所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图像的对称中心， 设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”． 1.．给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”．经研究发现所有的三次函都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图像的对称中心．若函数，则（    ） A． B． C． D． 2.已知函数 ，若至少存在两个实数 ，使得 ，， 成等差数列，则过坐标原点作曲线 的切线可以作 A. 条 B. 条 C. 条 D. 条 3.（多选）（全国名校大联考2022-2023学年高三上学期第三次联考数学试卷）对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若函数，则下列说法正确的是（    ） A．的极大值点为 B．有且仅有3个零点 C．点是的对称中心 D． 4. （多选）（江苏省苏州市常熟市2022-2023学年高三上学期12月抽测二数学试题）对于三次函数,给出定义:设是函数的导数,是的导数,若方程有实数解,则称点为函数的“拐点”.经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”,任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.设函数,则以下说法正确的是（    ） A． B．当时,有三个零点 C． D．当有两个极值点时,过的直线必过点 题型五：高斯取整函数 取整函数表示不超过的最大整数，又叫做“高斯函数”， 1.（黑龙江省大庆市铁人中学2022-2023学年高三月考数学试题）符号表示不超过的最大整数，如，，，定义函数则下列说法正确的个数是（ ） ①函数的定义域为R ②函数的值域为 ③函数是增函数 ④函数是奇函数 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.（广东省广州市第四中学2021-2022学年高三上学期月考数学试题）高斯（1777-1855）是德国著名数学家，物理学家，天文学家，大地测量学家，近代数学奠基者之一，并享有“数学王子”之称，高斯一生的数学成就很多，其中：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，，设函数的值域为集合，则中所有负整数元素个数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 3.（百师联盟2020-2021学年高三上学期一轮复习联考（四）全国卷 I 理科数学试题）高斯是德国著名数学家，物理学家，天文学家，大地测量学家，近代数学奠基者之一.高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称，用其名字命名的高斯函数为：设用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：已知函数.设函数的值域为集合，则中所有正整数元素个数为（ ） A． B． C． D． 4.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设，用表示不超过的最大整数，也被称为“高斯函数”，例如：，.已知函数，下列说法中正确的是（ ） A．是周期函数 B．的值域是 C．在上是减函数 D．， 题型六：绝对值函数 绝对值函数： 1.（2023春·湖南长沙·高二长沙一中校考阶段练习）定义为与距离最近的整数，令函数，如： . 2.（2023·天津和平·统考三模）已知函数，若关于的方程恰有三个不相等的实数解，则实数的取值集合为 . 3.（2022·浙江·高三模拟）已知函数，有下列结论： ①，等式恒成立； ②，方程有两个不等实根； ③，若，则一定有； ④存在无数多个实数k，使得方程在上有三个不同的实数根． 则其中正确结论序号为 ． 4.（2023春·上海松江·高三上海市松江一中校考阶段练习）已知若存在，使得成立的最大正整数为6，则的取值范围为 . 题型七：对数绝对值型 对数绝对值型函数 对于，若有两个零点，则满足 1. 2. 3.要注意上述结论在对称轴作用下的“变与不变” 1.（2022·吉林白山·抚松县第一中学校考二模）已知函数，若方程有4个不同的根，，，，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.（2023春·江苏苏州·高二星海实验中学校考阶段练习）设函数，若关于x的方程有四个实根（），则的最小值为（    ） A． B．16 C． D．17 3.（2020秋·陕西延安·高三校考模拟）已知，则函数的零点个数是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 4.（2023春·安徽安庆·高三统考模拟）设函数，若（其中），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型八：对数无理型 对数与无理式复合是奇函数：，如 1.（2023春·黑龙江绥化·高二校考期末）已知函数，若任意的正数，均满足，则的最小值为 ． 2.（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若，则的取值范围是 . 3.（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校考模拟）已知函数的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝ ． 4.（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若正实数满足，则的最小值为 . 题型九：对数反比例型 1.（2024·江苏泰州·模拟预测）已知函数，若函数的图象关于点对称，则（    ） A．-3 B．-2 C． D． 2.（21-22高三上·云南曲靖·阶段练习）设定义在区间上的函数是奇函数，且.若表示不超过的最大整数，是函数的零点，则 A． B．或 C． D． 3.（2024·山东菏泽·模拟预测）已知函数是定义在区间上的奇函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4.（23-24高三上·浙江宁波·模拟）已知是奇函数，则（   ） A．1 B． C．2 D． 题型十：指数反比例型 变化 1.（23-24高三上·河南·模拟）已知函数是定义在上的奇函数，且对任意，不等式恒成立，则实数有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最小值 D．最大值 2.（23-24高三上·安徽铜陵·阶段练习）已知函数，若实数满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 3.（21-22高三上·辽宁锦州·模拟）已知函数的图像与过点的直线有3个不同的交点，，，则（    ） A．8 B．10 C．13 D．18 4.（2024·河北衡水·模拟预测）设，若函数是偶函数，则（    ） A． B． C．2 D．3 题型十一：抽象函数模型：过原点直线型 --过原点直线型f（x）=kx 1.（23-24高三上·山东泰安·模拟）已知函数对于任意的，都有成立，则（   多选 ） A． B．是上的偶函数 C．若，则 D．当时，，则在上单调递增 2.（23-24高三上·江苏·阶段练习）已知函数，，对于任意，，，且当时，均有，则（ 多选   ） A． B． C． D．若，则 3.（23-24高二下·广东深圳·阶段练习）定义在上的函数满足，当时，，则函数满足（    ） A． B．是偶函数 C．在上有最小值 D．的解集为 4.（2023·广西玉林·三模）函数对任意x，总有，当时，，，则下列命题中正确的是（    ） A．是偶函数 B．是R上的减函数 C．在上的最小值为 D．若，则实数x的取值范围为 题型十二：抽象函数模型：不过原点直线型 1. （多选）（23-24高三上·四川成都·阶段练习）设函数满足：对任意实数、都有,且当时，.设.则下列命题正确的是（   ） A． B．函数有对称中心 C．函数为奇函数 D．函数为减函数 2. （多选）（23-24高三上·辽宁朝阳·模拟）若定义在R上的函数满足，且当时，，则（    ） A． B．为奇函数 C．在上是减函数 D．若，则不等式的解集为 3.（23-24高三上·湖南株洲·模拟）已知函数对，都有，若在上存在最大值M和最小值m，则（    ） A．8 B．4 C．2 D．0 4.（23-24高三下·河南周口·开学考试）已知定义在上的函数满足 ，若函数 的最大值和最小值分别为，则 ． 题型十三：抽象函数模型：正切型 1.（20-21高三上·浙江宁波·模拟）已知函数的图象是连续不断的，其定义域为，满足：当时，；任意的x，，均有.若，则x的取值范围是（    ）（e是自然对数的底数） A． B． C． D． 2.（山东·高考真题）给出下列三个等式：，，．下列函数中不满足其中任何一个等式的是（   ） A． B． C． D． 3. （多选）（2023·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，且，，则（ 多选   ） A． B．为偶函数 C．为周期函数，且4为的周期 D． 4.（20-21高三上·浙江宁波·模拟）已知函数的图象是连续不断的，其定义域为，满足：当时，；任意的x，，均有.若，则x的取值范围是（    ）（e是自然对数的底数） A． B． C． D． 题型十四：抽象函数模型：一元二次型 1.（23-24高三上·上海普陀·模拟）已知对于任意的整数、、，，有成立，且，则 2.（23-24高三上·内蒙古赤峰·开学考试）已知函数的定义域为R，，，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C．是奇函数 D．是偶函数 3.（23-24高三上·吉林长春·模拟）函数满足：任意，.且.则的最小值是（    ） A．1775 B．1850 C．1925 D．2000 4.（23-24高三上·河北保定·模拟）已知函数满足：，，成立，且，则（    ） A． B． C． D． 题型十五：抽象函数模型：一元三次函数型 1. （多选）（2024·福建莆田·二模）已知定义在上的函数满足：，则（    ） A．是奇函数 B．若，则 C．若，则为增函数 D．若，则为增函数 2. （多选）（2024·贵州·三模）已知定义域为的函数满足为的导函数，且，则（    ） A． B．为奇函数 C． D．设，则 3. （多选）（2024·辽宁大连·一模）已知函数是定义域为R的可导函数，若，且，则（    ） A．是奇函数 B．是减函数 C． D．是的极小值点 题型十六：抽象函数模型：余弦或者双曲余弦模型 （2）模型二：双曲余弦函数 特征： 1.（多选）（23-24高三上·浙江湖州·模拟）已知函数对任意实数，都满足，且，则下列说法正确的是（    ） A．是偶函数 B． C． D． 2. （多选）（23-24高三上·河南许昌·模拟）已知函数满足，且，则下列命题正确的是（     ） A． B．为奇函数 C．为周期函数 D．，使得成立 3. （多选）（2024·河南·模拟预测）已知定义在上的函数，满足，且，则下列说法正确的是（  ） A． B．为偶函数 C． D．2是函数的一个周期 4. （多选）（23-24高三下·重庆·阶段练习）函数的定义域为R，且满足，，则下列结论正确的有（    ） A． B． C．为偶函数 D．的图象关于对称 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 九种函数与抽象函数模型归类 目录 题型一：三大补充函数：对勾函数 1 题型二：三大补充函数：复杂分式型“反比例”函数 4 题型三：三大补充函数：双曲函数（双刀函数） 6 题型四：一元三次函数 9 题型五：高斯取整函数 12 题型六：绝对值函数 15 题型七：对数绝对值型 19 题型八：对数无理型 22 题型九：对数反比例型 24 题型十：指数反比例型 26 题型十一：抽象函数模型：过原点直线型 28 题型十二：抽象函数模型：不过原点直线型 30 题型十三：抽象函数模型：正切型 33 题型十四：抽象函数模型：一元二次型 35 题型十五：抽象函数模型：一元三次函数型 37 题型十六：抽象函数模型：余弦或者双曲余弦模型 39 题型一：三大补充函数：对勾函数 对勾函数：图像特征 形如称为对勾函数 1.有“渐近线”：y=ax 2.“拐点”：解方程（即第一象限均值不等式取等处） 1.（2022秋·四川成都·高三成都七中校考阶段练习）若对任意的，不等式恒成立，则的最大值是 . 【答案】 【分析】令，讨论的取值范围，确定函数的单调性，根据单调性确定函数的最大值与最小值，使且恒成立，进而确定的取值范围以及的取值范围，即求. 【详解】令 I.当时，函数显然单调递增， 所以，， 由题意可得， 这与矛盾，故舍去； II，当时， 在单调递减，单调递增， ①.当时，即，所以， 由题意可得， 这与矛盾（舍去）. ②．当时，即， 所以， ，由题意得，a.当时，此时， 所以，故， 而 ，故，b.当时，此时，所以， 故，而，故. ③．当时，即，所以，， 由题意可得，这与矛盾， 综上所述：.故答案为： 2.（2022·安徽合肥·高二校联考开学考试）已知函数，关于x的不等式只有一个整数解，则正数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将函数解析式变形，结合打勾函数的图像与性质可求得的值域，进而结合不等式可知；因为不等式只有一个解，因而计算后与比较即可确定这个解为；进而由不等式成立条件可得正数a的取值范围. 【详解】函数，结合打勾函数性质可知，， 关于x的不等式，因为求正数a的取值范围，因而，化简不等式可得， 所以，即则，因为关于x的不等式只有一个整数解， 所以由以上数据可知整数解为，所以， 解得，所以故答案为：. 3.．（2023·高三单元测试）已知函数，若存在，使得，则正整数的最大值为 . 【答案】4 【分析】根据单调性得到，要使正整数尽可能大，则可以是，得到答案. 【详解】当时，，单调递减，故， 要使正整数尽可能大，则可以是，故的最大值为4. 故答案为：4. 4.（2022·上海闵行·高三上海市七宝中学校考开学考试）已知函数，若对任意的，长为的三条线段均可以构成三角形，则正实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】求出的导数，分类讨论可得最小值和最大值，由题意可得最小值的2倍大于最大值，解不等式即可得到所求的范围． 【详解】函数的导数为， 当时，，递增；当时，，递减． 当即时，，为减区间，即有的最大值为； 最小值为． 由题意可得只要满足，解得； 当且即时，，为减区间，，为增区间， 即有的最大值为；最小值为． 由题意可得只要满足，解得，所以； 当且（1）即时，，为减区间，，为增区间， 即有的最大值为；最小值为． 由题意可得只要满足，解得，所以； 当，即时，，为增区间，即有的最小值为； 最大值为． 由题意可得只要满足，解得． 综上可得，的取值范围是． 故答案为：． 题型二：三大补充函数：复杂分式型“反比例”函数 反比例与分式型函数 解分式不等式，一般是移项（一侧为零），通分，化商为积，化为一元二次求解，或者高次不等式，再用穿线法求解 形如：。对称中为P，其中 ①； ② ③一、三或者二、四象限，通过 计算判断 1.（2022·湖北武汉·高三校联考模拟）已知函数为奇函数，与的图像有8个交点，分别为，则 . 【答案】16 【分析】由为奇函数可得函数关于点对称，分离常数可知函数关于点对称，继而可得与图像的8个交点关于点对称，则，可求，结果可得. 【详解】为奇函数函数关于点对称 函数关于点对称与图像的8个交点关于点对称 ,,,可得 同理可知 故答案为： 2.（2023·全国·高三对口高考）函数的值域是或，则此函数的定义域为 . 【答案】 【分析】利用反函数,可将原函数化为,(其中或),求出的值域即得的定义域. 【详解】，其中或， 当时,是减函数,此时， 当时,是减函数,此时， ∴函数的定义域为. 故答案为：. 3.（2023·全国·高三专题练习）已知集合，其中且，函数，且对任意，都有，则的值是 ． 【答案】或3. 【分析】先判断区间与的关系可得，再分析时定义域与值域的关系，根据函数的单调性可确定定义域与值域的区间端点的不等式，进而求得和即可.最后分析当时，，从而确定定义域与值域的关系，列不等式求解即可 【详解】先判断区间与的关系，因为，故或.因为当，即时，由题意，当时，，故不成立；故. 再分析区间与的关系，因为，故或. ①当，即时，因为在区间上为减函数，故当， ，因为，而，故此时，即，因为，故即，故，解得，因为，故.此时区间在左侧，在右侧.故当时，，因为，故，所以 ，此时，故，解得，因为，故； ②当时，在区间上单调递减，易得，故此时且，即且，所以，故，故，即，，因为，故； 综上所述，或3。故答案为：或3. 4.（2023·浙江·高二校联考开学考试）已知函数，若函数在的最大值为2，则实数的值为 . 【答案】或2 【解析】由题意可得三个非负端点值，分别令它们为最大值2求，再验证是否符合题设即可求的值. 【详解】，由题意知：， ∴时，；时，；时，； 若时，或，而有，有，故与题设矛盾； 若时，或，而有，所以只有时成立； 若时，或，而有，所以只有时成立； 综上有：或， 故答案为：或2 题型三：三大补充函数：双曲函数（双刀函数） 双刀函数 （两支各自增），或者 （两支各自减） 1.有“渐近线”：y=ax与y=-ax 2.“零点”：解方程（即方程等0处） 1.（2023·江苏南通·高二统考期末）已知函数，则关于x的不等式的解集是 . 【答案】 【分析】求出是奇函数，且在定义域上是单减函数，变形再利用单调性解不等式可得解. 【详解】，   是奇函数，又是上的减函数，是上的增函数， 由函数单调性质得是上的减函数. ,则，由奇函数得   且是上的减函数. ， ，又 不等式的解集是故答案为： 2.（2023春·湖北·高二统考期末）已知奇函数，有三个零点，则t的取值范围为 . 【答案】 【分析】由为奇函数求出的值，再利用导数研究函数和单调性和极值点，由有三个零点，求t的取值范围. 【详解】若，，函数没有三个零点，所以， 为奇函数，则，即， 得， 设，函数定义域为R，，为偶函数， ，是R上的增函数，且， 则，解得；，解得， 即在上单调递减，在上单调递增， ，由，则有， 所以，， 由，当且仅当时等号成立，则， 若，则，单调递减，没有三个零点； 若，令，则方程，即， 判别式，方程有两个不相等实数根，设两根为且，则有，，所以， 令，，由，则且， ，即，即，解得，得； ，即，即，解得或，得或， 所以在和上单调递减，在上单调递增，由，则有，， 由函数的单调性和递增速度可知，时，存在，的图像如图所示，    此时奇函数有三个零点.综上可知，t的取值范围为.故答案为： 3.（2023春·辽宁铁岭·高二校联考期末）已知函数若，则 ． 【答案】3 【分析】利用，求得的值. 【详解】根据题意，函数，则，则，故有，又由，则，故答案为：3. 4...2023春·上海黄浦·高三上海市大同中学校考）已知函数，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】令，分析函数的定义域、奇偶性与单调性，将所求不等式变形为，结合函数的单调性可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】设，则函数是定义域为， 因为，故函数为奇函数， 因为函数、、、均为上的增函数， 故函数为上的增函数， 因为， 由可得， 可得， 所以，，即，解得. 因此，不等式的解集为. 故答案为：. 题型四：一元三次函数 一元三次函数： 所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图像的对称中心， 设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”． 1.．给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”．经研究发现所有的三次函都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图像的对称中心．若函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用题中给出的定义，得到的拐点为，从而得到的对称中心为，即，由此分析计算即可． 【详解】解：因为函数，则，， 令，解得，且，由题意可知，的拐点为，故的对称中心为， 所以， 所以．故选：A． 2.已知函数 ，若至少存在两个实数 ，使得 ，， 成等差数列，则过坐标原点作曲线 的切线可以作 A. 条 B. 条 C. 条 D. 条 【答案】B 【解析】至少存在两个实数 ，使得 ，， 成等差数列， 可得 ，即有 的图象关于点 对称， 的导数为 ， ，由 ，可得 ，由 为常数，可得 ，解得 ． 即有 ，，设切点为 ，可得切线的斜率为 ，化为 ，设 ，， 当 时，， 递减；当 或 时，， 递增． 可得 在 处取得极大值，且为 ；在 处取得极小值，且为 ． 可知 有两解，即过坐标原点作曲线 的切线可以作 条． 3.（多选）（全国名校大联考2022-2023学年高三上学期第三次联考数学试卷）对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若函数，则下列说法正确的是（    ） A．的极大值点为 B．有且仅有3个零点 C．点是的对称中心 D． 【答案】BCD 【分析】求出，得到函数的单调区间，即可求得极值，要注意极值点是一个数，可判断A项；根据极大值、极小值的正负，可得到函数零点的个数，即判断B项；根据的解的情况，可判断C项；由对称中心可推得，用倒序相加法即可求得式子的和，判断D项. 【详解】由题意知. 令，解得或，所以在上单调递增，在上单调递增； 令，解得，所以在上单调递减. 又，. 所以，在处有极大值，在处有极小值. 所以的极大值点为-2，A项错误； 又极大值，极小值，作出的图象， 有图象可知，有且仅有3个零点，故B正确； ，令，解得， 又，由题意可知，点是的对称中心，故C正确； 因为点是的对称中心，所以有，即. 令， 又， 所以 ，，所以.故D正确. 故选：BCD. 4. （多选）（江苏省苏州市常熟市2022-2023学年高三上学期12月抽测二数学试题）对于三次函数,给出定义:设是函数的导数,是的导数,若方程有实数解,则称点为函数的“拐点”.经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”,任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.设函数,则以下说法正确的是（    ） A． B．当时,有三个零点 C． D．当有两个极值点时,过的直线必过点 【答案】AB 【分析】根据题意令二次导数为零即可求出拐点,即对称中心,即可得选项A的正误,先讨论时是否为零点,然后进行全分离,设新函数求导求单调性,求特殊值,画函数图象即可判断选项B的正误,根据选项A,将代入再相加即可得选项C 的正误,两点在一条直线上,则中点也在直线上,根据为极值点,令导函数为0,用韦达定理即可得,根据选项A,可得,即可求出中点坐标,即可判断选项D的正误. 【详解】解:由题知, 关于选项A: ,令可得,的拐点为,, 对称中心为,即成立,-故选项A正确; 关于选项B: 当时,,不是的零点,令,即有三个根, 令,, 时,单调递增,时,单调递减,时,单调递减, ,,,,画图象如下: 由图可知:时,与有三个交点, 即有三个零点,故选项B正确; 关于选项C: 由选项A可知: ,, 两式相加可得,故选项C错误; 关于选项D: 由于有两个极值点有两根,, 由于直线过,则直线一定过中点, 由选项A知,且有, 中点坐标为,则直线一定过,故选项D错误. 故选:AB 题型五：高斯取整函数 取整函数表示不超过的最大整数，又叫做“高斯函数”， 1.（黑龙江省大庆市铁人中学2022-2023学年高三月考数学试题）符号表示不超过的最大整数，如，，，定义函数则下列说法正确的个数是（ ） ①函数的定义域为R ②函数的值域为 ③函数是增函数 ④函数是奇函数 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】 根据题中定义、增函数的性质、奇函数的性质，结合特例法进行判断即可. 【详解】 ①：函数的定义域为全体实数，故本说法正确； ②：因为表示不超过的最大整数，所以，因此本说法不正确； ③：因为，显然函数在整个实数集上不是增函数，所以本说法不正确； ④：因为，， 所以，因此本函数不是奇函数，所以本说法不正确， 故选：A 2.（广东省广州市第四中学2021-2022学年高三上学期月考数学试题）高斯（1777-1855）是德国著名数学家，物理学家，天文学家，大地测量学家，近代数学奠基者之一，并享有“数学王子”之称，高斯一生的数学成就很多，其中：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，，设函数的值域为集合，则中所有负整数元素个数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】 根据二次函数的性质求出函数的值域，然后再进行判断即可. 【详解】 函数图象的对称轴为，当时，易知，，所以的值域，故其值域中所有负整数元素为，，，个数为3. 故选：B. 3.（百师联盟2020-2021学年高三上学期一轮复习联考（四）全国卷 I 理科数学试题）高斯是德国著名数学家，物理学家，天文学家，大地测量学家，近代数学奠基者之一.高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称，用其名字命名的高斯函数为：设用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：已知函数.设函数的值域为集合，则中所有正整数元素个数为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 先求解出二次函数的值域，然后根据高斯函数的定义确定出集合，从而中所有正整数元素个数可知. 【详解】 函数图象的对称轴为， 当时，，， 所以， 所以的值域， 故其值域中所有正整数元素为个数为， 故选：. 4.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设，用表示不超过的最大整数，也被称为“高斯函数”，例如：，.已知函数，下列说法中正确的是（ ） A．是周期函数 B．的值域是 C．在上是减函数 D．， 【答案】AC 【分析】 根据定义将函数写成分段函数的形式，再画出函数的图象，根据图象判断函数的性质. 【详解】 由题意可知，， 可画出函数图像，如图： 可得到函数是周期为1的函数，且值域为，在上单调递减，故选项AC正确，B错误；对于D，取 ，则，故D错误. 故选：AC． 题型六：绝对值函数 绝对值函数： 1.（2023春·湖南长沙·高二长沙一中校考阶段练习）定义为与距离最近的整数，令函数，如： . 【答案】19 【分析】令，则，即，所以，满足此不等式的正整数的个数有，即共有个数，由此求解即可得出答案. 【详解】令，则，即，即， 所以，满足此不等式的正整数的个数有， 即共有个数； 时则有2个，即； 时则有4个，即； 时则有6个，即； 时则有18个，即，（其中）； 又，所以， 其中共有10个数； 所以 . 故答案为：19. 2.（2023·天津和平·统考三模）已知函数，若关于的方程恰有三个不相等的实数解，则实数的取值集合为 . 【答案】 【分析】分类讨论的不同取值，并作出的图象，利用数形结合的思想，结合函数图象确定两个函数图象的交点的个数即可求解. 【详解】，当时，，此时无解，不满足题意； 当时，设，则与的图象大致如下， 则对应的2个根为，此时方程均无解，即方程无解，不满足题意； 当时，设，则与的图象大致如下， 则则对应的2个根为，若方程恰有三个不相等的实数解， 则与函数的图象共有3个不同的交点， ①当时，与函数的图象共有2个交点，如图所示， 所以与函数的图象只有1个交点， 则，所以，解得；②当时，与函数的图象共有2个交点， 所以与函数的图象只有1个交点，则，与矛盾，不合题意； ③当时，与函数的图象共有2个交点，如图所示， 所以与函数的图象只有1个交点，则，所以，解得； 综上，的取值集合为，故答案为: . 3.（2022·浙江·高三模拟）已知函数，有下列结论： ①，等式恒成立； ②，方程有两个不等实根； ③，若，则一定有； ④存在无数多个实数k，使得方程在上有三个不同的实数根． 则其中正确结论序号为 ． 【答案】①③④ 【分析】①根据函数表达式计算判断；②举反例判断；③根据函数单调性判断；④用数形结合法判断. 【详解】已知函数，有下列结论： 对于①，因为， ，所以①对； 对于②，因为当时，方程，只有一个实根，所以②错； 对于③，因为当时，，单调递增， 当时， 单调递增， 所以在上单调递增， 所以，若，则一定有，所以③对； 对于④，方程在上有三个不同的实数根， 即方程 在上有三个不同的实数根， 因为必为一根，只要方程 有两个不同的实数根，即只要有两个不同的实数根， 由函数图像知，即 ，所以④对． 故答案为：①③④· 4.（2023春·上海松江·高三上海市松江一中校考阶段练习）已知若存在，使得成立的最大正整数为6，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】由题意得，分类讨论作出函数图象，求得最值解不等式组即可. 【详解】原问题等价于，当时，函数图象如图 此时，则，解得：； 当时，函数图象如图此时， 则，解得：； 当时，函数图象如图此时， 则，解得：； 当时，函数图象如图此时， 则，解得：；综上，满足条件的取值范围为. 故答案为： 题型七：对数绝对值型 对数绝对值型函数 对于，若有两个零点，则满足 1. 2. 3.要注意上述结论在对称轴作用下的“变与不变” 1.（2022·吉林白山·抚松县第一中学校考二模）已知函数，若方程有4个不同的根，，，，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出函数与的图像，得到关于对称，化简条件，利用对勾函数的性质可求解. 【详解】作函数与的图像如下： 方程有4个不同的根，，，，且， 可知关于对称，即，且， 则，即，则 即，则； 当得或，则；； 故，； 则函数，在上为减函数，在上为增函数； 故取得最小值为，而当时，函数值最大值为. 即函数取值范围是.故选：D. 2.（2023春·江苏苏州·高二星海实验中学校考阶段练习）设函数，若关于x的方程有四个实根（），则的最小值为（    ） A． B．16 C． D．17 【答案】B 【分析】作出函数的大致图象，可知，由与的图象有四个交点可得，计算求得的值即可得的范围，根据可得与的关系，再根据基本不等式计算的最小值即可求解. 【详解】作出函数的大致图象，如图所示： 当时，对称轴为，所以， 若关于的方程有四个实根，，，，则， 由，得或，则， 又，所以， 所以，所以，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为.故选：B. 3.（2020秋·陕西延安·高三校考模拟）已知，则函数的零点个数是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】首先由函数的零点转化为方程和的根，再利用数形结合即可求得函数的零点个数. 【详解】函数的零点， 即方程和的根， 函数的图象如下图所示：      由图可得方程和共有5个根， 即函数有5个零点， 故选：A 4.（2023春·安徽安庆·高三统考模拟）设函数，若（其中），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析函数的性质并作出图象，将问题转化为直线与函数的图象的四个交点问题，结合图象性质再构造函数，借助单调性求解作答. 【详解】当时，函数在上递减，函数值集合为，在上递增，函数值集合为， 当时，函数在上递减，函数值集合为，在上递增，函数值集合为， 作出函数的图象，如图，设，    当时，直线与函数的图象有四个交点，且交点的横坐标分别为，且， 当时，由，解得或，于是， 由，得，则，即，而， 因此， 令，显然函数在上递减，且，于是， 所以的取值范围是．故选：D 题型八：对数无理型 对数与无理式复合是奇函数：，如 1.（2023春·黑龙江绥化·高二校考期末）已知函数，若任意的正数，均满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】先判断出的单调性和奇偶性，再由得出与满足的等式，再由基本不等式“1”的妙用求解即可. 【详解】∵恒成立，∴函数的定义域为．，有成立， ， ， ∴，∴为定义在上的奇函数． 由复合函数的单调性易知，当时，与均单调递减， ∴在区间上单调递减， 又∵为定义在上的奇函数，∴在上单调递减. ∴由得，∴正数，满足，即， ∴由基本不等式，， 当且仅当，即，时等号成立，∴的最小值为．故答案为：． 2.（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】首先判断函数的奇偶性与单调性，再根据奇偶性与单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可. 【详解】因为函数，定义域为，且， 则 ， 即，即为奇函数， 当时，，均单调递增，所以在上单调递增， 则在上单调递增， 所以是奇函数且在上单调递增， 由，可得，则，解得， 即的取值范围为. 故答案为： 3.（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校考模拟）已知函数的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝ ． 【答案】 【分析】设，判断是奇函数，故，从而可求解. 【详解】设，则的定义域为， 则 ， ∴，是奇函数，因此. 又，， ∴，． 故答案为:. 4.（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若正实数满足，则的最小值为 . 【答案】16 【分析】根据题意设，利用函数奇偶性可以得到设，再利用基本不等式即可求出结果. 【详解】由函数，设，则的定义域为， ，则，所以是奇函数， 则，又因为正实数满足，所以， ，当且仅当时取到等号. 故答案为：16. 题型九：对数反比例型 1.（2024·江苏泰州·模拟预测）已知函数，若函数的图象关于点对称，则（    ） A．-3 B．-2 C． D． 【答案】C 【分析】方法一：由题意，推出是奇函数，根据定义域的对称性依次求得的值，即可求得；方法二：直接利用，将其化成，再由等式恒成立得到，继而求得. 【详解】方法一：依题意将函数的图象向左移1个单位长度关于原点对称，即是奇函数， 因奇函数的定义域关于原点对称，而时函数无意义，故时也无意义， 即，解得 此时为奇函数，则 解得故. 故选：C． 方法二：依题意恒成立，代入得 化简得，, 整理得：， 即(*)， 依题意，此式在函数的定义域内恒成立，故须使，则得， 回代(*)可得，，即，故. 故选：C. 2.（21-22高三上·云南曲靖·阶段练习）设定义在区间上的函数是奇函数，且.若表示不超过的最大整数，是函数的零点，则 A． B．或 C． D． 【答案】C 【详解】由奇函数的定义可得，即，也即；当时，，则，与题设不符，所以，由，所以．由于，所以若时，，则函数的零点；则由题设中的新定义的概念可得．若时，，则函数无零点，则由题设中的新定义的概念可得，应选答案C． 3.（2024·山东菏泽·模拟预测）已知函数是定义在区间上的奇函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据是奇函数求出的值，再求出的定义域即可求出的取值范围. 【详解】， ，即，即， ，， 是定义在区间上的奇函数， ，即， ，解得（舍）或， 的定义域为，. 故选：D. 4.（23-24高三上·浙江宁波·模拟）已知是奇函数，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据奇函数的定义域关于原点对称,得到,即可求出的值,求出函数的定义域，再由奇函数的性质,求出的值,即可得到结果。 【详解】因为是奇函数，可知定义域关于原点对称， 由，可得，显然，则且，可得，解得， 所以函数的定义域为，则，解得, 此时,且，即，符合题意， 所以.故选：D. 题型十：指数反比例型 变化 1.（23-24高三上·河南·模拟）已知函数是定义在上的奇函数，且对任意，不等式恒成立，则实数有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最小值 D．最大值 【答案】D 【分析】先由奇函数确定的值，然后对变形得到其单调性，结合函数奇偶性将不等式等价变形为对任意恒成立，故只需求出函数的最小值即可，由复合函数单调性，即可得出其单调性，进而得到其最小值. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，得，，从而由复合函数单调性可知在上单调递增，且注意到是定义在上的奇函数， 所以不等式等价于， 即等价于，亦即， 该不等式对任意恒成立，则不大于的最小值． 因为由复合函数单调性可知在区间上单调递增， 所以当时，的最小值为 所以，等号成立当且仅当．故选：D. 2.（23-24高三上·安徽铜陵·阶段练习）已知函数，若实数满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先由题意推出，然后由基本不等式即可求解. 【详解】一方面由题意有， 另一方面若有成立，结合以上两方面有， 且注意到，所以由复合函数单调性可得在上严格单调递增， 若，则只能，因此当且仅当； 又已知，所以，即， 由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为.故选：C. 3.（21-22高三上·辽宁锦州·模拟）已知函数的图像与过点的直线有3个不同的交点，，，则（    ） A．8 B．10 C．13 D．18 【答案】D 【分析】分析函数的对称性，再借助对称性的性质计算作答. 【详解】函数定义域为R，且，即点在函数图象上， ，，因此，函数的图象关于点对称， 依题意，不妨令，则点与关于点对称，即且， 所以. 故选：D 4.（2024·河北衡水·模拟预测）设，若函数是偶函数，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据对数的运算性质，结合偶函数满足的等量关系，即可求解. 【详解】的定义域为，关于原点对称， 故 所以， 故或（舍去），故选：D 题型十一：抽象函数模型：过原点直线型 --过原点直线型f（x）=kx 1.（23-24高三上·山东泰安·模拟）已知函数对于任意的，都有成立，则（   多选 ） A． B．是上的偶函数 C．若，则 D．当时，，则在上单调递增 【答案】AC 【分析】A选项，令，得到A正确；B选项，令，得到，但f(x)不一定恒为0可判断B；C选项，令即可；D选项，令，得到，得到在上单调递减. 【详解】A选项，当时，，解得，A正确； B选项，令得，即，故是上的奇函数， 但不一定是偶函数,因为不一定恒为0，B错误； C选项，令，则，因为，则，C正确； D选项，令，则， 则，故在上单调递减，D错误. 故选：AC 2.（23-24高三上·江苏·阶段练习）已知函数，，对于任意，，，且当时，均有，则（ 多选   ） A． B． C． D．若，则 【答案】BCD 【分析】根据抽象函数的性质，利用赋值法可判断A，根据性质可判断B，由赋值法及性质可判断C，根据抽象函数的性质判断函数的单调性可判断D. 【详解】令，则，解得，故A错； 因为，故B正确； 因为，所以，故C正确； 设任意的，且，则，所以， 即，所以函数为上的增函数，因为， 所以，解得，故D正确. 故选：BCD 3.（23-24高二下·广东深圳·阶段练习）定义在上的函数满足，当时，，则函数满足（    ） A． B．是偶函数 C．在上有最小值 D．的解集为 【答案】C 【分析】根据抽象函数的关系，利用赋值法可判断选项A；利用赋值法和函数奇偶性的定义可判断选项B；根据函数单调性的定义可判断选项C；根据函数的奇偶性和单调性可判断选项D . 【详解】令，，由可得：，解得，故选项A错误； 令，由可得：，即， 则是奇函数，故选项B错误； 任取，且， 则， 所以，即 所以函数在上单调递减. 因为是奇函数， 所以函数为上的减函数. 所以在上有最小值，故选项C正确； 因为是为上的奇函数，且为上的减函数， 所以当时有，解得，故选项D错误. 故选：C 4.（2023·广西玉林·三模）函数对任意x，总有，当时，，，则下列命题中正确的是（    ） A．是偶函数 B．是R上的减函数 C．在上的最小值为 D．若，则实数x的取值范围为 【答案】C 【分析】利用赋值法，结合函数奇偶性的定义，即可判断A； 根据函数单调性的定义，结合条件，即可判断B； 根据函数的单调性，和奇偶性，以及条件，即可判断C； 不等式转化为，利用函数的单调性，即可判断D. 【详解】解：取，，则，解得，， 则．即，函数是奇函数，所以选项A错误； 令，，且，则，因为当时，，所以． 则．即， 函数是R上的增函数，所以选项B错误； 因为函数是R上的增函数，所以函数在上的最小值为， ，，． 故，在的最小值为-2，所以选项C正确； ，即， 因为函数是R上的增函数，所以，所以， 所以实数x的取值范围为，所以选项D不正确． 故选：C． 题型十二：抽象函数模型：不过原点直线型 1. （多选）（23-24高三上·四川成都·阶段练习）设函数满足：对任意实数、都有,且当时，.设.则下列命题正确的是（   ） A． B．函数有对称中心 C．函数为奇函数 D．函数为减函数 【答案】ABC 【分析】令，可得，再令，判断选项A；令，即可判断选项B；由，判断选项C；令,利用函数的单调性定义进行判断选项D. 【详解】由对于任意实数， ， 令，则，即, 再令,则， 即，故A正确; 令，则，即，故B正确； 由，则，即是奇函数，故C正确； 对于任意,则，当时，，则，所以单调递增，即单调递增，故D错误. 故选：ABC 2. （多选）（23-24高三上·辽宁朝阳·模拟）若定义在R上的函数满足，且当时，，则（    ） A． B．为奇函数 C．在上是减函数 D．若，则不等式的解集为 【答案】AB 【分析】令，得，可求解选项A，利用奇函数的定义可求解选项B，利用函数单调性的定义可求解选项C，利用函数的单调性解抽象不等式可求解选项D. 【详解】对A，令，得，A正确； 对B，，所以函数为奇函数，B正确； 对C，在R上任取，则，所以, 又， 所以函数在R上是增函数，C错误； 由， 得． 由得． 因为函数在R上是增函数，所以，解得或． 故原不等式的解集为或，D错误． 故选:AB． 3.（23-24高三上·湖南株洲·模拟）已知函数对，都有，若在上存在最大值M和最小值m，则（    ） A．8 B．4 C．2 D．0 【答案】B 【分析】根据赋值法可得，进而根据奇函数的性质得为奇函数，即可根据奇函数的性质求解. 【详解】令，则，得； 令，则， 所以；令， 则， 所以为奇函数，故，即， 所以． 故选：B． 4.（23-24高三下·河南周口·开学考试）已知定义在上的函数满足 ，若函数 的最大值和最小值分别为，则 ． 【答案】4048 【分析】利用赋值法可得为奇函数，则，令，根据定义法证得为奇函数，则，结合，即可求解. 【详解】令，得，令，则， 所以，令， 所以，为奇函数，． 令， 则， 即为奇函数，所以． 而， 所以． 故答案为：4048 题型十三：抽象函数模型：正切型 1.（20-21高三上·浙江宁波·模拟）已知函数的图象是连续不断的，其定义域为，满足：当时，；任意的x，，均有.若，则x的取值范围是（    ）（e是自然对数的底数） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，解得，再令，得到，从而是奇函数，用替代，结合是奇函数，得到，再由 时，，利用单调性定义得到在上递增，则在上递增，将转化为求解. 【详解】解：令，即， 则，令，即，则， 因为定义域为，所以是奇函数，由，用替代， 得，因为是奇函数，所以， ，且，则，因为当时，， 所以，，即， 所以在上递增，又是定义域为的奇函数，所以在上递增， 则等价于，解得，故选：D 2.（山东·高考真题）给出下列三个等式：，，．下列函数中不满足其中任何一个等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据指、对数的运算性质，和角公式，逐一验证各个选项满足的某个等式即可判断作答 【详解】对于A，因，则满足，A不是； 对于C，因，则满足，C不是； 对于D，因，则满足，D不是； 对于B，显然不能变形，，因此不满足三个等式中任一个，B是. 故选：B 3. （多选）（2023·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，且，，则（ 多选   ） A． B．为偶函数 C．为周期函数，且4为的周期 D． 【答案】ACD 【分析】对于选项A：令中，即可得出答案； 对于选项B：令中，得出，根据已知得出其定义域关于轴对称，即可根据函数奇偶性的定义得出答案； 对于选项C：令中，得出，即可根据周期定义得出答案； 对于选项D：根据周期得出答案. 【详解】A选项：令，得，故A正确. B选项：令，则，因此， 又的定义域为，关于轴对称，所以为奇函数，故B错误. C选项：令，则， 所以，因此， 所以为周期函数，且周期为4，故C正确. D选项：，故D正确. 故选：ACD. 4.（20-21高三上·浙江宁波·模拟）已知函数的图象是连续不断的，其定义域为，满足：当时，；任意的x，，均有.若，则x的取值范围是（    ）（e是自然对数的底数） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，解得，再令，得到，从而是奇函数，用替代，结合是奇函数，得到，再由 时，，利用单调性定义得到在上递增，则在上递增，将转化为求解. 【详解】解：令，即， 则，令，即，则， 因为定义域为，所以是奇函数，由，用替代， 得，因为是奇函数，所以， ，且，则，因为当时，， 所以，，即， 所以在上递增，又是定义域为的奇函数，所以在上递增， 则等价于，解得，故选：D 题型十四：抽象函数模型：一元二次型 1.（23-24高三上·上海普陀·模拟）已知对于任意的整数、、，，有成立，且，则 【答案】 【分析】通过对、不断赋值，求得，可得出，利用累加法求出的表达式，即可得出的表达式. 【详解】在等式中， 令，可得，解得， 令，可得，可得， 令，，则，可得， 令，，其中，则， 则当且时，， 故当且时， ， 当时，也满足， 故对任意的，，所以，. 故答案为：. 2.（23-24高三上·内蒙古赤峰·开学考试）已知函数的定义域为R，，，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C．是奇函数 D．是偶函数 【答案】D 【分析】利用赋值法、特殊值法结合函数的奇偶性一一判定选项即可. 【详解】令，可得，故A正确； 令，可得，令，，可得， 则，故B正确； 由，可得，令， 则，令，可得，令， 则，所以是奇函数，即是奇函数， 故C正确； 因为，所以不是偶函数，故D不正确. 故选：D 3.（23-24高三上·吉林长春·模拟）函数满足：任意，.且.则的最小值是（    ） A．1775 B．1850 C．1925 D．2000 【答案】C 【分析】由可得，设，可得，从而可得结论. 【详解】因为，所以有， 设，那么， 因此， 因此， 取，得到.所以. 设，等号成立！故选：C. 4.（23-24高三上·河北保定·模拟）已知函数满足：，，成立，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，求出，令，求出，令，求出，再令，可求出的关系，再利用累加法结合等差数列前项和公式即可得解. 【详解】令，则，所以， 令，则， 所以， 令，则，所以， 令，则， 所以， 则当时，， 则 ， 当时，上式也成立， 所以， 所以. 故选：C. 题型十五：抽象函数模型：一元三次函数型 1. （多选）（2024·福建莆田·二模）已知定义在上的函数满足：，则（    ） A．是奇函数 B．若，则 C．若，则为增函数 D．若，则为增函数 【答案】ABD 【分析】根据已知条件，利用函数奇偶性的定义，单调性的定义和性质，结合赋值法的使用，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对A：定义域为，关于原点对称； 对原式，令，可得，解得； 对原式，令，可得，即， 故是奇函数，A正确； 对B：对原式，令，可得， 又，则； 由A可知，为奇函数，故，故B正确； 对C：由A知，，又，对， 当时，；当时，； 故在时，不是单调增函数，故C错误； 对D： 在上任取，令， 则 ， 由题可知，又，故， 即，，故在上单调递增， 也即在上单调递增，故D正确； 故选：ABD. 2. （多选）（2024·贵州·三模）已知定义域为的函数满足为的导函数，且，则（    ） A． B．为奇函数 C． D．设，则 【答案】ABD 【详解】对于A：令可得；对于B：令可得；对于C ：先确定的奇偶性，然后令后对两边同时求导，再代入即可；对于D：利用累加法求通项公式. 【点睛】对于A：令得，所以，A正确； 对于B：令得，所以，B正确； 对于C：因为，所以，即， 所以为偶函数，由可得， 令得， 则，令，得， 所以，C错误； 对于D：因为，， 所以，且 所以，相加可得， 所以，则，D正确. 故选：ABD. 3. （多选）（2024·辽宁大连·一模）已知函数是定义域为R的可导函数，若，且，则（    ） A．是奇函数 B．是减函数 C． D．是的极小值点 【答案】ACD 【分析】令求出，令可确定奇偶性，将当作常数，作为变量，对原式求导，然后可通过赋值，解不等式求单调性及极值. 【详解】令，得，令，得，所以是奇函数，A正确； 。令， 又，， 令，，，或 在和上为增函数，在上为减函数， 是的极小值，故CD正确，B错误. 故选：ACD. 题型十六：抽象函数模型：余弦或者双曲余弦模型 （2）模型二：双曲余弦函数 特征： 1.（多选）（23-24高三上·浙江湖州·模拟）已知函数对任意实数，都满足，且，则下列说法正确的是（    ） A．是偶函数 B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据，利用赋值法逐项判断. 【详解】因为， 令，得，因为，所以，故B错误； 令，则，即，所以，故A正确； 令，则，所以， 令，则，所以，则， 所以函数周期为，则， 所以，故D正确. 故选：ACD. 2. （多选）（23-24高三上·河南许昌·模拟）已知函数满足，且，则下列命题正确的是（     ） A． B．为奇函数 C．为周期函数 D．，使得成立 【答案】BC 【分析】先令，即可判断函数的周期性，即可判断C；再令，求出，进而可判断AD；再令，判断出函数的奇偶性，进而可判断B. 【详解】由， 令，则， 则，即， 所以， 所以函数为周期函数，故C正确； 令，则，解得或， 当时，令，则， 所以，故AD错误； 所以，其图象关于原点对称，是奇函数； 当时，令，则， 所以，所以函数是偶函数， 所以， 又因为，所以， 则，所以函数为奇函数， 综上所述，为奇函数，故B正确. 故选：BC. 3. （多选）（2024·河南·模拟预测）已知定义在上的函数，满足，且，则下列说法正确的是（  ） A． B．为偶函数 C． D．2是函数的一个周期 【答案】ABD 【分析】对A：借助赋值法，令，计算即可得；对B：借助赋值法，令，结合偶函数定义即可得；对C：计算出，其与不满足该关系即可得；对D：借助赋值法，令，结合的值与周期函数的定义计算即可得. 【详解】对A：令，则有，又， 故有，故，故A正确； 对B：令，则有，又， 故有，即，又其定义域为， 故为偶函数，故B正确； 对C：令，，则有， 故，又，不符合，故C错误； 对D：令，则有， 由，故，则，故， 两式作差并整理得，故2是函数的一个周期，故D正确. 故选：ABD. 4. （多选）（23-24高三下·重庆·阶段练习）函数的定义域为R，且满足，，则下列结论正确的有（    ） A． B． C．为偶函数 D．的图象关于对称 【答案】BC 【分析】 利用特殊值法，结合函数的奇偶性即可求解. 【详解】 由题可知 令，，则， 即，可得，故A错； 令，则，即， 又因为，，可得，故B正确； 令，可得，故C正确； 若的图象关于对称，则函数满足， 而，，显然，故D错， 令，可得， 的图象关于对称. 故选：BC. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$