第05讲 充分条件、必要条件、充要条件（五大考点）-【暑假自学课】2024年新高一数学暑假提升精品讲义（苏教版2019）

第05讲 充分条件、必要条件、充要条件 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1、通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系. 2、通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系. 3、通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系. 知识点一：充分条件、必要条件 1、在“如果p，那么q”形式的命题中，p称为命题的条件，q称为命题的结论，若“如果p，那么q”是一个真命题，则称由p能推出q，记作，读作“p推出q”；否则，称为由p推不出q，记作pq，读作“p推不出q”． 2、当时我们称p是q的充分条件，q是p的必要条件． 知识点二：充要条件 一般地，如果，，则称p是q的充分不必要条件；如果pq且，则称p是q的必要不充分条件；如果且，则称p是q的充分必要条件（简称充要条件），记作，也读作“p与q等价”，“p当且仅当q”． 知识点三：充分条件、必要条件和充要条件与数学判定定理、性质定理及数学定义的关系 1、判定定理实际上给出了一个充分条件． 2、性质定理实际上给出了一个必要条件． 3、一个数学对象的定义实际上给出了这个对象的充要条件． 4、判定定理和性质定理与充分条件、必要条件的关系 （1）数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件． （2）数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件． 考点一：充分条件、必要条件的判断 【典例1-1】（2024·高一·陕西西安·开学考试）已知集合，，则“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】若，则，又，，所以， 所以由推得出，故充分性成立； 由推不出，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 【典例1-2】（2024·高一·河北保定·开学考试）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由，解得或， 因为为或的真子集， 则“”是“”的充分不必要条件． 故选：A. 【变式1-1】（2024·高一·湖南株洲·开学考试）“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】因为， 所以是的充分而不必要条件. 故选：A. 【变式1-2】（2024·高一·河南·开学考试）暖色调会让人感觉温馨，红色、橙色、黄色、水粉色等为暖色，象征着太阳、火焰．新年到，小西购买了一件新大衣，则“小西购买了一件暖色调大衣”是“小西购买了一件红色大衣”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】“小西购买了一件暖色调大衣”可以是红色橙色、黄色、水粉色等，不一定是红色，故不满足充分性； “小西购买了一件红色大衣”一定可以得出“小西购买的是一件暖色调大衣”，故满足必要性. 故选：B. 【变式1-3】（多选题）（2024·高一·浙江杭州·阶段练习）已知p，q都是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，则（    ） A．p是q的充分条件 B．p是s的必要条件 C．r是q的必要不充分条件 D．s是q的充要条件 【答案】AD 【解析】由p，q都是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件， 可得， 对于A中，由，所以是的充分条件，所以A正确； 对于B中，由，所以是的充分条件，所以B不正确； 对于C中，由，所以是的充要条件，所以C不正确； 对于D中，由，所以是的充要条件，所以D正确. 故选：AD. 考点二：根据充分条件求参数的范围 【典例2-1】（2024·高一·陕西西安·开学考试）已知命题，命题或，其中．若是成立的充分不必要条件，求的取值范围． 【解析】令，或， 因为是的充分不必要条件，所以真包含于， 所以或，解得或， 故的取值范围为或． 法二：由真包含于，可得如下两种情况， 结合数轴得或， 解得或， 故的取值范围为或． 【典例2-2】（2024·高一·湖南株洲·阶段练习）已知集合，或，． (1)求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为，又， 所以. （2）或，所以， 因为“”是“”的充分不必要条件， 则，又， 所以. 【变式2-1】（2024·高一·全国·专题练习）已知集合，或． (1)当时，求； (2)若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【解析】（1）当时，集合， 因为集合或，所以或. （2）由集合或，可得， 因为，且 “”是“”充分不必要条件， 可得，则，解得，即实数的取值范围是. 【变式2-2】（2024·高一·安徽蚌埠·阶段练习）已知集合，集合为非空集合，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【解析】因为为非空集合，所以，解得． 若是的充分不必要条件，则⫋，故，得． ， 故的取值范围为． 【变式2-3】（2024·高一·辽宁葫芦岛·期末）已知集合，集合，集合，且． (1)求实数a的值组成的集合； (2)若，是的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 【解析】（1）因为， 由，知，则或或， 当时，所以， 当时，所以， 当时，所以， 所以的取值集合为． （2）由题意得，，故， 又是的充分不必要条件， 所以是的真子集，于是， 解得：，经检验符合条件， 综上，实数m的取值范围是． 【变式2-4】（2024·高一·云南昆明·阶段练习）已知集合，. (1)若集合，求实数的值； (2)若，“”是“”的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 【解析】（1）因为， 所以方程的两根分别为和3， 由韦达定理得解得. 所以实数的值为3. （2）由，得，， 由于“”是“”的充分不必要条件，则， 当时，，此时不成立； 当时，， 因为，则有且等号不同时成立，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 考点三：根据必要条件求参数的范围 【典例3-1】（2024·高一·河北衡水·开学考试）已知集合. (1)若，求； (2)若“”是“”成立的必要条件，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为当时，， 所以. （2）因为“”是“”成立的必要条件，所以， 当时，，，满足； 当时，， 因为，所以解得； 综上，实数的取值范围为或. 【典例3-2】（2024·高一·湖北恩施·期末）已知集合，，. (1)求，； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为集合，，所以； 又或，则. （2）因为是的必要不充分条件，所以集合是集合的真子集， 当时，，解得，满足题意； 当时，由题意或，所以； 综上所述：的取值范围为. 【变式3-1】（2024·高一·安徽淮南·开学考试）已知全集为R，集合，． (1)求； (2)若，且“”是“”的必要不充分条件，求a的取值范围． 【解析】（1）∵，又， ∴． （2）∵是的必要不充分条件， ∴， ∴（等号不同时成立），解得， ∴a的取值范围为． 【变式3-2】（2024·高一·宁夏银川·期中）设集合，集合． (1)若，求，； (2)设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【解析】（1） 因为，所以， 所以，； （2）因为是成立的必要不充分条件，所以是的真子集， 又，故不为空集， 故（等号不同时成立），得， 所以实数的取值范围． 【变式3-3】（2024·高一·河北石家庄·阶段练习）已知或，，若p是的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 【解析】由是的必要不充分条件，所以BA， 当，即时，，满足题意； 当，即时，则有或，即或，所以. 综上，的取值范围是. 【变式3-4】（2024·高一·江苏镇江·阶段练习）已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【解析】（1）当时，， 则或，又， 故； （2）由题可得：集合是集合的真子集； 显然，集合不为空集， 故：且，解得且，即， 故实数的取值范围为. 考点四：根据充要条件求参数的范围 【典例4-1】（2024·高一·陕西西安·开学考试）命题p：一次函数的图像经过一、二、四象限的充要条件是 ． 【答案】 【解析】因为一次函数的图像经过一、二、四象限， 则满足，解得， 即一次函数的图像经过一、二、四象限的充要条件是. 故答案为：. 【典例4-2】（2024·高三·全国·专题练习）已知命题，若是的充要条件，则 ． 【答案】-1 【解析】由题意得，，得， 设，，由是的充要条件，得， 即，得． 故答案为：-1 【变式4-1】（2024·高一·广东佛山·期中）若命题：为命题：，的充要条件，则的值是 ． 【答案】 【解析】命题是命题的充要条件，，解得：. 故答案为：. 【变式4-2】（2024·高一·云南大理·期末）若“不等式成立”的充要条件为“”，则实数的值为 . 【答案】 【解析】解不等式得， 因为“不等式成立”的充要条件为“”，所以，解得， 所以，. 故答案为：. 【变式4-3】（2024·高一·重庆沙坪坝·阶段练习）若“”是“”的充要条件，则实数m的取值是 ． 【答案】3 【解析】由得，故， 因为“”是“”的充要条件， 所以，解得， 所以实数m的取值是3. 故答案为：3. 【变式4-4】（2024·高一·全国·专题练习）设，一元二次方程有实数根的充要条件是 ． 【答案】或或或 【解析】一元二次方程有实数根, ，解得， 又，. 故答案为：或或或． 考点五：充要条件的证明 【典例5-1】（2024·高一·广西南宁·期中）求证：是是等边三角形的充要条件.（这里，，是的三边边长）. 【解析】先证明充分性： 由， 得， 整理得，， 所以，即是等边三角形. 然后证明必要性： 由是等边三角形，则， 所以. 综上所述，是是等边三角形的充要条件. 【典例5-2】（2024·高一·重庆沙坪坝·期中）已知的三边长为，其中.求证：为等边三角形的充要条件是． 【解析】证明：充分性： 当时，多项式可化为， 即，所以， 则，所以， 即，为等边三角形，即充分性成立； 必要性：由为等边三角形，且，所以， 则，，所以，即必要性成立． 故为等边三角形的充要条件是． 【变式5-1】（2024·高二·福建福州·阶段练习）设a，b，，求证：关于x的方程有一个根是1的充要条件为. 【解析】充分性： ，， 代入方程得，即． 关于的方程有一个根为； 必要性：方程有一个根为， 满足方程， ，即． 故关于的方程有一个根是的充要条件为． 【变式5-2】（2024·高一·江苏南京·阶段练习）求证：“关于x的方程有一个根为2”的充要条件是“”． 【解析】必要性：若有一个根为2，则满足方程，即， 充分性：若，则，即满足方程， 则关于x的方程有一个根为2； 综上命题得证． 【变式5-3】（2024·高一·江苏·专题练习）设分别为的三边的长，求证：关于的方程与有公共实数根的充要条件是. 【解析】证明：必要性：设方程与有公共实数根， 则 两式相减并整理，可得 因为，所以，将此式代入中， 整理得，故. 充分性：因为，可得，所以， 将代入方程中，可得， 即， 将代入方程中，可得， 即 故两方程有公共实数根. 所以关于的方程与有公共实数根的充要条件. 1．（2024·高一·河南濮阳·阶段练习）“四边形是平行四边形”是“四边形是菱形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】四边形是平行四边形不能推出四边形是菱形，但是四边形是菱形能推出四边形是平行四边形，所以“四边形是平行四边形”是“四边形是菱形”的必要不充分条件． 故选：B． 2．（2024·高一·宁夏吴忠·开学考试）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】先证： 因为，所以，，故，即，故； 再证： 因为，所以，即，故； 综上：“”是“”的充分必要条件. 故选：C 3．（2024·高一·贵州黔西·期末）关于的方程有两个不相等的实数根的充要条件是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【解析】由方程关于的方程有两个不相等的实数根，则满足， 解得或，即方程有两个不相等的实数根的充要条件是或. 故选：A. 4．（多选题）（2024·高一·陕西西安·期中）使“”成立的一个必要不充分条件可以是（　　） A． B．或 C． D． 【答案】AC 【解析】因为，， 所以由推得出，由推不出， 即是的充分不必要条件，则是的必要不充分条件； 同理可得是的必要不充分条件； 所以使“”成立的一个必要不充分条件可以是，. 故选：AC 5．（多选题）（2024·高一·广东韶关·阶段练习）设，是的充分不必要条件，则实数的值可以为（    ） A． B．0 C．3 D． 【答案】ABD 【解析】因为的两个根为3和5，所以， 是的充分不必要条件，所以是的真子集， 所以或或， 当时，满足即可， 当时，满足，所以， 当，满足，所以， 所以的值可以是0，，. 故选：ABD. 6．（多选题）（2024·高一·山东威海·期末）若“”是“”的充分不必要条件，则实数的值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】因为“”是“”的充分不必要条件，所以，则. 故选：AB 7．（多选题）（2024·高一·江苏苏州·阶段练习）已知是的充分不必要条件，则实数的值可以是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】CD 【解析】因为是的充分不必要条件， 所以 故． 故选：CD． 8．（多选题）（2024·高一·安徽亳州·期末）若条件，且是q的必要条件，则q可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】因为条件，所以， 对于A，因为不能推出，所以不是的必要条件，所以A错误； 对于B，因为能推出，所以是的必要条件，所以B正确； 对于C，因为不能推出，所以不是的必要条件，所以C错误； 对于D，因为能推出，所以是的必要条件，所以D正确． 故选：BD． 9．（多选题）（2024·高一·湖南郴州·阶段练习）在整数集中，被6除余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即．则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D．整数属于同一“类”的充要条件是“” 【答案】ACD 【解析】因为余，故A正确； 因为，所以，故B错误； 任意整数被6除必余其中之一， 所以，故C正确； 整数属于同一“类”，则， 所以，故，反之也成立，故D正确； 故选：ACD 10．（2024·高一·广西钦州·期末）若“”是“”的充要条件，则实数m的取值是 ． 【答案】0 【解析】， 则{x|}＝{x|}， 即. 故答案为：0. 11．（2024·高一·浙江杭州·期末）已知，若p是q的充要条件，则 ， . 【答案】 【解析】由p是q的充要条件，可得，建立方程组即可求解.若p是q的充要条件，则， ，解得. 故答案为：；. 12．（2024·高一·全国·课后作业）已知方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0，则方程有两个大于1的实数根（含相等两根）的充要条件是 ． 【答案】k＜－2 【解析】根据题意可得，解不等式组即可求解．令f(x)＝x2＋(2k－1)x＋k2，则方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0有两个大于1的实数根 ⇔⇔k＜－2． 因此k＜－2是使方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0有两个大于1的实数根的充要条件． 故答案为：k＜－2 13．（2024·高一·广东佛山·阶段练习）在下列所示电路图中，下列说法正确的是 .（填序号）. （1）如图①所示，开关闭合是灯泡亮的充分不必要条件； （2）如图②所示，开关闭合是灯泡亮的必要不充分条件； （3）如图③所示，开关闭合是灯泡亮的充要条件； （4）如图④所示，开关闭合是奵泡亮的必要不充分条件. 【答案】（1）（2）（3） 【解析】（1）开关A闭合，灯泡B亮；灯泡B亮时，开关A不一定闭合. 所以开关A闭合是灯泡B亮的充分不必要条件，故（1）正确； （2）开关A闭合，灯泡B不一定亮；灯泡B亮时，开关A必须闭合. 所以开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件，故（2）正确； （3）开关A闭合，灯泡B亮；灯泡B亮时，开关A必须闭合. 所以开关A闭合是灯泡B亮的充要条件，故（3）正确； （4）开关A闭合，灯泡B不一定亮；灯泡B亮时，开关A不一定闭合. 所以开关A闭合是灯泡B亮的既不充分也不必要条件，故（4）错误. 故答案为：（1）（2）（3） 14．（2024·高一·青海海东·阶段练习）已知或． (1)若是的充分条件，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为p：，所以p：，即 因为p是q的充分条件，所以或， 解得或，即实数的取值范围是； （2）依题意，：，由（1）知p：， 又p是的必要不充分条件，所以 解得，即实数m的取值范围是． 15．（2024·高一·湖南衡阳·期中）已知集合，集合. (1)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【解析】（1）∵是的必要不充分条件， ∴是A的真子集. ①当时，， ②当时，∴，解得. ∴实数的取值范围为. （2）由， 则①当时，， ②当时，可得或， 解得或. ∴实数的取值范围为. 16．（2024·高一·贵州贵阳·阶段练习）已知：关于的方程有实数根，：. (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为命题是真命题，则命题是假命题， 即关于的方程无实数根， 因此，，解得， 所以实数的取值范围是. （2）由（1）知，命题是真命题，即， 因为命题是的必要不充分条件，则， 因此，，解得，， 所以实数的取值范围是. 17．（2024·高一·江苏·假期作业）求证：方程有两个同号且不相等实根的充要条件是. 【解析】充分性：∵， ∴方程的判别式，且， ∴方程有两个同号且不相等的实根． 必要性：若方程有两个同号且不相等的实根， 则有，解得. 综上，方程有两个同号且不相等的实根的充要条件是. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 充分条件、必要条件、充要条件 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1、通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系. 2、通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系. 3、通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系. 知识点一：充分条件、必要条件 1、在“如果p，那么q”形式的命题中，p称为命题的条件，q称为命题的结论，若“如果p，那么q”是一个真命题，则称由p能推出q，记作，读作“p推出q”；否则，称为由p推不出q，记作pq，读作“p推不出q”． 2、当时我们称p是q的充分条件，q是p的必要条件． 知识点二：充要条件 一般地，如果，，则称p是q的充分不必要条件；如果pq且，则称p是q的必要不充分条件；如果且，则称p是q的充分必要条件（简称充要条件），记作，也读作“p与q等价”，“p当且仅当q”． 知识点三：充分条件、必要条件和充要条件与数学判定定理、性质定理及数学定义的关系 1、判定定理实际上给出了一个充分条件． 2、性质定理实际上给出了一个必要条件． 3、一个数学对象的定义实际上给出了这个对象的充要条件． 4、判定定理和性质定理与充分条件、必要条件的关系 （1）数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件． （2）数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件． 考点一：充分条件、必要条件的判断 【典例1-1】（2024·高一·陕西西安·开学考试）已知集合，，则“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【典例1-2】（2024·高一·河北保定·开学考试）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-1】（2024·高一·湖南株洲·开学考试）“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-2】（2024·高一·河南·开学考试）暖色调会让人感觉温馨，红色、橙色、黄色、水粉色等为暖色，象征着太阳、火焰．新年到，小西购买了一件新大衣，则“小西购买了一件暖色调大衣”是“小西购买了一件红色大衣”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-3】（多选题）（2024·高一·浙江杭州·阶段练习）已知p，q都是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，则（    ） A．p是q的充分条件 B．p是s的必要条件 C．r是q的必要不充分条件 D．s是q的充要条件 考点二：根据充分条件求参数的范围 【典例2-1】（2024·高一·陕西西安·开学考试）已知命题，命题或，其中．若是成立的充分不必要条件，求的取值范围． 【典例2-2】（2024·高一·湖南株洲·阶段练习）已知集合，或，． (1)求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【变式2-1】（2024·高一·全国·专题练习）已知集合，或． (1)当时，求； (2)若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【变式2-2】（2024·高一·安徽蚌埠·阶段练习）已知集合，集合为非空集合，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【变式2-3】（2024·高一·辽宁葫芦岛·期末）已知集合，集合，集合，且． (1)求实数a的值组成的集合； (2)若，是的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 【变式2-4】（2024·高一·云南昆明·阶段练习）已知集合，. (1)若集合，求实数的值； (2)若，“”是“”的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 考点三：根据必要条件求参数的范围 【典例3-1】（2024·高一·河北衡水·开学考试）已知集合. (1)若，求； (2)若“”是“”成立的必要条件，求实数的取值范围. 【典例3-2】（2024·高一·湖北恩施·期末）已知集合，，. (1)求，； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【变式3-1】（2024·高一·安徽淮南·开学考试）已知全集为R，集合，． (1)求； (2)若，且“”是“”的必要不充分条件，求a的取值范围． 【变式3-2】（2024·高一·宁夏银川·期中）设集合，集合． (1)若，求，； (2)设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【变式3-3】（2024·高一·河北石家庄·阶段练习）已知或，，若p是的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 【变式3-4】（2024·高一·江苏镇江·阶段练习）已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 考点四：根据充要条件求参数的范围 【典例4-1】（2024·高一·陕西西安·开学考试）命题p：一次函数的图像经过一、二、四象限的充要条件是 ． 【典例4-2】（2024·高三·全国·专题练习）已知命题，若是的充要条件，则 ． 【变式4-1】（2024·高一·广东佛山·期中）若命题：为命题：，的充要条件，则的值是 ． 【变式4-2】（2024·高一·云南大理·期末）若“不等式成立”的充要条件为“”，则实数的值为 . 【变式4-3】（2024·高一·重庆沙坪坝·阶段练习）若“”是“”的充要条件，则实数m的取值是 ． 【变式4-4】（2024·高一·全国·专题练习）设，一元二次方程有实数根的充要条件是 ． 考点五：充要条件的证明 【典例5-1】（2024·高一·广西南宁·期中）求证：是是等边三角形的充要条件.（这里，，是的三边边长）. 【典例5-2】（2024·高一·重庆沙坪坝·期中）已知的三边长为，其中.求证：为等边三角形的充要条件是． 【变式5-1】（2024·高二·福建福州·阶段练习）设a，b，，求证：关于x的方程有一个根是1的充要条件为. 【变式5-2】（2024·高一·江苏南京·阶段练习）求证：“关于x的方程有一个根为2”的充要条件是“”． 【变式5-3】（2024·高一·江苏·专题练习）设分别为的三边的长，求证：关于的方程与有公共实数根的充要条件是. 1．（2024·高一·河南濮阳·阶段练习）“四边形是平行四边形”是“四边形是菱形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2024·高一·宁夏吴忠·开学考试）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2024·高一·贵州黔西·期末）关于的方程有两个不相等的实数根的充要条件是（    ） A．或 B．或 C． D． 4．（多选题）（2024·高一·陕西西安·期中）使“”成立的一个必要不充分条件可以是（　　） A． B．或 C． D． 5．（多选题）（2024·高一·广东韶关·阶段练习）设，是的充分不必要条件，则实数的值可以为（    ） A． B．0 C．3 D． 6．（多选题）（2024·高一·山东威海·期末）若“”是“”的充分不必要条件，则实数的值可以为（    ） A． B． C． D． 7．（多选题）（2024·高一·江苏苏州·阶段练习）已知是的充分不必要条件，则实数的值可以是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．（多选题）（2024·高一·安徽亳州·期末）若条件，且是q的必要条件，则q可以是（    ） A． B． C． D． 9．（多选题）（2024·高一·湖南郴州·阶段练习）在整数集中，被6除余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即．则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D．整数属于同一“类”的充要条件是“” 10．（2024·高一·广西钦州·期末）若“”是“”的充要条件，则实数m的取值是 ． 11．（2024·高一·浙江杭州·期末）已知，若p是q的充要条件，则 ， . 12．（2024·高一·全国·课后作业）已知方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0，则方程有两个大于1的实数根（含相等两根）的充要条件是 ． 13．（2024·高一·广东佛山·阶段练习）在下列所示电路图中，下列说法正确的是 .（填序号）. （1）如图①所示，开关闭合是灯泡亮的充分不必要条件； （2）如图②所示，开关闭合是灯泡亮的必要不充分条件； （3）如图③所示，开关闭合是灯泡亮的充要条件； （4）如图④所示，开关闭合是奵泡亮的必要不充分条件. 14．（2024·高一·青海海东·阶段练习）已知或． (1)若是的充分条件，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 15．（2024·高一·湖南衡阳·期中）已知集合，集合. (1)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 16．（2024·高一·贵州贵阳·阶段练习）已知：关于的方程有实数根，：. (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 17．（2024·高一·江苏·假期作业）求证：方程有两个同号且不相等实根的充要条件是. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$