第11讲 对数（九大考点）-【暑假自学课】2024年新高一数学暑假提升精品讲义（苏教版2019）

第11讲 对数 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1、理解对数的概念. 2、知道自然对数和常用对数. 3、理解对数的运算性质，能进行简单的对数运算. 4、知道对数的换底公式，能将一般对数转化为自然对数和常用对数，并能进行简单的化简、计算. 知识点一、对数概念 1、对数的概念 如果，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：．其中叫做对数的底数，叫做真数． 知识点诠释： 对数式中各字母的取值范围是：且，，． 2、对数（且）具有下列性质： （1）0和负数没有对数，即； （2）1的对数为0，即； （3）底的对数等于1，即． 3、两种特殊的对数 通常将以10为底的对数叫做常用对数，．以e（e是一个无理数，）为底的对数叫做自然对数，简记为． 4、对数式与指数式的关系 由定义可知：对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化．它们的关系可由下图表示． 由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化． 知识点二、对数的运算法则 已知，（且，、） （1）正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和； 推广： （2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数； （3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数； 知识点诠释： （1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立． （2）不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是错误的： ， ， ． 知识点三、对数公式 1、对数恒等式： 2、换底公式 同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0，a≠1，M>0的前提下有： （1） 令，则有，，即，即，即：． （2），令，则有，则有 即，即，即 当然，细心一些的同学会发现（1）可由（2）推出，但在解决某些问题（1）又有它的灵活性．而且由（2）还可以得到一个重要的结论：． 考点一：对数的定义 【典例1-1】（2024·高一·全国·专题练习）在中，实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【典例1-2】（2024·高一·全国·课后作业）有下列说法： ①以10为底的对数叫作常用对数； ②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以e为底的对数叫作自然对数； ④零和负数没有对数. 其中正确的个数为（  　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-1】（2024·高一·全国·课后作业）在b＝log3a－1(3－2a)中，实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2024·高一·上海·课后作业）若，则x的取值范围是 A． B． C． D． 考点二：指数式与对数式互化及其应用 【典例2-1】（2024·高一·全国·随堂练习）将下列对数式改写为指数式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【典例2-2】（2024·高一·全国·随堂练习）将下列对数式改写为指数式： (1)； (2)； (3)； (4). 【变式2-1】（2024·高一·全国·随堂练习）将下列指数式改写为对数式： (1)； (2)； (3)； (4). 【变式2-2】（2024·高一·全国·课堂例题）将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 考点三：利用对数恒等式化简求值 【典例3-1】（2024·上海市杨浦高级中学高一期中）化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【典例3-2】（2024·全国·高一专题练习）计算 (1) (2) 【变式3-1】（2024·新疆维吾尔自治区喀什第二中学高三阶段练习）化简：＝________． 【变式3-2】（2024·贵州·遵义四中高一期末）______． 考点四：积、商、幂的对数 【典例4-1】（2024·高一课时练习）计算：log43×=____． 【典例4-2】（2024·高一课时练习）计算：____． 【变式4-1】（2024·辽宁大连·高一阶段练习）计算：______． 【变式4-2】（2024·湖北十堰·高一校联考阶段练习）__________． 【变式4-3】（2024·安徽马鞍山·高一马鞍山二中校考开学考试）计算结果是_． 考点五：一类与对数有关方程的求解问题 【典例5-1】（2024·高一·上海·课后作业）方程解的个数是（    ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．无穷多个 【典例5-2】（2024·高一·广东深圳·期中）已知a，b是方程的两个实数根，则 ． 【变式5-1】（2024·高一·辽宁沈阳·期末）若，是方程的两个根，则 ． 【变式5-2】（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）请写出满足方程的一组实数对： ． 【变式5-3】（2024·高一·上海虹口·期中）设、是关于x的方程的两个实数根,则 ． 【变式5-4】（2024·上海·二模）方程的解是 . 考点六：对数运算法则的应用 【典例6-1】（2024·高一·海南·阶段练习） . 【典例6-2】（2024·高一·浙江·期末）的值为 ． 【变式6-1】（2024·高一·湖北·期末）计算： ． 【变式6-2】（2024·高一·江苏盐城·期中）计算求值： (1)； (2)求值：. 【变式6-3】（2024·高一·内蒙古鄂尔多斯·期中）计算： (1)； (2). 【变式6-4】（2024·高一·山东临沂·期末）计算: (1)． (2)． 考点七：换底公式的运用 【典例7-1】（2024·高一·广东深圳·期末）计算： ． 【典例7-2】（2024·高一·上海虹口·期末）若实数和满足，则 ． 【变式7-1】（2024·高一·重庆·阶段练习）计算 . 【变式7-2】（2024·高一·吉林长春·期末）（1）计算：； （2）计算：． 考点八：由已知对数求解未知对数式 【典例8-1】设，则（    ） A． B． C． D． 【典例8-2】（2024·高一·上海静安·期中）（1）已知，用a、b表示; （2）已知求b的值； （3）已知，试用表示； （4）已知，试用表示求. 【变式8-1】（2024·高一·上海·专题练习）（1）设，试用含有的代数式表示； （2）设，，试用、表示； （3）设，，试用、表示. 【变式8-2】（2024·高一·上海静安·期中）若，用表示 【变式8-3】（2024·高一·上海·课后作业）已知，试用a表示． 考点九：证明常见的对数恒等式 【典例9-1】（2024·高一·全国·随堂练习）已知，求证：． 【典例9-2】（2024·高一·上海·课后作业）已知在中，，角A，B，C所对应的三条边长分别为a，b，c．求证：． 【变式9-1】（2024·高一·全国·课后作业）证明： （1）； （2）. 【变式9-2】（2024·高一·全国·课堂例题）利用换底公式证明： (1)； (2)． 【变式9-3】（2024·高一·云南昆明·期末）已知a>0且a≠1，M>0，N>0. (1)举出一个反例说明不成立； (2)证明：. 1．（2024·高一·江苏扬州·期末）若实数，满足，则下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·高一·云南保山·阶段练习）若，则（    ） A． B． C．2 D． 3．（2024·高一·云南昆明·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C．1 D． 4．（2024·高三·四川遂宁·阶段练习）若，则下列各式的值等于1的是（ ） A． B． C． D． 5．（2024·高一·上海·期末）方程的解 . 6．（2024·高一·上海闵行·期末）方程的解是 . 7．（2024·高一·上海·开学考试）设都是非零常数，且满足，则 .（结果用表示） 8．（2024·高一·浙江·期中）化简 . 9．（2024·高一·上海·阶段练习）已知，，试用、表示 . 10．（2024·高一·江苏宿迁·期中）已知，则 ．（用表示） 11．（2024·高一·上海·期末）设，，则 ．（结果用和表示） 12．（2024·高一·全国·随堂练习）将下列指数式改写成对数式： (1)； (2)； (3)； (4). 13．（2024·高一·全国·专题练习）将下列指数式与对数式进行互化． (1) (2) (3). (4)； (5)； (6)； (7). 14．（2024·高一·天津南开·期末）计算：. 15．（2024·高三·山东菏泽·期末）计算： (1). (2). 16．（2024·高一·内蒙古赤峰·期中）求值： (1) (2)； 17．（2024·高一·浙江·开学考试）阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J.Napier，1550年﹣1617年），纳皮尔发明对数是在指数概念建立之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Euler，1707年﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系.对数的定义：一般地，若 ，则叫做以为底的对数，记作.比如指数式可以转化为，对数式可以转化为..我们根据对数的定义可得到对数的一个性质： 理由如下：设，，所以，，所以 ，由对数的定义得:，又因为，所以 解决以下问题： （1）将指数转化为对数式： . （2）仿照上面的材料，试证明：. （3）拓展运用：计算. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 对数 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1、理解对数的概念. 2、知道自然对数和常用对数. 3、理解对数的运算性质，能进行简单的对数运算. 4、知道对数的换底公式，能将一般对数转化为自然对数和常用对数，并能进行简单的化简、计算. 知识点一、对数概念 1、对数的概念 如果，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：．其中叫做对数的底数，叫做真数． 知识点诠释： 对数式中各字母的取值范围是：且，，． 2、对数（且）具有下列性质： （1）0和负数没有对数，即； （2）1的对数为0，即； （3）底的对数等于1，即． 3、两种特殊的对数 通常将以10为底的对数叫做常用对数，．以e（e是一个无理数，）为底的对数叫做自然对数，简记为． 4、对数式与指数式的关系 由定义可知：对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化．它们的关系可由下图表示． 由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化． 知识点二、对数的运算法则 已知，（且，、） （1）正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和； 推广： （2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数； （3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数； 知识点诠释： （1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立． （2）不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是错误的： ， ， ． 知识点三、对数公式 1、对数恒等式： 2、换底公式 同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0，a≠1，M>0的前提下有： （1） 令，则有，，即，即，即：． （2），令，则有，则有 即，即，即 当然，细心一些的同学会发现（1）可由（2）推出，但在解决某些问题（1）又有它的灵活性．而且由（2）还可以得到一个重要的结论：． 考点一：对数的定义 【典例1-1】（2024·高一·全国·专题练习）在中，实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【解析】由对数的定义可知， 解得，且， 故选：B． 【典例1-2】（2024·高一·全国·课后作业）有下列说法： ①以10为底的对数叫作常用对数； ②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以e为底的对数叫作自然对数； ④零和负数没有对数. 其中正确的个数为（  　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】根据常用对数以及自然对数的概念可知①③正确，根据对数的性质可知④正确， 只有当且时，指数式才可以化成对数式，②错误， 故选：C 【变式1-1】（2024·高一·全国·课后作业）在b＝log3a－1(3－2a)中，实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】要使式子b＝log3a－1(3－2a)有意义， 则，解得或. 故选：B. 【变式1-2】（2024·高一·上海·课后作业）若，则x的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】且 故选：B 考点二：指数式与对数式互化及其应用 【典例2-1】（2024·高一·全国·随堂练习）将下列对数式改写为指数式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【解析】（1）由可得； （2）由可得； （3）由可得； （4）由可得 【典例2-2】（2024·高一·全国·随堂练习）将下列对数式改写为指数式： (1)； (2)； (3)； (4). 【解析】（1）由得. （2）由得. （3）由得. （4）由得. 【变式2-1】（2024·高一·全国·随堂练习）将下列指数式改写为对数式： (1)； (2)； (3)； (4). 【解析】（1）由得. （2）由得. （3）由得. （4）由得. 【变式2-2】（2024·高一·全国·课堂例题）将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【解析】（1）因为，所以 （2）因为，所以 （3）因为，所以 （4）因为，所以 （5）因为，所以 （6）因为，所以 考点三：利用对数恒等式化简求值 【典例3-1】（2024·上海市杨浦高级中学高一期中）化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， 故选：C 【典例3-2】（2024·全国·高一专题练习）计算 (1) (2) 【解析】（1）; （2）. 【变式3-1】（2024·新疆维吾尔自治区喀什第二中学高三阶段练习）化简：＝________． 【答案】2 【解析】. 故答案为：2． 【变式3-2】（2024·贵州·遵义四中高一期末）______． 【答案】 【解析】. 故答案为：. 考点四：积、商、幂的对数 【典例4-1】（2024·高一课时练习）计算：log43×=____． 【答案】/ 【解析】原式. 故答案为： 【典例4-2】（2024·高一课时练习）计算：____． 【答案】/ 【解析】原式 . 故答案为：. 【变式4-1】（2024·辽宁大连·高一阶段练习）计算：______． 【答案】9 【解析】原式. 故答案为：9 【变式4-2】（2024·湖北十堰·高一校联考阶段练习）__________． 【答案】6 【解析】. 故答案为：6. 【变式4-3】（2024·安徽马鞍山·高一马鞍山二中校考开学考试）计算结果是_． 【答案】4 【解析】因为，，， ， 所以． 故答案为：. 考点五：一类与对数有关方程的求解问题 【典例5-1】（2024·高一·上海·课后作业）方程解的个数是（    ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．无穷多个 【答案】A 【解析】根据对数符号有意义可得，即且， 再根据题意可得，即， 解得或， 因为和均不满足且， 所以原方程解的个数为0. 故选：A. 【典例5-2】（2024·高一·广东深圳·期中）已知a，b是方程的两个实数根，则 ． 【答案】/2.5 【解析】方法一：因为a，b是方程的两个实数根， 由韦达定理得，， 则， 即； 方法二：因为的根为或， 不妨设，，则，， 所以． 故答案为：. 【变式5-1】（2024·高一·辽宁沈阳·期末）若，是方程的两个根，则 ． 【答案】 【解析】由是方程的根，则， 所以，即， 又由，是方程的两个根， 所以，即，所以， 所以． 故答案为： 【变式5-2】（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）请写出满足方程的一组实数对： ． 【答案】（答案不唯一） 【解析】∵， ∴， ∴令得：，即：. 故答案为：（答案不唯一）. 【变式5-3】（2024·高一·上海虹口·期中）设、是关于x的方程的两个实数根,则 ． 【答案】 【解析】解:由题知的两个实数根是、, 根据韦达定理有, 即, 即, . 故答案为: 【变式5-4】（2024·上海·二模）方程的解是 . 【答案】 【解析】原方程可变为 ，即 ，即， 即，解得. 故答案为. 考点六：对数运算法则的应用 【典例6-1】（2024·高一·海南·阶段练习） . 【答案】 【解析】. 故答案为：. 【典例6-2】（2024·高一·浙江·期末）的值为 ． 【答案】10 【解析】原式. 故答案为： 【变式6-1】（2024·高一·湖北·期末）计算： ． 【答案】24 【解析】． 故答案为：24 【变式6-2】（2024·高一·江苏盐城·期中）计算求值： (1)； (2)求值：. 【解析】（1） ； （2） . 【变式6-3】（2024·高一·内蒙古鄂尔多斯·期中）计算： (1)； (2). 【解析】（1）. （2） . 【变式6-4】（2024·高一·山东临沂·期末）计算: (1)． (2)． 【解析】（1） ； （2） 考点七：换底公式的运用 【典例7-1】（2024·高一·广东深圳·期末）计算： ． 【答案】5 【解析】由题意可得：原式 . 故答案为：5. 【典例7-2】（2024·高一·上海虹口·期末）若实数和满足，则 ． 【答案】1 【解析】因为，则，可得， 所以. 故答案为：1. 【变式7-1】（2024·高一·重庆·阶段练习）计算 . 【答案】 【解析】 . 故答案为：. 【变式7-2】（2024·高一·吉林长春·期末）（1）计算：； （2）计算：． 【解析】（1）原式 ； （2）原式. 考点八：由已知对数求解未知对数式 【典例8-1】设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据换底公式有，， 可得，整理得. 故C正确，检验可知其他选项均不符合. 故选：C. 【典例8-2】（2024·高一·上海静安·期中）（1）已知，用a、b表示; （2）已知求b的值； （3）已知，试用表示； （4）已知，试用表示求. 【解析】（1）因为，则， 所以； （2） ， 设则 则即或 即或 或. （3），则. ，， 则 （4）， 【变式8-1】（2024·高一·上海·专题练习）（1）设，试用含有的代数式表示； （2）设，，试用、表示； （3）设，，试用、表示. 【解析】（1）因为，所以， 所以，即. （2）因为， 所以. （3）因为， 所以. 【变式8-2】（2024·高一·上海静安·期中）若，用表示 【解析】由题意，， 所以. 【变式8-3】（2024·高一·上海·课后作业）已知，试用a表示． 【解析】 考点九：证明常见的对数恒等式 【典例9-1】（2024·高一·全国·随堂练习）已知，求证：． 【解析】设，可知且， 则， 可得， 所以， 即. 【典例9-2】（2024·高一·上海·课后作业）已知在中，，角A，B，C所对应的三条边长分别为a，b，c．求证：． 【解析】证明：在中，因为，所以， 因为 ， 所以. 【变式9-1】（2024·高一·全国·课后作业）证明： （1）； （2）. 【解析】证明：（1）. 故. （2）， 【变式9-2】（2024·高一·全国·课堂例题）利用换底公式证明： (1)； (2)． 【解析】（1）由换底公式得，， 因此． （2）由换底公式得，． 【变式9-3】（2024·高一·云南昆明·期末）已知a>0且a≠1，M>0，N>0. (1)举出一个反例说明不成立； (2)证明：. 【解析】（1）假设， 则，， . 因为， 所以当时不成立.（反例不唯一，计算正确即可） （2）令，则 ，， 所以. 1．（2024·高一·江苏扬州·期末）若实数，满足，则下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以，， 由换底公式得：，. 所以. 故选：A 2．（2024·高一·云南保山·阶段练习）若，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【解析】∵，∴， ∴ . 故选：C． 3．（2024·高一·云南昆明·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【解析】由，可得， 所以 故选：B． 4．（2024·高三·四川遂宁·阶段练习）若，则下列各式的值等于1的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以，所以，， 所以. 故选：B. 5．（2024·高一·上海·期末）方程的解 . 【答案】11 【解析】因为，所以，解得， 故答案为：11. 6．（2024·高一·上海闵行·期末）方程的解是 . 【答案】 【解析】令， 由，得， 解得或（舍去）， 所以，解得. 故答案为： 7．（2024·高一·上海·开学考试）设都是非零常数，且满足，则 .（结果用表示） 【答案】 【解析】由都是非零常数，设，则， 所以 故答案为： 8．（2024·高一·浙江·期中）化简 . 【答案】 【解析】原式 . 故答案为：. 9．（2024·高一·上海·阶段练习）已知，，试用、表示 . 【答案】 【解析】由可得：，即，故 . 故答案为:. 10．（2024·高一·江苏宿迁·期中）已知，则 ．（用表示） 【答案】 【解析】由，得，又， 所以. 故答案为： 11．（2024·高一·上海·期末）设，，则 ．（结果用和表示） 【答案】 【解析】. 故答案为： 12．（2024·高一·全国·随堂练习）将下列指数式改写成对数式： (1)； (2)； (3)； (4). 【解析】（1）由得； （2）由得； （3）由得； （4）由得； 13．（2024·高一·全国·专题练习）将下列指数式与对数式进行互化． (1) (2) (3). (4)； (5)； (6)； (7). 【解析】（1）由可得. （2）由，可得. （3）由，可得. （4）由，可得； （5）由，可得； （6）由，可得； （7）由，可得. 14．（2024·高一·天津南开·期末）计算：. 【解析】原式. 故答案为： 15．（2024·高三·山东菏泽·期末）计算： (1). (2). 【解析】（1）. （2） ＝ 16．（2024·高一·内蒙古赤峰·期中）求值： (1) (2)； 【解析】（1）原式 （2）原式 17．（2024·高一·浙江·开学考试）阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J.Napier，1550年﹣1617年），纳皮尔发明对数是在指数概念建立之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Euler，1707年﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系.对数的定义：一般地，若 ，则叫做以为底的对数，记作.比如指数式可以转化为，对数式可以转化为..我们根据对数的定义可得到对数的一个性质： 理由如下：设，，所以，，所以 ，由对数的定义得:，又因为，所以 解决以下问题： （1）将指数转化为对数式： . （2）仿照上面的材料，试证明：. （3）拓展运用：计算. 【解析】（1）将指数转化为对数式：. 故答案为：. （2）证明：设，，所以，，所以 ，由对数的定义得，又因 ， 所以； （3） 故答案为：2. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$