精品解析：江西省宜春市宜丰中学2023-2024学年高二下学期6月月考数学试题（创新部）

江西省宜丰中学2023-2024（下）创新高二6月月考数学试卷 一、单选题 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据特称命题的否定时全称命题，改量词否结论即可求得结果. 【详解】因为命题“，”的否定是“，”. 故选：B. 2. “，且”是“，且”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用不等式的基本性质，结合充分、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】若，且，根据不等式的加法和乘法法则可得，且，即必要性成立； 当，满足，且，但是，故充分性不成立， 所以“，且”是“，且”的必要不充分条件. 故选：B 3. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助中间值比较大小即可. 【详解】因为，，， 所以，即. 故选：D. 4. 已知在上为减函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，根据复合函数的单调性的求法，列出相应不等式求解即可. 【详解】设， 因为函数在上是减函数， 可得在上是增函数， 故有对称轴，即，且， 解得，即实数的范围是. 故选：B. 5. 某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外，每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为(　　) A. 10 B. 11 C. 13 D. 21 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据题意得到第年的维护费为，从而得到年平均费用为：（为正整数），再结合基本不等式求最值即可. 【详解】由题意可知：每年的维护费构成一个以为首项，为公差的等差数列， 故第年的维护费为：， 总的维护费为：， 故年平均费用为：， 即，（为正整数）； 由基本不等式得： （万元）， 当且仅当， 即时取到等号，即该企业年后需要更新设备． 故选：A 6. 已知公差不为零的等差数列满足：，且是与的等比中项，设数列满足，则数列的前项和为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，根据题意，列出方程组，求得，得到，进而得到，结合裂项法求和，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，且是与的等比中项，可得， 即，解得，所以， 又由， 可得. 故选：C. 7. 已知函数,若关于的方程有四个不同的实数解，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】画出函数的图象，根据对称性和对数函数的图象和性质即可求出． 【详解】 可画函数图象如下所示 若关于的方程有四个不同的实数解，且， 当时解得或 ，关于直线对称，则， 令函数，则函数在上单调递增， 故当时 故当时 所以 即 故选： 【点睛】本题考查函数方程思想，对数函数的性质，数形结合是解答本题的关键，属于难题. 8. 已知函数，且在区间上单调递增，则的最小值为（ ） A. 0 B. C. D. -1 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，转化为在上恒成立，对于使得取得最小值时，直线和函数的图象相切，求得上的一点的切线方程为，得到，令，利用导数求得函数的单调性与最小值，即可求解. 【详解】由在区间上单调递增， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 对于使得取得最小值时，直线和函数的图象相切， 又由，可得，则， 可得在点的切线为，即， 令，所以， 令，所以， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以， 所以的最小值为. 故选：C. 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： 1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解； 2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 二、多选题 9. 下列函数中，是奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由奇函数定义逐一判断即可. 【详解】对于A，的定义域为全体实数，关于原点对称，且，故A满足题意； 对于B，若，则，故B不满足题意； 对于C，的定义域为，它关于原点对称，且，故C满足题意； 对于D，的定义域为，它关于原点对称，且，故D满足题意. 故选：ACD. 10. 已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 的图像在处的切线斜率为 C. D. 有两个零点，且 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意直接求出的范围即可判断；求出导函数，进而求得即可判断B；求得即可判断C；易知的单调性，结合零点存在定理及C即可判断D． 【详解】由题意，， 对于选项A，易知且，故选项A错误， 对于选项B，因为，则，故选项B正确， 对于选项C，因为，所以，故选项C正确， 对于选项D，由选项可知，易知在和上单调递增， 因为， ， 所以，使得， 又因为，则，结合选项C，得， 即也是的零点，则，，故，故选项D正确， 故选：BCD. 11. 已知函数，在R上的导函数分别为，，若为偶函数，是奇函数，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 是R上的奇函数 D. 是R上的奇函数 【答案】AD 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性、周期性、对称性，以及原函数与导函数的奇偶性，即可判断各选项正误. 【详解】解：已知为偶函数，可知关于对称， 所以关于对称， 因为是奇函数，可知关于对称， 所以关于对称， 又因为，则，即， 所以与关于对称， 因为关于对称的点为，直线关于对称的直线为， 所以关于对称，关于直线对称，是偶函数， 而关于对称，，又， 则，，， 即是周期为4的偶函数，故C选项错误； 由关于直线对称，，关于对称，， 则，， 所以，即是周期为4的偶函数， 由于是周期为4的偶函数，则， 等号两边同时求导，可得，所以是周期为4的奇函数， 同理，由于是周期为4的偶函数，则， 等号两边同时求导，可得，是周期为4的奇函数， 所以与均是周期为4的奇函数，故D选项正确； 由于关于对称，，，则， 所以，故A选项正确； ，故B选项错误； 故选：AD. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据函数的对称性得到函数的奇偶性及周期性，再利用复合函数的导数可得导函数的性质进而即得. 三、填空题 12. 计算：=______. 【答案】##1.5 【解析】 【分析】根据对数和根式的运算得解. 【详解】原式. 故答案为：. 13. 已知函数，若，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】首先判断函数的奇偶性与单调性，再根据奇偶性与单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可. 【详解】因为函数，定义域为，且， 则 ， 即，即为奇函数， 当时，，均单调递增，所以在上单调递增， 则在上单调递增， 所以是奇函数且在上单调递增， 由，可得，则，解得， 即的取值范围为. 故答案为： 14. 若对任意的，不等式恒成立，则的最大整数值为______. 【答案】2 【解析】 【分析】分离参数，利用换元法得，构造函数，利用导数研究其单调性结合隐零点求最小值即可. 【详解】原不等式等价于在时恒成立， 令，则上式化为， 构造函数， 则， 令， 所以在上单调递增，而在， 故使得，故在上单调递减，在上单调递增， 即， 所以， 又，故的最大整数值为2. 故答案为：2 【点睛】思路点睛：分离参数并换元得，构造函数结合隐零点计算其最小值即可. 四、解答题 15. 已知函数的图像恒过定点，且点又在函数的图像上. （1）求的值； （2）已知，求函数的最大值和最小值. 【答案】（1） （2）最小值为，最大值为 【解析】 【分析】（1）结合指数函数性质首先求的值； （2）通过换元，设，并且求变量的取值范围，转化为二次函数在定义域内的最大值和最小值. 【小问1详解】 由题意知定点的坐标为，且点又在函数的图像上. ∴，即解得. 【小问2详解】 由得，令，则， . ∴当，即，时，， 当，即，时，. 16. 已知数列{ an }的首项，且满足． （1）求证：数列{}为等比数列； （2）若，求满足条件的最大整数n． 【答案】（1） 因为，故，所以， 所以，而,故， 所以，所以{}是以首项为1，公比为的等比数列． （2）100 【解析】 【分析】（1）由题意可得=，可证结论； （2）由（1），可求得，可求满足条件的最大整数n ． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，所以， 故． 因为随着n的增大而增大，n = 100满足题意，n = 101不合题意， 所以满足条件的最大整数n = 100． 17. 医生将一瓶含量的A药在内匀速注射到患者的血液中称为A药的一次注射．在注射期间，患者血液中A药的注入量与注射用时的关系是，当时，血液中的A药注入量达到，此后，注入血液中的A药以每小时的速度减少． （1）求k的值； （2）患者完成A药的首次注射后，血液中A药含量不低于的时间可以维持多少h？（精确到0.1） （3）患者首次注射后，血液中A药含量减少到时，立即进行第二次注射，首次注射的A药剩余量继续以每小时的速度减少，已知注射期间能保持患者血液中的A药含量不低于，那么，经过两次注射，患者血液中A药的含量不低于的时间是否可以维持？（参考数据：，，） 【答案】（1）； （2）； （3）可以. 【解析】 【分析】（1）把，代入计算即得. （2）根据给定条件，列出不等式，再利用对数函数单调性解不等式即得. （3）求出A药含量为时时间关系，再列出第二次注射完成后患者血液中A药的含量随注射时间变化的函数关系，列出不等式求解即得. 【小问1详解】 依题意，，解得，所以k的值为. 【小问2详解】 血液中的A药含量达到后，经过x小时患者血液中A药含量为． 由，得，两边取对数得：， 解得， 所以患者完成A药的首次注射后，血液中A药含量不低于的时间可以维持. 【小问3详解】 设第一次注射开始后经过患者血液中A药的含量为，即， 记第二次注射完成后患者血液中A药的含量为，其中为第一次注射开始后经过的时间， 则 ， 由，得，即，两边取对数得： ，解得，又， 所以经过两次注射后，患者血液中A药的含量不低于的时间可以维持． 18. 设函数． （1）当时，求的极值； （2）当时，讨论的单调性； （3）在（1）条件下，若对任意，有恒成立，求m的最大值． 【答案】（1）极小值为，无极大值 （2） 当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在、上单调递增； 当时，函数在R上单调递减； 时，函数在上单调递减，在、上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）求导，判断函数单调性即可确定极值； （2）求导可得，分类讨论当、、、时函数对应的单调性，即可求解； （3）分离参数并构造新函数，求导可得，判断函数单调性求出最小值即可求解. 【小问1详解】 当时，，则，， 令，得，令，得. 故在上单调递增，在上单调递减， 在处取得极小值，无极大值. 【小问2详解】 当时，，则， 当时，， 令，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，由，解得或0， 若即时，令，或， 所以函数在上单调递减，在、上单调递增； 若即时，，所以函数在R上单调递减； 若即时，令，或， 所以函数在上单调递减，在、上单调递增. 综上，当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在、上单调递增； 当时，函数在R上单调递减； 时，函数在上单调递减，在、上单调递增. 【小问3详解】 对恒成立，即对恒成立. 令，则只需即可. . 易知均在上单调递增，故在上单调递增且. 当时，单调递减；当时，单调递增. . 故，即的最大值为. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的恒成立问题的求解策略： 形如的恒成立的求解策略： 1、构造函数法：令，利用导数求得函数的单调性与最小值，只需恒成立即可； 2、参数分离法：转化为或恒成立，即或恒成立，只需利用导数求得函数的单调性与最值即可； 3，数形结合法：结合函数的图象在的图象的上方（或下方），进而得到不等式恒成立. 19. 已知函数，. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若恰有三个不同的零点（）. ①求实数的取值范围； ②求证：. 【答案】（1） （2）①； ②由①可知，当时，. 令，则，即. 不妨设，则.又， 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减. 显然，当时，；当时，. 所以. 所以 . 即. 【解析】 【分析】（1）求出导数，继而可得切线斜率为在的导数值，由，结合直线的点斜式，可求出切线方程. （2）①由题意知关于的方程在上有三个不同的解，令，可得或，从而可求出函数的极值，又结合当时，，当，即可求出实数的取值范围. ②令，则，即， 通过导数探究函数的性质，可知，从而可证明. 【小问1详解】 当时，，所以. 则当时，，即切线的斜率为2，又由，则， 所以曲线在处的切线方程为. 【小问2详解】 ①由题意可得，关于的方程在上有三个不同的解， 即关于的方程在上有三个不同的解.令. 所以. 显然，当时，，证明如下： 令. 当时，，函数在单调递减； 当时，，函数在上单调递增. 所以当时，取最小值.所以，当时，. 令，可得或.将变化情况列表如下 1 0 0 极小值 极大值 又当时，，当. 所以，实数的取值范围为. ②略 【点睛】本题考查了函数切线方程的求解，考查了函数的零点与方程的根，考查了导数判断函数单调性，考查了导数求极值.求函数的切线方程时，常用的等量关系有两个，一是切点处的导数值为切线的斜率，二是切点既在切线上又在函数的图像上. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省宜丰中学2023-2024（下）创新高二6月月考数学试卷 一、单选题 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. “，且”是“，且”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知在上为减函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外，每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为(　　) A. 10 B. 11 C. 13 D. 21 6. 已知公差不为零的等差数列满足：，且是与的等比中项，设数列满足，则数列的前项和为（    ） A. B. C. D. 7. 已知函数,若关于的方程有四个不同的实数解，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，且在区间上单调递增，则的最小值为（ ） A. 0 B. C. D. -1 二、多选题 9. 下列函数中，是奇函数的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 的图像在处的切线斜率为 C. D. 有两个零点，且 11. 已知函数，在R上的导函数分别为，，若为偶函数，是奇函数，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 是R上的奇函数 D. 是R上的奇函数 三、填空题 12. 计算：=______. 13. 已知函数，若，则的取值范围是__________. 14. 若对任意的，不等式恒成立，则的最大整数值为______. 四、解答题 15. 已知函数的图像恒过定点，且点又在函数的图像上. （1）求的值； （2）已知，求函数的最大值和最小值. 16. 已知数列{ an }的首项，且满足． （1）求证：数列{}为等比数列； （2）若，求满足条件的最大整数n． 17. 医生将一瓶含量的A药在内匀速注射到患者的血液中称为A药的一次注射．在注射期间，患者血液中A药的注入量与注射用时的关系是，当时，血液中的A药注入量达到，此后，注入血液中的A药以每小时的速度减少． （1）求k的值； （2）患者完成A药的首次注射后，血液中A药含量不低于的时间可以维持多少h？（精确到0.1） （3）患者首次注射后，血液中A药含量减少到时，立即进行第二次注射，首次注射的A药剩余量继续以每小时的速度减少，已知注射期间能保持患者血液中的A药含量不低于，那么，经过两次注射，患者血液中A药的含量不低于的时间是否可以维持？（参考数据：，，） 18. 设函数． （1）当时，求的极值； （2）当时，讨论的单调性； （3）在（1）条件下，若对任意，有恒成立，求m的最大值． 19. 已知函数，. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若恰有三个不同的零点（）. ①求实数的取值范围； ②求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $