精品解析：辽宁省盘锦市第一完全中学2023-2024学年八年级下学期4月期中考试数学试题

盘锦市第一完全中学2023—2024第二学期八年级期中质量检测数学试卷 一．选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 若在实数范围内有意义，则的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 3. 党的二十大报告提出“深化全民阅读活动”．某校开展了“书香浸润心灵 阅读点亮人生”读书系列活动．为了解学生的课外阅读情况，随机选取了某班甲、乙两组学生一周的课外阅读时间（单位：小时）进行统计，数据如下： 甲组 乙组 两组数据的众数分别为，，方差分别为，，则（ ） A. ， B. ， C ， D. ， 4. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，下列结论不一定成立的是（　　） A. AD＝BC B. ∠DAB＝∠BCD C. S△AOB＝S△COB D. AC＝BD 5. 如图，在中，，为边上的中线，平分，交于点D，过点B作，垂足为点F，则的度数为（　　）． A. B. C. D. 6. 勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，已知∠BAC=90°，AB=6，AC=8，点D、E、F、G、H、I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的周长为（ ） A. 40 B. 44 C. 84 D. 88 7. 在物理实验课上，小鹏利用滑轮组及相关器材进行实验，他把得到的拉力和所悬挂物体的重力的几组数据用电脑绘制成如下图像（不计绳重和摩擦），请你根据图像判断以下结论正确的有（ ）个 ①物体的拉力随着重力的增加而增大；②当物体的重力时，拉力；③拉力与重力成正比例函数关系；④当滑轮组不悬挂物体时，所用拉力为． A. ①② B. ②④ C. ①④ D. ③④ 8. 若直线y=kx+b（k≠0）经过点A（2，-3），且与y轴的交点在x轴上方，则k的取值范围是（   ） A B. C. D. 9. 如图，函数的图象经过点B（m，0）（），与函数的图象交于点A，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，菱形的顶点O为坐标原点，顶点A在x轴正半轴上，顶点B、C在第一象限，，，点D在边上，将四边形沿直线翻折，使点B和点C分别落在这个坐标平面内的和处，且，某正比例函数图象经过，则这个正比例函数的解析式为（　　） A. B. C. D. 二．填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 若等式成立，则a的取值范围是___． 12. 在正比例函数中，若y随x的增大而减小，则________． 13. 图形的变换就是点的变换，例如将直线y=3x+1向右平移2个单位，求平移后直线的解析式，我们不妨先在直线y=3x+1上任意取两点（0，1）和（1，4），平移后这两点分别为（2，1）和（3，4），则平移后直线的解析式为y=3x-5，现将直线y=-3x+2关于x轴对称，则对称后直线的解析式为______． 14. 如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点、、都在格点上，则的度数为______． 15. 如图，在四边形CDEF中，，，G为DE的中点点H在EF上，且，连接GH，则GH的长为_______． 三．解答题（共8小题，共75分） 16. 二次根式的计算： （1）计算； （2）计算：． 17. 辽宁省今年南果梨喜获丰收．国庆节当天甲超市进行南果梨优惠促销活动，南果梨销售金额（元）与销售量（千克）之间的关系如图所示． （1）当时，求销售金额（元）与销售量（千克）的关系式; （2）乙超市南果梨的标价为20元/千克，国庆节当天也进行优惠促销活动，按标价的8折销售．若购买12千克南果梨，通过计算说明在哪个超市购买更划算． 18. 如图，在中，，是中位线，连接和，交于点O． （1）求证：； （2）若，求的长． 19. 2022年3月23日下午，“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲，神舟十三号乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富相互配合进行授课，这是中国空间站的第二次太空授课，被许多中小学生称为“最牛网课”，某中学为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理，信息如下： a．成绩频数分布表： 成绩x（分） 频数 7 9 12 16 6 b．成绩在这一组的是（单位：分）：70，71，72，72，74，77，78，78，78，79，79，79． 根据以上信息，回答下列问题： （1）在这次测试中，成绩的中位数是 分，成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比为 ； （2）这次测试成绩的平均数是76.4分，甲的测试成绩是77分．乙说：“甲的成绩高于平均数，所以甲的成绩高于一半学生的成绩．”你认为乙的说法正确吗？请说明理由． （3）若测试成绩不低于80分，则认定学生对“航空航天知识”的掌握情况较好．请估计该校1000名学生中对“航空航天知识”掌握情况较好的人数． 20. 为了救援地震灾区，某市、两厂共同承接了生产吨救灾物资任务，厂生产量是厂生产量倍少吨，这批救灾物资将运往甲、乙两地，其中甲地需要物资吨，乙地需要物资吨，运费如下表：（单位：吨/元） 目的地 生产厂家 甲 乙 A 20 25 B 15 24 （1）厂生产了______吨救灾物资、厂生产了______吨救灾物资； （2）设这批物资从厂运往甲地吨，全部运往甲、乙两地的总运费为元，求与之间的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案； （3）当每吨运费降低元，（，且为整数），若按照（）中设计的调运方案运输，且总运费不超过元，求的最小值． 21. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使，连接． （1）求证：四边形AEFD是矩形； （2）连接，若，．求的长． 22. 已知函数（、为常数），下表列出了部分对应的和的值，请对该函数及其图象进行如下探究： … -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 … -5 -4 -3 -2 -1 0 1 0 3 4 5 6 7 … -1 -2 -3 -4 -5 … （1）______，______；并在给出平面直角坐标系中画出该函数的图像； （2）写出该函数一条性质：______； （3）根据函数图象解决下列问题： ①若，为该函数图象上不同的两点，则______； ②再在所给的平面直角坐标系中，画出一次函数的图像，结合你所画的图像，直接写出方程的解为______．（保留一位小数） 23. 如图，四边形是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点B的坐标为，在边上取一点D，将纸片沿翻折，使点O落在边上的点E处． （1）求和的长； （2）求所在直线的解析式； （3）若直线与直线的比例系数相等，当它与矩形有公共点时，请直接写出b的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 盘锦市第一完全中学2023—2024第二学期八年级期中质量检测数学试卷 一．选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的概念判断即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 2. 若在实数范围内有意义，则的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式和二次根式有意义的条件可得关于x的不等式组，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故选：A 【点睛】本题主要考查了分式和二次根式有意义的条件，熟练掌握分式和二次根式有意义的条件是解题的关键． 3. 党的二十大报告提出“深化全民阅读活动”．某校开展了“书香浸润心灵 阅读点亮人生”读书系列活动．为了解学生的课外阅读情况，随机选取了某班甲、乙两组学生一周的课外阅读时间（单位：小时）进行统计，数据如下： 甲组 乙组 两组数据的众数分别为，，方差分别为，，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】分别根据众数的定义以及方差的计算方法解答即可． 【详解】解：由题意得， 甲组的平均数为， ∴ ； 乙组的平均数为， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了平均数与方差的计算，关键是掌握方差与平均数的计算公式． 4. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，下列结论不一定成立的是（　　） A. AD＝BC B. ∠DAB＝∠BCD C. S△AOB＝S△COB D. AC＝BD 【答案】D 【解析】 【分析】由平行四边形的性质可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO=CO，BO=DO，AB=CD，∠BAD=∠BCD，AD=BC，AD∥BC， ∴S△AOB=S△COB， ∴不能得到AC=BD， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是本题的关键． 5. 如图，在中，，为边上的中线，平分，交于点D，过点B作，垂足为点F，则的度数为（　　）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质等知识点，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质和等腰三角形的性质是解题的关键． 由直角三角形的两锐角互余可得，根据直角三角形斜边上的中线性质得出，由等腰三角形的性质得出，由角平分线定义得出，由三角形的外角性质得出，由直角三角形的性质即可解答． 【详解】解：如图：∵在中，， ∴， ∵，为边上的中线， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 6. 勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，已知∠BAC=90°，AB=6，AC=8，点D、E、F、G、H、I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的周长为（ ） A. 40 B. 44 C. 84 D. 88 【答案】C 【解析】 【分析】延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，可得四边形AOLP是正方形，然后求出正方形的边长，再求出矩形KLMJ的长与宽，然后根据矩形的周长公式列式计算即可得解． 【详解】如图，延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P， 可证得四边形AOLP是正方形，边长AO=AB+AC=6+8=14， ∴KL=6+14=20，LM=8+14=22， ∴矩形KLMJ的周长为2×（20+22）=84． 故选:C． 【点睛】本题考查了勾股定理的证明，作出辅助线构造正方形是解题的关键. 7. 在物理实验课上，小鹏利用滑轮组及相关器材进行实验，他把得到的拉力和所悬挂物体的重力的几组数据用电脑绘制成如下图像（不计绳重和摩擦），请你根据图像判断以下结论正确的有（ ）个 ①物体的拉力随着重力的增加而增大；②当物体的重力时，拉力；③拉力与重力成正比例函数关系；④当滑轮组不悬挂物体时，所用拉力为． A. ①② B. ②④ C. ①④ D. ③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，关键是数形结合思想的运用． 由函数图像直接可以判断①③④，设出拉力F与重力G的函数解析式用待定系数法求出函数解析式，把代入函数解析式求值即可判断②． 【详解】解：由图象可知，拉力随着重力的增加而增大，故①正确； 拉力是重力一次函数， 设拉力与重力的函数解析式为， 将代入得， 解得：， 拉力与重力的函数解析式为， 当时，，故②错误； 由图象知，拉力是重力的一次函数，故③错误； 时，，故④正确． 故选：C． 8. 若直线y=kx+b（k≠0）经过点A（2，-3），且与y轴的交点在x轴上方，则k的取值范围是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直线y=kx+b（k≠0）与y轴交于点（0，b），依据直线y=kx+b（k≠0）经过点A（2，-3），即可得出b=-3-2k，再根据直线y=kx+b（k≠0）与y轴的交点在x轴上方，即可得到k的取值范围． 【详解】解：直线y=kx+b（k≠0）中，令x=0，则y=b， ∴直线y=kx+b（k≠0）与y轴交于点（0，b）， 又∵直线y=kx+b（k≠0）经过点A（2，-3）， ∴-3=2k+b， ∴b=-3-2k， 又∵直线y=kx+b（k≠0）与y轴的交点在x轴上方， ∴b＞0，即-3-2k＞0， 解得：， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，由于y=kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． 9. 如图，函数的图象经过点B（m，0）（），与函数的图象交于点A，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出A点坐标，再通过函数图象求得符合条件的x的范围． 【详解】解：∵点A在函数的图象上，A点纵坐标为2， ∴在函数中，令y=2，解得x=1，即A点坐标为． 由图可知，当时，函数的图象在函数的图象的下方， 即当时，不等式成立， ∴不等式的解集为． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数的图象性质，以及一次函数与不等式的关系，求出A点坐标，运用数形结合的思想求得不等式的解集，是解题的关键． 10. 如图，菱形的顶点O为坐标原点，顶点A在x轴正半轴上，顶点B、C在第一象限，，，点D在边上，将四边形沿直线翻折，使点B和点C分别落在这个坐标平面内的和处，且，某正比例函数图象经过，则这个正比例函数的解析式为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了折叠性质，菱形性质，等边三角形的性质和判定的应用，勾股定理，含的直角三角形，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 连接，求出是等边三角形，推出，根据且点D在边上，推出A和D重合，连接交x轴于E，根据勾股定理求出的坐标，即可求得正比例函数的解析式． 【详解】解： 连接，如图， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵将四边形沿直线翻折，使点B和点C分别落在这个坐标平面内的和处， ∴ 又∵点D在边上， 即点D与点A重合， 连接交x轴于E， 则， ∵ ∴， 在中，，， ∴， 由勾股定理得， 则， 即的坐标是， 设正比例函数的解析式为， ∵正比例函数图象经过， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 二．填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 若等式成立，则a的取值范围是___． 【答案】﹣3≤x≤3 【解析】 【分析】根据二次根式的乘法法则得出不等式组，求出不等式组的解集即可． 【详解】要使等式成立，必须 ， 解得：-3≤x≤3， 故答案为-3≤x≤3． 【点睛】本题考查了二次根式的乘法法则，能根据二次根式的乘法法则得出不等式组是解此题的关键． 12. 在正比例函数中，若y随x的增大而减小，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正比例函数定义可得，再根据正比例函数的性质可得，再求解． 【详解】解：由题意得：，且， 解得：， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了正比例函数的性质和定义，熟记基础知识点是解题的关键． 13. 图形的变换就是点的变换，例如将直线y=3x+1向右平移2个单位，求平移后直线的解析式，我们不妨先在直线y=3x+1上任意取两点（0，1）和（1，4），平移后这两点分别为（2，1）和（3，4），则平移后直线的解析式为y=3x-5，现将直线y=-3x+2关于x轴对称，则对称后直线的解析式为______． 【答案】y=3x-2 【解析】 【分析】在直线y=-3x+2上任意取两点（0，2）和（1，-1），对称后这两点分别为（0，-2）和（1，1），然后利用待定系数法即可求得． 【详解】解：在直线y=-3x+2上任意取两点（0，2）和（1，-1）， ∵直线y=-3x+2关于x轴对称， ∴点（0，2）关于x轴对称点为（0，-2）， 点（1，-1）关于x轴的对称点为（1，1）， 设对称后直线的解析式为y=kx+b， ∴解得， ∴对称后直线的解析式为y=3x-2． 故答案为：y=3x-2． 【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，利用待定系数法求解是解题的关键． 14. 如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点、、都在格点上，则的度数为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】连接格点A、B．先用勾股定理计算三角形的三边，再根据三边的长判断三角形的形状，最后得到． 【详解】解：连接格点A、B． 由勾股定理得：， ，， ∵ ∴， ∴， ∵，则为等腰直角三角形， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理及逆定理，掌握勾股定理及逆定理、等腰直角三角形的边角间关系是解决本题的关键． 15. 如图，在四边形CDEF中，，，G为DE的中点点H在EF上，且，连接GH，则GH的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】如图，延长DE至点A，使得EA=CF，延长CF至点B，使得BF=DE，连接AB，故四边形ABCD为正方形，连接AC交EF于点O，由AAS可证，故，，即可得O为AC和EF的中点，连接OD，则H为EO的中点，G为DE的中点，可得GH为的中位线，求解即可得出答案． 【详解】 如图，延长DE至点A，使得EA=CF，延长CF至点B，使得BF=DE，连接AB， ∵， ∴， ∵， ∴四边形ABCD为正方形， 连接AC交EF于点O， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴O为AC和EF的中点， 连接OD，则H为EO的中点，G为DE的中点， ∴GH为的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，根据题意做辅助线，找出正方形是解题的关键． 三．解答题（共8小题，共75分） 16. 二次根式的计算： （1）计算； （2）计算：． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的乘除法法则运算． （2）先化简二次根式和绝对值，然后再合并即可． 【小问1详解】 【小问2详解】 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 17. 辽宁省今年南果梨喜获丰收．国庆节当天甲超市进行南果梨优惠促销活动，南果梨销售金额（元）与销售量（千克）之间的关系如图所示． （1）当时，求销售金额（元）与销售量（千克）的关系式; （2）乙超市南果梨的标价为20元/千克，国庆节当天也进行优惠促销活动，按标价的8折销售．若购买12千克南果梨，通过计算说明在哪个超市购买更划算． 【答案】（1） （2）甲超市更划算 【解析】 【分析】（1）设销售金额（元）与销售量（千克）的关系式为，用待定系数法即可求解； （2）分别计算两个超市所需费用，比较，即可求解． 【小问1详解】 解：依题意，当时， 设销售金额y（元）与销售量x（千克）的关系式为， 将代入得， 解得： ∴ 【小问2详解】 解：依题意，甲超市：（元） 乙超市：（元） ∵ ∴甲超市更划算． 18. 如图，在中，，是中位线，连接和，交于点O． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）8 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，中位线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． （1）根据中位线的性质得出，，证明四边形是平行四边形，得出； （2）根据中位线的性质和平行四边形的性质求出结果即可． 【小问1详解】 证明：∵，是的中位线， ∴，， ∴四边形是平行四边形 ∵对角线、相交于点O， ∴； 【小问2详解】 解：∵、是平行四边形的对角线，， ∴， ∵，是的中位线， ∴D，F分别是的中点 ∴， 即． 19. 2022年3月23日下午，“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲，神舟十三号乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富相互配合进行授课，这是中国空间站的第二次太空授课，被许多中小学生称为“最牛网课”，某中学为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理，信息如下： a．成绩频数分布表： 成绩x（分） 频数 7 9 12 16 6 b．成绩在这一组是（单位：分）：70，71，72，72，74，77，78，78，78，79，79，79． 根据以上信息，回答下列问题： （1）在这次测试中，成绩的中位数是 分，成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比为 ； （2）这次测试成绩的平均数是76.4分，甲的测试成绩是77分．乙说：“甲的成绩高于平均数，所以甲的成绩高于一半学生的成绩．”你认为乙的说法正确吗？请说明理由． （3）若测试成绩不低于80分，则认定学生对“航空航天知识”的掌握情况较好．请估计该校1000名学生中对“航空航天知识”掌握情况较好的人数． 【答案】（1）78.5； （2）不正确，见解析 （3）440人 【解析】 【分析】本题考查了中位数，频数分布表，样本估计总体等知识，掌握中位数的定义及其意义是解决问题的关键． （1）根据中位数的定义求解即可，用不低于80分的人数除以被测试人数即可； （2）根据中位数的意义求解即可； （3）用1000乘以样本中不低于80分人数所占的百分比即可． 【小问1详解】 解：这次测试成绩的中位数是第25、26个数据的平均数， 而第25、26个数据的平均数为（分）， ∴这组数据的中位数是78.5分， 成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比为， 故答案为：78.5；． 【小问2详解】 不正确，理由如下： ∵甲的成绩77分低于中位数78.5， ∴甲的成绩不可能高于一半学生的成绩； 【小问3详解】 （人）． 答：估计该校1000名学生中对“航空航天知识”掌握情况较好的人数有440人． 20. 为了救援地震灾区，某市、两厂共同承接了生产吨救灾物资任务，厂生产量是厂生产量的倍少吨，这批救灾物资将运往甲、乙两地，其中甲地需要物资吨，乙地需要物资吨，运费如下表：（单位：吨/元） 目的地 生产厂家 甲 乙 A 20 25 B 15 24 （1）厂生产了______吨救灾物资、厂生产了______吨救灾物资； （2）设这批物资从厂运往甲地吨，全部运往甲、乙两地的总运费为元，求与之间的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案； （3）当每吨运费降低元，（，且为整数），若按照（）中设计的调运方案运输，且总运费不超过元，求的最小值． 【答案】（1）300 , 200 （2），A厂运往甲地40吨，运往乙地260吨，B厂200吨全部运往甲地时费用最少． （3）a的最小值为10 【解析】 【分析】（1）设这批防疫物资厂生产了吨，厂生产了吨，根据题意列方程组解答即可； （2）根据题意得出与之间的函数关系式以及的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可； （3）根据题意以及（2）的结论可得，再根据一次函数的性质以及列不等式解答即可． 【小问1详解】 解：设这批防疫物资厂生产了吨，厂生产了吨； 则 解得： 答：这批防疫物资厂生产了吨，厂生产了吨； 【小问2详解】 如图，两厂调往甲、乙两地的数量如下： 目的地 生产厂家 甲 乙 A B ∴ 当时运费最小 所以总运费的方案是：厂运往甲地吨，运往乙地吨，厂吨全部运往甲地时费用最少． 【小问3详解】 由（2）知： 当时， ， 所以的最小值为． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，一次函数的最值问题，解答本题的关键在于读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程和不等式求解． 21. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使，连接． （1）求证：四边形AEFD是矩形； （2）连接，若，．求长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质得到且，推出四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论； （2）根据菱形的性质得到，根据勾股定理和直角三角形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 ∵四边形是菱形， ∴且， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 ∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形, ∴, ， ∴ 在中，， ∴ 在中，， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的判定和性质定理是解题的关键． 22. 已知函数（、为常数），下表列出了部分对应的和的值，请对该函数及其图象进行如下探究： … -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 … -5 -4 -3 -2 -1 0 1 0 3 4 5 6 7 … -1 -2 -3 -4 -5 … （1）______，______；并在给出的平面直角坐标系中画出该函数的图像； （2）写出该函数的一条性质：______； （3）根据函数图象解决下列问题： ①若，为该函数图象上不同的两点，则______； ②再在所给的平面直角坐标系中，画出一次函数的图像，结合你所画的图像，直接写出方程的解为______．（保留一位小数） 【答案】（1）1，1，见解析；（2）当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；（3）①2；②或 【解析】 【分析】（1）根据题意利用待定系数法即可得到、的值，利用描点法画出图象即可； （2）观察图形可得出函数的性质； （3）①根据表格中数据即可求得结论； ②根据题意且利用图象即可解决问题． 【详解】（1）把时，；时，代入得， 解得， ∴该函数的解析式为， 故答案为：1，1； 画出函数的图像如图所示： （2）观察图象可知：当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大； 故答案为：当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大； （3）①由表格中数据可知：若，为该函数图象上不同的两点，则； 故答案为：； ②画出一次函数的图象， 观察图象可知：方程的解为，． 故答案为：或． 【点睛】本题考查一次函数图象及性质，函数图象上点特点；掌握待定系数法求函数解析式，数形结合是解题的关键． 23. 如图，四边形是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点B的坐标为，在边上取一点D，将纸片沿翻折，使点O落在边上的点E处． （1）求和的长； （2）求所在直线的解析式； （3）若直线与直线的比例系数相等，当它与矩形有公共点时，请直接写出b的取值范围． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质以及勾股定理即可求出线段的长；在中，由及勾股定理即可求出的长，即可求解； （2）根据D、E的坐标，根据待定系数法即可求得表达式； （3）根据平行的性质分析讨论即可求得． 【小问1详解】 解：∵四边形是长方形，点B的坐标为， ∴，， 依题意可知，折痕是四边形的对称轴， 在中，， ∴， ∴， 在中，， 又∵， ∴， ∴, ∴的长是4，的长是5． 【小问2详解】 ∵，， ∴，， 设直线的解析式为， 把D、E的坐标代入得， 解得， ∴直线的解析式为． 【小问3详解】 由直线与直线的比例系数相等，设直线为， ∴当直线经过时，， 解得， 当直线经过时，， ∴当直线与矩形有公共点时，b的取值范围是． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理以及待定系数法求解析式等知识点，熟练掌握一次函数图形的性质以及勾股定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $