专题 二次函数的最值或函数值的范围问题6大题型提分练（专项训练）数学浙教版九年级上册

九年级上册数学《第1章 二次函数》 专题 求二次函数的最值或函数值的范围 题型一 没有限定自变量的取值范围求最值 1．（2023•阿城区三模）抛物线y＝﹣3（x﹣4）2﹣5的最大值为（　　） A．4 B．﹣4 C．5 D．﹣5 【分析】所给抛物线是顶点式，可直接得出抛物线的对称轴． 【解答】解：∵抛物线y＝a（x+h）2+k的最大值是k， ∴抛物线y＝﹣3（x﹣4）2﹣5的最大值为﹣5． 故选：D． 【点评】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的顶点式是解题关键． 2．（2023秋•绥中县期末）二次函数y＝2x2﹣8x+1的最小值是（　　） A．7 B．﹣7 C．9 D．﹣9 【分析】根据二次函数的最值公式列式计算即可得解． 【解答】解：∵二次函数有最小值， ∴7， 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数的最值问题，熟记最大（小）值公式是解题的关键． 3．（2023秋•马山县期中）二次函数y＝x2+6x﹣2的最小值为（　　） A．11 B．﹣11 C．9 D．﹣9 【分析】把二次函数解析式整理成顶点式形式，然后写出最小值即可． 【解答】解：∵y＝x2+6x﹣2， ＝x2+6x+9﹣9﹣2， ＝（x+3）2﹣11， ∴当x＝﹣3时，二次函数有最小值为﹣11． 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数的最值问题，求二次函数的最大（小）值有三种方法：第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法． 4．（2023秋•临漳县期中）关于二次函数y＝（x﹣1）2+2，则下列说法正确的是（　　） A．当x＝1时，y有最大值为2 B．当x＝1时，y有最小值为2 C．当x＝﹣1时，y有最大值为2 D．当x＝﹣1时，y有最小值为2 【分析】根据二次函数的最值问题解答． 【解答】解：二次函数y＝（x﹣1）2+2当x＝1时，y有最小值为2． 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数的最值问题，比较简单，熟练掌握利用顶点式解析式求最值的方法是解题的关键． 5．（2023秋•都昌县期末）已知实数x，y满足x2+3x+y﹣3＝0，则x+y的最大值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据已知等式，可用x表示出x+y．再利用二次函数的性质可求得其最大值． 【解答】解：∵x2+3x+y﹣3＝0， ∴y＝﹣x2﹣3x+3， ∴x+y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4， ∴当x＝﹣1时，x+y有最大值4， 故选：D． 【点评】本题主要考查二次函数的最值，用x表示出x+y是解题的关键，注意函数性质的应用． 6．（2022•包头）已知实数a，b满足b﹣a＝1，则代数式a2+2b﹣6a+7的最小值等于（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【分析】由题意得b＝a+1，代入代数式a2+2b﹣6a+7可得（a﹣2）2+5，故此题的最小值是5． 【解答】解：∵b﹣a＝1， ∴b＝a+1， ∴a2+2b﹣6a+7 ＝a2+2（a+1）﹣6a+7 ＝a2+2a+2﹣6a+7 ＝a2﹣4a+4+5 ＝（a﹣2）2+5， ∴代数式a2+2b﹣6a+7的最小值等于5， 故选：A． 【点评】此题考查了代数式的变式与二次函数最值问题的解决能力，关键是能对以上知识准确理解并正确变形、计算． 题型二 已知二次函数的对称轴及自变量范围求最值 1．（2022•鹿城区二模）已知二次函数y＝﹣x2+2x+c，当﹣1≤x≤2时，函数的最大值与最小值的差为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征，即可得到当x＝﹣1时，y最小值＝﹣3+c，当x＝1时，y最大值＝c+1，从而求得结论． 【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+2x+c＝﹣（x﹣1）2+c+1， ∴该抛物线的对称轴为x＝1，且a＝﹣1＜0， ∴当x＝1时，二次函数有最大值为c+1， ∵|﹣1﹣1|＞|2﹣1|， ∴当x＝﹣1时，二次函数有最小值为：﹣（﹣1）2+2×（﹣1）+c＝﹣3+c， ∴函数的最大值与最小值的差为c+1﹣（﹣3+c）＝4． 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数对称轴的求解，二次函数的最值问题，求得二次函数的对称轴是解题的关键． 2．（2022•洞头区模拟）已知二次函数y＝x2﹣4x+2．当自变量x取值在﹣2≤x≤5范围内时，下列说法正确的是（　　） A．有最大值14，最小值﹣2 B．有最大值14，最小值7 C．有最大值7，最小值﹣2 D．有最大值14，最小值2 【分析】先根据二次函数的解析式得出抛物线的对称轴和开口方向，即可得出函数的最值情况． 【解答】解：∵y＝x2﹣4x+2＝（x﹣2）2﹣2， ∴该抛物线的对称轴为直线x＝2， 又∵抛物线的开口向上， ∴当x＝2时，函数取得最小值为﹣2， ∵x＝﹣2时，y＝x2﹣4x+2＝14， ∴在﹣2≤x≤5范围内，函数有最大值14，最小值﹣2， 故选：A． 【点评】本题主要考查二次函数的图象与性质，关键是要能根据解析式得出函数的对称轴和开口方向． 3．（2023秋•黄埔区期中）函数y＝x2+2x﹣3（﹣2≤x≤2）的最大值是 　 　，最小值是 　 　． 【分析】先求出二次函数的对称轴，由二次函数的性质即可得出当﹣2≤x≤2的最大值和最小值． 【解答】解：∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4， ∴该二次函数的对称轴为直线x＝﹣1， 当x＝﹣2时，y＝4﹣4﹣3＝﹣3， 当x＝﹣1时，y＝1﹣2﹣3＝﹣4， 当x＝2时，y＝4+4﹣3＝5， ∴y的最大值为5，最小值为﹣4， 故答案为5，﹣4． 【点评】本题主要考查二次函数的性质，关键是要牢记二次函数取最值的条件，牢记对称轴的公式． 4．二次函数y＝a（x+1）2+2的部分图象（﹣4≤x≤0）如图所示，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（　　） A．函数有最大值2，无最小值 B．函数有最大值2，有最小值0 C．函数有最大值2，有最小值﹣2.5 D．函数有最大值1.5，有最小值﹣2.5 【分析】直接根据函数图象即可得出结论． 【解答】解：由函数图象可知，当x＝﹣2时，y最大＝2；当x＝﹣4时，y最小＝﹣2.5． 故选：C． 【点评】本题考查的是二次函数的最值，能根据x的取值范围利用数形结合求解是解答此题的关键． 5．（2023秋•湖里区校级期中）已知二次函数的图象（0≤x≤3）如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（　　） A．函数有最小值1，有最大值3 B．函数有最小值﹣1，有最大值0 C．函数有最小值﹣1，有最大值3 D．函数有最小值﹣1，无最大值 【分析】由函数图象可看出其最大值和最小值，可求得答案． 【解答】解：由图象可知当x＝1时，y有最小值﹣1，当x＝3时，y有最大值3， ∴函数有最小值﹣1，有最大值3， 故选：C． 【点评】本题主要考查二次函数的最值，正确识别函数图象、理解最值的意义是解题的关键． 6．（2023秋•潜山市期末）已知s，t是实数，点（s，t2）在函数y＝﹣2x2+6x的图象上，设w＝t2+s2+2s，则w的最大值为（　　） A．15 B．16 C．17 D．18 【分析】根据题意t2＝﹣2s2+6s，代入w＝t2+s2+2s即可得到w＝﹣（s﹣4）2+16，利用二次函数的性质即可得到结论． 【解答】解：∵点（s，t2）在函数y＝﹣2x2+6x的图象上， ∴t2＝﹣2s2+6s， ∵t2≥0， ∴﹣2s2+6s≥0， ∴0≤s≤3， ∴w＝t2+s2+2s ＝﹣2s2+6s+s2+2s ＝﹣s2+8s ＝﹣（s﹣4）2+16， ∴s＝3时，w有最大值， ∴w的最大值为15． 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，熟练二次函数的性质是解题的关键． 题型三 限定自变量的取值范围求函数值的范围 1．已知二次函数y＝﹣x2+2x+3，当x≥2时，y的取值范围是（　　） A．y≥3 B．y≤3 C．y＞3 D．y＜3 【分析】先求出x＝2时y的值，再求顶点坐标，根据函数的增减性得出即可． 【解答】解：当x＝2时，y＝﹣4+4+3＝3， ∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴当x＞1时，y随x的增大而减小， ∴当x≥2时，y的取值范围是y≤3， 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数的性质的应用，能理解二次函数的性质是解此题的关键，数形结合思想的应用． 2．（2023•河南三模）二次函数y＝﹣x2+2x+4，当﹣2≤x≤3时，则（　　） A．﹣4≤y≤1 B．y≤5 C．1≤y≤5 D．﹣4≤y≤5 【分析】根据二次函数的性质可得抛物线开口向下，顶点为（1，5），由当x＝﹣2时，y＝﹣4，当x＝3时，y＝1，即可得出答案． 【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+2x+4＝﹣（x﹣1）2+5， ∴抛物线开口向下，顶点为（1，5）， 当x＝﹣2时，y＝﹣4，当x＝3时，y＝1， ∴当﹣2≤x≤3时，﹣4≤y≤5． 故选：D． 【点评】本题考查二次函数上点的特征，掌握二次函数的性质是解题的关键． 3．（2023秋•杭州期末）已知y＝2x﹣1，且，令S＝xy，则函数S的取值范围是 　 　． 【分析】根据题意，可以写出S关于x的函数解析式，再根据x的取值范围和二次函数的性质，即可得到函数S的取值范围． 【解答】解：∵y＝2x﹣1，S＝xy， ∴S＝x（2x﹣1）＝2（x）2， ∴该函数开口向上，当x取得最小值， ∵， ∴当x取得最小值，当x取得最大值0， ∴S的取值范围为S≤0， 故答案为：S≤0． 【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 4．（2024•宿城区二模）若实数x，y满足关系式6x2+y2＝6x，且t＝5x2+y2，则t的取值范围为 　 ． 【分析】由实数x，y满足关系式6x2+y2＝6x，且t＝5x2+y2，得出t＝﹣x2+6x＝﹣（x﹣3）2+9，由y2＝6x﹣6x2≥0，求得0≤x≤1，利用二次函数的性质即可得出0≤t≤5． 【解答】解：∵实数x，y满足关系式6x2+y2＝6x，且t＝5x2+y2， ∴y2＝6x﹣6x2， ∴t＝﹣x2+6x， ∵t＝﹣x2+6x＝﹣（x﹣3）2+9， ∵y2＝6x﹣6x2≥0， ∴x（x﹣1）≤0， ∴0≤x≤1， ∴0≤t≤5， 故答案为：0≤t≤5． 【点评】本题考查了二次函数的最值，根据题意得到t＝﹣x2+6x是解题的关键． 5．（2023•海淀区校级开学）如表是二次函数y＝ax2+bx+c的部分x，y的对应值： x … ﹣1 0 1 2 3 … y … m ﹣1 ﹣2 ﹣1 2 … （1）二次函数图象的开口向 　 　，顶点坐标是 　 　，m的值为 　 　； （2）当0≤x≤3时，y的取值范围是 　 　． 【分析】（1）由表中所给x、y的对应值，可求得二次函数解析式，可求得抛物线的开口方向及顶点坐标，令x＝﹣1代入可求得m的值； （2）依据题意，由（1）得解析式，再结合当0≤x≤3时，可以得解． 【解答】解：（1）把点（0，﹣1），（1，﹣2）和（2，﹣1）代入二次函数解析式可得 ， 解得． ∴二次函数解析式为y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2． ∴二次函数图象开口向上，顶点坐标为（1，﹣2）． 令x＝﹣1，代入可得m＝2． 故答案为：上；（1，﹣2）；2． （2）由（1）得y＝（x﹣1）2﹣2， ∴当0≤x≤3时，有﹣2≤y≤2时． 故答案为：﹣2≤y≤2． 【点评】本题主要考查二次函数的性质，利用待定系数法求得二次函数解析式是解题的关键． 6．（2024•水富市校级模拟）在平面直角坐标系中，如果点M的横坐标和纵坐标相等，则称点M为和谐点，例如：点（1，1），，都是和谐点． （1）判断函数y＝3x﹣1的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标； （2）若二次函数y＝ax2+5x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点（﹣2，﹣2）．当﹣4≤x≤m时，函数y＝ax2+5x+c（a≠0）的最小值为，最大值为0，求实数m的取值范围． 【分析】（1）根据和谐点定义得到点在y＝x上，联合y＝3x﹣1求解即可得到答案； （2）根据和谐点联立二次函数与一次函数求解即可得到答案； 【解答】解：（1）∵点M的横坐标和纵坐标相等，则称点M为和谐点， ∴和谐点都在y＝x上，， 解得， ∴y＝3x﹣1图象上的和谐点为； （2）∵二次函数y＝ax2+5x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点（﹣2，﹣2）， ∴，即ax2+4x+c＝0有两个相等的实数根， Δ＝16﹣4ac＝0， 解得ac＝4①， 将（﹣2，﹣2）代入y＝ax2+5x+c（a≠0）得， ﹣2＝4a﹣10+c②， 联立①②，得a＝1，c＝4， ∴， 其顶点坐标为，则最小值为， 根据对称轴可知，当时，， 根据函数图象可知，当﹣4≤x≤﹣1时，函数的最小值为，最大值为0， ∴实数m的取值范围为． 【点评】本题考查二次函数与一次函数的关系，掌握一次函数与一次函数交点问题是解题的关键． 题型四 已知二次函数的对称轴及最值求参问题 1．（2023春•高州市月考）已知二次函数y＝x2﹣6x+m的最小值是﹣3，那么m的值等于（　　） A．10 B．4 C．5 D．6 【分析】将二次函数化为顶点式，即可建立关于m的等式，解方程求出m的值即可． 【解答】解：原式可化为：y＝（x﹣3）2﹣9+m， ∵函数的最小值是﹣3， ∴﹣9+m＝﹣3， m＝6． 故选：D． 【点评】考查了二次函数的最值，会用配方法将原式化为顶点式是解题的关键． 2．（2020•资中县一模）二次函数y＝x2+4x+a的最小值是3，则a的值是（　　） A．3 B．5 C．6 D．7 【分析】利用配方法把二次函数化为顶点式，根据二次函数的性质解答即可． 【解答】解：y＝x2+4x+a ＝x2+4x+4﹣4+a ＝（x+2）2﹣4+a， 由题意得，﹣4+a＝3， 解得，a＝7， 故选：D． 【点评】本题考查的是二次函数的最值，掌握二次函数的性质、完全平方公式是解题的关键． 3．（2023•泸县校级模拟）已知二次函数y＝（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为10，则h的值为（　　） A．﹣2或4 B．0或6 C．1或3 D．﹣2或6 【分析】由解析式可知该函数在x＝h时取得最小值1，x＞h时，y随x的增大而增大；当x＜h时，y随x的增大而减小；根据1≤x≤3时，函数的最小值为5可分如下两种情况：①若h＜1≤x≤3，x＝1时，y取得最小值10；②若1≤x≤3＜h，当x＝3时，y取得最小值10． 【解答】解：∵当x＞h时，y随x的增大而增大，当x＜h时，y随x的增大而减小， ∴①若h＜1≤x≤3，x＝1时，y取得最小值10， 可得：（1﹣h）2+1＝10， 解得：h＝﹣2或h＝4（舍）； ②若1≤x≤3＜h，当x＝3时，y取得最小值10， 可得：（3﹣h）2+1＝10， 解得：h＝6或h＝0（舍）； 综上，h的值为﹣2或6， 故选：D． 【点评】本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的性质和最值分类讨论是解题的关键． 4．（2024•邢台三模）点A（a，b1），B（a+2，b2）在函数y＝﹣x2+2x+3的图象上，当a≤x≤a+2时，函数的最大值为4，最小值为b1，则a的取值范围是（　　） A．0≤a≤2 B．﹣1≤a≤2 C．﹣1≤a≤1 D．﹣1≤a≤0 【分析】先求出抛物线的对称轴及顶点坐标，然后分三种情况讨论：①点B与顶点（1，4）重合时；②当点A，B对称时；③当点A，B不对称时；分别求出a的范围，最后可得a的取值范围． 【解答】解：由y＝﹣x2+2 x+3＝﹣（x﹣1）2+4，得抛物线的对称轴为x＝1，顶点坐标为（1，4）． 由题意得A点在B点的左边． 如图3，当点B与顶点（1，4）重合时，a+2＝1，解得a＝﹣1； 当点A，B对称时，a＝0．此时若函数的最大值为4，最小值为b1； 当点A，B不对称时，A点离对称轴远，B点离对称轴近， ∴1﹣a＞（a+2）﹣1， 解得a＜0， ∴a的取值范围是﹣1≤a≤0． 故选：D． 【点评】本题主要考查了在一定范围内讨论二次函数的增减性，熟练掌握二次函数图象的特征是解题的关键． 5．（2024•子洲县三模）已知抛物线y＝2x2﹣4x+3在自变量x的值满足m≤x≤m+2时，与其对应的函数值y的最大值为9，则m的值为（　　） A．﹣1或5 B．﹣1或2 C．﹣1或1 D．1或4 【分析】依据题意，由抛物线为y＝2x2﹣4x+3＝2（x﹣1）2+1，从而抛物线开口向上，当x＝1时，y取最小值为1；当x＜1时，y随x的增大而减小，当x＞1时，y随x的增大而增大，再根据m+2≤1、m≥1和m＜1＜m+2分别进行分类讨论，结合对应的函数值y的最大值为9，进而计算可以得解． 【解答】解：由题意，∵抛物线为y＝2x2﹣4x+3＝2（x﹣1）2+1， ∴抛物线开口向上，当x＝1时，y取最小值为1；当x＜1时，y随x的增大而减小，当x＞1时，y随x的增大而增大． ①当m+2≤1时，即m≤﹣1， ∴当x＝m时，y取最大值为2m2﹣4m+3＝9． ∴m＝﹣1或m＝3（舍去）． ②当m≥1时， ∴当x＝m+2时，y取最大值为2（m+2）2﹣4（m+2）+3＝9． ∴m＝﹣3（舍去）或m＝1． ③当m＜1＜m+2时，即﹣1＜m＜1， ∴当x＝m或x＝m+2时，y取最大值为2m2﹣4m+3＝9或2（m+2）2﹣4（m+2）+3＝9． ∴m＝﹣1或m＝3，或m＝﹣3或m＝1，均不符合题意． 综上，m＝﹣1或m＝1． 故选：C． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并理解是关键． 6．（2022秋•台州期末）当时，二次函数y＝x2﹣2x+m﹣1的最小值是﹣1，则m＝　 　． 【分析】依据题意，可得对称轴为直线x＝1，进而结合二次函数的性质分 、和m+1＜1三种情形进行讨论即可得解． 【解答】解：由题意，对称轴为直线x＝1． ①当 ，即m＞2时， ∵抛物线的开口向上， ∴ 时，y＝﹣1． ∴（）2﹣2m﹣1＝﹣1． ∴m＝0（舍去）． ②当 ，即0≤m≤2时，则x＝1时，y＝﹣1． ∴1﹣2+m﹣1＝﹣1． ∴m＝1． ③当m+1＜1，即m＜0时，则x＝m+1时，y＝﹣1． ∴（m+1）2﹣2（m+1）+m﹣1＝﹣1． ∴m2+m﹣1＝0． ∴， （舍去）． 综上所述，m＝1或 ． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 7．（2023秋•文登区期中）已知y＝x2﹣4x+3，当m≤x≤m+2时，函数y的最小值为，求m的值． 【分析】求得对称轴，然后分三种情况讨论即可求得． 【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1， ∴对称轴为直线x＝2， 当x＝2时，取得最小值为﹣1， ①当m+2＜2时，即m＜0时， x＝m+2时，最小值是， ∴（m+2﹣2）2﹣1＝m2﹣1， ∴或舍去）， ②当m＞2时， 当x＝m时，最小值取， ∴（m﹣2）2﹣1， ∴或 （舍去）， 综上所述，或． 【点评】本题考查了二次函数的最值，解题的关键是分类讨论． 题型五 已知二次函数解析式及最值求自变量范围 1．（2023•碑林区校级模拟）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣2，当y＞1时，则x的取值范围为（　　） A．﹣1＜x＜3 B．﹣3＜x＜1 C．x＜﹣1或x＞3 D．x＜﹣3或x＞1 【分析】根据题意求出当y＝1时对应的x的值，再根据开口方向和y＞1即可求出x的取值范围． 【解答】解：根据题意可得：当y＝1时，即x2﹣2x﹣2＝1， 解得：x1＝3，x2＝﹣1， ∵a＝1＞0，图象开口向上，且y＞1， ∴x＜﹣1或x＞3， 故选：C． 【点评】本题主要考查的是二次函数的性质，解题关键是求出y＝1时对应的x值． 2．已知函数y＝x2﹣2x+3，当0≤x≤m时，有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（　　） A．m≥1 B．0≤m≤2 C．1≤m≤2 D．m≤2 【分析】根据对称轴求出a，再根据二次函数的增减性和最值问题解答． 【解答】解：由二次函数y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2， ∵当0≤x≤m时，y最大值为3，最小值为2， ∴1≤m≤2． 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数的最值问题，根据对称轴求出顶点坐标是解题的关键． 3．（2022秋•海安市期中）已知二次函数y＝2x2﹣4x+5，当y随x的增大而增大时，x的取值范围是（　　） A．x≤﹣1 B．x≥1 C．x≤1 D．x≥﹣1 【分析】将二次函数解析式化为顶点式，由抛物线对称轴及开口方向求解． 【解答】解：∵y＝2x2﹣4x+5＝2（x﹣1）2+3， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1， ∴x≥1时，y随x增大而增大， 故选：B． 【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 4．二次函数y＝﹣x2+2x+4，当0≤x≤3时，则（　　） A．1≤y≤4 B．y≤5 C．4≤y≤5 D．1≤y≤5 【分析】分别求出0≤x≤3时，y的最大值和最小值即可得答案． 【解答】解：∵y＝﹣x2+2x+4＝﹣（x﹣1）2+5， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，顶点为（1，5）， 当0≤x≤3时，函数最大值是5， ∵|0﹣1|＜|3﹣1|， ∴x＝3时，函数最小值为﹣（3﹣1）2+5＝1， ∴1≤y≤5， 故选：D． 【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质、顶点坐标公式等知识． 5．（2023•泸县校级一模）二次函数y＝x2﹣2x﹣3．若y＞﹣3，则自变量x的取值范围是（　　） A．x＜0或x＞2 B．x＜1或x＞3 C．0＜x＜2 D．1＜x＜3 【分析】把一般式转化为顶点式，即可得到抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，求得抛物线与y轴的交点，进而求得其对称点，然后根据二次函数的性质即可得到y＞﹣3时x的取值范围． 【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴该抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝1， 令x＝0，则y＝﹣3， ∴抛物线与y轴的交点是（0，﹣3）， ∴点（0，﹣3）关于对称轴的对称点为（2，﹣3）， ∴当y＞﹣3时，自变量x的取值范围是x＜0或x＞2． 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键． 6．（2022秋•海州区校级月考）二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），与y轴的交点坐标为（0，3）． （1）求此二次函数的表达式，并用配方法求顶点的坐标； （2）求抛物线与x轴的另一个交点坐标，并直接写出当函数值y＞0时，自变量x的取值范围． （3）直接写出x满足什么条件时，y随x的增大而增大？ 【分析】（1）将（﹣1，0）和（0，3）两点代入二次函数y＝﹣x2+bx+c，求得b和c；从而得出抛物线的解析式，利用配方法求出顶点坐标； （2）令y＝0，解得x1，x2，得出此二次函数的图象与x轴的另一个交点的坐标，进而求出当函数值y＞0时，自变量x的取值范围； （3）求出对称轴，根据抛物线开口向下时的增减性即可得出答案． 【解答】解：（1）由二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过（﹣1，0）和（0，3）两点， 得， 解这个方程组，得， 抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3， 由于y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， 则抛物线的顶点坐标为（1，4）． （2）令y＝0，得﹣x2+2x+3＝0． 解这个方程，得x1＝3，x2＝﹣1； ∴此二次函数的图象与x轴的另一个交点的坐标为（3，0）． 当﹣1＜x＜3时，y＞0． （3）∵y＝﹣（x﹣1）2+4开口向下， 对称轴为直线为：x＝1， 对称轴左侧，y随x的增大而增大， 即x≤1时，y随x的增大而增大． 【点评】本题考查了二次函数与x轴的交点问题以及用待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是正确求出抛物线的解析式，此题难度不大． 题型六 与二次函数最值有关的综合题 1．（2023•舟山开学）已知二次函数y＝a（x+3）（x﹣1）（a≠0）的图象过不同的三点A（n，y1），B（1﹣n，y2），C（﹣1，y3）． （1）若二次函数的最大值为4，求a的值． （2）若y1＞y2＞y3，求n的取值范围． 【分析】（1）将解析式y＝a（x2+2x﹣3）＝a[（x+1）2﹣4]，根据条件函数有最大值4，则a＜0，当x＝﹣1时，ymax＝﹣4a＝4，则a＝﹣1； （2）将解析式转化为y＝ax2+2ax﹣3a（a≠0），先判断a＜0不满足y1＞y2＞y3再分析a＞0时的情况，当a＞0时，顶点（﹣1，y3），即C（﹣1，﹣4a）为顶点， 则y3为最小值，再分析A、B两个点所在不同位置时的情况，最后得到n的取值范围即可． 【解答】解：（1）据题得y＝a（x2+2x﹣3）＝a[（x+1）2﹣4]， ∵函数有最大值4，则a＜0， 当x＝﹣1时，ymax＝﹣4a＝4， ∴a＝﹣1， （2）y＝ax2+2ax﹣3a（a≠0）， ①当a＜0时，顶点（﹣1，﹣4a），则C（﹣1，y3）为顶点， ∴y3为最大值，不满足y1＞y2＞y3， ②当a＞0时，顶点（﹣1，y3），即C（﹣1，﹣4a）为顶点， ∴y3为最小值， 又∵y1＞y2， 当A、B都在对称轴右侧，则， 当A、B都在对称轴左侧，则﹣1＞1﹣n＞n⇒无解， 当A、B在异侧时，A左B右，则， 解得n； 当A在B左侧时，则n＞﹣1，1﹣n＜﹣1⇒无解， 综上所述． 【点评】本题考查了二次函数最值，分类讨论是解决本题的关键． 2．（2023秋•大城县期中）已知抛物线y＝x2+ax+a+1经过点A（﹣2，3）． （1）求a的值； （2）已知点P（m，yP），Q（m﹣4，yQ）均在该抛物线上． ①若m＝0，请直接比较yP与yQ的大小关系； ②当﹣3≤x≤m时，函数y的最大值是6，最小值是2，求m的取值范围． 【分析】（1）将点（﹣2，3）代入y＝x2+ax+a+1，待定系数法求解析式即可求解； （2）①由（1）求得抛物线的解析式，进而求得yP与yQ，从而即可求解；②当x2+2x+3＝6时，x1＝﹣3，x2＝1，然后结合图形及二次函数最小值为2即可求解． 【解答】解：（1）将点（﹣2，3）代入y＝x2+ax+a+1中， 得3＝4﹣2a+a+1 解得a＝2； （2）解：①∵a＝2， ∴抛物线为y＝x2+2x+3， 当m＝0时，点P（m，yP），Q（m﹣4，yQ）为P（0，yP），Q（﹣4，yQ）， ∴yP＝0+0+3＝3，yQ＝16﹣8+3＝11， ∴yP与yQ的大小关系为yP＜yQ； ②y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2．当x2+2x+3＝6时，x1＝﹣3，x2＝1． 根据图象和题意可得m的取值范围是﹣1≤m≤1． 【点评】本题考查了二次函数图象的性质，待定系数法求解析式，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 3．（2023秋•思明区校级月考）已知关于x的二次函数y＝x2+bx+c的图象过点（﹣1，0），（3，0）． （1）求当﹣2≤x≤2时，y的最大值与最小值的差； （2）若点P（﹣3，y1），Q（q，y2）在该二次函数的图象上，且y1＜y2，请直接写出q的取值范围． 【分析】（1）先利用待定系数法求得这个二次函数的解析式，根据函数的性质求解即可； （2）将P（﹣3，y1）代入y＝x2﹣2x﹣3，求得y1＝12，再令y＝12，可得x2﹣2x﹣3＝12，解得：x＝5或x＝﹣3，结合函数的图象即可得到q的取值范围． 【解答】解：（1）由题意，得： ， 解得， ∴这个二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3； ∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴当x＝1时，y有最小值﹣4， ∵当x＝﹣2时，y＝5；当x＝2时，y＝﹣3， ∴当﹣2≤x≤2时，y的最大值与最小值的差为5﹣（﹣4）＝9； （2）∵P（﹣3，y1）在y＝x2﹣2x﹣3上， ∴y1＝12， 令y＝12，可得x2﹣2x﹣3＝12， 解得：x＝5或x＝﹣3， ∵y＝x2﹣2x﹣3的图象开口向上， ∴y1＜y2，q的取值范围为q＜﹣3或q＞5． 【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想是解题的关键． 4．（2023秋•营口期末）在平面直角坐标系中，对于点A（x，y），如果B（x，y′）的纵坐标满足y'＝x﹣y，那么称点B为点A的“友好点”． （1）求点（5，3）的“友好点”的坐标； （2）如果点M（m，n）的“友好点”N在函数的图象上，当0≤m≤6时，求线段MN的最大值． 【分析】（1）依据题意，由“友好点”的定义进行计算可以得解； （2）依据题意，点M（m，n）的“友好点是点N，点N在 的图象上，从而可以列式，再表示出，，进而得到，然后画出图象，再结合0≤m≤6，即可求出MN的最大值． 【解答】解：（1）由题意，∵（5，3）， ∴x＝5，y＝3． ∴y'＝5﹣3＝2． ∴点（5，3）的“友好点”的坐标为（5，2）． （2）∵点M（m，n）的“友好点是点N，点N在 的图象上， ∴． ∴． 又∵，， ∴． 由 MN＝||函数图象可知， 又0≤m≤6， ∴当m＝6时，线段MN有最大值，． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 5．（2022秋•漳州期末）已知二次函数y＝x2+bx+c（b、c为常数）的图象经过点（0，3）、（1，﹣2）． （1）求b、c的值； （2）当0≤x≤m时，若y的最大值与最小值之和为1，求m的值． 【分析】（1）把点（0，3）、（1，﹣2）代入二次函数解析式，即可求解； （2）分三种情况讨论：当0≤m＜3时，当3≤m＜6时，当m≥6时，结合二次函数的性质即可求解． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c（b、c为常数）的图象经过点（0，3）、（1，﹣2）， ∴ 解得：； （2）由（1）得，y＝x2﹣6x+3＝（x﹣3）2﹣6． ∴当x≤3时，y随x的增大而减小，当x＞3时，y随x的增大而增大， ①当0≤m＜3时， 当x＝0时，y取最大值，最大值是3，当x＝m时，y取最小值，最小值是（m﹣3）2﹣6， ∴3+（m﹣3）2﹣6＝1， 解得m1＝1，m2＝5（舍去）． ②当3≤m＜6时， 当x＝6时，y取最大值，y的最大值是3， 当x＝3时，y取最小值，y的最小值是﹣6． ∵﹣6+3＝﹣3≠1， ∴不符合题意． ③当m≥6时， 当x＝m时，y取最大值，y的最大值是（m﹣3）2﹣6， 当x＝3时，y取最小值，y的最小值是﹣6． ∴﹣6+（m﹣3）2﹣6＝1， 解得，（舍去）． 综上所述，m的值为1或． 【点评】本题主要考查的是二次函数的最值，涉及到二次函数的图象和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 6．（2024•五华区校级模拟）在直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+1（a，b是常数，a≠0）与y轴相交于A点． （1）已知3a+b＝0，若﹣1≤x≤2，y有最大值9，求a的值； （2）①求A点坐标； ②已知a＜0，t≠0，若抛物线经过（﹣2，m），（﹣3，n）和（t，1），且1＜n＜m，求t的取值范围． 【分析】（1）依据题意，由3a+b＝0，可得b＝﹣3a，进而对称轴是直线x，再结合当﹣1≤x≤2，y有最大值9，可得a（﹣3a）+1＝9，计算可以得解； （2）①依据题意，令x＝0，则y＝1，可得A（0，1）； ②依据题意，由a＜0，从而抛物线上的点离对称轴越近函数值越大，再由抛物线过（0，1），（t，1），可得对称轴是直线x，结合1＜n＜m，且抛物线过（0，1），（﹣2，m），（﹣3，n），故|0|＞|（﹣3）|＞|（﹣2）|，即||＞|3|＞|2|，再分类讨论计算可以得解． 【解答】解：（1）由题意，∵3a+b＝0， ∴b＝﹣3a． ∴对称轴是直线x． ∵当﹣1≤x≤2，y有最大值9， ①若开口向下， ∴当x时，yab+1＝9． ∴a（﹣3a）+1＝9． ∴a． ②若开口向上， ∴当x＝﹣1时，y取最大值9， ∴a﹣1×（﹣3a）+1＝9． ∴a＝2． 综上，a或a＝2． （2）①由题意，令x＝0，则y＝1， ∴A（0，1）． ②由题意，∵a＜0， ∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越大． 又抛物线过（0，1），（t，1）， ∴对称轴是直线x． ∵1＜n＜m，且抛物线过（0，1），（﹣2，m），（﹣3，n）， ∴|0|＞|（﹣3）|＞|（﹣2）|，即||＞|3|＞|2|． 第一种情形：当3时，即32， ∴无解． 第二种情形：当﹣32时，即32． ∴2． ∴﹣5＜t＜﹣4． 第三种情形：当﹣20时，即32． ∴﹣2． ∴﹣4≤t＜﹣3． 第四种情形：当0时，即32． ∴无解． 综上，﹣5＜t＜﹣3． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级上册数学《第1章 二次函数》 专题 求二次函数的最值或函数值的范围 题型一 没有限定自变量的取值范围求最值 1．（2023•阿城区三模）抛物线y＝﹣3（x﹣4）2﹣5的最大值为（　　） A．4 B．﹣4 C．5 D．﹣5 2．（2023秋•绥中县期末）二次函数y＝2x2﹣8x+1的最小值是（　　） A．7 B．﹣7 C．9 D．﹣9 3．（2023秋•马山县期中）二次函数y＝x2+6x﹣2的最小值为（　　） A．11 B．﹣11 C．9 D．﹣9 4．（2023秋•临漳县期中）关于二次函数y＝（x﹣1）2+2，则下列说法正确的是（　　） A．当x＝1时，y有最大值为2 B．当x＝1时，y有最小值为2 C．当x＝﹣1时，y有最大值为2 D．当x＝﹣1时，y有最小值为2 5．（2023秋•都昌县期末）已知实数x，y满足x2+3x+y﹣3＝0，则x+y的最大值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2022•包头）已知实数a，b满足b﹣a＝1，则代数式a2+2b﹣6a+7的最小值等于（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 题型二 已知二次函数的对称轴及自变量范围求最值 1．（2022•鹿城区二模）已知二次函数y＝﹣x2+2x+c，当﹣1≤x≤2时，函数的最大值与最小值的差为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2022•洞头区模拟）已知二次函数y＝x2﹣4x+2．当自变量x取值在﹣2≤x≤5范围内时，下列说法正确的是（　　） A．有最大值14，最小值﹣2 B．有最大值14，最小值7 C．有最大值7，最小值﹣2 D．有最大值14，最小值2 3．（2023秋•黄埔区期中）函数y＝x2+2x﹣3（﹣2≤x≤2）的最大值是 　 　，最小值是 　 　． 4．二次函数y＝a（x+1）2+2的部分图象（﹣4≤x≤0）如图所示，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（　　） A．函数有最大值2，无最小值 B．函数有最大值2，有最小值0 C．函数有最大值2，有最小值﹣2.5 D．函数有最大值1.5，有最小值﹣2.5 5．（2023秋•湖里区校级期中）已知二次函数的图象（0≤x≤3）如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（　　） A．函数有最小值1，有最大值3 B．函数有最小值﹣1，有最大值0 C．函数有最小值﹣1，有最大值3 D．函数有最小值﹣1，无最大值 6．（2023秋•潜山市期末）已知s，t是实数，点（s，t2）在函数y＝﹣2x2+6x的图象上，设w＝t2+s2+2s，则w的最大值为（　　） A．15 B．16 C．17 D．18 题型三 限定自变量的取值范围求函数值的范围 1．已知二次函数y＝﹣x2+2x+3，当x≥2时，y的取值范围是（　　） A．y≥3 B．y≤3 C．y＞3 D．y＜3 2．（2023•河南三模）二次函数y＝﹣x2+2x+4，当﹣2≤x≤3时，则（　　） A．﹣4≤y≤1 B．y≤5 C．1≤y≤5 D．﹣4≤y≤5 3．（2023秋•杭州期末）已知y＝2x﹣1，且，令S＝xy，则函数S的取值范围是 　 　． 4．（2024•宿城区二模）若实数x，y满足关系式6x2+y2＝6x，且t＝5x2+y2，则t的取值范围为 　 ． 5．（2023•海淀区校级开学）如表是二次函数y＝ax2+bx+c的部分x，y的对应值： x … ﹣1 0 1 2 3 … y … m ﹣1 ﹣2 ﹣1 2 … （1）二次函数图象的开口向 　 　，顶点坐标是 　 　，m的值为 　 　； （2）当0≤x≤3时，y的取值范围是 　 　． 6．（2024•水富市校级模拟）在平面直角坐标系中，如果点M的横坐标和纵坐标相等，则称点M为和谐点，例如：点（1，1），，都是和谐点． （1）判断函数y＝3x﹣1的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标； （2）若二次函数y＝ax2+5x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点（﹣2，﹣2）．当﹣4≤x≤m时，函数y＝ax2+5x+c（a≠0）的最小值为，最大值为0，求实数m的取值范围． 题型四 已知二次函数的对称轴及最值求参问题 1．（2023春•高州市月考）已知二次函数y＝x2﹣6x+m的最小值是﹣3，那么m的值等于（　　） A．10 B．4 C．5 D．6 2．（2020•资中县一模）二次函数y＝x2+4x+a的最小值是3，则a的值是（　　） A．3 B．5 C．6 D．7 3．（2023•泸县校级模拟）已知二次函数y＝（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为10，则h的值为（　　） A．﹣2或4 B．0或6 C．1或3 D．﹣2或6 4．（2024•邢台三模）点A（a，b1），B（a+2，b2）在函数y＝﹣x2+2x+3的图象上，当a≤x≤a+2时，函数的最大值为4，最小值为b1，则a的取值范围是（　　） A．0≤a≤2 B．﹣1≤a≤2 C．﹣1≤a≤1 D．﹣1≤a≤0 5．（2024•子洲县三模）已知抛物线y＝2x2﹣4x+3在自变量x的值满足m≤x≤m+2时，与其对应的函数值y的最大值为9，则m的值为（　　） A．﹣1或5 B．﹣1或2 C．﹣1或1 D．1或4 6．（2022秋•台州期末）当时，二次函数y＝x2﹣2x+m﹣1的最小值是﹣1，则m＝　 　． 7．（2023秋•文登区期中）已知y＝x2﹣4x+3，当m≤x≤m+2时，函数y的最小值为，求m的值． 题型五 已知二次函数解析式及最值求自变量范围 1．（2023•碑林区校级模拟）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣2，当y＞1时，则x的取值范围为（　　） A．﹣1＜x＜3 B．﹣3＜x＜1 C．x＜﹣1或x＞3 D．x＜﹣3或x＞1 2．已知函数y＝x2﹣2x+3，当0≤x≤m时，有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（　　） A．m≥1 B．0≤m≤2 C．1≤m≤2 D．m≤2 3．（2022秋•海安市期中）已知二次函数y＝2x2﹣4x+5，当y随x的增大而增大时，x的取值范围是（　　） A．x≤﹣1 B．x≥1 C．x≤1 D．x≥﹣1 4．二次函数y＝﹣x2+2x+4，当0≤x≤3时，则（　　） A．1≤y≤4 B．y≤5 C．4≤y≤5 D．1≤y≤5 5．（2023•泸县校级一模）二次函数y＝x2﹣2x﹣3．若y＞﹣3，则自变量x的取值范围是（　　） A．x＜0或x＞2 B．x＜1或x＞3 C．0＜x＜2 D．1＜x＜3 6．（2022秋•海州区校级月考）二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），与y轴的交点坐标为（0，3）． （1）求此二次函数的表达式，并用配方法求顶点的坐标； （2）求抛物线与x轴的另一个交点坐标，并直接写出当函数值y＞0时，自变量x的取值范围． （3）直接写出x满足什么条件时，y随x的增大而增大？ 题型六 与二次函数最值有关的综合题 1．（2023•舟山开学）已知二次函数y＝a（x+3）（x﹣1）（a≠0）的图象过不同的三点A（n，y1），B（1﹣n，y2），C（﹣1，y3）． （1）若二次函数的最大值为4，求a的值． （2）若y1＞y2＞y3，求n的取值范围． 2．（2023秋•大城县期中）已知抛物线y＝x2+ax+a+1经过点A（﹣2，3）． （1）求a的值； （2）已知点P（m，yP），Q（m﹣4，yQ）均在该抛物线上． ①若m＝0，请直接比较yP与yQ的大小关系； ②当﹣3≤x≤m时，函数y的最大值是6，最小值是2，求m的取值范围． 3．（2023秋•思明区校级月考）已知关于x的二次函数y＝x2+bx+c的图象过点（﹣1，0），（3，0）． （1）求当﹣2≤x≤2时，y的最大值与最小值的差； （2）若点P（﹣3，y1），Q（q，y2）在该二次函数的图象上，且y1＜y2，请直接写出q的取值范围． 4．（2023秋•营口期末）在平面直角坐标系中，对于点A（x，y），如果B（x，y′）的纵坐标满足y'＝x﹣y，那么称点B为点A的“友好点”． （1）求点（5，3）的“友好点”的坐标； （2）如果点M（m，n）的“友好点”N在函数的图象上，当0≤m≤6时，求线段MN的最大值． 5．（2022秋•漳州期末）已知二次函数y＝x2+bx+c（b、c为常数）的图象经过点（0，3）、（1，﹣2）． （1）求b、c的值； （2）当0≤x≤m时，若y的最大值与最小值之和为1，求m的值． 6．（2024•五华区校级模拟）在直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+1（a，b是常数，a≠0）与y轴相交于A点． （1）已知3a+b＝0，若﹣1≤x≤2，y有最大值9，求a的值； （2）①求A点坐标； ②已知a＜0，t≠0，若抛物线经过（﹣2，m），（﹣3，n）和（t，1），且1＜n＜m，求t的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$