第15节 二元一次方程组B-七年级数学上册计算100分

—46— 第 15 节 二元一次方程组 B 一 知识导航 复杂二元一次方程组： 复杂的二元一次方程组在运算过程当中要根据系数的关系，灵活运用加减消元，倍数 关系消元，换元消元等方法以达到简便运算的目的. 二 经典例题 (1) 2(a + b) − (a − b) = 3 (a + b) − 2(a − b) = 1 (2) 2x + 1 5 + 3y − 2 4 = 8, 2x + 1 5 − 3y − 2 4 =− 2. 三 夯实基础 (1) 3(� − 1) = � + 5 5(� − 1) = 3(� + 5) (2) � + � 4 − 2� − � 3 =− 1 6(� + �) − 4(2� − �) = 16 —47— (3) � + � + � = 27 � + � 2 = � + � 3 = �+ � 4 (4) � − 1 + � − 2 = 6 � − 1 = 2� − 4         (5) 2017� + 2018� = 20162018� + 2017� = 2019 (6){ �1 + �2 = �2 + �3 = �3 + �4 = … = �2019 + �2020 = �2020 + �2021 = 1 �1 + �2 + �3 + … + �2019 + �2020 + �2021 = 2021 四 能力提升 (1)已知|3� − � − 4| + |4� + � − 3| = 0，求 2� − 3�的值． (2)已知：| 12 � − 1| + (� − 3) 2 = 0，解方程组 �� − 3� = 1 � + �� = 5 ． —48— (3)已知关于�、�的方程组 �� − �� = 1 �� + �� = 3的解为 � = 1 � = 12 ，求�与�． (4)若�使方程组 3� + 5� = � + 2 2� + 3� = � 的解�与�的和为 2.求�的值． (5)已知关于�，�的方程组 2� − 3� = 3 �� + 2�� = 4和 2�� + 3�� = 3 3� + 2� = 11 的解相同，求(3� + �)2024的值 (6)若关于�、�的方程组 2� + � = � + 1 3� − � = 4� − 6的解同时也是方程� − 3� =− 18 的一个 解，试求�的值． —49— (7)如果关于�、�的方程组 2�� − 3�� =− 4 �� − �� = 5 的解是 � =− 2 � = 1 ，求 4� 2 − 4�� − 3�2的值． (8)对于任意的实数�，�，�，�，我们规定： � �� � = �� − ��，根据这一规定，解 答以下问题：若�，�同时满足 � ( − �) ( − 6) 5 = 13， 3 4 ( − �) � = 4，求�� (9)已知方程组 �� − 5� = 15 ① 4� − �� =− 2 ② 由于甲看错了方程①中的�得到方程组的解为 � =− 3 � =− 1；乙看错了方程②中的�得到方程组的解为 � = 5 � = 4，若按正确的�，� 计算，请你求原方程组的解． 五 错题总结 — 65— (9) x − 1 2 − y+ 2 4 = 1① −x+ y =− 3 ② , 由①，得 2x − y = 8③， ②+③，得 x = 5， 把 x = 5 代入②，得 10 − y = 8， 解得：y = 2， 所以原方程组的解为 x = 5 y = 2 (10) 3(x + y) − 4(x − y) =− 4 x+y 2 + x−y 6 = 1 ， 可得： x − 7y = 4① 4x+ 2y = 6② ， ①× 2+②× 7，可得 30x = 50， 解得 x = 5 3 ， 把 x = 5 3 代入①，解得 y =− 1 3 ， ∴原方程组的解是 x = 5 3 y =− 1 3 ． (11)原方程组可变形为 4x + 3y =− 2① 3x+ 2y =− 1② , ①× 2 −②× 3 得 x = 1， 将 x = 1 代入①得 y =− 2， 则该方程组的解为 x = 1 y =− 2 第15节二元一次程组B 经典例题： (1) 2(a + b) − (a − b) = 3,(a + b) − 2(a − b) = 1; 解：(1)把 a + b 看作 x，a − b 看作 y， 则可得 2x − y = 3, x − 2y = 1,解得 x = 5 3 , y = 1 3 , 则 a + b = 5 3 a − b = 1 3 解得 a = 1, b = 2 3 ; (2) 2x+1 5 + 3y−2 4 = 8, 2x+1 5 − 3y−2 4 =− 2. 把 2x+ 1 看作 a，3y − 2 看作 b，则有 1 5 a + 1 4 b = 8, 1 5 a − 1 4 b =− 2, 解得 a = 15, b = 20, 即 2x + 1 = 15, 3y − 2 = 20,解得 x = 7, y = 22 3 . 夯实基础： (1) 3(x − 1) = y + 55(y − 1) = 3(x + 5) 原方程组整理得： 3x − y = 8 ① 3x − 5y =− 20 ② ， ①−②得：4y = 28， 解得：y = 7， 把 y = 7 代入①得：3x − 7 = 8， 解得：x = 5， 则原方程组的解是 x = 5 y = 7． (2)略 (3) x + y + t = 27 x + y 2 = t + x 3 = y+ t 4 方程组整理得： x+ y + t = 27① 2x+ y − t = 0② 4x− 3y + t = 0③ ， ①+②得：3x + 2y = 27④， — 66— ②+③得：6x − 2y = 0，即 3x − y = 0⑤， ④−⑤得：3y = 27， 解得：y = 9， 把 y = 9 代入⑤得：x = 3， 把 x = 3，y = 9 代入①得：t = 15， 则方程组的解为 x = 3 y = 9 t = 15 ． (4) x − 1 + y − 2 = 6 x − 1 = 2y − 4         ． 解： x − 1 + y − 2 = 6 x − 1 = 2y − 4         , 由方程|x − 1| = 2y − 4 可知|x − 1| = 2(y − 2) ≥ 0，得 y − 2 ≥ 0， 故原方程组可化为： x − 1 + y − 2 = 6   ① x − 1 = 2y − 4        ② , 把②代入①得，3y = 12，y = 4； 把 y = 4 代入②得，|x − 1| = 4，解得 x = 5 或 x =− 3． 故原方程组的解为 x1 = 5 y1 = 4,   x2 =− 3y2 = 4 ． (5)解方程组： 2017x+ 2018y = 2016, 2018x+ 2017y = 2019. 解： 2017x + 2018y = 2016 ①, 2018x + 2017y = 2019 ②,  ①+  ②得 4035x + 4035y = 4035， 即 x+ y = 1 ③， 将 ①变形为 2017x + 2017y + y = 2016， 即 2017(x + y) + y = 2016 ④， 把 ③代入 ④，得 2017 × 1 + y = 2016，解得 y =− 1， 再把 y =− 1 代入 ③得 x = 1 − ( − 1)，即 x = 2． 所以原方程组的解为 x = 2, y =− 1. (6)解方程组 {x1 + x2 = x2 + x3 = x3 + x4 = … = x2019 + x2020 = x2020 + x2021 = 1x1 + x2 + x3 + …+ x2019 + x2020 + x2021 = 2021 解： { x1 + x2 = x2 + x3 = x3 + x4 = … = x2019 + x2020 = x2020 + x2021 = 1① x1 + x2 + x3 + …+ x2019 + x2020 + x2021 = 2021② 由①得：x1 = x3 = x5 = …… = x2017 = x2019 = x2021， x2 = x4 = x6 = …… = x2018 = x2020， 因为 1 到 2021 中，奇数有 1011 个，偶数有 1010 个， 则可得方程组{ x1 + x2 = 1 1011x1 +1010x2 = 2021 , 解得： x1 = 1011 x2 =− 1010 ． 故x1 = x3 = x5 = …… = x2017 = x2019 = x2021 = 1011， x2 = x4 = x6 = …… = x2018 = x2020 =− 1010 能力提升： (1)|3a − b − 4| + |4a + b − 3| = 0，求 2a − 3b 的值． 解：∵ |3a − b − 4| + |4a + b − 3| = 0， ∴ 3a − b = 4① 4a+ b = 3② ， ①+②得：7a = 7， — 67— 解得：a = 1， 把 a = 1 代入①得：3 − b = 4， 解得：b =− 1， ∴方程组的解为 a = 1b =− 1， 则 2a − 3b = 2 + 3 = 5． (2)已知：| 1 2 a − 1| + (b − 3)2 = 0，解方程组 ax − 3y = 1 x + by = 5 ． 解：∵ | 1 2 a − 1| + (b − 3)2 = 0， ∴ a = 2，b = 3， 代入方程组得： 2x − 3y = 1 ① x+ 3y = 5 ② ， ①+②得：3x = 6， 解得：x = 2，把 x = 2 代入②得：y = 1， 则方程组的解为 x = 2 y = 1． (3)已知关于 x、y 的方程组 ax − by = 1 bx+ ay = 3的解 为 x = 1 y = 1 2 ，求 a 与 b． 解：将 x = 1，y = 1 2 代入方程组得： a − 1 2 b = 1 b+ 1 2 a = 3 ， 解得：a = 2，b = 2 (4)若 k 使方程组 3x + 5y = k + 2 2x + 3y = k 的解 x 与 y 的和为 2.求 k 的值． 解： 3x+ 5y = k + 2① 2x+ 3y = k② ， ①−②得：x+ 2y = 2， 联立得： x + 2y = 2 x + y = 2 ，解得： x = 2 y = 0则 k = 4． (5)已知关于 x，y 的方程组 2x − 3y = 3 ax + 2by = 4和 2ax + 3by = 3 3x + 2y = 11 的解相同，求(3a + b) 2024的值 解：由题意可得 2x − 3y = 3 3x + 2y = 11， 解得 x = 3 y = 1， 将 x = 3 y = 1代入 ax + 2by = 4 2ax + 3by = 3得 3a + 2b = 4 6a + 3b = 3 , 解得 a =− 2b = 5 ， ∴ (3a + b)2024 = ( − 6+ 5)2024 = 1． (6)若关于 x、y 的方程组 2x + y = m+ 1 3x − y = 4m − 6的解 同时也是方程 x − 3y =− 18 的一个解，试求m 的值． 解： 2x + y = m+ 1① 3x − y = 4m − 6② ， ①+②得：5x = 5m − 5， 解得：x = m − 1， 将 x = m − 1 代入①得：2(m − 1) + y = m+ 1， 解得：y =−m+ 3， 将 x = m − 1，y =− m+ 3 代入 x − 3y =− 18 得：m− 1 − 3( −m+ 3) =− 18， 解得：m =− 2． (7)如果关于 x、y 的方程组 2ax − 3by =− 4 ax − by = 5 的 解是 x =− 2 y = 1 ，求 4a 2 − 4ab − 3b2的值． 解：将 x =− 2，y = 1 代入方程组得： 4a + 3b = 4① 2a+ b =− 5② ， ②× 3−①得：2a =− 19， 解得：a =− 19 2 ， — 68— 将 a =− 19 2 代入②得：−19 + b =− 5， 解得：b = 14， 则 4a2 − 4ab − 3b2 = (2a + b)(2a − 3b) = ( − 19 + 14) × ( − 19 − 42) = 305． (8)对于任意的实数 a，b，c，d，我们规定： a b c d = ad − bc，根据这一规定，解答以下 问题：若 x，y 同时满足 x ( − y) ( − 6) 5 = 13， 3 4 ( − y) x = 4，求 xy 的值． 解：根据题意，得 5x − 6y = 13, 3x+ 4y = 4. 解得 x = 2, y =− 1 2 . ∴ xy =− 1． (9)已知方程组 ax − 5y = 15 ① 4x − by =− 2 ② 由于甲看错 了方程①中的 a 得到方程组的解为 x =− 3y =− 1； 乙看错了方程②中的 b 得到方程组的解为 x = 5 y = 4，若按正确的 a，b 计算，请你求原方 程组的解． 解：把 x =− 3 y =− 1代入②得：−12+ b =− 2，即 b = 10； 把 x = 5 y = 4代入①得：5a − 20 = 15，即 a = 7， 方程组为 7x − 5y = 15 ① 2x − 5y =− 1 ② ， ①−②得：5x = 16 解得：x = 16 5 ，把 x = 16 5 代入①得：y = 37 25 ， 则方程组的解为 x = 16 5 y = 37 25