精品解析：2024年黑龙江省绥化市明水县第二中学中考二模数学试题

2024年中考数学学科二模试卷 一、选择题（每题3分，满分30分） 1. 下列计算中，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同底数幂乘除法，积的乘方和完全平方公式等计算法则求解判断即可． 【详解】解：A、，原式计算正确，符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选A． 【点睛】本题主要考查了同底数幂乘除法，积的乘方和完全平方公式，熟知相关计算法则是解题的关键． 2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，解题的关键是掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 后与原图重合． 【详解】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形； C、是中心对称图形，但不是轴对称图形； D、是轴对称图形，但不是中心对称图形； 故选：A． 3. 已知一组数据2，a，4，5的众数为5，则这组数据的平均数为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平均数与众数的意义，要求平均数只要求出数据之和再除以总个数即可；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．依此先求出a，再求这组数据的平均数． 【详解】解：众数是5，已知的三个数都只出现了一次， 就可以知道 ， 所以平均数． 故选：B． 4. 如图是由一些完全相同的小立方块搭成的几何体从左面、上面看到的形状图．搭成这个几何体所用的小立方块的个数至少是（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】C 【解析】 【分析】根据从左面看到的形状图，可得该几何体由2层，2行；从上面看到的形状图可得有2行，3列，从而得到上层至少1块，底层2行至少有3+1=4块，即可求解． 【详解】解：根据从左面看到的形状图，可得该几何体由2层，2行；从上面看到的形状图可得有2行，3列， 所以上层至少1块，底层2行至少有3+1=4块， 所以搭成这个几何体所用的小立方块的个数至少是1+4=5块． 故选：C 【点睛】本题主要考查了几何体的三视图，熟练掌握三视图是观测者从三个不同位置观察同一个几何体，画出的平面图形；（1）从正面看：从物体前面向后面正投影得到的投影图，它反映了空间几何体的高度和长度；（2）从左面看：从物体左面向右面正投影得到的投影图，它反映了空间几何体的高度和宽度；（3）从上面看：从物体上面向下面正投影得到的投影图，它反应了空间几何体的长度和宽度是解题的关键． 5. 某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由元降为元．已知两次降价的百分率都是，则x的值是（　　） A. B. 25 C. D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】根据经过两次降价后的价格 原价建立方程，解方程即可得． 【详解】解：由题意得：， 解得 或， 当时，（不符合题意，舍去）． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． 6. 已知关于x的分式方程的解为负数，则k的取值范围是（　　） A. B. 且 C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】保留k解方程，得到x的解，再利用解为负数列不等式且分母不为零，求出k的取值范围即可． 【详解】解， 两边同乘得：， ， ， ， 得， 检验得分母不为零， 且， 得且， 即 且， 综上且 ， 故选D． 【点睛】本题考查已知分式方程解的范围求分式方程中参数的取值范围，注意计算时保留参数须将参数看成常数，且分式方程的解需要检验确保分母不为零． 7. 装乒乓球的盒子有两种，大盒装6个，小盒装4个，若将50个乒乓球都装进盒子且把每个盒子都装满，那么不同的装球方法有（ ） A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种 【答案】B 【解析】 【分析】可设大盒x盒，小盒y盒，根据等量关系：大盒的乒乓球个数＋小盒的乒乓球个数＝50，列出方程，再根据正整数的定义即可求解． 【详解】解：设大盒x盒，小盒y盒，依题意有 6x＋4y＝50， y＝， ∵x，y都是正整数， ∴x＝1时，y＝11； x＝3时，y＝8； x＝5时，y＝5； x＝7时，y＝2； 故不同的装球方法有4种， 故选：B． 【点睛】考查了二元一次方程的应用，此题是一道紧密联系生活实际的题，是二元一次方程整数解的应用． 8. 如图，反比例函数的图象过矩形 的顶点分别在 轴、 轴的正半轴上，矩形 的对角线 和 交于点，则 的值为（ ） A. 32 B. 16 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据矩形性质、反比例函数解析式和直角坐标系的知识求解． 【详解】解：∵四边形 是矩形，， ∴， ∵反比例函数的图象过矩形 的顶点 ， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质和反比例函数的综合应用，熟练掌握矩形性质和数形结合思想的应用是解题的关键． 9. 如图，在四边形 中， ， ，作 于点E，，连接 ，，则 的长为（　　） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】过点F作交 与点F，根据等腰三角形的性质得出 ，根据同角的余角相等易证，根据全等三角形的性质得出，设 ，则，从而得出，再将 建立方程，求解即可得出答案． 【详解】解：过点F作交 与点F， ， ， ， 在 和 中 ， 设 ，则 ， 经检验 符合题意 即 故选C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定及性质、无理方程，熟练掌握性质定理是解题的关键． 10. 如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线 ，结合图象给出下列结论：①；②；③；④方程的两根和为1；⑤若是方程 的两根，则方程的两根满足；其中正确结论有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】综合二次函数图象与各项系数之间的关系，以及二次函数与方程之间的联系进行逐项分析． 【详解】解：由题意，，对称轴为直线， ∴ ，， 抛物线与 轴相交于正半轴，则 ， ∴ ，故①错误； ∵抛物线与 轴有两个不同的交点， ∴，即：，故②正确； ∵由图象可得，当 时，函数值， ∴， ∵ ， ∴，故③正确； 对于方程， 整理得：， ∴其两根之和， ∵ ， ∴ ∴方程的两根和为2，故④错误； ∵是方程 的两根， ∴函数 图象与 轴的两个交点的横坐标为， ∵方程的两根， ∴抛物线 与直线的交点横坐标为， ∵抛物线开口向下， ∴，， ∴，， ∵， ∴，故⑤正确； ∴正确的有②③⑤， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数图象与性质，二次函数与一元二次方程之间的联系，掌握函数的基本性质，理解并熟练运用函数与方程之间的关系是解题关键． 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 将数字用科学记数法表示为__________． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中 ，为整数．确定的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：∵， 故答案为：． 【点睛】本题考查科学记数法的表示方法，关键是确定 的值以及的值． 12. 在函数中，自变量 的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件得，解之即可． 【详解】解：由题意，得， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查分式有意义的条件，函数自变量取值范围，熟练掌握分式有意义的条件：分母不等于0是解题的关键． 13. 把因式分解的结果是_____． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再用平方差公式分解即可 【详解】解： = = 故答案为 【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是熟练运用因式分解的方法． 14. 的高 长为3，且， ，则 的周长是___________． 【答案】或 【解析】 【分析】分情况利用勾股定理求出各边的长，继而根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】解：如图1： ，，， 所以三角形 的周长； 如图2： ，，， 所以三角形 的周长； 故答案为：或． 【点睛】本题考查勾股定理，关键是根据题意画出图形，分情况讨论． 15. 不等式组的解集为__________． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出不等式组中两个不等式的解集，再根据确定不等式组解集的方法得出答案． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， ∴不等式组的解集为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式的步骤以及确定不等式组解集的方法是解题的关键． 16. 二次函数的最大值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平方的非负性得出，则，进一步推出，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴，则， ∴二次函数的最大值是9． 故答案为：9． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握不等式的性质以及二次函数最值的求法． 17. 一个扇形的圆心角为 ，面积为，则此扇形的弧长为__________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】首先根据扇形的面积公式求得扇形的半径，根据弧长的计算是即可求出扇形的弧长． 【详解】解：设扇形的半径是r， 由题意得， 解得 ， ∴扇形的弧长等于， 故答案为：． 【点睛】本题考查了弧长公式的运用．关键是熟悉公式：扇形的弧长． 18. 如图，在 中， ， ， 交 于点D，P为线段 上的动点，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】过点P作于点H，由题意易得，进而可得即为，若使的值为最小，也就相当于为最小，则有当点C、P、H三点共线时，的值为最小，最后问题可求解． 【详解】解：过点P作于点H，如图所示： ∵ ， ， ∴， ∴， ∴， 若使的值为最小，也就相当于为最小， ∴当点C、P、H三点共线时，的值为最小，如图所示： ∵ ， ∴， ∴的最小值为； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查三角函数及勾股定理，解题的关键是利用“胡不归”模型找到最小值的情况，然后进行求解即可． 19. 在矩形 中，过点A作 的垂线，垂足为点 ，矩形 的两边长分别是2和3，则的值是__________． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况：当 ， 时，当 ，时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：当 ， 时，如图所示： ∵四边形 为矩形， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴； 当 ，时，如图所示： ∵四边形 为矩形， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上分析可知，的值是或． 【点睛】本题主要考查了求三角函数值，矩形的性质，勾股定理，解题的关键是作出图形，数形结合，注意分类讨论． 20. 如图，射线 与x轴所夹的锐角为，的长为1，，，，…，均为等边三角形，点，，，…，在x轴的正半轴上依次排列，点，，，…，在射线 上依次排列，那么点的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质和，得，得到，同理求得，根据含角的直角三角形的性质可求得的边长，得到点的坐标． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得，， ∵， ∴， ∴，即的边长为，则其高为， ∴点的横坐标为， ∴点的坐标为， ∴点的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识点，根据条件找到等边三角形的边长和的关系是解题的关键． 三、解答题（满分60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据分式混合运算的法则化简原式，代入特殊角的三角函数值求出x，然后把x的值代入化简后的式子求解即可． 【详解】解：原式 ， 原式． 【点睛】本题考查了分式的混合运算和特殊角的三角函数，熟练掌握分式的混合运算法则、正确计算是解题的关键． 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知 的三个顶点的坐标分别为，，． （1）若 经过平移后得到，已知点的坐标为，画出，并写出点的坐标； （2）将 绕着点O按逆时针方向旋转 得到，画出，并写出点的坐标； （3）求出（2）中点A旋转到点所经过的路径长． 【答案】（1） 如图， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据三角形在平面直角坐标系点的平移变化，记住对应点一定作相同的变化即可； （2）根据旋转性质， 绕点 逆时针旋转 ，结合图形，对应点易求解； （3）求点 旋转到点所经过的路径长，转化为求弧长即可． 【小问1详解】 解：∵点 的对应点 ， ∴横坐标 ，纵坐标 ， ∴点 即 ， 【小问2详解】 如图，旋转 点的坐标为 ， 【小问3详解】 如图，点 旋转到点 所经过的路径是弧长， 由旋转性质可知， ，， ∴点 旋转到点所经过的弧长为 ． 【点睛】本题考查了旋转变换和平移变换等知识，解题的关键是掌握平移变换，旋转变换的性质，弧长公式的应用． 23. 为了解七年级同学最喜欢看哪一类课外书，某校随机抽取本校七年级部分同学进行问卷调查（每人必选且只选择一种最喜欢的书籍类型）．如图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图．请根据统计图的信息，解答下列问题： （1）一共有多少名学生参与了本次问卷调查？ （2）补全条形统计图； （3）扇形统计图中“其他”所在扇形的圆心角度数为___________； （4）若该校七年级有1500名学生，请你估计喜欢“科普常识”的学生人数． 【答案】（1）200名 （2） 补全条形统计图如图所示： （3） （4）450名 【解析】 【分析】（1）用喜欢小说的人数除以其人数占比即可求出参与本次调查的学生人数； （2）先求出喜欢科普常识的人数，然后补全统计图即可； （3）用 乘以喜欢其他的人数占比即可得到答案； （4）1500乘以样本中喜欢科普常识的人数占比即可得到答案． 【小问1详解】 解： （名）． 答：一共有200名学生参与了本次问卷调查． 【小问2详解】 解：喜欢科普常识的人数为 名； 【小问3详解】 解： ， ∴扇形统计图中“其他”所在扇形的图心角度数为 ， 故答案为： ； 【小问4详解】 （名）． 答：估计喜欢“科普常识”的学生有450名． 【点睛】本题考查扇形统计图、条形统计图的意义和制作方法，从统计图中获取数量及数量之间的关系是解决问题的关键，样本估计总体是统计中常用的方法． 24. 在一条笔直的公路旁，依次有小芳家、早餐店、学校，某休息日的早上7点，小芳步行匀速从家去学校取落在学校的学习用品，小芳出发4分钟后，王老师从学校步行匀速前往早餐店买早餐后原路原速返回学校，已知王老师步行速度是80米/分，在早餐店买早餐用了2分钟，两人同时到达学校．小芳和王老师距学校的距离y（米）和小芳出发的时间x（分钟）之间的关系如图所示，请结合图象解答下列问题： （1）图中 ，小芳家和早餐店之间的距离是 米； （2）求王老师从早餐店返回学校过程中y与x之间的函数解析式； （3）王老师出发多长时间，王老师和小芳相距150米？请直接写出答案． 【答案】（1） ， （2） （3）分钟， 分钟，分钟 【解析】 【分析】（1）根据图中信息得出小芳和王老师所用时间都是 分钟，再求出王老师到早餐店的时间为 分钟，即可求出 ；先求出学校离早餐店的距离，即可求出小芳家离早餐店的距离； （2）根据 的值可知解析式上的两个点的坐标，代入即可求出； （3）分①当王老师到达早餐店前时，②当王老师在早餐店时，③当王老师从早餐店返回学校时，三种情况讨论即可得出答案． 【小问1详解】 由图知，小芳和王老师所用时间都是 分钟 王老师到早餐店的时间为分钟 王老师比小芳晚出发 分钟 王老师到早餐店的距离为米 小芳家和早餐店之间的距离是米 故答案为： ，； 【小问2详解】 由（1）知， 王老师从早餐店返回学校时的时间是 设王老师从早餐店返回学校过程中y与x之间的函数解析式为 将、代入解析式，得 【小问3详解】 由图知，小芳的步行速度为（米/分） ①当王老师到达早餐店前时，王老师和小芳相距150米 王老师出发的时间为：分钟； ②当王老师在早餐店时，王老师和小芳相距150米 小芳所走路程为 小芳所用时间为分钟 王老师出发的时间为分钟； ③当王老师从早餐店返回学校时，王老师和小芳相距150米 设小芳从家到学校过程中的函数解析式为： 将和代入解析式，得 解得： 王老师出发的时间为分钟． 综上所述，王老师出发的时间为分钟或 分钟或分钟． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，根据图得出相关信息是解题的关键． 25. 如图， 是 的直径，点C为 上一点， 为 的切线， 于点O，分别交于D、M两点． （1）求证：； （2）若 的半径为10，，求MC的长． 【答案】（1） 证明：连接 ∵ 为 的切线， ∴， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴， 又∵ ， ∴ ， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）连接 ，利用切线的性质得到，得出结论； （2）由题意证得，通过相似三角形的性质及勾股定理解出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： ，， 是 的直径， ， ， ， , ， 在中，， ， 解得． 【点睛】本题考查了切线的判定及性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是准确的作出辅助线，和找出相似三角形． 26. 某手机经销商计划同时购进甲乙两种型号手机，若购进2部甲型号手机和5部乙型号手机，共需要资金6000元；若购进3部甲型号手机和2部乙型号手机，共需要资金4600元． （1）求甲、乙型号手机每部进价各为多少元； （2）该店预计用不少于1.78万元且不多于1.92万元的资金购进这两种型号手机共20部，请问有多少种进货方案？ （3）若甲型号手机的售价为1500元，乙型号手机的售价为1450元，为了促销，公司决定每售出一台乙型号手机．返还顾客现金a元，甲型号手机售价不变，要使（2）中购进的手机全部售完，每种方案获利相同，求a的值． 【答案】（1）甲型号手机每部进价为1000元，乙型号手机每部进价为800元． （2）8种 （3）a的值为150． 【解析】 【分析】（1）设未知数列二元一次方程组解方程即可； （2）设未知数列不等式，解不等式，考虑实际问题中取整得到解的可能情况； （3）用（2）中未知数和a列出利润计算式，根据m的值不影响利润结果得到含m的项系数为0，求出a即可． 【小问1详解】 设甲型号手机每部进价为x元，乙型号手机每部进价为y元． 依题意，得． 解得． 答：甲型号手机每部进价为1000元，乙型号手机每部进价为800元． 【小问2详解】 设购进甲型号手机m部，则购进乙型号手机部． 依题意，得， 解得． 又m为整数，m可以为9，10，11，12，13，14，15，16． 有8种进货方案． 【小问3详解】 设20部手机全部销售完后获得的总利润相等，则 ． （2）中每种方案获利相同， 利润计算式中不能有含 的项， ． ． 答：a的值为150． 【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，及定值问题．注意定值问题中一个式子的值与m无关，则含有m的项中，m的系数为0． 27. 已知四边形 和四边形 均为正方形，连接 ， ，直线 与 交于点 ． （1）如图1，当点 在 上时，线段 和 的数量关系是___________，的度数为___________. （2）如图2，将正方形 绕点A旋转任意角度. ①请你判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由； ②当点H在直线AD左侧时，连接AH，则存在实数m，n满足等式，直接写出 ___________， ___________； （3）若，，则正方形AEFG绕点A旋转过程中，点F，H是否重合？若能，请直接写出此时线段BG的长，若不能，说明理由. 【答案】（1） ， （2）① ， ；②，． （3）或． 【解析】 【分析】（1）由“ ”可证，可得 ，，由余角的性质即可得的度数； （2）①由“ ”可证，可得 ，，由余角的性质即可得的度数； ②在 上取 ，使得，连接， ，证明，可得，，求出，则为等腰直角三角形，，则，根据存在实数 ，满足等式，即可得，； （3）分两种情况画出图形，根据全等三角形的性质以及勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解： 四边形 和四边形 是正方形， ， ，， ， ，， ， ， ， 故答案为： ， ； 【小问2详解】 解：①（1）的结论仍然成立，理由如下： 设 交 于 ， 四边形 和四边形 是正方形， ， ，， ， ， 在和中， ， （SAS）， ，， ， ， ； ②，． 证明：在 上取 ，使得，连接， ， ， ， （SAS）， ，， ， ， 即， 为等腰直角三角形， ， ， 存在实数 ，满足等式， ，； 【小问3详解】 解：①如图： ，，四边形 和四边形 均为正方形， ，， 直线 与 交于点 ．点 ， 重合， 点 、 、 在同一直线上， ， ， ， ； ②如图： ，，四边形 和四边形 均为正方形， ，， 直线 与 交于点 ．点 ， 重合， 点 、 、 在同一直线上， ， ， ， ； 综上，正方形 绕点 旋转过程中，点 ， 能重合，此时线段 的长为或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 28. 如图在平面直角坐标系中，一次函数的图象与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，二次函数的图象经过 ， 两点，且与 轴的负半轴交于点 ，动点 在直线 下方的二次函数图象上． （1）求二次函数的表达式； （2）如图1，连接 ， ，设的面积为，求的最大值及此时点D坐标； （3）点P在抛物线的对称轴上，平面内是否存在一点Q，使以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由： （4）如图2，过点 作于点 ，是否存在点 ，使得中的某个角恰好等于 的2倍？若存在，直接写出点 的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）4，D （3），，，，.（写出其中3个即可） （4）2或 【解析】 【分析】（1）根据题意得到 、 两点的坐标，利用待定系数法可求解析式； （2）过点 作轴，交 与点 ，设 ，则F，然后列出与 的关系式，最后利用配方法求得其最大值及坐标即可； （3）先求解抛物线的对称轴为直线：，设，再分三种情况讨论： 为对角线时， 为对角线时， 为对角线时，再结合菱形的性质与平移的性质可得答案． （4）根据勾股定理的逆定理得到是以 为直角的直角三角形，取 的中点 ，，过 作 轴的垂线，垂足为 ，交 的延线于 ，设，则，，最后，分为和两种情况列方程求解即可． 【小问1详解】 解： 一次函数的图象与 轴交于点 ，与 轴交于点 ， 点，点， 二次函数的图象经过 ， 两点， 解得： 抛物线的解析式 ； 【小问2详解】 解：如图所示：过点 作轴，交 与点 ． 设D，则F ∴FD= ∴ ∵ ∴时，S最大，最大值为4. 此时，点D坐标为． 【小问3详解】 存在，理由如下：， 抛物线的对称轴为直线：， 设， 以 为对角线时， ， ， 解得：，即， 当 为对角线时， ， ， 解得：，，点P坐标为或； 当 为对角线时， ， ， 解得：，，点P坐标为或； 综上： 的坐标为：或或或或． 【小问4详解】 如图所示：过点 作垂足为 ，交 与点 ，连接 ， ，，， ，， ， ， 为直角三角形． 取 的中点 ，连接 ，则 ， ． ． 当时，则． 设，则，． ， 解得：（舍去）或． 点 的横坐标为2． 当时，设，，． ， ，， ， ，． ． ， 解得：（舍去）或． 点 的横坐标为． 综上所述，当点 的横坐标为2或． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求函数的解析式，解直角三角形，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年中考数学学科二模试卷 一、选择题（每题3分，满分30分） 1. 下列计算中，正确的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知一组数据2，a，4，5的众数为5，则这组数据的平均数为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 如图是由一些完全相同的小立方块搭成的几何体从左面、上面看到的形状图．搭成这个几何体所用的小立方块的个数至少是（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 5. 某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由元降为元．已知两次降价的百分率都是，则x的值是（　　） A. B. 25 C. D. 20 6. 已知关于x的分式方程的解为负数，则k的取值范围是（　　） A. B. 且 C. D. 且 7. 装乒乓球的盒子有两种，大盒装6个，小盒装4个，若将50个乒乓球都装进盒子且把每个盒子都装满，那么不同的装球方法有（ ） A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种 8. 如图，反比例函数的图象过矩形 的顶点分别在 轴、 轴的正半轴上，矩形 的对角线 和 交于点，则的值为（ ） A. 32 B. 16 C. D. 9. 如图，在四边形 中， ， ，作 于点E，，连接 ，，则 的长为（　　） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 10. 如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线 ，结合图象给出下列结论：①；②；③；④方程的两根和为1；⑤若是方程 的两根，则方程的两根满足；其中正确结论有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 将数字用科学记数法表示为__________． 12. 在函数中，自变量 的取值范围是__________． 13. 把因式分解的结果是_____． 14. 的高 长为3，且， ，则 的周长是___________． 15. 不等式组的解集为__________． 16. 二次函数的最大值是__________． 17. 一个扇形的圆心角为 ，面积为，则此扇形的弧长为__________．（结果保留） 18. 如图，在 中， ， ， 交 于点D，P为线段 上的动点，则的最小值为___________． 19. 在矩形 中，过点A作 的垂线，垂足为点 ，矩形 的两边长分别是2和3，则的值是__________． 20. 如图，射线 与x轴所夹的锐角为，的长为1，，，，…，均为等边三角形，点，，，…，在x轴的正半轴上依次排列，点，，，…，在射线 上依次排列，那么点的坐标为___________． 三、解答题（满分60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知 的三个顶点的坐标分别为，，． （1）若 经过平移后得到，已知点的坐标为，画出，并写出点的坐标； （2）将 绕着点O按逆时针方向旋转 得到，画出，并写出点的坐标； （3）求出（2）中点A旋转到点所经过的路径长． 23. 为了解七年级同学最喜欢看哪一类课外书，某校随机抽取本校七年级部分同学进行问卷调查（每人必选且只选择一种最喜欢的书籍类型）．如图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图．请根据统计图的信息，解答下列问题： （1）一共有多少名学生参与了本次问卷调查？ （2）补全条形统计图； （3）扇形统计图中“其他”所在扇形的圆心角度数为___________； （4）若该校七年级有1500名学生，请你估计喜欢“科普常识”的学生人数． 24. 在一条笔直的公路旁，依次有小芳家、早餐店、学校，某休息日的早上7点，小芳步行匀速从家去学校取落在学校的学习用品，小芳出发4分钟后，王老师从学校步行匀速前往早餐店买早餐后原路原速返回学校，已知王老师步行速度是80米/分，在早餐店买早餐用了2分钟，两人同时到达学校．小芳和王老师距学校的距离y（米）和小芳出发的时间x（分钟）之间的关系如图所示，请结合图象解答下列问题： （1）图中 ，小芳家和早餐店之间的距离是 米； （2）求王老师从早餐店返回学校过程中y与x之间的函数解析式； （3）王老师出发多长时间，王老师和小芳相距150米？请直接写出答案． 25. 如图， 是 的直径，点C为 上一点， 为 的切线， 于点O，分别交于D、M两点． （1）求证：； （2）若 的半径为10，，求MC的长． 26. 某手机经销商计划同时购进甲乙两种型号手机，若购进2部甲型号手机和5部乙型号手机，共需要资金6000元；若购进3部甲型号手机和2部乙型号手机，共需要资金4600元． （1）求甲、乙型号手机每部进价各为多少元； （2）该店预计用不少于1.78万元且不多于1.92万元的资金购进这两种型号手机共20部，请问有多少种进货方案？ （3）若甲型号手机的售价为1500元，乙型号手机的售价为1450元，为了促销，公司决定每售出一台乙型号手机．返还顾客现金a元，甲型号手机售价不变，要使（2）中购进的手机全部售完，每种方案获利相同，求a的值． 27. 已知四边形 和四边形 均为正方形，连接 ， ，直线 与 交于点 ． （1）如图1，当点 在 上时，线段 和 的数量关系是___________，的度数为___________. （2）如图2，将正方形 绕点A旋转任意角度. ①请你判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由； ②当点H在直线AD左侧时，连接AH，则存在实数m，n满足等式，直接写出 ___________， ___________； （3）若，，则正方形AEFG绕点A旋转过程中，点F，H是否重合？若能，请直接写出此时线段BG的长，若不能，说明理由. 28. 如图在平面直角坐标系中，一次函数的图象与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，二次函数的图象经过 ， 两点，且与 轴的负半轴交于点 ，动点 在直线 下方的二次函数图象上． （1）求二次函数的表达式； （2）如图1，连接 ， ，设的面积为 ，求 的最大值及此时点D坐标； （3）点P在抛物线的对称轴上，平面内是否存在一点Q，使以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由： （4）如图2，过点 作于点 ，是否存在点 ，使得中的某个角恰好等于 的2倍？若存在，直接写出点 的横坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $