精品解析：浙江省金华市义乌市稠州中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

稠州中学八年级数学期中学历检测卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下面各式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列中国品牌新能源车的车标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 为筹备班级联欢会，班长对全班同学喜爱的水果做了民意调查，最值得关注的统计量是（ ） A. 中位数 B. 平均数 C. 方差 D. 众数 4. 用反证法证明命题“在中，若，则”时，首先应假设（ ） A. B. C. D. 5. 已知中，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 6. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（ ） A. 且 B. C. 且 D. 7. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6 cm，8 cm，则这个菱形的周长为（　　） A. 5 cm B. 10 cm C. 14 cm D. 20 cm 8. 如图，在正方形中，E为对角线上一点，连接、，，则为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，将矩形纸片沿对角线对折，使得点落在点处，交于点，若平分，，则的长是（ ） A. B. C. D. 3 10. 如图，在中，，点D是的一点，延长至点E，使得，过点E作于点F，G为的中点，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 使有意义的x的取值范围是______． 12. 已知一个凸多边形的内角和等于，则这个凸多边形的边数为_____． 13. 已知是方程的根，则该方程的另一根为______． 14. 小明利用公式计算若干个数的方差，则这些数的标准差为______． 15. 如图，的面积为16，点在上，点，在上，则图中阴影部分的面积为______． 16. 如图，在中，，点P为斜边上的一个动点（点P不与点A，B重合），过点P作，垂足分别为点D和点E，连接交于点Q，连接，当为直角三角形时，的长是______． 三、解答题（共8大题，共66分） 17. 计算题： （1）； （2） 18. 解方程： （1） （2） 19. 如图，大坝横截面是梯形，迎水坡的坡比为，背水坡的坡比为，大坝高米，坝顶宽米， （1）求大坝横截面的面积； （2）求大坝横截面的周长．（坡比指斜坡竖直距离与水平距离的比值） 20. 疫情期间，实验中学启动“抗疫在家体有运动打卡”活动．线上学习期间，为了解同学的打卡情况，某社会实践小组随机抽取某一周的部分打卡次数数据，通过分析与整理，绘制了如下统计图． （1）m＝　 　，a＝　 　． （2）这组数据的众数是　 　次，中位数是　 　次． 体育打卡次数（次） 体能测试成绩（分） 小方 49 10 小锋 50 9 （3）返校后，线上体育打卡1次记为1分，将线上体育打卡和体能测试成绩分别按照30%和70%的比例计算出平均成绩并评选出体育达人，小方与他的PK对手小锋的成绩分别如上表所示，请通过计算说明最终谁赢得了这场PK． 21. 已知：如图，E，F分别是的边，的中点，连结和，求证： 和互相平分． 22. 某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若每件衬衫降价5元，则商场平均每天可售出衬衫______件，每天获得的利润为______元． （2）若商场每天要获得利润1200元，请计算出每件衬衫应降价多少元？ （3）商场每天要获得利润有可能达到1400元吗？若能，请求出此时每件衬衫的利润；若不能，请说明理由． 23. 若一个四边形有一组邻边相等，且这组邻边夹角所对的对角线平分一个内角，则称这样的四边形为“近似菱形”，例如：如图1，在四边形中，，平分，则四边形是近似菱形． （1）请在图2中作出一个以为对角线的“近似菱形”，顶点A、顶点C要在网格格点上． （2）如图3，在四边形中，，，，求证：四边形是“近似菱形”． （3）在（2）的条件下，若，，求的长． 24. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标分别为，点为对角线中点，点在轴上运动，连接，把沿翻折，点的对应点为点，连接． （1）当点在第四象限时（如图1），求证：． （2）当点落在矩形的某条边上时，求的长． （3）是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 稠州中学八年级数学期中学历检测卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下面各式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式定义，涉及二次根式性质，根据二次根式性质将选项中的二次根式化简即可得到答案，熟记最简二次根式定义是解决问题的关键． 【详解】解：A、，故不是最简二次根式，选项不符合题意； B、，故不是最简二次根式，选项不符合题意； C、，故不是最简二次根式，选项不符合题意； D、是最简二次根式，选项符合题意； 故选：D． 2. 下列中国品牌新能源车的车标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的识别，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】解：A．该图不是中心对称图形，故不符合题意； B．该图是中心对称图形，故符合题意； C．该图不是中心对称图形，故不符合题意； D．该图不是中心对称图形，故不符合题意； 故选：B． 3. 为筹备班级联欢会，班长对全班同学喜爱的水果做了民意调查，最值得关注的统计量是（ ） A. 中位数 B. 平均数 C. 方差 D. 众数 【答案】D 【解析】 【分析】最值得关注的应该是哪种水果爱吃的人数最多，即众数． 【详解】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故班长最值得关注的应该是统计调查数据的众数． 故选：D． 【点睛】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用． 4. 用反证法证明命题“在中，若，则”时，首先应假设（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可． 【详解】解：用反证法证明命题“在中，若，则”时， 首先应假设． 故选：D． 【点睛】本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 5. 已知中，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形对角相等，求出，对边平行，得到，进而可求出． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 6. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（ ） A. 且 B. C. 且 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据是关于的一元二次方程，可知，根据一元二次方程有实数根，可得不等式，解不等式求出的取值范围即可． 【详解】解：是关于的一元二次方程， ， 又有实数根， ， 解得：， 的取值范围为且． 7. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6 cm，8 cm，则这个菱形的周长为（　　） A. 5 cm B. 10 cm C. 14 cm D. 20 cm 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：∵菱形的对角线AC与BD相交于点O， ∴AO=OC，BO=OD，AC⊥BD，AB=BC=CD=AD， ∵AC=6cm，BD=8cm， ∴在Rt△AOB中，AO=3cm，BO=4cm，∠AOB=90°， 由勾股定理得：AB==5cm， ∴菱形的周长为4×5=20cm， 故选：D． 【点睛】本题考查菱形的性质、勾股定理，熟练掌握菱形的对角线互相垂直且平分是解答的关键． 8. 如图，在正方形中，E为对角线上一点，连接、，，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据SAS证出△AED≌△CED，可得∠EAD=∠ECD，根据正方形的对角线性质以及∠BCE=70°可求∠BEC的度数，再根据三角形外角与内角的关系可求∠ECD的度数，最终可求出∠EAD的度数． 【详解】解：∵正方形ABCD， ∴∠ADE=∠CDE=∠EBC=45°，AD=CD， ∵DE=DE， ∴△AED≌△CED（SAS）， ∴∠EAD=∠ECD， 又∵∠BCE=70°， ∴∠BEC=65°， ∵∠BEC=∠CDE+∠ECD， 即65°=45°+∠ECD， ∴∠ECD=20°， ∴∠EAD=20°． 故选：C． 【点睛】本题主要考查正方形对角线平分对角的性质，解题的关键还需要借助三角形外角与内角的关系，再灵活运用三角形全等进行转化． 9. 如图，将矩形纸片沿对角线对折，使得点落在点处，交于点，若平分，，则的长是（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定与性质、利用平行线的性质和折叠的性质推出是解题关键．根据矩形的性质得，，由平行线的性质得，由折叠的性质得，于是，则，证明即可． 【详解】解：四边形为矩形， ，， ， 由折叠可知，， ，而，平分， ，， ，， 故选：A 10. 如图，在中，，点D是的一点，延长至点E，使得，过点E作于点F，G为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形全等，三角形中位线定理，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．分别延长交于，延长交于点，先证明，再证明是的中位线，可得，可得再证明，可得，再求解即可． 【详解】解：如图，分别延长交于，延长交于点， ， ， ， G为的中点， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 故选：B 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 使有意义的x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】二次根式有意义的条件． 【详解】解：根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须 ． 故答案为：． 12. 已知一个凸多边形的内角和等于，则这个凸多边形的边数为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和定理，能根据题意得出关于n的方程是解此题的关键，注意：边数为n的多边形的内角和． 设这个多边形的边数为n，根据题意得出，求出即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 则， 解得：， 故答案为：6． 13. 已知是方程的根，则该方程的另一根为______． 【答案】 【解析】 【分析】设关于的方程的另一个根是，利用两根之和等于，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设关于的方程的另一个根是， 依题意得：， 解得：， ∴该方程的另一根为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及解一元一次方程，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． 14. 小明利用公式计算若干个数的方差，则这些数的标准差为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了标准差：样本方差的算术平方根表示样本的标准差，它也描述了数据对平均数的离散程度．也考查了平均数与方差，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．先根据平均数的定义求出，再代入公式求出方差，然后求出方差的算术平方根即标准差的值． 【详解】解：根据题意知，， 则， ． 故答案为． 15. 如图，的面积为16，点在上，点，在上，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】8 【解析】 【分析】此题重点考查平行四边形的性质、两条平行线之间的距离处处相等、平行四边形的面积公式、三角形的面积公式等知识，证明图中阴影部分的面积是平行四边形的面积的一半是解题的关键．由平行四边形的性质得，设与之间的距离为，则，而，所以，即可求得图中阴影部分的面积为8，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， 设与之间的距离为，则， ， ， 图中阴影部分的面积为8， 故答案为：8 16. 如图，在中，，点P为斜边上的一个动点（点P不与点A，B重合），过点P作，垂足分别为点D和点E，连接交于点Q，连接，当为直角三角形时，的长是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，分类讨论的数学思想是解决问题的关键．由已知求出，再分和两种情况进行讨论，即可求出答案． 【详解】解：在中，， ， ， 四边形是矩形， ， 当时，如图1， 则， ， ，， ， 当时，如图2， ， 垂直平分， ， 由题意得， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，当为直角三角形时，的长是或， 故答案为：或 三、解答题（共8大题，共66分） 17. 计算题： （1）； （2） 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算及二次根式的运算，正确利用算术平方根的意义及二次根式的乘除法运算法则运算是解题的关键． （1）利用算术平方根的意义化简运算即可； （2）利用二次根式的乘除运算法则进行计算即可． 【小问1详解】 解：原式， ； 【小问2详解】 原式 ． 18. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程的方法，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．当化简后不能用分解因式的方法即可考虑求根公式法，此法适用于任何一元二次方程． （1）用因式分解法解方程即可； （2）利用求根公式法解方程即可． 【小问1详解】 解：原方程移项得 ， ， 解得，． 【小问2详解】 ，，， ． ， 19. 如图，大坝横截面是梯形，迎水坡的坡比为，背水坡的坡比为，大坝高米，坝顶宽米， （1）求大坝横截面的面积； （2）求大坝横截面的周长．（坡比指斜坡竖直距离与水平距离的比值） 【答案】（1）2800 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，勾股定理，掌握坡度的概念：坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键． （1）首先根据坡度的概念求出米，米，进而求解即可； （2）首先根据勾股定理求出，，进而求解即可． 【小问1详解】 ∵迎水坡的坡比为，米， ∴，即 ∴米； ∵背水坡的坡比为，米， ∴，即 ∴米 ∴大坝横截面的面积为； 【小问2详解】 ∵，米，米， ∴米 ∵，米，米 ∴米 ∴周长为米． 20. 疫情期间，实验中学启动“抗疫在家体有运动打卡”活动．线上学习期间，为了解同学的打卡情况，某社会实践小组随机抽取某一周的部分打卡次数数据，通过分析与整理，绘制了如下统计图． （1）m＝　 　，a＝　 　． （2）这组数据的众数是　 　次，中位数是　 　次． 体育打卡次数（次） 体能测试成绩（分） 小方 49 10 小锋 50 9 （3）返校后，线上体育打卡1次记为1分，将线上体育打卡和体能测试成绩分别按照30%和70%的比例计算出平均成绩并评选出体育达人，小方与他的PK对手小锋的成绩分别如上表所示，请通过计算说明最终谁赢得了这场PK． 【答案】（1）4，126°；（2）；（3）小方赢得了这场PK，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）根据打卡4次数及其所占的百分比求出打卡总数，根据各组打卡次数之和等于总次数得到m的值，用360°乘以打卡6次所占的百分比求出α； （2）根据众数与中位数的定义求解； （3）分别求出两人的加权平均数，分数较高者赢得这场PK． 【详解】解：（1）抽取的打卡总次数为：2÷10%＝20（次）， m＝20﹣（3+4+2+7）＝4， α＝360°×＝126°． 故答案为：4，126°； （2）打卡6次的次数为7，次数最多，所以众数是6次； 把20个数据按从小到大的顺序排列，位于第10，11个的数据都是5，所以中位数是5次． 故答案为：6，5； （3）小方的成绩为：49×30%+10×70%＝21.7（分）， 小锋的成绩为：50×30%+9×70%＝21.3（分）， ∵21.7＞21.3， ∴小方赢得了这场PK． 【点睛】本题考查扇形统计图、条形统计图、众数、中位数、加权平均数等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 21. 已知：如图，E，F分别是的边，的中点，连结和，求证： 和互相平分． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质应用．证明四边形是平行四边形是解题的关键．利用平行四边形的性质证明四边形是平行四边形即可． 【详解】∵四边形是平行四边形，∴，． ∵E，F是，的中点， ∴，， ∴ ∴四边形是平行四边形． ∴和互相平分． 22. 某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若每件衬衫降价5元，则商场平均每天可售出衬衫______件，每天获得的利润为______元． （2）若商场每天要获得利润1200元，请计算出每件衬衫应降价多少元？ （3）商场每天要获得利润有可能达到1400元吗？若能，请求出此时每件衬衫的利润；若不能，请说明理由． 【答案】（1）30，1050 （2）每件衬衫应降价20元 （3）无法达到，理由见解析 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售的利润是解题关键． （1）根据题意得到每天的销售量，然后由销售量×每件盈利进行解答． （2）设每件衬衫应降价x元，利用衬衣平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种衬衣利润列出方程解答即可． （3）同样列出方程，若方程有实数根则可以，否则不可以． 【小问1详解】 根据题意可得：商场平均每天可售出衬衫（件），每天获得的利润为（元）． 故答案为：30，1050； 【小问2详解】 设每件衬衫应降价x元，根据题意，得 ， 解得，， ∵要尽快减少库存， ∴， 答：每件衬衫应降价20元； 【小问3详解】 设每件衬衫应降价x元 ， 化简得， ， ∴方程无实根， ∴1400元的利润无法达到 23. 若一个四边形有一组邻边相等，且这组邻边夹角所对的对角线平分一个内角，则称这样的四边形为“近似菱形”，例如：如图1，在四边形中，，平分，则四边形是近似菱形． （1）请在图2中作出一个以为对角线的“近似菱形”，顶点A、顶点C要在网格格点上． （2）如图3，在四边形中，，，，求证：四边形是“近似菱形”． （3）在（2）的条件下，若，，求的长． 【答案】（1） 如图2所示，答案不唯一； （2） 证明：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴平分，， ∴， ∴四边形是“近似菱形”； （3） 【解析】 【分析】本题考查了“近似菱形”定义、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理等知识点，是四边形综合题．正确作出辅助线构建菱形是解题的关键． （1）理解“近似菱形”的定义，按照定义作图即可，答案不唯一； （2）理解“近似菱形”的定义，按照定义找出条件证明即可； （3）过点D作，交于E，连接，交于O，证明四边形是菱形，得出条件证明，最后根据勾股定理即可求出． 【小问1详解】 ∵以为对角线的“近似菱形”， ∴或，以为例作图，则点A在的垂直平分线上，设点A在上方第三个网格格点上，则点C在点B下方第一个网格对角线上，如图2所示； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过点D作，交于E，连接，交于O，如图3所示： ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形， ∴，，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴ ∴ 在中，由勾股定理得：． 24. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标分别为，点为对角线中点，点在轴上运动，连接，把沿翻折，点的对应点为点，连接． （1）当点在第四象限时（如图1），求证：． （2）当点落在矩形的某条边上时，求的长． （3）是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）的长为4或5 （3）存在，点或或或 【解析】 【分析】（1）由三角形外角和定理和折叠的性质可得，，能够推导出，从而可证明； （2）①当时，此时点与点重合，；②当点与点重合时，在中，，求得； （3）画出图形，结合图形分三种情况讨论：当四边形为平行四边形时，或；当四边形为平行四边形时，；当四边形为平行四边形时，． 【小问1详解】 证明：由折叠可知，， 点为中点， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：①当时，如图所示： ，此时点与点重合， ， ，四边形是矩形， ， ； ②当点与点重合时，如图所示： ，， 在中，，即，解得， ； 综上所述：的长为4或； 【小问3详解】 解：在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： 当四边形为平行四边形时，如图所示： ，且， ，， ， 是的中点，， ， ， ； 当四边形为平行四边形时，如图所示： ，且， 是的中点， ， ， ， 四边形为平行四边形， 由折叠性质可得，则四边形为菱形， ， 是的中点，， ， ， ； 当四边形为平行四边形时，如图所示： ， ， ， ， 在中，，，则由勾股定理可得， ， ； 当四边形为平行四边形时，如图所示： ， ， ， 在中，，则由勾股定理可得， ， ； 综上所述：点或或或． 【点睛】本题是四边形的综合题，涉及折叠性质、平行线的判定与性质、矩形的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理、中点坐标公式、等腰三角形的性质，直角三角形的性质、两点距离公式等知识，熟练掌握图形折叠的性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，数形结合解题是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $