精品解析：2024年山西省太原市杏花岭区山西省实验中学中考三模数学试题

山西省实验中学 2023—2024学年第二学期中考模拟测评（卷） 九年级 数学 （本试卷满分120分，考试时间120分钟） 命题人：刘少伟 校对人：薛皓天 一、单项选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下列四个地方：死海（海拔﹣400米），卡达拉低地（海拔﹣133米），罗讷河三角洲（海拔﹣2米），吐鲁番盆地（海拔﹣154米）．其中最低是（ ） A. 死海 B. 卡达拉低地 C. 罗讷河三角洲 D. 吐鲁番盆地 2. 如图示，，．若，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表： 跳高成绩（m） 1.50 1.55 1.60 1.65 1.70 1.75 跳高人数 1 3 2 3 5 1 这些运动员跳高成绩的众数是（ ）m． A. 3 B. 5 C. 1.65 D. 1.70 4. 下列行车提示标志牌中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 解集在数轴上表示如图示的不等式组是（ ） A. B. C. D. 6. 在记忆平行四边形的判定时，为了方便，我们是这样记忆的：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，两组对角分别相等的四边形是平行四边形，对角线互相平分的四边形是平行四边形．在这个记忆方法中，体现的主要的数学思想是（ ） A 数形结合思想 B. 分类讨论思想 C. 转化思想 D. 类比思想 7. 某校九年级（1）班在举行元旦联欢会时，班长觉得快要毕业了，决定临时增加一个节目：班里面任何两个人都要拥抱一下．有好事者统计了一下，全班同学共拥抱了780下，你知道九年级（1）班有多少同学吗？如果设九年级（1）有x名同学，根据题意列出的方程是（ ） A. B. C. D. 8. 方程组的解是（ ） A. B. C. D. 9. 已知二次函数的图象如图示，在下列四个结论中：①；②；③；④．错误的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图示，是的中线，点D是边靠近顶点B的一个三等分点，连接，交于点F，则等于（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 计算_______． 12. 小明拿43元钱购买火腿肠和方便面，已知一盒方便面4元，一根火腿肠2元，他买了4盒方便面，则小明最多能买______根火腿肠． 13. 在一次调查学生每天所带零花钱的活动中，某班50名同学所带的零花钱分别是5元、10元、20元、50元和100元．下面的统计图反映了所带零花钱的人数比例，那么该班同学平均每人所带的钱数是______元． 14. 如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形组成，第（1）个图案有3个正方形，第（2）个图案有8个正方形，第（3）个图案有14个正方形，…依此规律，第个图案有______个正方形（用含n的代数式表示）． 15. 如图示，半圆的直径，弦，将半圆沿着过点A的直线折叠，折叠后使得弦恰好落在直径上，则折痕的长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 17. 如图示，矩形的边分别在坐标轴上，反比例函数的图象经过边的中点D，与边交于点E． （1）如果点D的坐标为，请直接写出点E的坐标； （2）试判断的中点是否在反比例函数的图象上，并说明理由． 18. 如图示，已知等边，．请解答下列问题： （1）尺规作图：请将补成一个菱形（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求菱形对角线的长． 19. 在国家深化改革、扩大开放，以经济建设为中心，全面建设小康社会大背景下，“建设新农村，提高农民的收入，提升农民的幸福感”，成为了某乡镇政府的核心任务，今年，本乡镇主要有两种经济作物，总产量分别如下表： 类别 小麦 大豆 总产量（万公斤） 1440 270 通过统计与计算发现小麦的亩产量是大豆亩产量的4倍，种植小麦的田亩数比种植大豆的田数多5000亩． （1）求种植小麦的田亩数． （2）为加大经济作物种的田亩数，乡镇政府决定再从种植小麦的土地中，拨出一定的土地种植经济价值较高的蔬菜，但不得超过剩余种植小麦土地的四分之一．求可以最多种植蔬菜多少亩． 20. 前苏联伟大的作家高尔基曾说“书是人类进步的阶梯”，英国哲学家培根曾有句名言：“知识就是力量”，可见阅读对人成长的影响，一本好书往往能改变人的一生，在我国也有“三日不读书，语言乏味，面目可憎”“腹有诗书气自华”等名句，由于书籍对人类有着如此大的影响，于是，在年联合国教科文组织把每年月日确定为“世界读书日”．“希望”中学校为了建设书香校园，把每年的月定为本校的读书活动月．今年，某课外活动小组为了了解本校学生读书活动月的读书借阅情况，进行了一番调查，并把数据汇总整理，绘制成了如下三幅不完整的统计图表（其中八年级学生数为人）． 图书借阅种类频率统计表 图书种类 频率 科普图书 0.35 文学小说 人物传记 0.15 其他 请根据统计图中的信息，解答下列问题： （1）“希望”学校全校有学生______名； （2）请求出“希望”学校平均每名学生读书多少本； （3）请补充完整图书借阅种类频数分布图． 21. 请阅读下面的材料，并解答问题． 婆罗摩笈多（Brahmagupta）约公元598年生，约660年卒，在数学、天文学方面有所成就，他编著了《婆罗摩修正体系》《肯达克迪迦》，婆罗摩笈多的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位，其中有著名的婆罗摩笈多定理．婆罗摩笈多定理：圆的内接四边形的对角线与垂直相交于M，过点M的直线与边分别相交于点F、E．则有下两个结论： 如果，那么； 如果，那么． 数学课上，赵老师带领大家对该定理的第一条进行了探究． 证明：， ，即， ， ， 在中，， …… 请解答以下问题： （1）请完成所给材料证明过程； （2）请证明结论（2）； （3）应用：如图圆O中，半径为4，A，B，C，D为圆上的点，，连接交于点F，过点F作于E，延长交于G，则的长度为______． 22. 乒乓球被誉为中国国球．2023年的世界乒乓球标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度为的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分． 乒乓球到球台的竖直高度记为（单位：），乒乓球运行的水平距离记为（单位：）．测得如下数据： 水平距离x/ 竖直高度y/ （1）在平面直角坐标系中，描出表格中各组数值所对应的点，并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象； （2）①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是__________，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是__________； ②求满足条件的抛物线解析式； （3）技术分析：如果只上下调整击球高度，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出的取值范围，以利于有针对性的训练．如图②．乒乓球台长为274，球网高为15.25．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球高度的值约为1.27．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值（乒乓球大小忽略不计）． 23. 数学活动——旋转中的数学 “猎奇”兴趣小组在课外活动中遇到了一个问题，请帮他们解答．如图（1），在矩形中，，，点E，点F分别为边的中点，四边形为矩形，连接，点M为的中点，点N，点P分别为的中点．连接． （一）“猪奇”兴趣小组在研究的过程中，发现了与存在着一定的数量关系． （1）请直接写出与的数量关系． （2）如图（2），当矩形绕点A旋转（比如顺时针旋转）时，其他条件不变，（1）中与的数量关系还成立吗？若成立，请求出这个数量关系；若不成立，请说明理由． （二）“猎奇”兴趣小组在研究时，在图（1）中还发现了“”这个结论． （1）在图（2）中，小组成员通过观察测量发现与还是具有互相垂直位置关系，但是不能确定是否一定成立，你认为一定成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． （2）小组的其他成员试着又对图形进行了变换，如图（3），它是矩形随意移动一个位置后形成的图形，在这个图形中，还成立吗？请直接写出你的猜想，不必证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 山西省实验中学 2023—2024学年第二学期中考模拟测评（卷） 九年级 数学 （本试卷满分120分，考试时间120分钟） 命题人：刘少伟 校对人：薛皓天 一、单项选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下列四个地方：死海（海拔﹣400米），卡达拉低地（海拔﹣133米），罗讷河三角洲（海拔﹣2米），吐鲁番盆地（海拔﹣154米）．其中最低的是（ ） A. 死海 B. 卡达拉低地 C. 罗讷河三角洲 D. 吐鲁番盆地 【答案】A 【解析】 【分析】根据有理数大小的比较，正数大于0，0大于负数，正数大于负；两个负数比较，绝对值大的反而小，即可得答案. 【详解】∵， ∴-400<-154<-133<-2， ∴最低的是死海， 故选A. 【点睛】本题考查了有理数的比较，熟记正数大于0，0大于负数，正数大于负；两个负数比较，绝对值大的反而小是解题关键. 2. 如图示，，．若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了余角的特征，掌握同角的余角相等是解题关键．由垂直可得，进而得出，即可求解． 【详解】解：，， ， ， ， 故选：C 3. 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表： 跳高成绩（m） 1.50 1.55 1.60 1.65 1.70 1.75 跳高人数 1 3 2 3 5 1 这些运动员跳高成绩的众数是（ ）m． A. 3 B. 5 C. 1.65 D. 1.70 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了求众数，准确理解众数的概念是解题的关键． 根据众数的定义：次数最多的数为众数，求解即可 【详解】在这一组数据中1.70是出现次数最多的， ∴众数是1.70； 故选D． 4. 下列行车提示标志牌中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：B，C，D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； B选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 故选：A． 5. 解集在数轴上表示如图示的不等式组是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．先解出四个选项的解集，再根据不等式组的解集的表示方法逐一判断即可． 【详解】解：A、不等式组，解得，解集为，不符合题意； B、不等式组，解得，解集为，不符合题意； C、不等式组，解得，不等式组无解，不符合题意； D、不等式组，解得，解集为，符合题意； 故选：D． 6. 在记忆平行四边形的判定时，为了方便，我们是这样记忆的：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，两组对角分别相等的四边形是平行四边形，对角线互相平分的四边形是平行四边形．在这个记忆方法中，体现的主要的数学思想是（ ） A. 数形结合思想 B. 分类讨论思想 C. 转化思想 D. 类比思想 【答案】B 【解析】 【分析】根据分类思想解答即可． 本题考查了数学的分类讨论的思想，熟练掌握数学思想是解题的关键． 【详解】根据分类讨论思想， 故A不符合题意； B符合题意； C不符合题意； D不符合题意； 故选B． 7. 某校九年级（1）班在举行元旦联欢会时，班长觉得快要毕业了，决定临时增加一个节目：班里面任何两个人都要拥抱一下．有好事者统计了一下，全班同学共拥抱了780下，你知道九年级（1）班有多少同学吗？如果设九年级（1）有x名同学，根据题意列出的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程在实际生活中的应用，明白两人拥抱应该只算一次并据此列出方程是解题的关键． 因为每位同学都要与除自己之外的名同学拥抱一次，所以共拥抱次，由于每次拥抱都是两人，应该算一次，所以共拥抱次，即可列方程． 【详解】解：根据题意，得， 故选：A． 8. 方程组的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据加减消元法，可得方程组的解． 【详解】解：， ①+②，得 3x=9， 解得x=3， 把x=3代入①， 得3+y=5， 解得：y=2， 所以原方程组的解为， 故选C． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，掌握加减消元法是解题的关键．本题还可以根据二元一次方程组的解的定义，将四个选项中每一组未知数的值代入原方程组进行检验． 9. 已知二次函数的图象如图示，在下列四个结论中：①；②；③；④．错误的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质并数形结合是解题的关键．根据抛物线开口方向、对称轴位置、与y轴交点即可判断①和②，根据当时，，即可判断③，根据二次函数图象与x轴没有交点即可判断④． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，则，由抛物线对称轴的位置可知， ∴，， ∴，故①正确， 由抛物线与y轴相交于负半轴，则， ∴，故②正确； 根据函数图象可得当时，，故③错误； 根据函数图象可得，该二次函数图象与x轴没有交点，则，故④错误， 综上可知，错误的是③④， 故选：B 10. 如图示，是的中线，点D是边靠近顶点B的一个三等分点，连接，交于点F，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质和判定，三角形中线的性质，作，交于点，证明，结合三角形中线的性质，得到，，根据题意得到，进而得到，证明，利用相似三角形性质得到，，即可解题． 【详解】解：作，交于点， ， 是的中线， ，即，， 点D是边靠近顶点B的一个三等分点， ， ， ， ， ， 即，， ， 故选：B． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 计算_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法法则计算即可. 【详解】 故答案是： 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法运算法则是解题的关键. 12. 小明拿43元钱购买火腿肠和方便面，已知一盒方便面4元，一根火腿肠2元，他买了4盒方便面，则小明最多能买______根火腿肠． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用：由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． 设小明最多能买x根火腿肠，利用总费用不超过43元列不等式，然后求出不等式的最大整数解即可． 【详解】设小明最多能买x根火腿肠， 根据题意得， 解得 ∵x整数 ∴x的最大整数为13． ∴小明最多能买13根火腿肠． 故答案为：13． 13. 在一次调查学生每天所带零花钱的活动中，某班50名同学所带的零花钱分别是5元、10元、20元、50元和100元．下面的统计图反映了所带零花钱的人数比例，那么该班同学平均每人所带的钱数是______元． 【答案】31.2 【解析】 【分析】本题考查平均数，根据扇形统计图得到零花钱分别是5元、10元、20元、50元和100元的人数，再根据平均数定义计算即可． 【详解】解：该班同学平均每人所带的钱数是： （元）， 故答案为：31.2． 14. 如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形组成，第（1）个图案有3个正方形，第（2）个图案有8个正方形，第（3）个图案有14个正方形，…依此规律，第个图案有______个正方形（用含n的代数式表示）． 【答案】 【解析】 【分析】由题意知，正方形的个数为所有的正方形的总和，据此可得第个图形中正方形的个数．本题主要考查图形的变化规律． 【详解】解：第1个图形中正方形的个数为个，3小正方形， 第2个图形中正方形的个数为个，6个小正方形，2个大正方形 即； 第3个图形中正方形的个数为14个，9个小正方形，4个中正方形，1个大正方形 即； 第4个图形中正方形的个数为18个，12个小正方形，6个中正方形，2个大正方形 即； 以此类推 第个图形中正方形的个数， 故答案为：． 15. 如图示，半圆的直径，弦，将半圆沿着过点A的直线折叠，折叠后使得弦恰好落在直径上，则折痕的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接、、、记交于点，利用圆周角定理和勾股定理得到，利用等腰三角形性质、对称的性质、以及平行线性质和判定得到于点，利用垂径定理得到，利用勾股定理得到，进而得到，再利用勾股定理得到，进而得到． 【详解】解：连接、、、记交于点， 是的直径， ， ，， ， ， ， 半圆沿着过点A的直线折叠，折叠后使得弦恰好落在直径上， ， ， ， ， 于点， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形性质，圆周角定理，平行线性质和判定，轴对称性质，勾股定理，垂径定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）先化简二次根式，计算负整数幂，绝对值化简，再计算加减即可； （2）先根据分式的混合运算法则计算，再代入计算即可． 【详解】解：（1）原式 ． （2） ． 当时，原式． 17. 如图示，矩形的边分别在坐标轴上，反比例函数的图象经过边的中点D，与边交于点E． （1）如果点D的坐标为，请直接写出点E的坐标； （2）试判断的中点是否在反比例函数的图象上，并说明理由． 【答案】（1） （2）在，理由见解析 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质，矩形的性质，数形结合是解题的关键． （1）求出反比例函数解析式为，得到点B的坐标为，则点E的横坐标为4，求出点E的纵坐标，即可得到答案； （2）设点D的坐标为，则，即，求出的中点的坐标是，由即可证明结论． 【小问1详解】 解：把点D的坐标代入得到， ，解得 ， ∴反比例函数解析式为， ∵四边形是矩形， ∴， ∴点B的坐标为， ∴点E的横坐标为4， 当时，， ∴点E的坐标为； 【小问2详解】 中点在反比例函数图象上，理由如下： 设点D的坐标为，则，即， ∵四边形是矩形， ∴， ∴点B的坐标为， ∴的中点的坐标是， ∵ ∴的中点在反比例函数的图象上． 18. 如图示，已知等边，．请解答下列问题： （1）尺规作图：请将补成一个菱形（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求菱形对角线长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）分别以A，C为圆心，以长为半径，画弧，二弧交于点D，则点D即为所求； （2）根据菱形的性质，选择适当的三角函数解答即可． 本题考查了基本作图，菱形性质，解直角三角形， 【小问1详解】 分别以A，C为圆心，以长为半径，画弧，二弧交于点D，如图， 则点D即为所求． 【小问2详解】 设菱形的对角线，交于点O． ∵四边形菱形， ∴，． ∵是等边三角形， ∴． 在中， ∵，， ∴． ∴． 19. 在国家深化改革、扩大开放，以经济建设为中心，全面建设小康社会的大背景下，“建设新农村，提高农民的收入，提升农民的幸福感”，成为了某乡镇政府的核心任务，今年，本乡镇主要有两种经济作物，总产量分别如下表： 类别 小麦 大豆 总产量（万公斤） 1440 270 通过统计与计算发现小麦的亩产量是大豆亩产量的4倍，种植小麦的田亩数比种植大豆的田数多5000亩． （1）求种植小麦的田亩数． （2）为加大经济作物种的田亩数，乡镇政府决定再从种植小麦的土地中，拨出一定的土地种植经济价值较高的蔬菜，但不得超过剩余种植小麦土地的四分之一．求可以最多种植蔬菜多少亩． 【答案】（1）小麦的种植面积为20000亩 （2）改种蔬菜的最大面积为4000亩 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用等知识，根据题意准确列出式子是解题关键． （1）设小麦的种植面积为x亩，根据“小麦的亩产量是大豆亩产量的4倍”列出分式方程，解分式方程即可求解； （2）设改种蔬菜的面积为y亩，根据“改种蔬菜的面积不超过剩余种植小麦面积的四分之一”列出不等式，解不等式即可求解． 【小问1详解】 解：设小麦的种植面积为x亩， 由题意得， 解得． 检验：当时，， ∴是分式方程的解． 答：小麦的种植面积为20000亩； 【小问2详解】 解：设改种蔬菜的面积为y亩， 根据题意得， 解得． 答：改种蔬菜的最大面积为4000亩． 20. 前苏联伟大的作家高尔基曾说“书是人类进步的阶梯”，英国哲学家培根曾有句名言：“知识就是力量”，可见阅读对人成长的影响，一本好书往往能改变人的一生，在我国也有“三日不读书，语言乏味，面目可憎”“腹有诗书气自华”等名句，由于书籍对人类有着如此大的影响，于是，在年联合国教科文组织把每年月日确定为“世界读书日”．“希望”中学校为了建设书香校园，把每年的月定为本校的读书活动月．今年，某课外活动小组为了了解本校学生读书活动月的读书借阅情况，进行了一番调查，并把数据汇总整理，绘制成了如下三幅不完整的统计图表（其中八年级学生数为人）． 图书借阅种类频率统计表 图书种类 频率 科普图书 0.35 文学小说 人物传记 0.15 其他 请根据统计图中的信息，解答下列问题： （1）“希望”学校全校有学生______名； （2）请求出“希望”学校平均每名学生读书多少本； （3）请补充完整图书借阅种类频数分布图． 【答案】（1）； （2）本； （3）补图见解析． 【解析】 【分析】（）用八年级学生数除以其百分比即可求解； （）用文学小说和其他的总数量除以它们的频率和可求出图书借阅总数量，进而根据算术平均数的定义计算即可求解； （）分别求出科普图书借阅量和人物传记借阅量即可求解； 本题考查了扇形统计图，频数分布直方图和频数分布表，平均数，看懂统计图表之间的数量关系是解题的关键． 【小问1详解】 解：“希望”学校全校学生人数为名， 故答案为：； 【小问2详解】 解：图书借阅总数量为本， ∴“希望”学校平均每名学生读书为本； 【小问3详解】 解：科普图书借阅量为本， 人物传记借阅量为本， ∴补充完整图书借阅种类频数分布图如下： 21. 请阅读下面的材料，并解答问题． 婆罗摩笈多（Brahmagupta）约公元598年生，约660年卒，在数学、天文学方面有所成就，他编著了《婆罗摩修正体系》《肯达克迪迦》，婆罗摩笈多的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位，其中有著名的婆罗摩笈多定理．婆罗摩笈多定理：圆的内接四边形的对角线与垂直相交于M，过点M的直线与边分别相交于点F、E．则有下两个结论： 如果，那么； 如果，那么． 数学课上，赵老师带领大家对该定理的第一条进行了探究． 证明：， ，即， ， ， 在中，， …… 请解答以下问题： （1）请完成所给材料的证明过程； （2）请证明结论（2）； （3）应用：如图圆O中，半径为4，A，B，C，D为圆上的点，，连接交于点F，过点F作于E，延长交于G，则的长度为______． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用圆周角定理及直角三角形的性质得到进而推出，同理得到，根据等边对等角即可得出结论； （2）根据题意得到，进而得到，利用圆周角定理结合对顶角推出，从而得到，即可证明； （3）连接，设交于点M，先利用等腰三角形的性质结合题意易证，再利用三角形内角和定理推出，从而证明，由（1）中结论易得，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得到，再根据勾股定理求出，即可得出结果． 【小问1详解】 证明：， ，即， ， ， 在中，， ， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵ ∴， ∴ 又∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，连接，设交于点M， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， 由（1）中结论可得， ， ， 在中，， ． 【点睛】本题考查圆的内接四边形，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理，勾股定理，熟练运用等腰三角形等角对等边的性质是解题的关键． 22. 乒乓球被誉为中国国球．2023年的世界乒乓球标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度为的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分． 乒乓球到球台的竖直高度记为（单位：），乒乓球运行的水平距离记为（单位：）．测得如下数据： 水平距离x/ 竖直高度y/ （1）在平面直角坐标系中，描出表格中各组数值所对应的点，并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象； （2）①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是__________，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是__________； ②求满足条件的抛物线解析式； （3）技术分析：如果只上下调整击球高度，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出的取值范围，以利于有针对性的训练．如图②．乒乓球台长为274，球网高为15.25．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球高度的值约为1.27．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值（乒乓球大小忽略不计）． 【答案】（1）见解析 （2）①；；② （3）乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值为 【解析】 【分析】（1）根据描点法画出函数图象即可求解； （2）①根据二次函数图象的对称性求得对称轴以及顶点，根据表格数据，可得当时，； ②待定系数法求解析式即可求解； （3）根据题意，设平移后的抛物线的解析式为，根据题意当时，，代入进行计算即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示， 【小问2详解】 ①观察表格数据，可知当和时，函数值相等，则对称轴为直线，顶点坐标为， 又抛物线开口向下，可得最高点时，与球台之间的距离是， 当时，， ∴乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是； 故答案为：；． ②设抛物线解析式为，将代入得， ， 解得：， ∴抛物线解析式为； 【小问3详解】 ∵当时，抛物线的解析式为， 设乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值为，则平移距离为， ∴平移后抛物线的解析式为， 依题意，当时，， 即， 解得：． 答：乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度值为． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，画二次函数图象，二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 23. 数学活动——旋转中的数学 “猎奇”兴趣小组在课外活动中遇到了一个问题，请帮他们解答．如图（1），在矩形中，，，点E，点F分别为边的中点，四边形为矩形，连接，点M为的中点，点N，点P分别为的中点．连接． （一）“猪奇”兴趣小组在研究的过程中，发现了与存在着一定的数量关系． （1）请直接写出与的数量关系． （2）如图（2），当矩形绕点A旋转（比如顺时针旋转）时，其他条件不变，（1）中与的数量关系还成立吗？若成立，请求出这个数量关系；若不成立，请说明理由． （二）“猎奇”兴趣小组在研究时，在图（1）中还发现了“”这个结论． （1）在图（2）中，小组成员通过观察测量发现与还是具有互相垂直的位置关系，但是不能确定是否一定成立，你认为一定成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． （2）小组的其他成员试着又对图形进行了变换，如图（3），它是矩形随意移动一个位置后形成的图形，在这个图形中，还成立吗？请直接写出你的猜想，不必证明． 【答案】（一）（1）；（2）仍然成立，理由见解析；（二）（1）一定成立，理由见解析；（2）仍然成立 【解析】 【分析】（一）（1）延长交于H，则四边形是矩形,利用勾股定理以及矩形性质求出线段长度即可得出结论；（2）连接，根据矩形性质，利用勾股定理求出的长度，利用角的余弦，证明从而得出结论； （二）（1）一定成立，如图示，连接，设的中点为U，连接，设的中点为V，连接并延长，连接并延长与的延长线交于点X，连接并延长，连接并延长与的延长线交于点W，通过证明，得到，利用角度间的关系即可得出结论；（2）同（1）的方法相同即可得出结论． 【详解】解：（一）（1），理由如下： 如图，延长交于H，则四边形是矩形． 在中，， ， ， ； （2）仍然成立，理由如下： 如图，连接， ∵点E，点F分别为边的中点，， ， ∵四边形，四边形都是矩形， ， 分别在 中，由勾股定理得： ， ，， ， ， ； （二）（1）一定成立，如图示，连接，设的中点为U，连接，设的中点为V，连接并延长，连接并延长与的延长线交于点X，连接并延长，连接并延长与的延长线交于点W， 在中， ∵点分别为的中点， ， 同理：， ， ∵四边形，四边形都是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）仍然成立，理由如下： 连接，设的中点为U，连接，设的中点为V，连接并延长，连接并延长与的延长线交于点X，连接并延长，连接并延长与的延长线交于点W， 与（1）同理可证， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形性质，解直角三角形的应用，中位线的性质，勾股定理，准确作出辅助线，构造出直角三角形是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$