专题08 概率与统计新定义问题-【高考新风向】2025年高考数学复习重要题型讲与练（新高考通用）

专题08 概率与统计新定义问题 解概率与统计下的新定义题，就是要细读定义关键词，理解本质特征，适时转化为“熟悉”问题．总之，解决此类问题，取决于已有知识、技能、数学思想的掌握和基本活动经验的积累，还需要不断的实践和反思，不然就谈不上“自然”的、完整的解题． 题型一 排列组合新定义 【例1】对于各数互不相等的正数数组（是不小于2的正整数），如果在时有，则称与是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为此数组的“逆序数”．例如，数组中有逆序“2，1”，“4，3”，“4，1”，“3，1”，其“逆序数”等于4．若各数互不相等的正数数组的“逆序数”是2，则的“逆序数”是（   ） A．13 B．24 C．15 D．25 【跟踪训练】 由0和1组成的序列称为0－1序列，序列中数的个数称为这个序列的长度，如01011是一个长度为5的0－1序列，在长度为8的0－1序列中，所有1互不相邻的序列个数为（    ） A．20 B．54 C．55 D．280 题型二 二项式定理新定义 【例2】产品抽样检查中经常遇到一类实际问题，假定在件产品中有件不合格品，在产品中随机抽件做检查，发现件不合格品的概率为，其中是与中的较小者，在不大于合格品数（即）时取0，否则取与合格品数之差，即 根据以上定义及分布列性质，请计算当时， ；若，请计算 .（两空均用组合数表示） 【跟踪训练】 中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设，，为整数，若和同时除以所得的余数相同，则称和对模同余，记为．若，，则的值可以是（   ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 题型三 概率新定义 【例3】条件概率与条件期望是现代概率体系中的重要概念.近年来，随着人们对随机现象的不断观察和研究，条件概率和条件期望已经被广泛的利用到日常生产生活中.定义：设X，Y是离散型随机变量，则X在给定事件条件下的期望为，其中为X的所有可能取值集合，表示事件“”与事件“”都发生的概率．某射击手进行射击训练，每次射击击中目标的概率均为p（），射击进行到击中目标两次时停止.设表示第一次击中目标时的射击次数，表示第二次击中目标时的射击次数． (1)求，； (2)求，． 【跟踪训练】混管病毒检测是应对单管病毒检测效率低下的问题，出现的一个创新病毒检测策略，混管检测结果为阴性，则参与该混管检测的所有人均为阴性，混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中至少有一人为阳性．假设一组样本有N个人，每个人患病毒的概率相互独立且均为．目前，我们采用K人混管病毒检测，定义成本函数，这里X指该组样本N个人中患病毒的人数． (1)证明：； (2)若，．证明：某混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中大概率恰有一人为阳性． 题型四 统计方法新定义 【例4】为了精准地找到目标人群，更好地销售新能源汽车，某4S店对近期购车的男性与女性各100位进行问卷调查，并作为样本进行统计分析，得到如下列联表： 购买新能源汽车（人数） 购买传统燃油车（人数） 男性 女性 (1)当时，将样本中购买传统燃油车的购车者按性别采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人调查购买传统燃油车的原因，记这3人中女性的人数为X，求X的分布列与数学期望； (2)定义，其中为列联表中第i行第j列的实际数据，为列联表中第i行与第j列的总频率之积再乘以列联表的总频数得到的理论频数.基于小概率值的检验规则：首先提出零假设（变量X，Y相互独立〉，然后计算的值，当时，我们推断不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过；否则，我们没有充分证据推断不成立，可以认为X和Y独立.根据的计算公式，求解下面问题： （i）当时，依据小概率值的独立性检验，请分析性别与是否喜爱购买新能源汽车有关； （ⅱ）当时，依据小概率值的独立性检验，若认为性别与是否喜爱购买新能源汽车有关，则至少有多少名男性喜爱购买新能源汽车? 附： 0.1 0.025 0.005 2.706 5.024 7.879 【跟踪训练】 在学业测试中，客观题难度的计算公式为，其中为第i题的难度，为答对该题的人数，N为参加测试的总人数.现对某校高三年级240名学生进行一次测试，共5道客观题.测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示： 题号 1 2 3 4 5 考前预估难度 0.9 0.8 0.7 0.6 0.4 测试后，随机抽取了20名学生的答题数据进行统计，结果如下 题号 1 2 3 4 5 实测答对人数 16 16 14 14 8 (1)根据题中数据，估计这240名学生中第5题的实测答对人数； (2)定义统计量,其中为第i题的实测难度，为第i题的预估难度(i=1，2，…，n).规定：若，则称该次测试的难度预估合理，否则为不合理.试据此判断本次测试的难度预估是否合理. 1．第14届国际数学教育大会在上海华东师范大学举行，如图是本次大会的会标，会标中“ICME-14”的下方展示的是八卦中的四卦3、7、4、4，这是中国古代八进制计数符号，换算成现代十进制是，正是会议计划召开的年份，那么八进制数换算成十进制数，则换算后这个数的末位数字是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 2．在明代珠算发明之前，我们的先祖从春秋开始多是用算筹为工具来记数、列式和计算的．算筹实际上是一根根相同长度的小木棍，如图是利用算筹表示数1～9的一种方法，例如：47可以表示为“”，已知用算筹表示一个不含“0”且没有重复数字的三位数共有504种等可能的结果，则这个数至少要用8根小木棍的概率为（    ） A． B． C． D． 3．英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A，B存在如下关系：.若某地区一种疾病的患病率是0.05，现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为95%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有95%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为0.5%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有0.5%的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为（    ） A． B． C． D． 4．定义；各位数字之和为9的四位数叫“好运数”，比如1008，2205，则所有“好运数”的个数为（    ） A．165 B．162 C．156 D．144 5．（多选）电子计算机是二十世纪最伟大的发明之一，当之无愧地被认为是迄今为止科学和技术所创造的最具影响力的现代工具，被广泛地应用于人们的工作和生活之中，计算机在进行数的计算和处理加工时，内部使用的是二进制计数制，简称二进制.一个十进制数n（n∈N*）可以表示为二进制数（a0a1a2…ak）2，即，其中a0=1，ai∈{0，1}，i=0，1，2，…k，k∈N*，用f（n）表示十进制数n的二进制表示1的个数，则（    ） A．f（7）=2 B．f（7）=3 C．对于任意r∈N*， D．对于任意r∈N*， 6．（多选）在次独立重复试验（即伯努利试验）中，每次试验中事件发生的概率为，则事件发生的次数服从二项分布，事实上，在无限次伯努利试验中，另一个随机变量的应用也很广泛，即事件首次发生时试验进行的次数，我们称从“几何分布”，经过计算，由此推广在无限次伯努利试验中，试验进行到事件和都发生后停止，此时所进行的试验次数记为，则，，那么下列说法正确的是（    ） A． B．， C．的最大值为 D． 7．除数函数（divisor function）的函数值等于n的正因数的个数，例如，，．则 ． 8．我们称元有序实数组为维向量，为该向量的范数.已知维向量，其中，，记范数为奇数的的个数为，则 .（用含的式子表示，） 9．某区域中的物种拥有两个亚种（分别记为种和种）.为了调查该区域中这两个亚种的数目，某生物研究小组计划在该区域中捕捉个物种，统计其中种的数目后，将捕获的生物全部放回，作为一次试验结果.重复进行这个试验共次，记第次试验中种的数目为随机变量.设该区域中种的数目为，种的数目为，每一次试验均相互独立. (1)求的分布列； (2)记随机变量.已知，； （ⅰ）证明：，； （ⅱ）该小组完成所有试验后，得到的实际取值分别为.数据的平均值，方差.采用和分别代替和，给出，的估计值. 10．品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，通常采用的测试方法如下：拿出（且）瓶外观相同但品质不同的酒让品酒师品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序．这称为一轮测试，根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分．现分别以，，，…，表示第一次排序时被排在，，，…，的种酒在第二次排序时的序号，并令，则是对两次排序的偏离程度的一种描述．下面取研究，假设在品酒师仅凭随机猜测来排序的条件下，，，，等可能地为，，，的各种排列，且各轮测试相互独立． （1）直接写出的可能取值，并求的分布列和数学期望； （2）若某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有，则认为该品酒师有较好的酒味鉴别功能．求出现这种现象的概率，并据此解释该测试方法的合理性． 11．在信息论中，熵（entropy）是接收的每条消息中包含的信息的平均量，又被称为信息熵､信源熵､平均自信息量.这里，“消息”代表来自分布或数据流中的事件､样本或特征.（熵最好理解为不确定性的量度而不是确定性的量度，因为越随机的信源的熵越大）来自信源的另一个特征是样本的概率分布.这里的想法是，比较不可能发生的事情，当它发生了，会提供更多的信息.由于一些其他的原因，把信息（熵）定义为概率分布的对数的相反数是有道理的.事件的概率分布和每个事件的信息量构成了一个随机变量，这个随机变量的均值（即期望）就是这个分布产生的信息量的平均值（即熵）.熵的单位通常为比特，但也用、、计量，取决于定义用到对数的底.采用概率分布的对数作为信息的量度的原因是其可加性.例如，投掷一次硬币提供了1的信息，而掷次就为位.更一般地，你需要用位来表示一个可以取个值的变量.在1948年，克劳德•艾尔伍德•香农将热力学的熵，引入到信息论，因此它又被称为香农滳.而正是信息熵的发现，使得1871年由英国物理学家詹姆斯•麦克斯韦为了说明违反热力学第二定律的可能性而设想的麦克斯韦妖理论被推翻.设随机变量所有取值为，定义的信息熵，（，）. (1)若，试探索的信息熵关于的解析式，并求其最大值； (2)若，（），求此时的信息熵. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 概率与统计新定义问题 解概率与统计下的新定义题，就是要细读定义关键词，理解本质特征，适时转化为“熟悉”问题．总之，解决此类问题，取决于已有知识、技能、数学思想的掌握和基本活动经验的积累，还需要不断的实践和反思，不然就谈不上“自然”的、完整的解题． 题型一 排列组合新定义 【例1】对于各数互不相等的正数数组（是不小于2的正整数），如果在时有，则称与是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为此数组的“逆序数”．例如，数组中有逆序“2，1”，“4，3”，“4，1”，“3，1”，其“逆序数”等于4．若各数互不相等的正数数组的“逆序数”是2，则的“逆序数”是（   ） A．13 B．24 C．15 D．25 【答案】A 【解析】在各数互不相等的正数数组（是不小于2的正整数）中任取2个数， 这2个数要么“顺序”（当时有），要么“逆序”，因此“顺序数”与“逆序数”的和为， 各数互不相等的正数数组的“逆序数”是2，则其“顺序数”为， 显然数组的“逆序数”等于数组的“顺序数”， 所以的“逆序数”是13. 故选：A 【跟踪训练】 由0和1组成的序列称为0－1序列，序列中数的个数称为这个序列的长度，如01011是一个长度为5的0－1序列，在长度为8的0－1序列中，所有1互不相邻的序列个数为（    ） A．20 B．54 C．55 D．280 【答案】B 【解析】当长度为8的0－1序列中，若有一个1，则有种； 当长度为8的0－1序列中，若有两个1，则有种； 当长度为8的0－1序列中，若有三个1，则有种； 当长度为8的0－1序列中，若有四个1，则有种； 当长度为8的0－1序列中，若有超过四个1，一定不满足题意； 所以共有种. 故选：B 题型二 二项式定理新定义 【例2】产品抽样检查中经常遇到一类实际问题，假定在件产品中有件不合格品，在产品中随机抽件做检查，发现件不合格品的概率为，其中是与中的较小者，在不大于合格品数（即）时取0，否则取与合格品数之差，即 根据以上定义及分布列性质，请计算当时， ；若，请计算 .（两空均用组合数表示） 【答案】 (或) 【解析】当时，, 因为， 所以. 当时， 因为, 所以, 所以 . 【跟踪训练】 中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设，，为整数，若和同时除以所得的余数相同，则称和对模同余，记为．若，，则的值可以是（   ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】C 【解析】 ， 所以除以的余数为， 选项中除以余数为的数只有. 故选：C. 题型三 概率新定义 【例3】条件概率与条件期望是现代概率体系中的重要概念.近年来，随着人们对随机现象的不断观察和研究，条件概率和条件期望已经被广泛的利用到日常生产生活中.定义：设X，Y是离散型随机变量，则X在给定事件条件下的期望为，其中为X的所有可能取值集合，表示事件“”与事件“”都发生的概率．某射击手进行射击训练，每次射击击中目标的概率均为p（），射击进行到击中目标两次时停止.设表示第一次击中目标时的射击次数，表示第二次击中目标时的射击次数． (1)求，； (2)求，． 【解】（1）由题设，， . （2）由题设，； 同（1），，， 所以. 【跟踪训练】混管病毒检测是应对单管病毒检测效率低下的问题，出现的一个创新病毒检测策略，混管检测结果为阴性，则参与该混管检测的所有人均为阴性，混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中至少有一人为阳性．假设一组样本有N个人，每个人患病毒的概率相互独立且均为．目前，我们采用K人混管病毒检测，定义成本函数，这里X指该组样本N个人中患病毒的人数． (1)证明：； (2)若，．证明：某混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中大概率恰有一人为阳性． 【解】（1）由题意可得满足二项分布， 由知，，当且仅当时取等号； （2）记（混管中恰有1例阳性|混管检测结果为阳性）， （混管中恰有i例阳性）=，， 令，， 则， 当时，，为单调递减， 当时，，为单调递增，所以， 且，， 所以当，即，两边取自然对数可得， 所以当，时， 所以， 则． 故某混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中大概率恰有一人为阳性. 题型四 统计方法新定义 【例4】为了精准地找到目标人群，更好地销售新能源汽车，某4S店对近期购车的男性与女性各100位进行问卷调查，并作为样本进行统计分析，得到如下列联表： 购买新能源汽车（人数） 购买传统燃油车（人数） 男性 女性 (1)当时，将样本中购买传统燃油车的购车者按性别采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人调查购买传统燃油车的原因，记这3人中女性的人数为X，求X的分布列与数学期望； (2)定义，其中为列联表中第i行第j列的实际数据，为列联表中第i行与第j列的总频率之积再乘以列联表的总频数得到的理论频数.基于小概率值的检验规则：首先提出零假设（变量X，Y相互独立〉，然后计算的值，当时，我们推断不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过；否则，我们没有充分证据推断不成立，可以认为X和Y独立.根据的计算公式，求解下面问题： （i）当时，依据小概率值的独立性检验，请分析性别与是否喜爱购买新能源汽车有关； （ⅱ）当时，依据小概率值的独立性检验，若认为性别与是否喜爱购买新能源汽车有关，则至少有多少名男性喜爱购买新能源汽车? 附： 0.1 0.025 0.005 2.706 5.024 7.879 【解】（1）当m=0时， 用分层抽样的方法抽取购买传统燃油车的6人中，男性有2人，女性有4人. 由题意可知，X的可能取值为1，2，3. X的分布列如下表 X 1 2 3 . （2）（i）零假设为： 性别与是否购买新能源汽车独立，即性别与是否购买新能源汽车无关联. 当m=0时， ， ， ∴根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为性别与是否购 买新能源汽车有关联，此推断犯错误的概率不超过0.005. （ⅱ） 由题意可知， 整理得， ， 所以的最大值为4， 又， 至少有76名男性购买新能源汽车. 【跟踪训练】 在学业测试中，客观题难度的计算公式为，其中为第i题的难度，为答对该题的人数，N为参加测试的总人数.现对某校高三年级240名学生进行一次测试，共5道客观题.测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示： 题号 1 2 3 4 5 考前预估难度 0.9 0.8 0.7 0.6 0.4 测试后，随机抽取了20名学生的答题数据进行统计，结果如下 题号 1 2 3 4 5 实测答对人数 16 16 14 14 8 (1)根据题中数据，估计这240名学生中第5题的实测答对人数； (2)定义统计量,其中为第i题的实测难度，为第i题的预估难度(i=1，2，…，n).规定：若，则称该次测试的难度预估合理，否则为不合理.试据此判断本次测试的难度预估是否合理. 【解】（1）因为第5题的实测难度为 所以估计这240名学生中第5题的实测答对人数为（人）. （2）根据题干中数据可得：， 故， . 故本次测试的难度所估合理. 1．第14届国际数学教育大会在上海华东师范大学举行，如图是本次大会的会标，会标中“ICME-14”的下方展示的是八卦中的四卦3、7、4、4，这是中国古代八进制计数符号，换算成现代十进制是，正是会议计划召开的年份，那么八进制数换算成十进制数，则换算后这个数的末位数字是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【解析】由进位制的换算方法可知，八进制换算成十进制得： ， 因为是10的倍数， 所以，换算后这个数的末位数字即为的末尾数字， 由可得，末尾数字为5. 故选：C 2．在明代珠算发明之前，我们的先祖从春秋开始多是用算筹为工具来记数、列式和计算的．算筹实际上是一根根相同长度的小木棍，如图是利用算筹表示数1～9的一种方法，例如：47可以表示为“”，已知用算筹表示一个不含“0”且没有重复数字的三位数共有504种等可能的结果，则这个数至少要用8根小木棍的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】至少要用8根小木棍的对立事件为用5根，6根，7根这三种情况． 用5根小木棍为1，2，6这一种情况，组成三位数包括6个样本点， 用6根有1，2，3；1，2，7；1，6，3；1，6，7这四种情况，每种情况包含6个样本点，共24个样本点 用7根有1，2，4；1，2，8；1，6，4；1，6，8；1，3，7；2，6，7；2，6，3这七种情况， 每种情况包含6个样本点，共42个样本点 又表示一个不含“0”且没有重复数字的三位数有504种情况 故至少要用8根小木棍的概率为1－， 故选：D． 3．英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A，B存在如下关系：.若某地区一种疾病的患病率是0.05，现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为95%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有95%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为0.5%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有0.5%的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设检验结果呈现阳性为事件，此人患病为事件， ， ， 则. 故选：C 4．定义；各位数字之和为9的四位数叫“好运数”，比如1008，2205，则所有“好运数”的个数为（    ） A．165 B．162 C．156 D．144 【答案】A 【解析】因为各位数字之和为9的四位数叫好运数，所以按首位数字分别计算： 当首位数字为9，则剩余三个数字分别为0，0，0，共有1个好运数； 当首位数字为8，则剩余三个数字分别为1，0，0，共有3个好运数； 当首位数字为7，则剩余三个数字分别为1，1，0或2，0，0，共有个好运数； 当首位数字为6，则剩余三个数字分别为3，0，0或2，1，0或1，1，1，共有个好运数； 当首位数字为5，则剩余三个数字分别为4，0，0或3，1，0或2，2，0或2，1，1，共有个好运数； 当首位数字为4，则剩余三个数字分别为5，0，0或4，1，0或3，2，0或3，1，1或2，2，1， 共有个好运数； 当首位数字为3，则剩余三个数字分别为6，0，0或5，1，0或4，2，0或4，1，1或3，3，0或3，2，1或2，2，2， 共有个好运数； 当首位数字为2，则剩余三个数字分别为7，0，0或6，1，0或5，2，0或5，1，1或4，3，0或4，2，1或3，3，1或3，2，2， 共有个好运数； 当首位数字为1，则剩余三个数字分别为8，0，0或7，1，0或6，2，0或6，1，1或5，3，0或5，2，1或4，4，0或4，3，1或4，2，2或3，3，2， 共有个好运数； 所以共有个好运数. 故选：A. 5．（多选）电子计算机是二十世纪最伟大的发明之一，当之无愧地被认为是迄今为止科学和技术所创造的最具影响力的现代工具，被广泛地应用于人们的工作和生活之中，计算机在进行数的计算和处理加工时，内部使用的是二进制计数制，简称二进制.一个十进制数n（n∈N*）可以表示为二进制数（a0a1a2…ak）2，即，其中a0=1，ai∈{0，1}，i=0，1，2，…k，k∈N*，用f（n）表示十进制数n的二进制表示1的个数，则（    ） A．f（7）=2 B．f（7）=3 C．对于任意r∈N*， D．对于任意r∈N*， 【答案】BC 【解析】因为，所以，所以，A错误，B正确； 设，则使得的有个， 故，C正确，D错误. 故选：BC 6．（多选）在次独立重复试验（即伯努利试验）中，每次试验中事件发生的概率为，则事件发生的次数服从二项分布，事实上，在无限次伯努利试验中，另一个随机变量的应用也很广泛，即事件首次发生时试验进行的次数，我们称从“几何分布”，经过计算，由此推广在无限次伯努利试验中，试验进行到事件和都发生后停止，此时所进行的试验次数记为，则，，那么下列说法正确的是（    ） A． B．， C．的最大值为 D． 【答案】BCD 【解析】对A项，因为，所以，故A错误； 对B项，表示进行了次，前次未发生， 所以，故B正确； 对C项，， 令，， 所以， 解得或（舍） 当时，，在单调递增， 当时，，在单调递减， 所以， 即的最大值为，故C正确； 对D项， 所以① 用代换得： ② 由①②得 ， 故D正确. 故选：BCD. 7．除数函数（divisor function）的函数值等于n的正因数的个数，例如，，．则 ． 【答案】 【解析】因为，它的因数形如， 其中， 所以不同的因数有个，即. 8．我们称元有序实数组为维向量，为该向量的范数.已知维向量，其中，，记范数为奇数的的个数为，则 .（用含的式子表示，） 【答案】 【解析】当为偶数时，范数为奇数，则的个数为奇数，即的个数为， 根据乘法原理和加法原理得到， ， ， 两式相减得到； 当为奇数时，范数为奇数，则的个数为偶数，即的个数为， 根据乘法原理和加法原理得到， ， ， 两式相加得到. 综上所述：. 9．某区域中的物种拥有两个亚种（分别记为种和种）.为了调查该区域中这两个亚种的数目，某生物研究小组计划在该区域中捕捉个物种，统计其中种的数目后，将捕获的生物全部放回，作为一次试验结果.重复进行这个试验共次，记第次试验中种的数目为随机变量.设该区域中种的数目为，种的数目为，每一次试验均相互独立. (1)求的分布列； (2)记随机变量.已知，； （ⅰ）证明：，； （ⅱ）该小组完成所有试验后，得到的实际取值分别为.数据的平均值，方差.采用和分别代替和，给出，的估计值. 【解】（1）依题意，均服从完全相同的超几何分布，故的分布列为. （2）（ⅰ）由题可知 ， ， 故， （ⅱ）由（ⅰ）可知的均值 先计算的方差 所以 依题意有 解得，． 所以可以估计，． 10．品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，通常采用的测试方法如下：拿出（且）瓶外观相同但品质不同的酒让品酒师品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序．这称为一轮测试，根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分．现分别以，，，…，表示第一次排序时被排在，，，…，的种酒在第二次排序时的序号，并令，则是对两次排序的偏离程度的一种描述．下面取研究，假设在品酒师仅凭随机猜测来排序的条件下，，，，等可能地为，，，的各种排列，且各轮测试相互独立． （1）直接写出的可能取值，并求的分布列和数学期望； （2）若某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有，则认为该品酒师有较好的酒味鉴别功能．求出现这种现象的概率，并据此解释该测试方法的合理性． 【解】（1）的可能取值为，，，， ，，， ，，所以的分布列为 从而的数学期望． （2）记“在相继进行的三轮测试中都有”为事件，“在某轮测试中有”为事件，则， 又各轮测试相互独立，， 因为表示仅凭随机猜测得到较低偏离程度的结果的概率，而，该可能性非常小， 所以我们可以认为该品酒师确实有较好的酒味鉴别能力，不是靠随机猜测，故这种测试合理． 11．在信息论中，熵（entropy）是接收的每条消息中包含的信息的平均量，又被称为信息熵､信源熵､平均自信息量.这里，“消息”代表来自分布或数据流中的事件､样本或特征.（熵最好理解为不确定性的量度而不是确定性的量度，因为越随机的信源的熵越大）来自信源的另一个特征是样本的概率分布.这里的想法是，比较不可能发生的事情，当它发生了，会提供更多的信息.由于一些其他的原因，把信息（熵）定义为概率分布的对数的相反数是有道理的.事件的概率分布和每个事件的信息量构成了一个随机变量，这个随机变量的均值（即期望）就是这个分布产生的信息量的平均值（即熵）.熵的单位通常为比特，但也用、、计量，取决于定义用到对数的底.采用概率分布的对数作为信息的量度的原因是其可加性.例如，投掷一次硬币提供了1的信息，而掷次就为位.更一般地，你需要用位来表示一个可以取个值的变量.在1948年，克劳德•艾尔伍德•香农将热力学的熵，引入到信息论，因此它又被称为香农滳.而正是信息熵的发现，使得1871年由英国物理学家詹姆斯•麦克斯韦为了说明违反热力学第二定律的可能性而设想的麦克斯韦妖理论被推翻.设随机变量所有取值为，定义的信息熵，（，）. (1)若，试探索的信息熵关于的解析式，并求其最大值； (2)若，（），求此时的信息熵. 【解】（1）当时，,， 令，， 则， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得最大值，最大值为. （2）因为，（）， 所以（）， 故， 而， 于是， 整理得 令， 则， 两式相减得 因此， 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$