专题07 圆锥曲线新定义问题-【高考新风向】2025年高考数学复习重要题型讲与练（新高考通用）

专题07 圆锥曲线新定义问题 解决圆锥曲线的新定义问题的关键在于理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答 题型一 新定义图形 【例1】阿基米德(公元前287年～公元前212年)是古希腊伟大的物理学家，数学家和天文学家，并享有“数学之神”的称号.他研究抛物线的求积法，得出了著名的阿基米德定理．在该定理中，抛物线的弦与过弦的端点的两切线所围成的三角形被称为“阿基米德三角形”．若抛物线上任意两点处的切线交于点，则为“阿基米德三角形”，且当线段经过抛物线的焦点时，具有以下特征：（1）点必在抛物线的准线上；（2）；（3）．若经过抛物线的焦点的一条弦为，“阿基米德三角形”为，且点在直线上，则直线的方程为（  　  ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 椭圆中，点为椭圆的右焦点，点A为椭圆的左顶点，点B为椭圆的短轴上的顶点，若，此椭圆称为“黄金椭圆”，“黄金椭圆”的离心率为（    ） A． B． C． D． 题型二 新定义曲线 【例2】中国结是一种手工编织工艺品，因为其外观对称精致，可以代表汉族悠久的历史，符合中国传统装饰的习俗和审美观念，故命名为中国结.中国结的意义在于它所显示的情致与智慧正是汉族古老文明中的一个侧面，也是数学奥秘的游戏呈现.它有着复杂曼妙的曲线，却可以还原成最单纯的二维线条.其中的八字结对应着数学曲线中的双纽线.曲线：是双纽线，则下列结论正确的是（    ） A．曲线的图象关于原点对称 B．曲线经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点） C．曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过3 D．若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为 【跟踪训练】 在平面直角坐标系xOy中，点M不与原点О重合，称射线OM与的交点N为点M的“中心投影点”，曲线上所有点的“中心投影点”构成的曲线长度是 题型三 新定义方法 【例3】古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知椭圆C的面积为，分别是椭圆C的两个焦点，过的直线交椭圆C于A，B两点，若的周长为8，则椭圆C的离心率为 ． 【跟踪训练】定义：点为曲线外的一点，为上的两个动点，则取最大值时，叫点对曲线的张角.已知点为抛物线上的动点，设对圆的张角为，则的最小值为 . 1．若将一个椭圆绕其中心旋转90°，所得椭圆短轴两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，这样的椭圆称为“对偶椭圆”.下列椭圆中是“对偶椭圆”的是（    ） A． B． C． D． 2.加斯帕尔-蒙日是1819世纪法国著名的几何学家．如图，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”．若长方形的四边均与椭圆相切，则下列说法错误的是（    ）    A．椭圆的离心率为 B．椭圆的蒙日圆方程为 C．若为正方形，则的边长为 D．长方形的面积的最大值为18 3.某数学爱好者以函数图像组合如图“爱心”献给在抗疫一线的白衣天使，向他们表达崇高的敬意！爱心轮廓是由曲线与构成，若a，，c依次成等比数列，则（    ） A． B． C． D． 4.曲率半径是用来描述曲线上某点处曲线弯曲变化程度的量，已知对于曲线上点处的曲率半径公式为，则下列说法： ①对于半径为R的圆，其圆上任一点的曲率半径均为R ②椭圆上一点处的曲率半径的最大值为a ③椭圆上一点处的曲率半径的最小值为 ④对于椭圆上点处的曲率半径随着a的增大而减小 其中正确的是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 5．（多选）在平面内，若曲线上存在点，使点到点，的距离之和为10，则称曲线为“有用曲线”，以下曲线是“有用曲线”的是（    ） A． B． C． D． 6．（多选）已知曲线C的方程为，集合，若对于任意的，都存在，使得成立，则称曲线C为Σ曲线.下列方程所表示的曲线中，是Σ曲线的有（    ） A． B． C． D． 7.在平面直角坐标系中，，，若在曲线C上存在一点P，使得∠APB为钝角，则称曲线上存在“钝点”，下列曲线中，有“钝点”的曲线为 ．（填序号） ①；②；③；④；⑤． 8．城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，乘坐出租车往往不能沿直线到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走.在平面直角坐标系中，定义为两点、之间的“出租车距离”. 给出下列四个结论：①若点，点，则； ②到点的“出租车距离”不超过的点的集合所构成的平面图形面积是； ③若点，点是抛物线上的动点，则的最小值是； ④若点，点是圆上的动点，则的最大值是. 其中，所有正确结论的序号是 . 9.给定椭圆C： (a>b>0)，称圆心在原点O，半径为的圆为椭圆C的“准圆”．若椭圆C的一个焦点为F(，0)，其短轴上的一个端点到F的距离为. （1）求椭圆C的方程和其“准圆”方程； （2）若点P是椭圆C的“准圆”上的动点，过点P作椭圆的切线l1，l2交“准圆”于点M，N.证明：l1⊥l2，且线段MN的长为定值． （1）椭圆方程为，“准圆”方程为x2＋y2＝4；（2）证明见解析. 10.．焦距为2c的椭圆（a＞b＞0），如果满足“2b=a+c”，则称此椭圆为“等差椭圆”． (1)如果椭圆（a＞b＞0）是“等差椭圆”，求的值； (2)对于焦距为12的“等差椭圆”，点A为椭圆短轴的上顶点，P为椭圆上异于A点的任一点，Q为P关于原点O的对称点（Q也异于A），直线AP、AQ分别与x轴交于M、N两点，判断以线段MN为直径的圆是否过定点？说明理由． 11.中国结是一种手工编制工艺品，因其外观对称精致，符合中国传统装饰的审美观念，广受中国人喜爱. 它有着复杂奇妙的曲线，却可以还原成单纯的二维线条，其中的“八字结”对应着数学曲线中的伯努利双纽线. 在平面上，我们把与定点，距离之积等于的动点的轨迹称为伯努利双纽线，，为该曲线的两个焦点. 数学家雅各布•伯努利曾将该曲线作为椭圆的一种类比开展研究. 已知曲线是一条伯努利双纽线. (1)求曲线C的焦点，的坐标； (2)试判断曲线C上是否存在两个不同的点A，B（异于坐标原点O），使得以AB为直径的圆过坐标原点O.如果存在，求出A，B坐标；如果不存在，请说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 集合新定义问题 解决圆锥曲线的新定义问题的关键在于理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答 题型一 新定义图形 【例1】阿基米德(公元前287年～公元前212年)是古希腊伟大的物理学家，数学家和天文学家，并享有“数学之神”的称号.他研究抛物线的求积法，得出了著名的阿基米德定理．在该定理中，抛物线的弦与过弦的端点的两切线所围成的三角形被称为“阿基米德三角形”．若抛物线上任意两点处的切线交于点，则为“阿基米德三角形”，且当线段经过抛物线的焦点时，具有以下特征：（1）点必在抛物线的准线上；（2）；（3）．若经过抛物线的焦点的一条弦为，“阿基米德三角形”为，且点在直线上，则直线的方程为（  　  ） A． B． C． D． 【解析】根据题意，可知点在抛物线的准线上，又点在直线上， 所以，又，所以， 因为，所以，所以直线的方程为，即.故选：A. 【跟踪训练】 椭圆中，点为椭圆的右焦点，点A为椭圆的左顶点，点B为椭圆的短轴上的顶点，若，此椭圆称为“黄金椭圆”，“黄金椭圆”的离心率为（    ） A． B． C． D． 【解析】设为椭圆的半焦距，由题意可得，由对称性可设, 则,因为，所以, 所以,即,解得或（舍）.故选:B. 题型二 新定义曲线 【例2】中国结是一种手工编织工艺品，因为其外观对称精致，可以代表汉族悠久的历史，符合中国传统装饰的习俗和审美观念，故命名为中国结.中国结的意义在于它所显示的情致与智慧正是汉族古老文明中的一个侧面，也是数学奥秘的游戏呈现.它有着复杂曼妙的曲线，却可以还原成最单纯的二维线条.其中的八字结对应着数学曲线中的双纽线.曲线：是双纽线，则下列结论正确的是（    ） A．曲线的图象关于原点对称 B．曲线经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点） C．曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过3 D．若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为 【解析】把代入得， 所以曲线的图象关于原点对称，故A正确； 令解得，或，即曲线经过，结合图象，， 令，得，令，得， 因此结合图象曲线只能经过3个整点，，故B错误； 可得， 所以曲线上任意一点到坐标原点的距离，即都不超过3，故 C正确； 直线与曲线一定有公共点， 若直线与曲线只有一个交点， 所以，整理得无解， 即，解得，故D正确. 故选：ACD. 【跟踪训练】 在平面直角坐标系xOy中，点M不与原点О重合，称射线OM与的交点N为点M的“中心投影点”，曲线上所有点的“中心投影点”构成的曲线长度是 【解析】曲线的渐近线方程为： ，设渐近线与圆的交点分别为,如下图：则曲线上所有点的“中心投影点”构成的曲线为圆弧 由题意，所以 ，所以,则， 题型三 新定义方法 【例3】古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知椭圆C的面积为，分别是椭圆C的两个焦点，过的直线交椭圆C于A，B两点，若的周长为8，则椭圆C的离心率为 ． 【解析】由题意可知：，解得，，又，∴，∴. 【跟踪训练】定义：点为曲线外的一点，为上的两个动点，则取最大值时，叫点对曲线的张角.已知点为抛物线上的动点，设对圆的张角为，则的最小值为 . 【解析】如图，， 要使最小，则最大，即需最小. 设，则， ∴当，即时，，， 此时或， 1．若将一个椭圆绕其中心旋转90°，所得椭圆短轴两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，这样的椭圆称为“对偶椭圆”.下列椭圆中是“对偶椭圆”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由“对偶椭圆”定义得：短半轴长b与半焦距c相等的椭圆是“对偶椭圆”， 对于A，，即，A是“对偶椭圆”； 对于B，，即，B不是“对偶椭圆”； 对于C，，即，C不是“对偶椭圆”； 对于D，，即，D不是“对偶椭圆”，故选A 2.加斯帕尔-蒙日是1819世纪法国著名的几何学家．如图，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”．若长方形的四边均与椭圆相切，则下列说法错误的是（    ）    A．椭圆的离心率为 B．椭圆的蒙日圆方程为 C．若为正方形，则的边长为 D．长方形的面积的最大值为18 【答案】D 【解析】由椭圆方程知，，则，离心率为，A正确； 当长方形的边与椭圆的轴平行时，长方形的边长分别为和4，其对角线长为，因此蒙日圆半径为，圆方程为，B正确； 设矩形的边长分别为，因此，即，当且仅当时取等号，所以长方形的面积的最大值是20，此时该长方形为正方形，边长为，C正确，D错误． 故选：D． 3.某数学爱好者以函数图像组合如图“爱心”献给在抗疫一线的白衣天使，向他们表达崇高的敬意！爱心轮廓是由曲线与构成，若a，，c依次成等比数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由“爱心”图知经过点， 即，．由“爱心”图知必过点与， 所以，得，， 若a，，c，依次成等比数列，则，从而，所以．故选:A． 4.曲率半径是用来描述曲线上某点处曲线弯曲变化程度的量，已知对于曲线上点处的曲率半径公式为，则下列说法： ①对于半径为R的圆，其圆上任一点的曲率半径均为R ②椭圆上一点处的曲率半径的最大值为a ③椭圆上一点处的曲率半径的最小值为 ④对于椭圆上点处的曲率半径随着a的增大而减小 其中正确的是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】A 【解析】①由题设知，圆的方程可写，所以圆上任一点处的曲率半径为，正确； ②③由弯曲最大处为，最小处为， 所以在处有， 在处有，即，故②错误，③正确； ④由题意，处的曲率半径，而， 所以，令， 则在上有恒成立，故R在上随着a的增大而增大，错误. 故选：A 5．（多选）在平面内，若曲线上存在点，使点到点，的距离之和为10，则称曲线为“有用曲线”，以下曲线是“有用曲线”的是（    ） A． B． C． D． 【解析】设点的坐标为，因为点到点，的距离之和为10， 由椭圆的定义可得点的轨迹方程为：， 对A，由整理得， 因此曲线上存在点满足条件，所以是“有用曲线”，故A正确； 对B，因为曲线在曲线的内部，无交点，所以不是“有用曲线”，故B错误； 对C，曲线与有交点与，所以是“有用曲线”，故C正确； 对D，曲线与也有交点，所以是“有用曲线"，故D正确. 故选：ACD. 6．（多选）已知曲线C的方程为，集合，若对于任意的，都存在，使得成立，则称曲线C为Σ曲线.下列方程所表示的曲线中，是Σ曲线的有（    ） A． B． C． D． 【解析】A：的图象既关于x轴对称，也关于y轴对称，且图象是封闭图形.所以对于任意的点，存在着点Q（x2，y2）使得，所以满足； B：的图象是双曲线，且双曲线的渐近线斜率为±1，所以渐近线将平面分为四个夹角为90°的区域，当P，Q在双曲线同一支上，此时，当P，Q不在双曲线同一支上，此时，所以不满足； C：的图象是焦点在x轴上的抛物线，且关于x轴对称，设P为抛物线上一点，过O点作OP的垂线，则垂线一定与抛物线交于Q点，所以，所以 D：取P（0，1），若，则有显然不成立，所以此时不成立， 故选：AC 7.在平面直角坐标系中，，，若在曲线C上存在一点P，使得∠APB为钝角，则称曲线上存在“钝点”，下列曲线中，有“钝点”的曲线为 ．（填序号） ①；②；③；④；⑤． 【答案】①④⑤ 【解析】设点的坐标为，若∠APB为钝角，则， 所以，且不共线，所以，且， 化简可得，反之若，则∠APB为钝角， 对于曲线，取曲线上的点，因为，所以为钝角， 故曲线为有“钝点”的曲线； 对于曲线，若曲线上的点为“钝点”， 则，，所以，矛盾 所以曲线不是有“钝点”的曲线； 对于曲线，若曲线上点为“钝点”， 则，，所以，矛盾 所以曲线不是有“钝点”的曲线； 对于曲线，取曲线上的点， 因为，所以为钝角， 故曲线为有“钝点”的曲线； 对于曲线，取曲线上的点， 因为，所以为钝角，故曲线为有“钝点”的曲线. 所以曲线①④⑤为有“钝点”的曲线. 8．城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，乘坐出租车往往不能沿直线到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走.在平面直角坐标系中，定义为两点、之间的“出租车距离”. 给出下列四个结论：①若点，点，则； ②到点的“出租车距离”不超过的点的集合所构成的平面图形面积是； ③若点，点是抛物线上的动点，则的最小值是； ④若点，点是圆上的动点，则的最大值是. 其中，所有正确结论的序号是 . 【答案】①③④ 【解析】对于①，，①对； 对于②，设点满足，即. 对于方程，当，时，；当，时，； 当，时，；当，时，. 作出集合所表示的平面区域如下图中的阴影部分区域所表示： 平面区域是边长为的正方形，该区域的面积为，②错； 对于③，设点，则，令. 当时，， 当时，； 当时，； 当时，. 综上所述，，③对； 对于④，设点，则， 所以，的最大值是，④对. 9.给定椭圆C： (a>b>0)，称圆心在原点O，半径为的圆为椭圆C的“准圆”．若椭圆C的一个焦点为F(，0)，其短轴上的一个端点到F的距离为. （1）求椭圆C的方程和其“准圆”方程； （2）若点P是椭圆C的“准圆”上的动点，过点P作椭圆的切线l1，l2交“准圆”于点M，N.证明：l1⊥l2，且线段MN的长为定值． （1）椭圆方程为，“准圆”方程为x2＋y2＝4；（2）证明见解析. 【解】（1）∵椭圆C的一个焦点为 其短轴上的一个端点到F的距离为. ∴， ∴， ∴椭圆方程为， ∴“准圆”方程为x2＋y2＝4. （2）证明：①当直线l1，l2中有一条斜率不存在时，不妨设直线l1斜率不存在，则l1：x＝±， 当l1：x＝时，l1与“准圆”交于点(，1)，(，－1)， 此时l2为y＝1(或y＝－1)，显然直线l1，l2垂直； 同理可证当l1：x＝－时，直线l1，l2垂直． ②当l1，l2斜率存在时， 设点P(x0，y0)，其中. 设经过点P(x0，y0)与椭圆相切的直线为 y＝t(x－x0)＋y0， ∴由 得(1＋3t2)x2＋6t(y0－tx0)x＋3(y0－tx0)2－3＝0. 由Δ＝0化简整理，得(3－)t2＋2x0y0t＋1－＝0， ∵，∴有(3－)t2＋2x0y0t＋(－3)＝0. 设l1，l2的斜率分别为t1，t2， ∵l1，l2与椭圆相切，∴t1，t2满足上述方程(3－)t2＋2x0y0t＋(－3)＝0， ∴t1·t2＝－1，即l1，l2垂直． 综合①②知，l1⊥l2. ∵l1，l2经过点P(x0，y0)，又分别交其“准圆”于点M，N，且l1，l2垂直． ∴线段MN为“准圆”x2＋y2＝4的直径，|MN|＝4， ∴线段MN的长为定值． 10.．焦距为2c的椭圆（a＞b＞0），如果满足“2b=a+c”，则称此椭圆为“等差椭圆”． (1)如果椭圆（a＞b＞0）是“等差椭圆”，求的值； (2)对于焦距为12的“等差椭圆”，点A为椭圆短轴的上顶点，P为椭圆上异于A点的任一点，Q为P关于原点O的对称点（Q也异于A），直线AP、AQ分别与x轴交于M、N两点，判断以线段MN为直径的圆是否过定点？说明理由． 【解析】（1）因为椭圆（a＞b＞0）是“等差椭圆”，所以2b=a+c， 所以c=2b﹣a，又c2=a2﹣b2，所以（2b﹣a）2=a2﹣b2，化简得． （2）过定点（0，±10），理由如下： 由得，由得， 椭圆方程为：，所以A（0，8），设P（x0，y0）（x0≠0），则Q（﹣x0，﹣y0）， 所以直线AP的方程为：，令y=0，得，所以， 同理可得，所以以MN为直径的圆的方程为， 结合，化简得，令x=0，得y=±10，所以该圆恒过定点（0，±10）． 11.中国结是一种手工编制工艺品，因其外观对称精致，符合中国传统装饰的审美观念，广受中国人喜爱. 它有着复杂奇妙的曲线，却可以还原成单纯的二维线条，其中的“八字结”对应着数学曲线中的伯努利双纽线. 在平面上，我们把与定点，距离之积等于的动点的轨迹称为伯努利双纽线，，为该曲线的两个焦点. 数学家雅各布•伯努利曾将该曲线作为椭圆的一种类比开展研究. 已知曲线是一条伯努利双纽线. (1)求曲线C的焦点，的坐标； (2)试判断曲线C上是否存在两个不同的点A，B（异于坐标原点O），使得以AB为直径的圆过坐标原点O.如果存在，求出A，B坐标；如果不存在，请说明理由. 【解析】（1）方法一：设焦点，， 曲线与x轴正半轴交于点， 由题意知，于是，， 因此，； 方法二：设焦点，，由题意知， 即， 整理得，于是，.因此，，； （2）假设曲线C上存在两点A，B，使得以AB为直径的圆过坐标原点O，即， 由题意知直线OA，OB斜率均存在，不妨设直线OA的方程为，直线OB的方程为， 将直线OA的方程与曲线C联立，得，即. 解得，同理，因此不可能成立，于是假设不成立， 即曲线C上不存在两点A，B，使得以AB为直径的圆过坐标原点O. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$