专题06 数列新定义问题-【高考新风向】2025年高考数学复习重要题型讲与练（新高考通用）

专题06 数列新定义问题 新定义数列题是指以学生已有的知识为基础，设计一个陌生的数学情境，或定义一个概念，或规定一种运算，或给出一个规划，通过阅读相关信息，根据题目引入新内容进行解答的一类数列题型．由于新定义数列题背景新颖，构思巧妙，而且能有效地考查学生的迁移能力和思维品质，充分体现“遵循教学大纲，又不拘泥于教学大纲”的特点，所以备受命题专家的青睐 解决方案及流程 (1) 读懂题意，理解研究的对象，理解新定义数列的含义； (2) 特殊分析，例如先对 n＝1,2,3，…的情况讨论； (3) 通过特殊情况寻找新定义的数列的规律及性质，以及新定义数列与已知数列(如等差与等比数列)的关系，仔细观察，探求规律，注重转化，合理设计解题方案，最后利用等差、等比数列有关知识来求解． 题型一 递推关系中的新定义 【例1】（2022全国乙卷）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列：，，，…，依此类推，其中．则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】[方法一]:常规解法 因为， 所以，，得到， 同理，可得， 又因为， 故，； 以此类推，可得，，故A错误； ，故B错误； ，得，故C错误； ，得，故D正确. [方法二]：特值法 不妨设则 故D正确. 【跟踪训练】 定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的和都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等和数列，这个常数叫做等和数列的公和.设甲：数列满足；乙：数列是公差为2的等差数列或公和为2的等和数列，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】对于甲：由得，即或， 则数列是公和为2的等和数列或公差为2的等差数列，又因为，所以或； 对于乙：当数列是公和为2的等和数列或公差为2的等差数列时，通项未必为或， 如摆动数列，……和（其中）所以，甲是乙的充分不必要条件. 故选：A. 题型二 等差数列中新定义 【例2】定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫做该数列的方公差．设数列是由正数组成的等方差数列，且方公差为2，，则数列的前项和（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得，则数列是以为首项，为公差的等差数列， 则，由，故，即（负值舍去）， 故，故， 则 ， 故. 故选：A. 【跟踪训练】 南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列本身不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列，则称数列为一阶等差数列，或者仍旧不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列，则称数列为二阶等差数列，依次类推，可以得到高阶等差数列．类比高阶等差数列的定义，我们亦可定义高阶等比数列，设数列1，1，2，8，64，……是一阶等比数列，则该数列的第10项是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设数列为，且为一阶等比数列， 设，所以为等比数列，其中，，公比， ，则，， ，故选D. 题型三 等比数列中的新定义 【例3】若数列满足，则称数列为牛顿数列，若，数列为牛顿数列，且，，数列的前n项和为，则满足的最大正整数的值为 ． 【答案】 【解析】因为，所以，则， 又因为，且，所以是首项为，公比的等比数列， 则， 令，则， 因为在定义域内单调递增，且，所以，所以最大正整数的值为. 【跟踪训练】数列中，是其前项的和，若对任意正整数，总存在正整数，使得，则称数列为“某数列”现有如下两个命题：①等比数列为“某数列”；②对任意的等差数列，总存在两个“某数列”和，使得.则下列选项中正确的是（    ） A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题 【答案】C 【解析】对于①，由等比数列，得， 若对任意正整数，总存在正整数，使得，则，即，显然不成立，①为假命题； 对于②，设等差数列的公差为，则. 令，，则， 下面证是“某数列”. 设的前项和为，则， 于是对任意的正整数，总存在正整数，使得，所以是“某数列”. 同理，可证也是“某数列”. 所以对任意的等差数列，总存在两个“某数列”和，使得成立，故②为真命题. 故选：C 题型四 数列求和中的新定义 【例3】定义为个正数的“均倒数”，若已知数列的前项的“均倒数”为，又，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据“均倒数”的定义，有， 故， 故，两式相减得， 当时，也符合上式，故. 所以，注意到， 故. 故选：D 【跟踪训练】若数列满足，若，抽去数列的第3项、第6项、第9项、、第项、，余下的项的顺序不变，构成一个新数列，则数列的前100项的和为 ． 【答案】 【解析】由，得， 又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以， 所以， 设数列的前项的和为， 则 . 1.我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，…，9填入的方格内，使三行､三列､对角线的三个数之和都等于15，如图所示. 一般地.将连续的正整数1，2，3，…，n2填入个方格中，使得每行､每列､每条对角线上的数的和相等，这个正方形叫做n阶幻方.记n阶幻方的数的和即方格内的所有数的和为Sn，如图三阶幻方记为，那么（    ） A．3321 B．361 C．99 D．33 2．定义，已知数列为等比数列，且，则（    ） A． B．2 C． D．4 3．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环图，这就是数学史上著名的“冰霓猜想”（又称“角谷猜想”等）．已知数列满足：，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4.“提丢斯数列”是由18世纪德国数学家提丢斯给出,具体如下：0,3,6,12,24,48,96,192,…,容易发现,从第三项起,每一项是前一项的2倍．将每一项加上4得到一个数列：4,7,10,16,28,52,100,196,…,再将每一项除以10得到“提丢斯数列”,0.4,0.7,1.0,1.6,2.8,5.2,10.0,19.6,…,则“提丢斯数列”的前50项的和为（    ） A． B． C． D． 5．（多选）在无穷数列中，若，总有，此时定义为“阶梯数列”.设为“阶梯数列”，且，，，则（    ） A． B． C． D． 6．（多选）给定数列，定义差分运算：.若数列满足，数列的首项为1，且，则（    ） A．存在，使得恒成立 B．存在，使得恒成立 C．对任意，总存在，使得 D．对任意，总存在，使得 7.在数列中，若存在常数t，使得恒成立，则称数列为“数列”若数列为“数列”，且，数列为等差数列，且则 （写出通项公式） 8.数学家祖冲之曾给出圆周率的两个近似值：“约率”与“密率”.它们可用“调日法”得到：称小于3.1415926的近似值为弱率，大于3.1415927的近似值为强率.由于，取3为弱率，4为强率，计算得，故为强率，与上一次的弱率3计算得，故为强率，继续计算，….若某次得到的近似值为强率，与上一次的弱率继续计算得到新的近似值；若某次得到的近似值为弱率，与上一次的强率继续计算得到新的近似值，依此类推.已知，求 9．已知数列为“二阶等差数列”，即当时，数列为等差数列，，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的最大值 10．设数列的前n项和为,若对任意正整数n,总存在正整数m,使得,则称是“H数列”; (1)若数列的前n项和(),判断数列是否是“H数列”?若是,给出证明;若不是,说明理由; (2)设数列是常数列,证明:为“H数列”的充要条件是; (3)设是等差数列,其首项,公差,若是“H数列”,求d的值; 11.已知为非零常数，，若对，则称数列为数列． (1)证明：数列是递增数列，但不是等比数列； (2)设，若为数列，证明：； (3)若为数列，证明：，使得． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 数列新定义问题 新定义数列题是指以学生已有的知识为基础，设计一个陌生的数学情境，或定义一个概念，或规定一种运算，或给出一个规划，通过阅读相关信息，根据题目引入新内容进行解答的一类数列题型．由于新定义数列题背景新颖，构思巧妙，而且能有效地考查学生的迁移能力和思维品质，充分体现“遵循教学大纲，又不拘泥于教学大纲”的特点，所以备受命题专家的青睐 解决方案及流程 (1) 读懂题意，理解研究的对象，理解新定义数列的含义； (2) 特殊分析，例如先对 n＝1,2,3，…的情况讨论； (3) 通过特殊情况寻找新定义的数列的规律及性质，以及新定义数列与已知数列(如等差与等比数列)的关系，仔细观察，探求规律，注重转化，合理设计解题方案，最后利用等差、等比数列有关知识来求解． 题型一 递推关系中的新定义 【例1】（2022全国乙卷）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列：，，，…，依此类推，其中．则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】[方法一]:常规解法 因为， 所以，，得到， 同理，可得， 又因为， 故，； 以此类推，可得，，故A错误； ，故B错误； ，得，故C错误； ，得，故D正确. [方法二]：特值法 不妨设则 故D正确. 【跟踪训练】 定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的和都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等和数列，这个常数叫做等和数列的公和.设甲：数列满足；乙：数列是公差为2的等差数列或公和为2的等和数列，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】对于甲：由得，即或， 则数列是公和为2的等和数列或公差为2的等差数列，又因为，所以或； 对于乙：当数列是公和为2的等和数列或公差为2的等差数列时，通项未必为或， 如摆动数列，……和（其中）所以，甲是乙的充分不必要条件. 故选：A. 题型二 等差数列中新定义 【例2】定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫做该数列的方公差．设数列是由正数组成的等方差数列，且方公差为2，，则数列的前项和（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得，则数列是以为首项，为公差的等差数列， 则，由，故，即（负值舍去）， 故，故， 则 ， 故. 故选：A. 【跟踪训练】 南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列本身不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列，则称数列为一阶等差数列，或者仍旧不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列，则称数列为二阶等差数列，依次类推，可以得到高阶等差数列．类比高阶等差数列的定义，我们亦可定义高阶等比数列，设数列1，1，2，8，64，……是一阶等比数列，则该数列的第10项是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设数列为，且为一阶等比数列， 设，所以为等比数列，其中，，公比， ，则，， ，故选D. 题型三 等比数列中的新定义 【例3】若数列满足，则称数列为牛顿数列，若，数列为牛顿数列，且，，数列的前n项和为，则满足的最大正整数的值为 ． 【答案】 【解析】因为，所以，则， 又因为，且，所以是首项为，公比的等比数列， 则， 令，则， 因为在定义域内单调递增，且，所以，所以最大正整数的值为. 【跟踪训练】数列中，是其前项的和，若对任意正整数，总存在正整数，使得，则称数列为“某数列”现有如下两个命题：①等比数列为“某数列”；②对任意的等差数列，总存在两个“某数列”和，使得.则下列选项中正确的是（    ） A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题 【答案】C 【解析】对于①，由等比数列，得， 若对任意正整数，总存在正整数，使得，则，即，显然不成立，①为假命题； 对于②，设等差数列的公差为，则. 令，，则， 下面证是“某数列”. 设的前项和为，则， 于是对任意的正整数，总存在正整数，使得，所以是“某数列”. 同理，可证也是“某数列”. 所以对任意的等差数列，总存在两个“某数列”和，使得成立，故②为真命题. 故选：C 题型四 数列求和中的新定义 【例3】定义为个正数的“均倒数”，若已知数列的前项的“均倒数”为，又，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据“均倒数”的定义，有， 故， 故，两式相减得， 当时，也符合上式，故. 所以，注意到， 故. 故选：D 【跟踪训练】若数列满足，若，抽去数列的第3项、第6项、第9项、、第项、，余下的项的顺序不变，构成一个新数列，则数列的前100项的和为 ． 【答案】 【解析】由，得， 又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以， 所以， 设数列的前项的和为， 则 . 1.我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，…，9填入的方格内，使三行､三列､对角线的三个数之和都等于15，如图所示. 一般地.将连续的正整数1，2，3，…，n2填入个方格中，使得每行､每列､每条对角线上的数的和相等，这个正方形叫做n阶幻方.记n阶幻方的数的和即方格内的所有数的和为Sn，如图三阶幻方记为，那么（    ） A．3321 B．361 C．99 D．33 【答案】A 【解析】由题意知，, 故选：A 2．定义，已知数列为等比数列，且，则（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【解析】由题意，数列为等比数列，且， 所以，所以，则， 由等比数列性质知：与符号一致，故. 故选：D. 3．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环图，这就是数学史上著名的“冰霓猜想”（又称“角谷猜想”等）．已知数列满足：，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】由题意可知，，，，，， ，，，，，……， 所以根据“冰霓猜想”可知. 故选：B 4.“提丢斯数列”是由18世纪德国数学家提丢斯给出,具体如下：0,3,6,12,24,48,96,192,…,容易发现,从第三项起,每一项是前一项的2倍．将每一项加上4得到一个数列：4,7,10,16,28,52,100,196,…,再将每一项除以10得到“提丢斯数列”,0.4,0.7,1.0,1.6,2.8,5.2,10.0,19.6,…,则“提丢斯数列”的前50项的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】记“提丢斯数列”为,则当时,, 所以,当时,,满足该式,当时,, 所以， 所以“提丢斯数列”的前50项的和为． 故选：D. 5．（多选）在无穷数列中，若，总有，此时定义为“阶梯数列”.设为“阶梯数列”，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】由题可知，因为， 所以，， 又因为，所以， 所以，， ， 结合选项可知A正确，B错误； ，故C正确； ，故D正确. 故选:ACD. 6．（多选）给定数列，定义差分运算：.若数列满足，数列的首项为1，且，则（    ） A．存在，使得恒成立 B．存在，使得恒成立 C．对任意，总存在，使得 D．对任意，总存在，使得 【答案】BC 【解析】对于A，由，得，显然有最小值4，无最大值， 因此不存在，使得恒成立，A错误； 对于B，由选项A知，，则， 显然当时，恒成立，B正确； 对于C，由，得， 当时， 即， 于是， 两式相减得， 因此，显然满足上式，则，由， 得数列是递增数列，有最小值1，无最大值， 从而对任意，总存在，使得，C正确； 对于D，，由选项C得， 显然数列是递减数列，，因此对任意，不存在，使得成立，D错误. 故选：BC 7.在数列中，若存在常数t，使得恒成立，则称数列为“数列”若数列为“数列”，且，数列为等差数列，且则 （写出通项公式） 【答案】 【解析】因为数列为“数列”，由， 有①， 所以②， 两式作差得， 又因为数列为“数列”，所以， 设数列的公差为d，所以， 即对成立， 则，得； 又，， 得，所以. 8.数学家祖冲之曾给出圆周率的两个近似值：“约率”与“密率”.它们可用“调日法”得到：称小于3.1415926的近似值为弱率，大于3.1415927的近似值为强率.由于，取3为弱率，4为强率，计算得，故为强率，与上一次的弱率3计算得，故为强率，继续计算，….若某次得到的近似值为强率，与上一次的弱率继续计算得到新的近似值；若某次得到的近似值为弱率，与上一次的强率继续计算得到新的近似值，依此类推.已知，求 【解】因为为强率，由可得，，即为强率； 由可得，，即为强率； 由可得，，即为强率； 由可得，，即为强率； 由可得，，即为弱率，所以， 9．已知数列为“二阶等差数列”，即当时，数列为等差数列，，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的最大值 【解】（1）由定义知：，，，； 得，； 设数列的公差为d，， 即得，， 数列的通项公式为； （2）由于：，，，，…，， 累加可得： ， 由于二次函数在时取得最大值， 所以数列得最大值为. 10．设数列的前n项和为,若对任意正整数n,总存在正整数m,使得,则称是“H数列”; (1)若数列的前n项和(),判断数列是否是“H数列”?若是,给出证明;若不是,说明理由; (2)设数列是常数列,证明:为“H数列”的充要条件是; (3)设是等差数列,其首项,公差,若是“H数列”,求d的值; 【解】（1），则，时，，所以， 显然对任意的是数列中的第项，所以数列是“H数列”； （2）数列是常数列,即，而，数列是“H数列”，则对一切正整数成立，所以； 反之，若，则是数列中的项，即数列是“H数列”． 综上，为“H数列”的充要条件是; （3）是等差数列,其首项,公差，，， 若是“H数列”，则存在正整数，使得， ，是正整数，所以是整数， 因为，所以是所有正整数的公约数，又，所以． 11.已知为非零常数，，若对，则称数列为数列． (1)证明：数列是递增数列，但不是等比数列； (2)设，若为数列，证明：； (3)若为数列，证明：，使得． 【解】（1）， 故为公差为的等差数列，所以， 若，则当时，，不合题意， 若，则，满足要求， ， 因为，所以，故，故数列为递增数列， ，由于为递增数列，故不是常数， 不是常数，故数列是递增数列，但不是等比数列； （2）因为为数列，所以，故， 因为， 所以， 因为， 当且仅当时，等号成立，所以； （3）因为为数列， 所以， 所以， 令，则，解得， 所以，使得. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$