专题05 平面向量新定义 问题-【高考新风向】2025年高考数学复习重要题型讲与练（新高考通用）

专题05 平面向量新定义问题 求解“新定义”题目，主要分如下几步： 1. 对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号； 2. 对新定义所提取的信息进行加工，探求解决方法和相近的知识点，明确它们的相同点和相似点； 3.对定义中提取的知识进行转换、提取和转换，这是解题的关键，如果题目是新定义的运算、法则，直接按照法则计算即可；若新定义的性质，一般要判断性质的适用性，能否利用定义的外延，可用特质排除，注意新定义题目一般在高考试卷的压轴位置，往往设置三问，第一问的难度并不大，所以对于基础差的考生也不要轻易放弃。 题型一 与线性运算有关的新定义 【例1】对于n个向量，若存在n个不全为0的实数，使得成立，则称向量是线性相关的.按此规定，能使向量，，是线性相关的实数为，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【跟踪训练】 定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的，，令，对于如下说法： ①若与共线，则； ②； ③对任意的，有； ④. 正确的是 . 题型二 运算法则的新定义 【例2】定义：，两个向量的叉乘，则以下说法正确的是（    ） A．若，则 B． C．若四边形ABCD为平行四边形，则它的面积等于 D．若，，则的最小值为 【解题技法】与集合运算有关的创新问题是按照一定的数学规则和要求给出新的集合运算规则，并按照此集合运算规则和要求结合相关知识进行逻辑推理和计算等，从而达到解决问题的目的． 【跟踪训练】 对于非零向量，，定义.若，则 . 题型三 向量与三角结合的新定义 【例3】给出定义：对于向量，若函数，则称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数. (1)设向量的伴随函数为，若，且，求的值； (2)已知，，函数的伴随向量为，请问函数的图象上是否存在一点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【跟踪训练】已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P.已知平面内点，点，把点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 1．如果向量，的夹角为，我们就称为向量与的“向量积”，还是一个向量，它的长度为，如果，，，则（    ） A．-16 B．16 C．-20 D．20 2．定义.若向量，向量为单位向量，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．若向量，，则以、为邻边的平行四边形的面积可以用、的外积表示出来，即.已知在平面直角坐标系中，、，，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．记，设，为平面内的非零向量，则（　　） A． B． C． D． 5．定义两个非零平面向量，的一种新运算：，其中表示向量，的夹角，则对于非零平面向量，，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C．，则 D． 6．已知两个单位向量、的夹角为，若，则把有序数对叫做向量的斜坐标，若，，则（    ） A． B． C． D． 7．若非零向量，的夹角为锐角θ，且，则称被“同余”．已知被“同余”，且则在上的投影= 8．已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点，已知平面内点，点，把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点，则点的坐标 . 9.我们把由平面内夹角成的两条数轴，构成的坐标系，称为“@未来坐标系”如图所示，，两分别为，正方向上的单位向量若向量，则把实数对叫做向量的“@未来坐标”，记，已知分别为向量的@未来坐标．    (1)证明： (2)若向量的“@未来坐标”分别为，已知，，求函数的最值． 10.记所有非零向量构成的集合为，对于，定义， (1)若，求出集合中的三个元素； (2)若，其中，求证：一定存在实数，且，使得. 11.对于一个向量组，令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“好向量” (1)若是向量组的“好向量”，且，求实数的取值范围； (2)已知，，均是向量组的“好向量”，试探究的等量关系并加以证明． （2）由“好向量”的定义得三个不等式，平方转化为向量的数量积，三式相加整理后可得． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 平面向量新定义问题 求解“新定义”题目，主要分如下几步： 1. 对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号； 2. 对新定义所提取的信息进行加工，探求解决方法和相近的知识点，明确它们的相同点和相似点； 3.对定义中提取的知识进行转换、提取和转换，这是解题的关键，如果题目是新定义的运算、法则，直接按照法则计算即可；若新定义的性质，一般要判断性质的适用性，能否利用定义的外延，可用特质排除，注意新定义题目一般在高考试卷的压轴位置，往往设置三问，第一问的难度并不大，所以对于基础差的考生也不要轻易放弃。 题型一 与线性运算有关的新定义 【例1】对于n个向量，若存在n个不全为0的实数，使得成立，则称向量是线性相关的.按此规定，能使向量，，是线性相关的实数为，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【解析】因为向量，，是线性相关的，所以，即，即，所以 由①加②得. 故选 【跟踪训练】 定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的，，令，对于如下说法： ①若与共线，则； ②； ③对任意的，有； ④. 正确的是 . 【答案】①③④ 【解析】对于①，若与共线，则，即，故①正确； 对于②，因，，所以，故②错； 对于③，，，所以，故③正确； 对于④，因， ，所以，故④正确. 题型二 运算法则的新定义 【例2】定义：，两个向量的叉乘，则以下说法正确的是（    ） A．若，则 B． C．若四边形ABCD为平行四边形，则它的面积等于 D．若，，则的最小值为 【解析】对于A，，若，至少有一个为零向量，则满足； 若，均不为零向量，则，即，同向或反向，即，故A正确， 对于B，，， 若，则 ，此时； 若，，此时，故B错误； 对于C，若四边形为平行四边形， 则它的面积等于，即 ，故C正确； 对于D， ， ，两式平方后相加得，即， 又， 当且仅当时等号成立，故的最小值为，故D错误， 故选：AC 【解题技法】与集合运算有关的创新问题是按照一定的数学规则和要求给出新的集合运算规则，并按照此集合运算规则和要求结合相关知识进行逻辑推理和计算等，从而达到解决问题的目的． 【跟踪训练】 对于非零向量，，定义.若，则 . 【解析】∵，∴． 由可得，两式相减得， ∴． 题型三 向量与三角结合的新定义 【例3】给出定义：对于向量，若函数，则称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数. (1)设向量的伴随函数为，若，且，求的值； (2)已知，，函数的伴随向量为，请问函数的图象上是否存在一点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【解】（1）由题意，， 由，得， 因为，所以， 所以， 所以， 即. （2）由题意，，设， 因为，， 所以，，， 所以， 由，得， 即， 因为， 所以， 所以， 又， 所以当且仅当时，和同时等于， 此时成立， 所以在函数的图象上存在一点，使得. 【跟踪训练】已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P.已知平面内点，点，把点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【解析】为坐标原点，由已知， ， 又，所以点坐标为，故选：A． 1．如果向量，的夹角为，我们就称为向量与的“向量积”，还是一个向量，它的长度为，如果，，，则（    ） A．-16 B．16 C．-20 D．20 【解析】由于，，，， 则，则 所以，则.故选：B 2．定义.若向量，向量为单位向量，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解析】由题意可知，设与的夹角为， 则， 又因为，则，所以，故选：B. 3．若向量，，则以、为邻边的平行四边形的面积可以用、的外积表示出来，即.已知在平面直角坐标系中，、，，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【解析】已知在平面直角坐标系中，、，， 因为 ， 因为，则，则， 则，则， 当时，即当时，面积取最大值.故选：A. 4．记，设，为平面内的非零向量，则（　　） A． B． C． D． 【解析】对于A选项：考虑，根据向量加法减法法则几何意义知： ，所以A错误； B选项：根据平面向量数量积可知：不能保证恒成立， ， 所以它们的较小者一定小于等于，所以B错误D正确； C选项：考虑 ，所以C错误. 故选：D 5．定义两个非零平面向量，的一种新运算：，其中表示向量，的夹角，则对于非零平面向量，，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C．，则 D． 【解析】对于A项，， ，故A项错误； 对于B项，，故B项正确； 对于C项，由已知可得，，所以. 因为，所以或，所以，故C项正确； 对于D项，因为与相同或互补，所以. ，，故D项错误. 故选：BC. 6．已知两个单位向量、的夹角为，若，则把有序数对叫做向量的斜坐标，若，，则（    ） A． B． C． D． 【解析】由已知，， 因此，所以的斜坐标为，A正确； ，因此的斜坐标是，C正确； ， ，在与不垂直时，BD错； 故选：AC． 7．若非零向量，的夹角为锐角θ，且，则称被“同余”．已知被“同余”，且则在上的投影= 【解析】被“同余”，则所以， －在上的投影为. 8．已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点，已知平面内点，点，把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点，则点的坐标 . 【解析】由题意可得，因为点绕点沿逆时针方向旋转角得到点， 所以， 设点坐标为，则，解得，，即点的坐标为 9.我们把由平面内夹角成的两条数轴，构成的坐标系，称为“@未来坐标系”如图所示，，两分别为，正方向上的单位向量若向量，则把实数对叫做向量的“@未来坐标”，记，已知分别为向量的@未来坐标．    (1)证明： (2)若向量的“@未来坐标”分别为，已知，，求函数的最值． 【解】（1）证明：因为，两分别为，正方向上的单位向量，且夹角为， 所以， 所以 ， 即， （2）因为向量的“@未来坐标”分别为， 所以 ， 令，则， 因为，所以，即， 令（）， 因为对称轴为，函数图象开口向上， 所以当时，取得最小值， 当时，取得最大值， 所以的最小值为，最大值为. 10.记所有非零向量构成的集合为，对于，定义， (1)若，求出集合中的三个元素； (2)若，其中，求证：一定存在实数，且，使得. 【解】（1）设，由得， 即，不妨令n取1，2，3，则m取3，6，9， 故中的三个元素为； （2）先证明中向量都是共线向量， 不妨设， 因为，所以中至少有一个不为0， 若，记， 显然，即，故， 任取，因为，所以， 故，则， 故，则，则问题得证； 若，同理可证明，其中； 故综合上述中向量都是共线向量， 因为，所以不妨设， 则由定义知，即，同理， 故，则， 同理可得，故为共线向量， 即存在实数，使，即， 因为，所以，所以， 记，则， 即一定存在实数，且，使得. 11.对于一个向量组，令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“好向量” (1)若是向量组的“好向量”，且，求实数的取值范围； (2)已知，，均是向量组的“好向量”，试探究的等量关系并加以证明． （2）由“好向量”的定义得三个不等式，平方转化为向量的数量积，三式相加整理后可得． 【解析】（1）由题意，而，，， ，所以，解得， 所以的范围是； （2）的等量关系是，证明如下： 由题意是向量组的“好向量”， 所以，则，即， 所以，同理，， 三式相加并整理得， 所以，，所以． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$