专题04 三角函数新定义问题-【高考新风向】2025年高考数学复习重要题型讲与练（新高考通用）

专题04 三角函数新定义问题 三角函数新定义问题；主要把握住三角函数与其它知识点之间的转换关系即可，熟记三角恒等变换的有关公式；求取值范围转换为函数问题. 特别注意：新定义“伴随函数”得出函数的表达式，然后利用三角函数性质求解．对于函数一般借助辅助角公式进行变形，即，其中，． 题型一 新定义距离问题 【例1】人脸识别就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别人脸对象的身份．在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用的测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离．已知二维空间两个点、，则其曼哈顿距离为，余弦相似度为，余弦距离为．已知，、、、，若，，则 ． 【答案】 【解析】因为，， 所以 ， 因为，所以． 因为， 所以 ， 因为，则， 所以． 因为， ，所以． 又因为，， 所以， 所以． 【解题技法】新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 【跟踪训练】 人脸识别技术应用在各行各业，改变着人类的生活，而所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别人脸对象的身份.在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用的测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.假设二维空间中有两个点，O为坐标原点，余弦相似度similarity为向量夹角的余弦值，记作，余弦距离为.已知，，，若P，Q的余弦距离为，Q，R的余弦距离为，则（    ） A．7 B． C．4 D． 【答案】A 【解析】由，，， ， ， 所以，故， 则， 整理得，故选A 题型二 新定义函数 【例2】已知为实数，用表示不超过的最大整数，例如，，．对于函数，若存在且，使得，则称函数是函数． (1)判断函数，是否是函数；（只需写出结论） (2)已知，请写出的一个值，使得为函数，并给出证明； (3)设函数是定义在上的周期函数，其最小周期为．若不是函数，求的最小值． 【解】（1）对于， 令，则， 则，， 所以存在，，使得，所以函数是“函数”. 对于函数，函数的最小正周期为， 不妨研究在这个周期的性质， 当时，，则， 当时，，则， 综上，，所以函数不是“函数”. 所以得函数是“函数”，函数不是“函数”. （2）取，为函数，证明如下： 令，则，又， 此时，， 则，所以是函数． （3）的最小值为1，理由如下： 因为是以为最小正周期的周期函数，所以． 假设，则，所以，矛盾； 所以必有， 而函数的周期为1，且显然不是是函数， 综上，的最小值为1． 【解题技法】关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 【跟踪训练】 定义函数为“正余弦”函数.结合学过的知识，可以得到该函数的一些性质：容易证明为该函数的周期，但是否是最小正周期呢？我们继续探究：.可得：也为函数的周期.但是否为该函数的最小正周期呢？我们可以分区间研究的单调性：函数在是严格减函数，在上严格增函数，再结合，可以确定：的最小正周期为.进一步我们可以求出该函数的值域了.定义函数为“余正弦”函数，根据阅读材料的内容，解决下列问题： (1)求“余正弦”函数的定义域； (2)判断“余正弦”函数的奇偶性，并说明理由； (3)探究“余正弦”函数的单调性及最小正周期，说明理由，并求其值域. 【解】（1）的定义域为. （2）对于函数， ，所以是偶函数. （3）， 在区间上递减，在区间上递增，所以在上递减. 在区间上递增，在区间上递增，所以在上递增. 所以的最小正周期为， 在上是严格减函数，在上是严格增函数. 结合的单调性可知，的值域为. 1．人脸识别中检测样本之间相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点，，则曼哈顿距离为：，余弦相似度为：，余弦距离为.若，，则A，B之间的余弦距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题，， ， 所以A，B之间的余弦距离为. 故选：A. 2．已知是定义在上的函数，如果存在常数，对区间上任意划分：，和式恒成立，则称为上的“绝对差有界函数”，注：，若，，则关于函数、在上是否为“绝对差有界函数”的判断正确的是（    ） A．与都是 B．是而不是 C．不是而是 D．与都不是 【答案】B 【解析】函数，显然在上单调递增， 对区间上任意划分：， 则（）， 所以 取，对区间上任意划分：，恒成立， 故在上是“绝对差有界函数”； 对于函数， 对区间上的划分：， ， 所以， 因此，不存在常数满足条件， 故在上不是“绝对差有界函数”. 故选：B. 3．在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦：，双曲余弦函数：，则 ，无穷数列，，，若，则a的值为 ． 【答案】 【解析】，故； 不妨设，其中 则有，， ……， 所以，，，解得或 则，因此 4．平面直角坐标系中，将函数，上满足，的点，称为函数的“正格点”． 若函数，，与函数的图象存在正格点交点，则这两个函数图象的所有交点个数为 个． 【答案】5 【解析】由已知，函数与函数的图象存在正格点交点， 而满足，的点，称为函数的“正格点”， 所以两函数的正格点交点只能是， 则，所以，所以， 而，所以，所以函数，， 画出两函数图象，可知：      由两函数图象可知，两个函数图象交点个数为5个（其中D、E两点非常接近）， 5．对于函数，，如果存在一组正常数，，…，，（其中k为正整数），满足使得当x取任意实数时，有，则称函数具有“性质”. (1)求证：函数同时具有“性质”和“性质”； (2)设函数，其中b，c，d是不全为0的实数且存在，使得，证明：存在，使得. 【解】（1）因为，所以具有“性质”； 因为，所以具有“性质”； （2）①若，此时取即可； ②若，采取反证法，若不存在，使得，则恒成立， 因为 ，， ， 再由恒成立， 故，进而，与，，是不全为0矛盾； 故存在，使得． ③若，由②中可知， 因为 所以，命题成立． 综上：原命题得证. 6．设为坐标原点，定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”.记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为. （1）设函数，求证：； （2）记的“相伴函数”为，若函数，与直线有且仅有四个不同的交点，求实数的取值范围； （3）已知点满足，向量的“相伴函数”在处取得最大值.当点运动时，求的取值范围. 【解】（1） ∴取满足条件， （2）由题知：. 可求得在单调递增，单调递减，单调递增，单调递减且 ∵图像与有且仅有四个不同的交点 （3） 其中 ∴当即时，取得最大值. 此时 令则由知 解之得 ， 因为在上单调递增， 所以在上单调递减， 从而 7．对于函数，，如果存在一组常数，，…，（其中k为正整数，且）使得当x取任意值时，有则称函数为“k级周天函数”. (1)判断下列函数是否是“2级周天函数”，并说明理由：①；②； (2)求证：当时，是“3级周天函数”； (3)设函数，其中b，c，d是不全为0的实数且存在，使得，证明：存在，使得. 【解】（1）令，，则， 所以是“2级周天函数”； ，不对任意x都成立， 所以不是“2级周天函数”； （2）令，，，则 所以是“3级周天函数”； （3）对其进行分类讨论： 1°若，则，此时取，则； 2°若，采用反证法，若不存在，使得，则恒成立， 由（2）可知是“3级周天函数”， 所以， 所以， 因为，，， 所以， 再由恒成立， 所以， 进而可得，这与b，c，d是不全为0矛盾， 故存在，使得； 3°若，由，， 得， 所以存在，使得， 所以命题成立. 8．已知为实数，用表示不超过的最大整数，例如，，．对于函数，若存在且，使得，则称函数是函数． (1)判断函数，是否是函数；（只需写出结论） (2)已知，请写出的一个值，使得为函数，并给出证明； (3)设函数是定义在上的周期函数，其最小周期为．若不是函数，求的最小值． 【解】（1）对于， 令，则， 则，， 所以存在，，使得，所以函数是“函数”. 对于函数，函数的最小正周期为， 不妨研究在这个周期的性质， 当时，，则， 当时，，则， 综上，，所以函数不是“函数”. 所以得函数是“函数”，函数不是“函数”. （2）取，为函数，证明如下： 令，则，又， 此时，， 则，所以是函数． （3）的最小值为1，理由如下： 因为是以为最小正周期的周期函数，所以． 假设，则，所以，矛盾； 所以必有， 而函数的周期为1，且显然不是是函数， 综上，的最小值为1． 9．悬索桥（如图）的外观大漂亮，悬索的形状是平面几何中的悬链线.年莱布尼兹和伯努利推导出某链线的方程为，其中为参数.当时，该方程就是双曲余弦函数，类似的我们有双曲正弦函数. (1)从下列三个结论中选择一个进行证明，并求函数的最小值； ①； ②； ③. (2)求证：，. 【解】（1）证明：选①，； 选②，； 选③，. ，令， 因为函数、均为上的增函数，故函数也为上的增函数， 故，则，所以， 所以，当且仅当时取“”， 所以的最小值为. （2）证明：， ， 当时，，，所以， 所以，所以成立； 当时，则，且正弦函数在上为增函数， ，所以，， 所以成立， 综上，，. 10．定义函数的“积向量”为，向量的“积函数”为． (1)若向量的“积函数”满足，求的值； (2)已知，设，且的“积函数”为，其最大值为t，求的最小值，并判断此时，的关系． 【解】（1）由题意知向量的“积函数”为， 所以， 令，上式化为， 所以，，， 即； （2）设，， 因为， 所以 ， 令， 此时存在，满足.当且仅当时，等号成立，其中， 所以，即，所以，， 所以， 所以， 此时， 所以的最小值为，此时． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 三角函数新定义问题 三角函数新定义问题；主要把握住三角函数与其它知识点之间的转换关系即可，熟记三角恒等变换的有关公式；求取值范围转换为函数问题. 特别注意：新定义“伴随函数”得出函数的表达式，然后利用三角函数性质求解．对于函数一般借助辅助角公式进行变形，即，其中，． 题型一 新定义距离问题 【例1】人脸识别就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别人脸对象的身份．在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用的测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离．已知二维空间两个点、，则其曼哈顿距离为，余弦相似度为，余弦距离为．已知，、、、，若，，则 ． 【解题技法】新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 【跟踪训练】 人脸识别技术应用在各行各业，改变着人类的生活，而所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别人脸对象的身份.在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用的测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.假设二维空间中有两个点，O为坐标原点，余弦相似度similarity为向量夹角的余弦值，记作，余弦距离为.已知，，，若P，Q的余弦距离为，Q，R的余弦距离为，则（    ） A．7 B． C．4 D． 题型二 新定义函数 【例2】已知为实数，用表示不超过的最大整数，例如，，．对于函数，若存在且，使得，则称函数是函数． (1)判断函数，是否是函数；（只需写出结论） (2)已知，请写出的一个值，使得为函数，并给出证明； (3)设函数是定义在上的周期函数，其最小周期为．若不是函数，求的最小值． 【解题技法】关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 【跟踪训练】 定义函数为“正余弦”函数.结合学过的知识，可以得到该函数的一些性质：容易证明为该函数的周期，但是否是最小正周期呢？我们继续探究：.可得：也为函数的周期.但是否为该函数的最小正周期呢？我们可以分区间研究的单调性：函数在是严格减函数，在上严格增函数，再结合，可以确定：的最小正周期为.进一步我们可以求出该函数的值域了.定义函数为“余正弦”函数，根据阅读材料的内容，解决下列问题： (1)求“余正弦”函数的定义域； (2)判断“余正弦”函数的奇偶性，并说明理由； (3)探究“余正弦”函数的单调性及最小正周期，说明理由，并求其值域. 1．人脸识别中检测样本之间相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点，，则曼哈顿距离为：，余弦相似度为：，余弦距离为.若，，则A，B之间的余弦距离为（ ） A． B． C． D． 2．已知是定义在上的函数，如果存在常数，对区间上任意划分：，和式恒成立，则称为上的“绝对差有界函数”，注：，若，，则关于函数、在上是否为“绝对差有界函数”的判断正确的是（    ） A．与都是 B．是而不是 C．不是而是 D．与都不是 3．在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦：，双曲余弦函数：，则 ，无穷数列，，，若，则a的值为 ． 4．平面直角坐标系中，将函数，上满足，的点，称为函数的“正格点”． 若函数，，与函数的图象存在正格点交点，则这两个函数图象的所有交点个数为 个． 5．对于函数，，如果存在一组正常数，，…，，（其中k为正整数），满足使得当x取任意实数时，有，则称函数具有“性质”. (1)求证：函数同时具有“性质”和“性质”； (2)设函数，其中b，c，d是不全为0的实数且存在，使得，证明：存在，使得. 6．设为坐标原点，定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”.记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为. （1）设函数，求证：； （2）记的“相伴函数”为，若函数，与直线有且仅有四个不同的交点，求实数的取值范围； （3）已知点满足，向量的“相伴函数”在处取得最大值.当点运动时，求的取值范围. 7．对于函数，，如果存在一组常数，，…，（其中k为正整数，且）使得当x取任意值时，有则称函数为“k级周天函数”. (1)判断下列函数是否是“2级周天函数”，并说明理由：①；②； (2)求证：当时，是“3级周天函数”； (3)设函数，其中b，c，d是不全为0的实数且存在，使得，证明：存在，使得. 8．已知为实数，用表示不超过的最大整数，例如，，．对于函数，若存在且，使得，则称函数是函数． (1)判断函数，是否是函数；（只需写出结论） (2)已知，请写出的一个值，使得为函数，并给出证明； (3)设函数是定义在上的周期函数，其最小周期为．若不是函数，求的最小值． 9．悬索桥（如图）的外观大漂亮，悬索的形状是平面几何中的悬链线.年莱布尼兹和伯努利推导出某链线的方程为，其中为参数.当时，该方程就是双曲余弦函数，类似的我们有双曲正弦函数. (1)从下列三个结论中选择一个进行证明，并求函数的最小值； ①； ②； ③. (2)求证：，. 10．定义函数的“积向量”为，向量的“积函数”为． (1)若向量的“积函数”满足，求的值； (2)已知，设，且的“积函数”为，其最大值为t，求的最小值，并判断此时，的关系． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$