专题03 立体几何新定义问题-【高考新风向】2025年高考数学复习重要题型讲与练（新高考通用）

专题03 立体几何新定义问题 解决立体几何的新定义问题，常用的解题思路是：审题、建模、研究模型、解决新定义问题。解题要点：根据题目给出的新定义，建立立体几何模型，研究模型时需注意：根据新定义进行由特殊到一般的规律总结，最后解决问题。 题型一 新定义坐标 【例1】空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系．如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标：分别为“斜坐标系”下三条数轴（轴，轴，轴）正方向上的单位向量，若向量，则与有序实数组一一对应，称向量的斜坐标为，记作． (1)若，求的斜坐标； (2)在平行六面体中，，建立“空间斜坐标系”如下图所示．    ①若，求向量的斜坐标； ②若，且，求． 【解】（1）， 的斜坐标为． （2）设分别为与同方向的单位向量， 则， ① ②由题， 由，知， 由，知： ， ，解得， 则． 【跟踪训练】 已知单位向量两两的夹角均为（，且），若空间向量满足，则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系（为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作．若，，，则三棱锥的表面积为 ． 【答案】 【解析】由题意可知，，则，同理可得， ， ，同理可得， 即三棱锥为正四面体，棱长为，其表面积为． 题型二 新定义形状 【例2】所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫作拟柱体，拟柱体的侧面是三角形、梯形或平行四边形，其体积是将上下底面面积、中截面(与上下底面距离相等的截面)面积的4倍都相加再乘以高(上下底面的距离)的，在拟柱体中，平面//平面，分别是的中点，为四边形内一点，设四边形的面积的面积为，面截得拟柱体的截面积为，平面与平面的距离为，下列说法中正确的有（    ） A．直线与是异面直线 B．四边形的面积是的面积的4倍 C．挖去四棱锥与三棱锥后，拟柱体剩余部分的体积为 D．拟柱体的体积为 【答案】ABC 【解析】A：面面，面面，面面， ，即共面，不在面上，故不共面， 所以直线与是异面直线，正确； B：设到的距离为，到距离为， 同A分析易知，所以四边形是梯形， 因为分别是的中点，所以. 所以，正确； D：由题意知：拟柱体体积为，错误； C：挖去四棱锥与三棱锥后，拟柱体剩余部分的体积为，正确；    故选：ABC 【解题技法】与集合运算有关的创新问题是按照一定的数学规则和要求给出新的集合运算规则，并按照此集合运算规则和要求结合相关知识进行逻辑推理和计算等，从而达到解决问题的目的． 【跟踪训练】 在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，平面，，且，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】取的中点，连接，如图所示： ∵分别为的中点，则且， ∴异面直线与所成的角为或其补角． ∵平面，平面，∴，， ∴，同理可得，∴， ∴，则, 故选C． 题型三 新定义维度 【例3】由空间一点出发不共面的三条射线，，及相邻两射线所在平面构成的几何图形叫三面角，记为．其中叫做三面角的顶点，面，，叫做三面角的面，，，叫做三面角的三个面角，分别记为，，，二面角、、叫做三面角的二面角，设二面角的平面角大小为，则一定成立的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，，，    在上取一点，过在平面内作，交于， 过在平面内作，交于，连接， 则是二面角的平面角，即. 设，在直角三角形中， ， 在直角三角形中，， ， 在中，， 在中，， 即为 ， 所以. 故选：A. 【解题技法】本题的关键是利用二面角的定义结合三角函数表示出相关线段的长，最后根据余弦定理有，再代入计算整理即可. 【跟踪训练】空间直角坐标系中，经过点且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线l的方程为，阅读上面的材料并解决下列问题：现给出平面α的方程为，经过点的直线l的方程为，则直线l与平面α所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题设知：平面α的法向量，直线l的方向向量， 且平面α与直线l相交于， 所以直线l与平面α所成角的正弦值为，故选A 1．用一个垂直于圆锥的轴的平面去截圆锥，截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是一个圆，用一个不垂直于轴的平面截圆锥，当截面与圆锥的轴的夹角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、拋物线、双曲线．因此，我们将圆、椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线．记圆锥轴截面半顶角为，截口曲线形状与有如下关系：当时，截口曲线为椭圆；当时，截口曲线为抛物线：当时，截口曲线为双曲线．如图1所示，其中，现有一定线段，其与平面所成角（如图2），为斜足，上一动点满足，设点在的运动轨迹是，则（    ）    A．当时，是抛物线 B．当时，是双曲线 C．当时，是圆 D．当时，是椭圆 【答案】D 【解析】∵为定线段，为定值， ∴在以为轴的圆锥上运动，其中圆锥的轴截面半顶角为，与圆锥轴的夹角为， 对于A，，∴平面截圆锥得双曲线，故A错误； 对于B，，∴平面截圆锥得椭圆，故B错误； 对于C，，∴平面截圆锥得抛物线，故C错误； 对于D，，∴平面截圆锥得椭圆，故D正确； 故选：D. 2．北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和，例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为，故其总曲率为，则四棱锥的总曲率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，四棱锥的总曲率等于四棱锥各顶点的曲率之和， 因为四棱锥有5个顶点，5个面，其中4个三角形，1个四边形， 所以四棱锥的表面内角和由4个三角形和1个四边形组成， 所以面角和为， 故总曲率为．故选B. 3．多面体的欧拉定理：简单多面体的顶点数、棱数与面数满足的数学关系.请运用欧拉定理解决问题：碳具有超导特性、抗化学腐蚀性、耐高压以及强磁性，是一种应用广泛的材料.它的分子结构十分稳定，形似足球，也叫足球烯，如图所示．碳的分子结构是一个由正五边形面和正六边形面共32个面构成的凸多面体，60个碳原子处于多面体的60个顶点位置，则32个面中正六边形面的个数是（　　） A．22 B．20 C．18 D．16 【答案】B 【解析】由题意可知，，由可得， 设正五边形的个数为，正六边形的个数为，则， 因为一条棱连着两个面，所以足球烯表面的棱数， 联立，解得， 即32个面中正六边形面的个数是20，故选B. 4．设是空间中两两夹角均为的三条数轴，分别是与轴正方向同向的单位向量，若，则把有序数对叫作向量在坐标系中的坐标，则下列结论正确的是（    ） A．若向量，向量，则 B．若向量，向量，则 C．若向量，向量，则当且仅当时， D．若向量，向量，向量，则二面角的余弦值为 【答案】BD 【解析】对于A，若向量， 向量， 则，故A错误； 对于B，若向量，向量， 此时在空间直角坐标系中，故B正确； 对于C，若向量，向量， 当时，，则， 此时，显然不成立，故C错误； 对于D，若向量，向量，向量， 则三棱锥是棱长为1的正四面体，如图所示，取中点，连接， 在等边中，易知，, 则即为二面角的平面角， 在中，由余弦定理得，， 所以二面角的余弦值为，故D正确. 故选：BD 5．阅读数学材料：“设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面”解答问题：已知在直四棱柱中，底面为菱形，，则下列说法正确的是（    ） A．四棱柱在其各顶点处的离散曲率都相等 B．若，则四棱柱在顶点处的离散曲率为 C．若四面体在点处的离散曲率为，则平面 D．若四棱柱在顶点处的离散曲率为，则与平面的夹角为 【答案】BC 【解析】A：当直四棱柱的底面为正方形时，其在各顶点处的离散曲率都相等， 当直四棱柱的底面不为正方形时，其在同一底面且相邻的两个顶点处的离散曲率不相等，故A错误； B：若，则菱形为正方形， 因为平面，平面，所以，， 所以直四棱柱在顶点处的离散曲率为，故B正确； C：在四面体中，，，所以， 所以四面体在点处的离散曲率为，解得， 易知，所以，所以， 所以直四棱柱为正方体， 因为平面，平面， 所以，又平面， 所以平面，又平面，所以，同理， 又平面，所以平面，故C正确， D：直四棱柱在顶点处的离散曲率为, 则,即是等边三角形, 设,则即为与平面的所成角,,故D错误; 故选：BC. 6．18世纪英国数学家辛卜森运用定积分，推导出了现在中学数学教材中柱、锥、球、台等几何体的统一体积公式)(其中分别为的高、上底面面积、中截面面积、下底面面积)，我们也称为“万能求积公式”.例如，已知球的半径为，可得该球的体积为；已知正四棱锥的底面边长为，高为，可得该正四棱锥的体积为.类似地，运用该公式求解下列问题:如图，已知球的表面积为，若用距离球心都为的两个平行平面去截球，则夹在这两个平行平面之间的几何体的体积为 .    【答案】 【解析】如图所示，设上下截面小圆的圆心分别为，上底面截面小圆上一点，连接， 因为球的表面积为，解得，所以， 又因为且， 所以截面小圆半径, 根据“万能求积公式”可得，所求几何体的体积为： .    7．三个“臭皮匠”在阅读一本材料时发现原来空间直线与平面也有方程．即过点且一个法向量为的平面的方程为，过点且方向向量为的直线l的方程为．三个“臭皮匠”利用这一结论编了一道题：“已知平面的方程为，直线l是两个平面与的交线，则直线l与平面所成的角的正弦值是多少？”想着这次可以难住“诸葛亮”了．谁知“诸葛亮”很快就算出了答案．请问答案是 ． 【答案】 【解析】因为平面的方程为，故其法向量可取为， 平面的法向量可取为， 平面的法向量可取为， 直线l是两个平面与的交线，设其方向向量为， 则，令，则， 故设直线l与平面所成的角为 ， 则， 8．勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图甲），利用这一原理，科技人员发明了转子发动机.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体如图乙所示，若正四面体的棱长为1，则勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为 ；用过三点的平面去截勒洛四面体，所得截面的面积为 . 【答案】 【解析】空1：根据题意，勒洛四面体能够容纳的最大球与勒洛四面体的弧面相切， 如图1，点为该球与勒洛四面体的一个切点，为该球球心， 由正四面体的性质可知该该球球心为正四面体的中心，半径为， 连接，则三点共线，此时，为正四面体的外接球的半径， 由于正四面体的棱长为1，其可以在棱长为的正方体中截出， 所以正四面体的外接球的半径即为棱长为的正方体的外接球半径，即正方体体对角线的一半，则， 故勒洛四面体能够容纳的最大球的半径； 空2：如图2，根据勒洛四面体的构成可知，过三点的截面面积为3个半径为1，圆心角为的扇形的面积减去两个边长为1的正三角形的面积， 所以所得截面的面积为. 9．设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为，其中（，2，…，k，）为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体M的所有以P为公共点的面．已知在直四棱柱中，底面ABCD为菱形，且． (1)求直四棱柱在各个顶点的离散曲率之和； (2)若直四棱柱在点A处的离散曲率为x，直四棱柱体积为，求函数的解析式及单调区间． 【解】（1）在直四棱柱中,，底面ABCD为菱形， 由离散曲率的定义知：的离散曲率相等，的离散曲率相等， 所以处的曲率为，而处的曲率为，又， 所以、两处的曲率和为， 故直四棱柱在各个顶点的离散曲率之和. （2）由题设，处的曲率，故， 所以直四棱柱底面面积为， 故直四棱柱高为1，故体积为， 令，，可得，，即，上递增； 令，，可得，，即，上递减； 所以增区间为，减区间为，. 10．球面三角学是球面几何学的一部分，主要研究球面多边形(特别是三角形)的角､边､面积等问题，其在航海､航空､卫星定位等方面都有广泛的应用.定义：球的直径的两个端点称为球的一对对径点；过球心的平面与球面的交线称为该球的大圆；对于球面上不在同一个大圆上的点，，，过任意两点的大圆上的劣弧，，所组成的图形称为球面，记其面积为.易知：球的任意两个大圆均可交于一对对径点，如图1的和；若球面上，，的对径点分别为，，，则球面与球面全等.如图2，已知球的半径为，圆弧和所在平面交成的锐二面角的大小为，圆弧和所在平面､圆弧和所在平面交成的锐二面角的大小分别为，.记. （1）请写出，，的值，并猜测函数的表达式； （2）求(用，，，表示). 【解】（1），，. 猜测. （2） 因为， 所以， 即. 11．类比于二维平面中的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理；如图1，由射线，，构成的三面角，，，，二面角的大小为，则． （1）当、时，证明以上三面角余弦定理； （2）如图2，平行六面体中，平面平面，，， ①求的余弦值； ②在直线上是否存在点，使平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由． 【解】（1）证明：如图，过射线上一点作交于点， 作交于点，连接， 则是二面角的平面角． 在中和中分别用余弦定理，得 ， ， 两式相减得， ∴， 两边同除以，得． （2）①由平面平面，知， ∴由（1）得， ∵，， ∴． ②在直线上存在点，使平面． 连结，延长至，使，连结， 在棱柱中，，， ∴，∴四边形为平行四边形， ∴． 在四边形中，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， 又平面，平面， ∴平面． ∴当点在的延长线上，且使时，平面． 12．北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为，故其总曲率为．    （1）求四棱锥的总曲率； （2）若多面体满足：顶点数-棱数+面数，证明：这类多面体的总曲率是常数． 【解】（1）由题可知：四棱锥的总曲率等于四棱锥各顶点的曲率之和.    可以从整个多面体的角度考虑，所有顶点相关的面角就是多面体的所有多边形表面的内角的集合.由图可知：四棱锥共有5个顶点，5个面，其中4个为三角形，1个为四边形. 所以四棱锥的表面内角和由4个为三角形，1个为四边形组成， 则其总曲率为：. （2）设顶点数、棱数、面数分别为、、，所以有 设第个面的棱数为，所以 所以总曲率为： 所以这类多面体的总曲率是常数. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 立体几何新定义问题 解决立体几何的新定义问题，常用的解题思路是：审题、建模、研究模型、解决新定义问题。解题要点：根据题目给出的新定义，建立立体几何模型，研究模型时需注意：根据新定义进行由特殊到一般的规律总结，最后解决问题。 题型一 新定义坐标 【例1】空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系．如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标：分别为“斜坐标系”下三条数轴（轴，轴，轴）正方向上的单位向量，若向量，则与有序实数组一一对应，称向量的斜坐标为，记作． (1)若，求的斜坐标； (2)在平行六面体中，，建立“空间斜坐标系”如下图所示．    ①若，求向量的斜坐标； ②若，且，求． 【跟踪训练】 已知单位向量两两的夹角均为（，且），若空间向量满足，则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系（为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作．若，，，则三棱锥的表面积为 ． 题型二 新定义形状 【例2】所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫作拟柱体，拟柱体的侧面是三角形、梯形或平行四边形，其体积是将上下底面面积、中截面(与上下底面距离相等的截面)面积的4倍都相加再乘以高(上下底面的距离)的，在拟柱体中，平面//平面，分别是的中点，为四边形内一点，设四边形的面积的面积为，面截得拟柱体的截面积为，平面与平面的距离为，下列说法中正确的有（    ） A．直线与是异面直线 B．四边形的面积是的面积的4倍 C．挖去四棱锥与三棱锥后，拟柱体剩余部分的体积为 D．拟柱体的体积为 【解题技法】与集合运算有关的创新问题是按照一定的数学规则和要求给出新的集合运算规则，并按照此集合运算规则和要求结合相关知识进行逻辑推理和计算等，从而达到解决问题的目的． 【跟踪训练】 在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，平面，，且，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 题型三 新定义维度 【例3】由空间一点出发不共面的三条射线，，及相邻两射线所在平面构成的几何图形叫三面角，记为．其中叫做三面角的顶点，面，，叫做三面角的面，，，叫做三面角的三个面角，分别记为，，，二面角、、叫做三面角的二面角，设二面角的平面角大小为，则一定成立的是（） A． B． C． D． 【解题技法】本题的关键是利用二面角的定义结合三角函数表示出相关线段的长，最后根据余弦定理有，再代入计算整理即可. 【跟踪训练】空间直角坐标系中，经过点且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线l的方程为，阅读上面的材料并解决下列问题：现给出平面α的方程为，经过点的直线l的方程为，则直线l与平面α所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 1．用一个垂直于圆锥的轴的平面去截圆锥，截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是一个圆，用一个不垂直于轴的平面截圆锥，当截面与圆锥的轴的夹角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、拋物线、双曲线．因此，我们将圆、椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线．记圆锥轴截面半顶角为，截口曲线形状与有如下关系：当时，截口曲线为椭圆；当时，截口曲线为抛物线：当时，截口曲线为双曲线．如图1所示，其中，现有一定线段，其与平面所成角（如图2），为斜足，上一动点满足，设点在的运动轨迹是，则（    ）    A．当时，是抛物线 B．当时，是双曲线 C．当时，是圆 D．当时，是椭圆 2．北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和，例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为，故其总曲率为，则四棱锥的总曲率为（    ） A． B． C． D． 3．多面体的欧拉定理：简单多面体的顶点数、棱数与面数满足的数学关系.请运用欧拉定理解决问题：碳具有超导特性、抗化学腐蚀性、耐高压以及强磁性，是一种应用广泛的材料.它的分子结构十分稳定，形似足球，也叫足球烯，如图所示．碳的分子结构是一个由正五边形面和正六边形面共32个面构成的凸多面体，60个碳原子处于多面体的60个顶点位置，则32个面中正六边形面的个数是（　　） A．22 B．20 C．18 D．16 4．设是空间中两两夹角均为的三条数轴，分别是与轴正方向同向的单位向量，若，则把有序数对叫作向量在坐标系中的坐标，则下列结论正确的是（    ） A．若向量，向量，则 B．若向量，向量，则 C．若向量，向量，则当且仅当时， D．若向量，向量，向量，则二面角的余弦值为 5．阅读数学材料：“设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面”解答问题：已知在直四棱柱中，底面为菱形，，则下列说法正确的是（    ） A．四棱柱在其各顶点处的离散曲率都相等 B．若，则四棱柱在顶点处的离散曲率为 C．若四面体在点处的离散曲率为，则平面 D．若四棱柱在顶点处的离散曲率为，则与平面的夹角为 6．18世纪英国数学家辛卜森运用定积分，推导出了现在中学数学教材中柱、锥、球、台等几何体的统一体积公式)(其中分别为的高、上底面面积、中截面面积、下底面面积)，我们也称为“万能求积公式”.例如，已知球的半径为，可得该球的体积为；已知正四棱锥的底面边长为，高为，可得该正四棱锥的体积为.类似地，运用该公式求解下列问题:如图，已知球的表面积为，若用距离球心都为的两个平行平面去截球，则夹在这两个平行平面之间的几何体的体积为 .    7．三个“臭皮匠”在阅读一本材料时发现原来空间直线与平面也有方程．即过点且一个法向量为的平面的方程为，过点且方向向量为的直线l的方程为．三个“臭皮匠”利用这一结论编了一道题：“已知平面的方程为，直线l是两个平面与的交线，则直线l与平面所成的角的正弦值是多少？”想着这次可以难住“诸葛亮”了．谁知“诸葛亮”很快就算出了答案．请问答案是 ． 8．勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图甲），利用这一原理，科技人员发明了转子发动机.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体如图乙所示，若正四面体的棱长为1，则勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为 ；用过三点的平面去截勒洛四面体，所得截面的面积为 . 9．设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为，其中（，2，…，k，）为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体M的所有以P为公共点的面．已知在直四棱柱中，底面ABCD为菱形，且． (1)求直四棱柱在各个顶点的离散曲率之和； (2)若直四棱柱在点A处的离散曲率为x，直四棱柱体积为，求函数的解析式及单调区间． 10．球面三角学是球面几何学的一部分，主要研究球面多边形(特别是三角形)的角､边､面积等问题，其在航海､航空､卫星定位等方面都有广泛的应用.定义：球的直径的两个端点称为球的一对对径点；过球心的平面与球面的交线称为该球的大圆；对于球面上不在同一个大圆上的点，，，过任意两点的大圆上的劣弧，，所组成的图形称为球面，记其面积为.易知：球的任意两个大圆均可交于一对对径点，如图1的和；若球面上，，的对径点分别为，，，则球面与球面全等.如图2，已知球的半径为，圆弧和所在平面交成的锐二面角的大小为，圆弧和所在平面､圆弧和所在平面交成的锐二面角的大小分别为，.记. （1）请写出，，的值，并猜测函数的表达式； （2）求(用，，，表示). 11．类比于二维平面中的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理；如图1，由射线，，构成的三面角，，，，二面角的大小为，则． （1）当、时，证明以上三面角余弦定理； （2）如图2，平行六面体中，平面平面，，， ①求的余弦值； ②在直线上是否存在点，使平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由． 12．北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为，故其总曲率为．    （1）求四棱锥的总曲率； （2）若多面体满足：顶点数-棱数+面数，证明：这类多面体的总曲率是常数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$