精品解析：山东省聊城第一中学2023-2024学年高一下学期第二次阶段性测试数学试题

2023级高一下学期第二次阶段性测试 数学试题 时间：120分钟 分值：150分 第Ⅰ卷（58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知一组数据3，4，5，6，7，8，9，10，则这组数据的分位数是（ ） A. 3.5 B. 4 C. 4.5 D. 5 2. 从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ） A. “恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球” B. “至少有一个黑球”与“都是红球” C. “至少有一个黑球”与“至少有一个红球” D. “至少有一个黑球”与“都是黑球” 3. 在空间中，设是不同的直线，表示不同的平面，则下列命题正确的是 （ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 某学校高一高二年级共1000人，其中高一年级400人，现按照年级进行分层随机抽样调查学生身高，得到高一、高二两个年级的样本平均数分别为和样本标准差分别为3，4，则总体方差（ ） A. 18.5 B. 19.2 C. 9.8 D. 20 5. 已知平面向量，满足，，，则，夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，点P满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 正四面体中，M是侧棱上的中点，若异面直线与直线所成的角为，直线与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正方体中，点E、F、G、H分别为棱的中点，点M为棱上的动点，则下列说法中正确的个数是（ ） ①AM与 异面；②平面AEM；③平面AEM截正方体所得的截面图形始终是四边形；④平面平面. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在复平面内，设O为坐标原点，复数对应的点分别为A，B，若，则z可能是（ ） A. B. C. D. 10. 某校组织“校园安全”知识测试，随机调查600名学生，将他们的测试成绩（满分100分）按照，，，分成五组，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（ ） A. 图中 B. 估计样本数据的第60百分位数约为85 C. 若每组数据以所在区间的中点值为代表，则这600名学生成绩的平均数约为79.5 D. 若按各组人数比例用分层随机抽样的方法抽取30名成绩低于80分的学生，则成绩在内的学生应抽取10人 11. 如图，有一个棱台形的容器（上底面无盖），其四条侧棱均相等，底面为矩形，，容器的深度为，容器壁的厚度忽略不计，则下列说法正确的是（ ） A. B. 该四棱台的侧面积为 C. 若将一个半径为的球放入该容器中，则球可以接触到容器的底面 D. 若一只蚂蚁从点出发沿着容器外壁爬到点，则其爬行的最短路程为 第Ⅱ卷（92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则在方向上的投影向量为____________． 13. 在三棱锥中，平面，则三棱锥外接球的表面积为____________． 14. 如图所示，在边长为3的等边三角形中，，且点P在以的中点O为圆心、为半径的半圆上，若，则下列说法正确的是____________． ① ②的最大值为 ③最大值为9 ④ 四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，其中是正实数，是虚数单位 （1）如果为纯虚数，求实数的值； （2）如果，是关于的方程的一个复根，求的值. 16. 如图，在中，点在边上，，，. （1）求； （2）若的面积是，求. 17. 如图，已知，四边形ABCD为长方形，平面PDC⊥平面ABCD，PD＝PC＝4，AB＝6，BC＝3． （1）证明：BC⊥PD； （2）证明：求点C到平面PDA的距离． 18. 已知四边形为直角梯形，，为等腰直角三角形，平面平面为的中点，． （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的正弦值． （3）求二面角的正弦值． 19. 如图，已知是边长为2的正三角形，点、、是边的四等分点. （1）求的值； （2）若为线段上一点，且，求实数的值； （3）若为线段上的动点，求的最小值，并指出当取最小值时点的位置. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023级高一下学期第二次阶段性测试 数学试题 时间：120分钟 分值：150分 第Ⅰ卷（58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知一组数据3，4，5，6，7，8，9，10，则这组数据的分位数是（ ） A. 3.5 B. 4 C. 4.5 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据百分位数的计算方法求解. 【详解】 因为有8个数，且，所以分位数是第三个数5． 故选：D 2. 从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ） A. “恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球” B. “至少有一个黑球”与“都是红球” C. “至少有一个黑球”与“至少有一个红球” D. “至少有一个黑球”与“都是黑球” 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用互斥事件、对立事件的定义逐项分析判断作答. 【详解】对于A，恰好有一个黑球的事件与恰好有两个黑球的事件不能同时发生，可以同时不发生， 因此“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”是互斥而不对立的两个事件，A是； 对于B，至少有一个黑球的事件与都是红球的事件是对立事件，B不是； 对于C，至少有一个黑球的事件与至少有一个红球的事件可以同时发生，不互斥，C不是； 对于D，至少有一个黑球的事件与都是黑球的事件可以同时发生，不互斥，D不是. 故选：A 3. 在空间中，设是不同的直线，表示不同的平面，则下列命题正确的是 （ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】 由面面平行和线面平行的性质可判断A；由面面垂直和线面垂直的性质可判断B；由面面垂直和线面平行的性质可判断C；由面面垂直和线面垂直的性质可判断D. 【详解】对于A，若，可得或，故A错误； 对于B，若，可得或，故B错误； 对于C，若，则，或，或与相交，故C错误； 对于D，若，则，正确. 故选：D. 【点评】本题考查空间线线、线面和面面的位置关系，主要是平行和垂直的关系，考查空间想象能力和推理能力，属于基础题. 4. 某学校高一高二年级共1000人，其中高一年级400人，现按照年级进行分层随机抽样调查学生身高，得到高一、高二两个年级的样本平均数分别为和样本标准差分别为3，4，则总体方差（ ） A. 18.5 B. 19.2 C. 9.8 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】利用分层抽样的方差公式计算即可得. 【详解】总体样本平均数， 所以 . 故选：B. 5. 已知平面向量，满足，，，则，夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对进行平方可得，可算出，最后利用夹角公式即可 【详解】依题意，，解得， 故， 故， 故选：A． 6. 在中，，点P满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定点的位置，然后根据向量数量积运算、圆的轨迹以及圆的几何性质求得的最大值. 【详解】设中点为，由题可知：， 所以为的中点，故： ， 由，知点P的轨迹是以BC为弦，圆周角为的优弧（除去两点）， 由圆的性质可知，当时，最大； 此时是等边三角形，，. 故选：B 【点睛】在三角形中，如果一个角是固定值，则根据圆的几何性质“同弧所对的圆周向相等”，可以判断出这个角对应的定点的轨迹是圆弧.求解向量数量积，可以通过转化的方法，转化为容易计算的角度来进行求解. 7. 正四面体中，M是侧棱上的中点，若异面直线与直线所成的角为，直线与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先在正四面体中，作出对应的角，再比较三者间的大小关系即可解决. 【详解】正四面体中，取中点，连接，，，过作于，连接，，过作的平行线交于， 则，由平面平面可得平面， 所以，则， 由平面可得平面平面， 又平面平面平面， 则平面，则， 因为， 因为，所以， 设正四面体边长为，，所以， ，， 因为， 所以，又， 则，综上：. 故选：C. 8. 如图，正方体中，点E、F、G、H分别为棱的中点，点M为棱上的动点，则下列说法中正确的个数是（ ） ①AM与 异面；②平面AEM；③平面AEM截正方体所得的截面图形始终是四边形；④平面平面. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方体的几何性质逐项分析. 【详解】对于①，连接，四边形是平行四边形， 平面，平面，平面， 平面，又，所以与AM是异面直线，正确； 对于②，连接EH，则四边形是平行四边形，， 又平面AEM，平面AEM，平面AEM，正确； 对于③，取的中点T，当M与T重合时，连接，则有四点共面， 即平面AEM截正方体的图形是四边形，如下图： 当M点在线段上时，在平面内作直线，交的延长线于U，交于V，连接UM， 四点共面，平面，， 即平面AEM截正方体的图形是五边形，如下图： 错误； 对于④，在正方形ABCD内， 所以，又平面ABCD，平面ABCD， ，平面，平面， 平面AEM，平面平面，正确； 故选：C. 【点睛】难点点睛：本题的难点在于当M点移动时，平面AEM与正方体的交面需要在平面内寻找到与直线EM平行的直线AV，从而确定交面的形状. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在复平面内，设O为坐标原点，复数对应的点分别为A，B，若，则z可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】先利用复数的运算，再转化为向量坐标表示，来计算数量积为0所满足的条件即可判断. 【详解】设则，， 由复数对应的点分别为，则， 由，则，即， 所以得：或， 对比各选项可知：A满足,C、D满足，选项B不符合题意. 故选：ACD. 10. 某校组织“校园安全”知识测试，随机调查600名学生，将他们的测试成绩（满分100分）按照，，，分成五组，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（ ） A. 图中 B. 估计样本数据的第60百分位数约为85 C. 若每组数据以所在区间的中点值为代表，则这600名学生成绩的平均数约为79.5 D. 若按各组人数比例用分层随机抽样的方法抽取30名成绩低于80分的学生，则成绩在内的学生应抽取10人 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用频率分布直方图各小矩形面积和为1计算判断A；利用频率分布直方图结合第p百分位数、平均数的意义计算判断BC；利用分层抽样求出抽取的人数作答. 【详解】对于A，由图知，解得，A错误； 对于B，成绩在内对应的频率为， 成绩在内对应的频率为， 因此第60百分位数位于区间内，， 所以估计样本数据的第60百分位数约为85，B正确； 对于C，平均数约为，C正确； 对于D，成绩低于80分的三组学生的人数之比为，则应选取成绩在内的学生人数为，D正确. 故选：BCD 11. 如图，有一个棱台形的容器（上底面无盖），其四条侧棱均相等，底面为矩形，，容器的深度为，容器壁的厚度忽略不计，则下列说法正确的是（ ） A. B. 该四棱台的侧面积为 C. 若将一个半径为的球放入该容器中，则球可以接触到容器的底面 D. 若一只蚂蚁从点出发沿着容器外壁爬到点，则其爬行的最短路程为 【答案】BD 【解析】 【分析】由勾股定理即可判断A，由梯形的面积公式代入计算，即可判断B，做出轴截面图形代入计算，即可判断C，将四棱台展开，然后代入计算，即可判断D 【详解】 对于A，由题意可得，故A错误； 对于B，梯形的高为， 所以梯形的面积为， 梯形的高为， 所以梯形的面积为， 故该四棱台的侧面积为，故B正确； 对于C，若放入容器内的球可以接触到容器的底面，则当球的半径最大时， 球恰好与面、面、面均相切， 过三个切点的截面如图（1）所示，由题意可知棱台的截面为等腰梯形， 较长的底边上的底角的正切值为，则， 由于互补，故， 则，所以（负值舍），从而球的半径为， 所以将半径为的球放入该容器中不能接触到容器的底面，故C错误； 对于D，将平面与平面展开至同一平面， 如图（2），则， 将平面与平面展开至同一平面，如图（3）， 则， 所以最短路程为，故D正确． 故选：BD 【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于选项D的判断，解答时要将空间问题转化为平面问题，将几何体侧面展开，将折线长转化为线段长，即可求解. 第Ⅱ卷（92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则在方向上的投影向量为____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用投影向量的公式进行求解. 【详解】根据题意可得， 在方向上的投影向量为 故答案为：. 13. 在三棱锥中，平面，则三棱锥外接球的表面积为____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦定理求出，利用正弦定理求出外接圆半径，再利用球的截面小圆性质求解作答. 【详解】在中，，，，则， 设外接圆半径为，则，即，令外接圆圆心为， 三棱锥外接球球心为，半径为，有平面， 由平面，得，又，取中点，于是四边形为矩形， 则球心到平面的距离， 因此， 所以三棱锥外接球的表面积. 故答案为： 14. 如图所示，在边长为3的等边三角形中，，且点P在以的中点O为圆心、为半径的半圆上，若，则下列说法正确的是____________． ① ②的最大值为 ③最大值为9 ④ 【答案】①③ 【解析】 【分析】①利用三角形法则，进行转化，最终利用，作为基底表示， ④边长为3的等边三角形，三条边的夹角，长度都知道，所以以，作为基底表示，进而求出数量积. ②③以点O为原点建立平面直角坐标系,为轴，设，算出，根据平面向量的坐标表示及数量积的运算，最终用三角函数表示出，，进而利用函数思想求最值. 【详解】对于①，因为，且点P在以的中点O为圆心，为半径的半圆上， 所以，则， 对于④，， 则， 对于③，如图，以点O为原点建立平面直角坐标系， 则， 因为点P在以的中点O为圆心，为半径的半圆上， 所以点P的轨迹方程为，且在x轴的下半部分， 设， 则， 所以， 因为，所以， 所以当时，取得最大值9，故③正确； 对于②，因为，所以， 即， 所以， 所以， 因为，所以当时，取得最大值，故②错误． 故答案为：①③ 【点睛】方法点睛：处理向量最值问题，常用建立直角坐标系，表示坐标，列出函数关系式，利用函数思想求最值. 四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，其中是正实数，是虚数单位 （1）如果为纯虚数，求实数的值； （2）如果，是关于的方程的一个复根，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用复数的四则运算求得，再利用复数的分类即可得解； （2）先利用复数的四则运算化简，从而得到题设方程的两个复根，再利用韦达定理即可得解. 【小问1详解】 因为，所以， 因为为纯虚数，所以，解得（负值舍去）， 所以. 【小问2详解】 因为，所以， 则， 因为是关于的方程的一个复根， 所以与是的两个复根， 故，则， 所以. 16. 如图，在中，点在边上，，，. （1）求； （2）若的面积是，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，在中，使用余弦定理得可求，可得是等边三角形，进而可求； （2）由（1）可求，结合三角形的面积公式可求，在中，利用余弦定理可求. 【小问1详解】 解：在中，因为，， 由余弦定理得， 即， 整理得，解得． 因为，所以， 所以是等边三角形，所以. 【小问2详解】 解：因为，所以． 因为的面积是， 所以，所以， 在中，， 所以. 17. 如图，已知，四边形ABCD为长方形，平面PDC⊥平面ABCD，PD＝PC＝4，AB＝6，BC＝3． （1）证明：BC⊥PD； （2）证明：求点C到平面PDA的距离． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】(1)利用平面与平面垂直的性质定理得出BC⊥平面PDC，即可证明BC⊥PD； (2)利用等体积法，即可求点C到平面PDA的距离． 【小问1详解】 ∵四边形ABCD是长方形，∴BC⊥CD， ∵平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD＝CD，BC平面ABCD， ∴BC⊥平面PDC， ∵平面PDC， ∴BC⊥PD； 【小问2详解】 取CD的中点E，连接AE和PE， ∵PD＝PC，∴PE⊥CD， 在Rt△PED中，． ∵平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD＝CD，PE平面PDC， ∴PE⊥平面ABCD， 由(1)知：BC⊥平面PDC， ∵四边形ABCD是长方形，∴BC∥AD， ∴AD⊥平面PDC， ∵平面PDC，∴AD⊥PD， 设点C到平面PDA的距离为h． 连接AC，由得，， ∴点C到平面PDA的距离是． 18. 已知四边形为直角梯形，，为等腰直角三角形，平面平面为的中点，． （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的正弦值． （3）求二面角的正弦值． 【答案】（1） 取中点F，连， 因为E为的中点，所以且， 又，所以且， 故四边形为平行四边形，， 又平面平面， 平面; （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取中点F，连，可证得四边形为平行四边形，所以，由线面平行的判定定理可证得； （2）取的中点G，连接和，可证得平面和平面，从而得到平面即为与平面所成角，求角即可； （3）由（2）可得，所以即为二面角的平面角，求角即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：取的中点G，连接和， 由题意：．， 又平面平面，平面平面平面平面， 平面， 为等腰直角三角形，， 平面平面； 分别为的中点， 平面即为与平面所成角 为等腰直角三角形，， 又为直角三角形， 【小问3详解】 平面平面， 又平面平面 即为二面角的平面角 为等腰直角三角形，， 由（2）得平面，， . 19. 如图，已知是边长为2的正三角形，点、、是边的四等分点. （1）求的值； （2）若为线段上一点，且，求实数的值； （3）若为线段上的动点，求的最小值，并指出当取最小值时点的位置. 【答案】（1）6 （2） （3）时，取最小值 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形法则化简表达式，然后利用已知条件及向量数量积公式计算即可； （2）利用三点共线定理建立等式，得出方程组求出参数即可； （3）记，，设，其中，表示出向量，，然后表示出的结果，转化为二次函数求最值即可. 【小问1详解】 由于为边的中点， 所以， 故. 由于， 故. 因此. 【小问2详解】 由于， 故. 由于为线段上一点，设， 有. 由向量基本定理得，解得，因此. 【小问3详解】 记，， 由得. 设，其中， 则，. 进而有 ，. 当且仅当即时， 取最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $