精品解析：2024年江苏省扬州市邗江区梅苑双语学校中考三模数学试题

2023－2024学年度第二学期第二次模拟考试 九年级数学试题 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．） 1. 在下列实数中，是有理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列运算中，正确是（ ） A. B. C. D. 4. 如图是某几何体的展开图，该几何体是（ ） A. 三棱柱 B. 三棱锥 C. 圆锥 D. 长方体 5. 如图，由矩形和正六边形构成的扳手截面中，的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 某校篮球队有20名队员，统计所有队员的年龄制成如下的统计表，表格不小心被滴上了墨水，看不清13岁和14岁队员的具体人数． 年龄（岁） 12岁 13岁 14岁 15岁 16岁 人数（个） 2 8 3 在下列统计量，不受影响的是（ ） A. 中位数，方差 B. 众数，方差 C. 平均数，中位数 D. 中位数，众数 7. 函数大致图象是（ ） A. B. C D. 8. 用四个全等的直角三角形围成一个如图1大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国三国时期赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，现用如图2的两种直角三角形各两个围成一个如图3的四边形，若知道图3中阴影部分的面积，则一定能求出图3中（ ） A. 四边形的面积 B. 四边形的面积 C. 的面积 D. 的面积 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．） 9. 截至2023年底，全国高铁营业里程约为45000公里，这个数45000用科学记数法表示为___________． 10. 分解因式：________． 11. 代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是________． 12. 下表为某中学统计的七年级名学生体重达标情况（单位：人），在该年级随机抽取一名学生，该生体重“标准”的概率是__________． “偏瘦” “标准” “超重” “肥胖” 80 350 46 24 13. 如图，已知内接于，是的直径，若，则________． 14. 一个圆锥的底面半径为，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的侧面积为___________． 15. 定义：底边和底边上的高相等的等腰三角形称为“和谐”三角形．若“和谐”三角形的面积为2，则其腰长为____________． 16. 关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是______． 17. 如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点A，以线段AB为边，在第一象限内作正方形ABCD，点C落在双曲线（）上，将正方形ABCD沿x轴负方向平移a个单位长度，使点D恰好落在双曲线（）上的点D1处，则a=_____． 18. 如图，正方形边长为4，以为圆心，为半径画弧，为弧上动点，连，取中点，连，则最小值为________． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19 （1）计算：； （2）解不等式组：． 20. 先化简，再求值： ，其中． 21. 如图是“飞行棋”棋盘的一部分，其游戏规则如下： 规则（部分） ①…… ②游戏时抛掷一枚质地均匀正方体骰子（每个面点数分别为1，2，3，4，5，6），根据掷得的点数移动棋子（如棋子在A处时，掷得1点，就移动1格到处：掷得2点，就移动2格到C处）； …… 在某局游戏的过程中，一枚棋子刚好停在处． （1）掷1次骰子，移动后该棋子到处的概率是________； （2）掷2次骰子，求移动后该棋子恰好到处的概率． 22. 4月24日是中国的航天日．为了激发全民尤其是青少年崇尚科学、勇于创新的热情，某学校在七、八年级进行了一次航天知识竞赛．现从七、八年级参加该活动的学生的成绩中各随机抽取20个数据，分别对这20个数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．七年级参加活动的20名学生成绩的数据的频数分布直方图如下（数据分成5组：，，，，）； b．七年级参加活动的20名学生成绩的数据在这一组的是： 84 85 85 86 86 88 89 c．八年级参加活动的20名学生成绩的数据如下： 分数 73 81 82 85 88 91 92 94 96 100 人数 1 3 2 3 1 3 1 4 1 1 根据以上信息，解答下列问题： （1）补全a中频数分布直方图； （2）七年级参加活动的20名学生成绩的数据的中位数是______；八年级参加活动的20名学生成绩的数据的众数是______； （3）已知七八两个年级各有300名学生参加这次活动，若85分（含85分）以上算作优秀，估计这两个年级共有多少人达到了优秀． 23. 为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩.已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.3万元，且用18万元购买A型充电桩与用24万元购买B型充电桩的数量相等.求A，B两种型号充电桩的单价各是多少万元? 24. 如图，已知：在四边形中，、相交于点．，． （1）求证：． （2）若，请用无刻度的直尺和圆规作菱形，顶点，分别在边，上（保留作图痕迹，不要求写作法）． 25. 如图，、、、四点在上，为的直径，于点，平分． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长 26. 现欲将一批荔枝运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满荔枝一次可运走10吨；1辆A型车和2辆B型车载满荔枝一次可运走11吨．现有荔枝31吨，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满荔枝．根据以上信息，解答下列问题： （1）1辆A型车和1辆B型车都载满荔枝一次可分别运送多少吨？ （2）请你帮该物流公司设计租车方案． 27. 如图1，中，，，点为斜边的中点，点是线段上的动点，点关于直线对称点为点，连接，连接． （1）当为等边三角形，的大小为________； （2）如图2，延长，交射线于点，大小是否发生变化？若不变，请求出的大小：若变化，请说明理由． （3）如图2，，点由点运动至点的过程中，的面积最大值为________，扫过的面积为________． 28. 抛物线交轴正半轴于两点（点在点的左边），交轴于点； （1）如图①．连接，，若面积为3， ①求抛物线解析式； ②抛物线上存在点（不与重合），使得与全等，直接写出点坐标________． （2）如图②、若点为点右侧抛物线上的动点，直线、分别交轴于点、，判断是否为定值，请说明理由． （3）如图②，在第（2）的条件下，线段的延长线交于点，点恰好为的中点，求点的横坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023－2024学年度第二学期第二次模拟考试 九年级数学试题 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．） 1. 在下列实数中，是有理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查有理数的判断，解题的关键是熟知无理数与有理数的区别． 根据无理数与有理数的定义即可判断． 【详解】解：根据有理数与无理数的概念可知：、、是无理数，是有理数， 故选：C． 2. 四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐一判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； C．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意； D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项合题意； 故选：D． 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查合并同类项法则、单项式乘法法则、积的乘方法则、幂的乘方法则、完全平方公式，熟练掌握相关法则是解题的关键．依据合并同类项法则、单项式乘法法则、积的乘方法则、完全平方公式进行计算即可． 【详解】解：A、原式错误，不符合题意； B、 不是同类项，不能合并，该选项不符合题意； C、该选项正确，符合题意； D、原式错误，不符合题意； 故选：C． 4. 如图是某几何体的展开图，该几何体是（ ） A. 三棱柱 B. 三棱锥 C. 圆锥 D. 长方体 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是三棱柱的展开图，熟练掌握三棱柱的展开图，是解题的关键． 【详解】解：观察图形可知，这个几何体是三棱柱． 故选：A． 5. 如图，由矩形和正六边形构成的扳手截面中，的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角，以及周角为，解题的关键是熟练掌握正多边形的内角度数， 先求出正多边形的内角度数，再利用矩形的一个直角和正多边形的一个内角以及组成了一个周角，即可求解； 【详解】解：正六边形的外角度数为：， 故正六边形的内角度数为： 故选：A 6. 某校篮球队有20名队员，统计所有队员的年龄制成如下的统计表，表格不小心被滴上了墨水，看不清13岁和14岁队员的具体人数． 年龄（岁） 12岁 13岁 14岁 15岁 16岁 人数（个） 2 8 3 在下列统计量，不受影响的是（ ） A. 中位数，方差 B. 众数，方差 C. 平均数，中位数 D. 中位数，众数 【答案】D 【解析】 【分析】根据频数表可知，年龄为13岁与年龄为14岁的频数和为7，即可知出现次数最多的数据及第10、11个数据的平均数，可得答案． 【详解】解：由表可知，年龄为13岁与年龄为14岁的频数和为， 故该组数据的众数为15岁， 总数为20，按大小排列后，第10个和第11个数为15，15， 则中位数为：岁， 故统计量不会发生改变的是众数和中位数， 故选：D． 【点睛】本题考查频数分布表及统计量的选择，熟练掌握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是解题的关键． 7. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象，根据图象与解析式的关系找出图象上的特殊点进行判断．掌握图象与解析式的关系是解题的关键． 【详解】解：当时，， ∴图象与轴交于点， 故选：D． 8. 用四个全等的直角三角形围成一个如图1大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国三国时期赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，现用如图2的两种直角三角形各两个围成一个如图3的四边形，若知道图3中阴影部分的面积，则一定能求出图3中（ ） A. 四边形的面积 B. 四边形的面积 C. 的面积 D. 的面积 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查图形的面积．设直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，直角三角形的长直角边为m，短直角边为n，分别求出组成阴影部分的两个三角形的面积，进而表示出阴影部分的面积，即可判断出与阴影部分面积相同的图形在哪个选项中． 【详解】解：设直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，直角三角形的长直角边为m，短直角边为n， ∴， ∴ ∵， ∴． 故选：D． 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．） 9. 截至2023年底，全国高铁营业里程约为45000公里，这个数45000用科学记数法表示为___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数，当原数绝对值时，是负整数． 【详解】解：． 故答案为：． 10. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解，先化简，再运用公式法进行因式分解．熟练掌握公式法进行因式分解是解决本题的关键． 【详解】解： ． 故答案为：． 11. 代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式、分式有意义的条件，根据二次根式、分式有意义的条件可求解的取值范围，进而可求解． 【详解】解：若代数式在实数范围内有意义， 则，解得：且． 故答案为：且． 12. 下表为某中学统计的七年级名学生体重达标情况（单位：人），在该年级随机抽取一名学生，该生体重“标准”的概率是__________． “偏瘦” “标准” “超重” “肥胖” 80 350 46 24 【答案】 【解析】 【分析】根据概率公式计算即可得出结果． 【详解】解：该生体重“标准”的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了概率公式，熟练掌握概率所求情况数与总情况数之比是本题的关键． 13. 如图，已知内接于，是的直径，若，则________． 【答案】29 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理．根据圆周角定理和三角形的内角和定理即可得到结论． 【详解】解：是的直径， ， ， ， ， 故答案为：29． 14. 一个圆锥的底面半径为，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的侧面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】设侧面展开图所得扇形的半径为，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式得到，解得，然后根据扇形面积公式求解． 【详解】解：设侧面展开图所得扇形的半径为， 根据题意得，解得 所以该圆锥体的侧面积． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 15. 定义：底边和底边上的高相等的等腰三角形称为“和谐”三角形．若“和谐”三角形的面积为2，则其腰长为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查三角形，熟练掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．根据等腰三角形三线合一和面积公式解答即可． 【详解】解：，， ， ， ， 故答案：． 16. 关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义可得 且，求出的取值范围即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴， ∴且， 故答案为：且． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式． 17. 如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点A，以线段AB为边，在第一象限内作正方形ABCD，点C落在双曲线（）上，将正方形ABCD沿x轴负方向平移a个单位长度，使点D恰好落在双曲线（）上的点D1处，则a=_____． 【答案】2 【解析】 【详解】试题分析：对于直线，令x=0，得到y=3；令y=0，得到x=1，即A（0，3），B（1，0），过C作CE⊥x轴于点E，过D作DF⊥x轴于F，如图所示， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=BC=AD，∠ABC=∠DAB=90°， ∴∠OAB+∠ABO=90°，∠ABO+∠EBC=90°， ∴∠OAB=∠EBC， 在△AOB和△BEC中， ∵∠AOB=∠BEC=90°，∠OAB=∠EBC，AB=BC， ∴△AOB≌△EBC（AAS）， ∴BE=OA=3，CE=OB=1， ∴OE=OB+BE=1+3=4， ∴C（4，1）， 把C点坐标代入反比例函数解析式得：k=4， 即， 同理得到△DFA≌△AOB， ∴DF=OA=3，AF=OB=1， ∴OF=OA+AF=3+1=4， ∴D（3，4）， 由平移性质知：轴，则点D与的纵坐标相等 把y=4代入反比例解析式得：x=1， 即点D1的横坐标为1， ∴DD1=3-1=2，即a=2． 故答案为：2 考点：1．反比例函数综合题；2．平移的性质；3．综合题；4．压轴题． 18. 如图，正方形边长为4，以为圆心，为半径画弧，为弧上动点，连，取中点，连，则最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】在上截取，证明和全等，得到，则，由此得出最小值．本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键是将转化为，根据三角形三边关系，得出最小值． 【详解】解：在上截取，连接，， ∵正方形边长为4，以为圆心，为半径画弧 ， ∵是中点， ， 在和中， ， ， ， ， ，， ， 的最小值为， 故答案：． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. （1）计算：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，特殊角的三角函数值，二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先化简各式，然后再进行计算即可解答； （2）按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答． 【详解】解：原式 ； （2）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为：． 20. 先化简，再求值： ，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，属于基础题，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．先通分，再将分子和分母分解因式，根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将的值代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解：      当时， 原式． 21. 如图是“飞行棋”棋盘的一部分，其游戏规则如下： 规则（部分） ①…… ②游戏时抛掷一枚质地均匀的正方体骰子（每个面点数分别为1，2，3，4，5，6），根据掷得的点数移动棋子（如棋子在A处时，掷得1点，就移动1格到处：掷得2点，就移动2格到C处）； …… 在某局游戏的过程中，一枚棋子刚好停在处． （1）掷1次骰子，移动后该棋子到处的概率是________； （2）掷2次骰子，求移动后该棋子恰好到处的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是画树状图或列表的方法求解随机事件的概率，掌握方法是解本题的关键； （1）直接利用概率公式计算即可； （2）先列表得到所有可能的结果数以及符合条件的结果数，再利用概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：由题意知，掷1次骰子，当点数为4时，移动后该棋子到处， 掷1次骰子，移动后该棋子到处的概率是． 故答案为：； 【小问2详解】 列表如下： 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 共有36种等可能的结果，其中移动后该棋子恰好到处的结果有：，，，，，共5种， 移动后该棋子恰好到处的概率为． 22. 4月24日是中国的航天日．为了激发全民尤其是青少年崇尚科学、勇于创新的热情，某学校在七、八年级进行了一次航天知识竞赛．现从七、八年级参加该活动的学生的成绩中各随机抽取20个数据，分别对这20个数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．七年级参加活动的20名学生成绩的数据的频数分布直方图如下（数据分成5组：，，，，）； b．七年级参加活动的20名学生成绩的数据在这一组的是： 84 85 85 86 86 88 89 c．八年级参加活动的20名学生成绩的数据如下： 分数 73 81 82 85 88 91 92 94 96 100 人数 1 3 2 3 1 3 1 4 1 1 根据以上信息，解答下列问题： （1）补全a中频数分布直方图； （2）七年级参加活动的20名学生成绩的数据的中位数是______；八年级参加活动的20名学生成绩的数据的众数是______； （3）已知七八两个年级各有300名学生参加这次活动，若85分（含85分）以上算作优秀，估计这两个年级共有多少人达到了优秀． 【答案】（1）见解析 （2）88.5；94 （3）435 【解析】 【分析】本题考查的是频数分布直方图，用样本估计总体，中位数和众数，从题目图表中获取有用信息是解题的关键． （1）根据频数分布直方图的数据可得成绩为的学生人数，即可补全频数分布直方图； （2）根据中位数和众数的定义求解即可； （3）求出七、八年级学生参加活动的成绩为优秀的百分比可得答案． 【小问1详解】 解：成绩为的学生人数为（人）， 补全的频数分布直方图如图所示： 【小问2详解】 将七年级参加活动20名学生成绩按从小到大的顺序排列，中位数是（分） 八年级参加活动的20名学生成绩的数据的众数是94； 故答案为：88.5；94； 【小问3详解】 （人） 答：估计这两个年级共有435人达到了优秀． 23. 为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩.已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.3万元，且用18万元购买A型充电桩与用24万元购买B型充电桩的数量相等.求A，B两种型号充电桩的单价各是多少万元? 【答案】A型充电桩的单价为0.9万元，B型充电桩的单价为1.2万元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 设A型充电桩的单价为x万元，则B型充电桩的单价万元，利用数量=总价÷单价，结合用18万元购买A型充电桩与用24万元购买B型充电桩的数量相等，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出A型充电桩的单价，再将其代入中，即可求出B型充电桩的单价． 【详解】解：设B型充电桩的单价为万元， 则A型充电桩的单价为万元. 由由题意得： 解得 经检验：是原分式方程的解，. 答：则A型充电桩的单价为0.9万元， 则B型充电桩的单价为1.2万元； 24. 如图，已知：在四边形中，、相交于点．，． （1）求证：． （2）若，请用无刻度的直尺和圆规作菱形，顶点，分别在边，上（保留作图痕迹，不要求写作法）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图—复杂作图、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）结合平行线的性质、全等三角形的判定证明，则，进而可得四边形为平行四边形，从而可得结论． （2）作线段的垂直平分线，分别交，于点，，连接，即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：如图，作线段的垂直平分线，分别交，于点，，连接，， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵垂直平分， ∴，且经过点，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形， 则四边形即为所求． 25. 如图，、、、四点在上，为的直径，于点，平分． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的判定，三角形的内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质． （1）连接，推出，推出，推出，即可得出答案； （2）求出，求出，求出，即可求出． 【小问1详解】 证明：连接． ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵是的半径， ∴是的切线． 【小问2详解】 ∵是的直径， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 26. 现欲将一批荔枝运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满荔枝一次可运走10吨；1辆A型车和2辆B型车载满荔枝一次可运走11吨．现有荔枝31吨，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满荔枝．根据以上信息，解答下列问题： （1）1辆A型车和1辆B型车都载满荔枝一次可分别运送多少吨？ （2）请你帮该物流公司设计租车方案． 【答案】（1）1辆A型车载满荔枝一次可运送3吨，1辆B型车载满荔枝一次可运送4吨 （2）该物流公司共有3种租车方案，方案1：租用9辆A型车，1辆B型车；方案2：租用5辆A型车，4辆B型车；方案3：租用1辆A型车，7辆B型车． 【解析】 【分析】（1）设1辆A型车载满荔枝一次可运送x吨，1辆B型车载满荔枝一次可运送y吨，由“用2辆A型车和1辆B型车载满荔枝一次可运走10吨；1辆A型车和2辆B型车载满荔枝一次可运走11吨”，列出二元一次方程组，解方程组即可得出结论； （2）由“现有荔枝31吨，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满荔枝”，列出二元一次方程，结合a、b均为非负整数，即可得出各租车方案． 【小问1详解】 设1辆A型车载满荔枝一次可运送x吨，1辆B型车载满荔枝一次可运送y吨， 由题意得： ， 解得：， 答：1辆A型车载满荔枝一次可运送3吨，1辆B型车载满荔枝一次可运送4吨； 【小问2详解】 由题意得：， ∴， 又∵a、b均为非负整数， ∴或或， ∴该物流公司共有3种租车方案， 方案1：租用9辆A型车，1辆B型车； 方案2：租用5辆A型车，4辆B型车； 方案3：租用1辆A型车，7辆B型车． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)找准等量关系，正确列出二元一次方程． 27. 如图1，中，，，点为斜边的中点，点是线段上的动点，点关于直线对称点为点，连接，连接． （1）当为等边三角形，的大小为________； （2）如图2，延长，交射线于点，大小是否发生变化？若不变，请求出的大小：若变化，请说明理由． （3）如图2，，点由点运动至点的过程中，的面积最大值为________，扫过的面积为________． 【答案】（1） （2）的大小不变，始终为 （3）， 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形及轴对称的性质即可求得，进而可得答案； （2）设的大小为，则，由轴对称可知，，可得，，进而求得，再由三角形外角的性质即可得出答案； （3）作的外接圆，连接，，，过点作，，可知（当与重合时取等号），进而根据三角形的面积即可求得的面积最大值，再证、、、四点共圆，点在以为圆心，为直径，的圆上运动，连接并延长交与，则，根据运动临界点可知所扫过的面积为弦所对的弓形的面积，进而可求得答案． 【小问1详解】 解：当等边三角形，， 则， 由轴对称可知，， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 的大小不变，始终为． 设的大小为，则 由轴对称可知，，， ∵，则， ， 是的外角， ； 【小问3详解】 作的外接圆，连接，，，过点作，， 由（2）可知，，， ∴， ∵， ∴，则，， ∴（当与重合时取等号）， ∴的面积最大值为； ∵，，点为斜边的中点， ∴，，， 则、、、四点共圆， ∴点在以为圆心，为直径，的圆上运动，连接并延长交与，则， ∴， 当点在点时，点与点重合，当点在点时，点与点重合， 则点由点运动至点的过程中，所扫过的面积为弦所对的弓形的面积， ∴扫过的面积； 故答案为：，． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，轴对称的性质，圆周角定理，解直角三角形等，正确地作出辅助线是解题的关键． 28. 抛物线交轴正半轴于两点（点在点的左边），交轴于点； （1）如图①．连接，，若面积为3， ①求抛物线解析式； ②抛物线上存在点（不与重合），使得与全等，直接写出点坐标________． （2）如图②、若点为点右侧抛物线上的动点，直线、分别交轴于点、，判断是否为定值，请说明理由． （3）如图②，在第（2）的条件下，线段的延长线交于点，点恰好为的中点，求点的横坐标． 【答案】（1）①；② （2）是定值 （3）点的横坐标为6 【解析】 【分析】（1）①令，解得：或3，令，则，则点、、的坐标分别为、、，再根据即可求解； （2）设点，点，，把点P、A坐标代入一次函数表达式求得，确定点D坐标为，同理可得点，代入求解即可确定结果； （3）求出，由中点坐标公式得：，即可求解． 【小问1详解】 解：①令， 解得：或3， 令，则， 则点、、的坐标分别为、、， ， 解得：， 故抛物线的表达式为：； ②当与全等时， 则点、关于抛物线的对称轴对称， 则点， 故答案为：； 【小问2详解】 的值是定值；理由如下： 设点，点，， 把点、坐标代入一次函数表达式：得： ， 解得：， ∴的函数表达式为：， 即点D坐标为， 把点、坐标代入一次函数表达式：得： ， 解得：， ∴的函数表达式为：， ∴点E的坐标为， ∴为定值； 【小问3详解】 由点、的坐标同上得，直线的表达式为：， 同理可得，直线的表达式为：， 联立上式两式得：， 解得：， 由（3）知，，， ∵恰好为的中点， 由中点坐标公式得：， 解得：或0（舍去）， 即点的横坐标为6． 【点睛】本题考查是二次函数综合运用，涉及到一次函数、全等三角形等知识，作出求出对应函数的函数解析式是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$