精品解析：湖北省荆州市沙市中学2023-2024学年高二下学期6月月考数学试题

2023—2024学年度下学期2022级 6月月考数学试卷 命题人：李雪冰 审题人：冷劲松 考试时间：2024年6月13日 一、单选题 1. 已知函数，则（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 2. 已知随机变量，则（ ） A. B. C. 4 D. 7 3. 设某医院仓库中有10盒同样规格的光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的．且甲、乙、丙三厂生产该种光片的次品率依次为，，，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张光片，则取得的光片是次品的概率为（ ） A. 0.08 B. 0.1 C. 0.15 D. 0.2 4 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有（ ） A. 20种 B. 16种 C. 12种 D. 8种 6. 已知，则（ ） A. 722 B. 729 C. -7 D. -729 7. 如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为．若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则（ ） A. B. C. D. 8. 若关于x的不等式恒成立，则实数的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 二、多选题 9. 关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 若存在极值点，则 B. 若，则有且只有一个极值点 C. 若有两个极值点，则 D. 若1是的极大值点，则 10. 已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球.若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则下列说法正确的是（ ） A. 在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为 B. 第二次抽到3号球的概率为 C. 如果第二次抽到的是3号球，则它来自1号盒子的概率最大 D. 如果将5个不同的小球放入这三个盒子内，每个盒子至少放1个，则不同的放法有180种 11. 下列说法正确的是（ ）． A. 函数在区间的最小值为 B. 函数的图象关于点中心对称 C. 已知函数，若时，都有成立，则实数的取值范围为 D. 若恒成立，则实数的取值范围为 三、填空题 12. 用模型拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，其变换后得到线性回归方程，则___________. 13. 一个笔袋内装有10支同型号签字笔，其中黑色签字笔有7支，蓝色签字笔有3支，若从笔袋内每次随机取出1支笔，取后不放回，取到蓝色签字笔就停止，最多取5次，记取出的签字笔个数为X，则______． 14. 已知，若存在，使得，则的取值范围是______. 四、解答题 15. 在活动中，初始的袋子中有5个除颜色外其余都相同的小球，其中3个白球，2个红球.每次随机抽取一个小球后放回.规则如下：若抽到白球，放回后把袋中的一个白球替换为红球；若抽到红球，则把该红球放回袋中.记经过次抽取后，袋中红球的个数为. （1）求的分布列与期望； （2）证明为等比数列，并求关于表达式. 16. 我市南澳县是广东唯一海岛县，海区面积广阔，发展太平洋牡蛎养殖业具有得天独厚的优势，所产的“南澳牡蛎”是中国国家地理标志产品，产量高、肉质肥、营养好，素有“海洋牛奶精品”的美誉．根据养殖规模与以往的养殖经验，产自某南澳牡蛎养殖基地的单个“南澳牡蛎”质量（克）在正常环境下服从正态分布． （1）购买10只该基地的“南澳牡蛎”，会买到质量小于20g的牡蛎的可能性有多大？ （2）2019年该基地考虑增加人工投入，现有以往的人工投入增量x（人）与年收益增量y（万元）的数据如下： 人工投入增量x（人） 2 3 4 6 8 10 13 年收益增量y（万元） 13 22 31 42 50 56 58 该基地为了预测人工投入增量为16人时的年收益增量，建立了y与x的两个回归模型： 模型①：由最小二乘公式可求得y与x的线性回归方程：； 模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线：的附近，对人工投入增量x做变换，令，则，且有． （i）根据所给统计量，求模型②中y关于x的回归方程（精确到0.1）； （ii）根据下列表格中的数据，比较两种模型的相关指数，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测人工投入增量为16人时的年收益增量． 回归模型 模型① 模型② 回归方程 182.4 79.2 附：若随机变量，则，； 样本的最小二乘估计公式为：， 另，刻画回归效果的相关指数 17. 已知函数，． （1）讨论函数的单调性； （2）当时，恒成立，求实数的取值范围． 18. ChatGPT是由人工智能研究实验室OpenAI于2022年11月30日发布的一款全新聊天机器人模型，它能够通过学习和理解人类的语言来进行对话，ChatGPT的开发主要采用RLHF（人类反馈强化学习）技术.在测试ChatGPT时，如果输入的问题没有语法错误，则ChatGPT的回答被采纳的概率为85%，当出现语法错误时，ChatGPT的回答被采纳的概率为50%. （1）在某次测试中输入了8个问题，ChatGPT的回答有5个被采纳.现从这8个问题中抽取3个，以表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求的分布列和数学期望； （2）已知输入的问题出现语法错误的概率为10%， （i）求ChatGPT的回答被采纳的概率； （ii）若已知ChatGPT的回答被采纳，求该问题的输入没有语法错误的概率. 19. 曲率是曲线的重要性质，表征了曲线的“弯曲程度”，曲线曲率解释为曲线某点切线方向对弧长的转动率，设曲线具有连续转动的切线，在点处的曲率，其中为的导函数，为的导函数，已知． （1）时，求在极值点处的曲率； （2）时，是否存在极值点，如存在，求出其极值点处的曲率； （3），，当，曲率均为0时，自变量最小值分别为，，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年度下学期2022级 6月月考数学试卷 命题人：李雪冰 审题人：冷劲松 考试时间：2024年6月13日 一、单选题 1. 已知函数，则（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导数，再利用导数的定义求解即得. 【详解】函数，求导得，， 所以. 故选：B 2. 已知随机变量，则（ ） A. B. C. 4 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】由随机变量期望的性质即可求解. 【详解】因为，所以，则. 故选：D. 3. 设某医院仓库中有10盒同样规格的光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的．且甲、乙、丙三厂生产该种光片的次品率依次为，，，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张光片，则取得的光片是次品的概率为（ ） A. 0.08 B. 0.1 C. 0.15 D. 0.2 【答案】A 【解析】 【分析】运用全概率公式进行求解即可. 【详解】取得的光片是次品的概率为. 故选：A 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，求出，再将其和代入条件概率公式，即可得到答案. 【详解】因为， 所以， 故. 故选：B. 5. 甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有（ ） A. 20种 B. 16种 C. 12种 D. 8种 【答案】B 【解析】 【分析】分类讨论：乙丙及中间人占据首四位、乙丙及中间人占据尾四位，然后根据分类加法计数原理求得结果. 【详解】因为乙和丙之间恰有人，所以乙丙及中间人占据首四位或尾四位， ①当乙丙及中间人占据首四位，此时还剩末位，故甲在乙丙中间， 排乙丙有种方法，排甲有种方法，剩余两个位置两人全排列有种排法， 所以有种方法； ②当乙丙及中间人占据尾四位，此时还剩首位，故甲在乙丙中间， 排乙丙有种方法，排甲有种方法，剩余两个位置两人全排列有种排法， 所以有种方法； 由分类加法计数原理可知，一共有种排法， 故选：B 6. 已知，则（ ） A. 722 B. 729 C. -7 D. -729 【答案】A 【解析】 【分析】对求导，再赋值，再根据式子求出含的系数即,从而解题. 【详解】设， 则， 所以. 又因为，所以， 所以. 故选：A. 7. 如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为．若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意当时，的可能取值为1,3,5，且，根据二项分布的概率公式计算即可求解. 【详解】依题意，当时，的可能取值为1,3,5，且， 所以 . 故选：D． 8. 若关于x的不等式恒成立，则实数的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】变形不等式得到，设，求导得到函数单调性，得到，令，则求导得到函数单调性和极值最值情况，求出，设，求导得到单调性，并求出，，所以，得到答案. 【详解】不等式，即， 所以．设，则， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增，所以． 令，则． 当时，，单调递增，则， 故满足条件； 当时，在单调递减；在单调递增，则； 设，则，则在上单调递减， 又，所以， 所以，所以的最大值为． 故选：D 二、多选题 9. 关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 若存在极值点，则 B. 若，则有且只有一个极值点 C. 若有两个极值点，则 D. 若1是的极大值点，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】求出导函数，由题意可得有两个不相等的正根或一正一负根，可判断A；由，判断两根的情况，可判断B；由有两个极值点，可得有两个不相等的正根，得到，可判断C；由1是的极大值点，判断为较小的正根，即可判断D. 【详解】因为，所以， 若存在极值点， 则方程有2个不相等的实数根，且至少有一个根为正数， 则或，故A错误； 若，则， 则方程有2个不相等的实数根，且， 故方程恰有1个正根，即有且只有一个极值点，故B正确； 若有两个极值点，则方程有2个不相等的正根， 则，从而，故正确； 若1是的极大值点， 则易知方程有2个不相等的正根，且，故D正确. 故选：BCD. 10. 已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球.若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则下列说法正确的是（ ） A. 在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为 B. 第二次抽到3号球的概率为 C. 如果第二次抽到的是3号球，则它来自1号盒子的概率最大 D. 如果将5个不同的小球放入这三个盒子内，每个盒子至少放1个，则不同的放法有180种 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，利用条件概率公式求解；对于B，利用全概率公式求解；对于C，利用贝叶斯公式求解；对于D，不同元素的分配问题，先分份再分配即可求解. 【详解】记第一次抽到第号球的事件分别为则有 对于A，在第一次抽到2号球的条件下，将2号球放入2号盒子内，因此第二次抽到1号球的概率为故A选项正确； 对于B，记第二次在第号盒子内抽到3号球的事件分别为而两两互斥，和为，即第二次抽到3号球的事件为，， 故B选项正确； 对于C，记第二次在第号盒子内抽到3号球的事件分别为而两两互斥，和为， 记第二次抽到3号球的事件为，, 第二次的球取自盒子的编号与第一次取的球的号码相同， 即如果第二次抽到的是3号球，则它来自1号盒子的概率最大，故C选项正确； 对于D，把5个不同的小球分成3组的不同分组方法数是种，将每一种分组方法分成的小球放在3个盒子中有种不同方法，由分步乘法计数原理得不同的放法种数是种，故D选项错误； 故选：ABC. 11. 下列说法正确的是（ ）． A. 函数在区间的最小值为 B. 函数的图象关于点中心对称 C. 已知函数，若时，都有成立，则实数的取值范围为 D. 若恒成立，则实数取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用导数求出函数的单调性，即可求出函数的最小值，即可判断A；计算出即可判断B；依题意时，都有成立，令，则，从而在上单调递增，在上恒成立，参变分离即可求出参数的取值范围，即可判断C；将变为即，构造新函数，利用其单调性得到，即可判断D. 【详解】对于A：，， 则，当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在取得极小值，即最小值，即，故A正确； 对于B：因为，则， 所以， 所以函数的图象关于点中心对称，故B正确； 对于C：因为时，都有成立， 即时，都有成立， 即时，都有成立， 令，则， 则在上单调递增， 所以在上恒成立， 所以在上恒成立，又在上单调递减，所以， 所以，即实数的取值范围为，故C错误； 对于D：当时，不等式在上恒成立不会成立， 故 ， 当 时， ，此时不等式恒成立； 不等式在上恒成立, 即在上恒成立, 而即， 设 ，当 时，， 故是增函数， 则即，故， 设， 当 时，， 单调递增， 当 时，， 单调递减， 故 ，则 ， 综上可得，实数的取值范围是，故D正确. 故选：ABD 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 三、填空题 12. 用模型拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，其变换后得到线性回归方程，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】将回归方程化为，再与模型比较系数，即可得到答案. 【详解】由，得，，所以. 故答案为： 13. 一个笔袋内装有10支同型号签字笔，其中黑色签字笔有7支，蓝色签字笔有3支，若从笔袋内每次随机取出1支笔，取后不放回，取到蓝色签字笔就停止，最多取5次，记取出的签字笔个数为X，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据X的可能取值是1，2，3，4，5，求得其相应的概率，再利用期望公式求解. 【详解】解：X的可能取值是1，2，3，4，5， 则，，，，， 所以． 故答案为： 14. 已知，若存在，使得，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】结合导数计算可将存在，使得转化为存在，使成立，构造函数，借助导数研究其单调性可得其值域，即可得解. 【详解】， ， 由，整理得， 存在，使成立， 等价于存在，使成立， ，， 设， 则， ，恒成立， 在上单调递增， ， ，即的取值范围为， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于将所给条件化简为，从而可构造函数，结合导数求其值域即可得解. 四、解答题 15. 在活动中，初始的袋子中有5个除颜色外其余都相同的小球，其中3个白球，2个红球.每次随机抽取一个小球后放回.规则如下：若抽到白球，放回后把袋中的一个白球替换为红球；若抽到红球，则把该红球放回袋中.记经过次抽取后，袋中红球的个数为. （1）求的分布列与期望； （2）证明为等比数列，并求关于的表达式. 【答案】（1）分布列见解析， （2）证明见解析， 【解析】 【分析】（1）由的可能取值，计算相应的概率，列出分布列，利用公式计算期望； （2）由第次取出来的球的颜色，讨论红球的个数和相应的概率，得与的关系式，通过构造证明为等比数列，利用等比数列的通项求关于的表达式. 【小问1详解】 的可能取值为2，3，4. ， ， ， 则的分布列为 2 3 4 故. 【小问2详解】 ①若第次取出来是红球，由于每次红球和白球的总个数是5， 则这种情况发生的概率是，此时红球的个数为； ②若第次取出来的是白球，则这种情况发生的概率是， 此时红球的个数为. 故， ， 则，所以是公比为的等比数列. 故， 即. 16. 我市南澳县是广东唯一的海岛县，海区面积广阔，发展太平洋牡蛎养殖业具有得天独厚的优势，所产的“南澳牡蛎”是中国国家地理标志产品，产量高、肉质肥、营养好，素有“海洋牛奶精品”的美誉．根据养殖规模与以往的养殖经验，产自某南澳牡蛎养殖基地的单个“南澳牡蛎”质量（克）在正常环境下服从正态分布． （1）购买10只该基地的“南澳牡蛎”，会买到质量小于20g的牡蛎的可能性有多大？ （2）2019年该基地考虑增加人工投入，现有以往的人工投入增量x（人）与年收益增量y（万元）的数据如下： 人工投入增量x（人） 2 3 4 6 8 10 13 年收益增量y（万元） 13 22 31 42 50 56 58 该基地为了预测人工投入增量为16人时的年收益增量，建立了y与x的两个回归模型： 模型①：由最小二乘公式可求得y与x的线性回归方程：； 模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线：的附近，对人工投入增量x做变换，令，则，且有． （i）根据所给的统计量，求模型②中y关于x的回归方程（精确到0.1）； （ii）根据下列表格中的数据，比较两种模型的相关指数，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测人工投入增量为16人时的年收益增量． 回归模型 模型① 模型② 回归方程 182.4 79.2 附：若随机变量，则，； 样本的最小二乘估计公式为：， 另，刻画回归效果的相关指数 【答案】（1）1.29%；（2）（i），（ii）见解析 【解析】 【分析】（1）根据正态分布的对称性得到，购买10只该基地的“南澳牡蛎”，其中质量小于20g的牡蛎为X只，故，由间接法列式得到结果即可；（2）（i）根据公式计算得到回归直线方程；（ii）通过比较的大小可得到拟合效果的差异，将x=16代入回归方程可得到预测值. 【详解】（1）由已知，单个“南澳牡蛎”质量，则， 由正态分布的对称性可知， ， 设购买10只该基地的“南澳牡蛎”，其中质量小于20g的牡蛎为X只，故， 故， 所以这10只“南澳牡蛎”中，会买到质量小于20g的牡蛎的可能性仅为1.29%． （2）（i）由，有 ， 且， 所以，模型②中关于的回归方程为 （ii）由表格中的数据，有，即模型①的小于模型②，说明回归模型②刻画的拟合效果更好． 当时，模型②的收益增量的预测值为 （万元）， 这个结果比模型①的预测精度更高、更可靠． 【点睛】本题考查回归分析，考查线性回归直线过样本中心点，在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x与Y之间的关系，这条直线过样本中心点．线性回归方程适用于具有相关关系的两个变量，对于具有确定关系的两个变量是不适用的, 线性回归方程得到的预测值是预测变量的估计值，不是准确值 17. 已知函数，． （1）讨论函数的单调性； （2）当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) 若，在上单调递增；若，在上单调递增，在上单调递减;(2) 【解析】 【分析】（1）的定义域为，， 对实数分情况讨论，得出单调性；（2） ，令，所以 令， ，再分情况讨论，求出实数的取值范围． 【详解】（1）的定义域为，， 若，则恒成立，∴在上单调递增； 若，则由， 当时，；当时，， ∴在上单调递增，在上单调递减． 综上可知：若，在上单调递增； 若，上单调递增，在上单调递减． （2）， 令，， ，令， ①若，，在上单调递增， ， ∴在上单调递增,， 从而不符合题意． ②若，当，， ∴在上单调递增， 从而， ∴在上单调递增,， 从而不符合题意． ③若，在上恒成立， ∴在上单调递减，， ∴在上单调递减,， 综上所述，a的取值范围是． 【点睛】本题主要考查函数单调性的求法，满足条件的实数的取值范围的求法，综合性强，难度大，对数学思维的要求较高，解题时应注意导数性质的合理利用． 18. ChatGPT是由人工智能研究实验室OpenAI于2022年11月30日发布的一款全新聊天机器人模型，它能够通过学习和理解人类的语言来进行对话，ChatGPT的开发主要采用RLHF（人类反馈强化学习）技术.在测试ChatGPT时，如果输入的问题没有语法错误，则ChatGPT的回答被采纳的概率为85%，当出现语法错误时，ChatGPT的回答被采纳的概率为50%. （1）在某次测试中输入了8个问题，ChatGPT回答有5个被采纳.现从这8个问题中抽取3个，以表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求的分布列和数学期望； （2）已知输入的问题出现语法错误的概率为10%， （i）求ChatGPT的回答被采纳的概率； （ii）若已知ChatGPT的回答被采纳，求该问题的输入没有语法错误的概率. 【答案】（1）分布列见解析， （2）（i）0.815；（ii） 【解析】 【分析】（1）服从超几何分布，直接用公式求解. （2）利用全概率公式求解ChatGPT的回答被采纳的概率；利用条件概率公式求解该问题的输入没有语法错误的概率即可. 【小问1详解】 易知的所有可能取值为 此时，，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 P 则. 【小问2详解】 （i）记“输入的问题没有语法错误”为事件A， 记“输入的问题有语法错误”为事件B， 记“ChatGPT的回答被采纳”为事件C， 则，，，. . （ii）若ChatGPT的回答被采纳，则该问题的输入没有语法错误的概率为 . 19. 曲率是曲线的重要性质，表征了曲线的“弯曲程度”，曲线曲率解释为曲线某点切线方向对弧长的转动率，设曲线具有连续转动的切线，在点处的曲率，其中为的导函数，为的导函数，已知． （1）时，求在极值点处的曲率； （2）时，是否存在极值点，如存在，求出其极值点处的曲率； （3），，当，曲率均为0时，自变量最小值分别为，，求证：． 【答案】（1）2 （2）答案见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求得函数的极值点，进而由曲率公式计算即可； （2）令，可得，令时，可得，进而数形结合可得时，有解，且有两解且，进而计算可得极值点处的曲率； （3）根据曲率为0可得，，由（2）可得时，有两解，可证明，再证明即可. 【小问1详解】 当时，，可得， 令，可得，当时，，当时，， 所以当为在极小值点，又，所以， 所以； 【小问2详解】 由，可得， 令，则， 令时，可得，令，可得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减，则， 所以时，有解，且有两解且， 为的极小值点，为的极大值点， 当时，有解，且有唯一解，但此解不是极值点， 当时，无解，所以无极值点， 所以当时，存在极值点， 所以； 【小问3详解】 由题意可得，可得， 要，曲率为0，则，即， 可得，， 所以时，有两解，，可证， 由（2）可得，， 可得，． 要证明，即证明，也就是． 因为，所以即证明， 即，令，则，于是， 令，则, 故函数在上是增函数， 所以，即成立．所以成立． 又因为，则， 由（2）可得在上单调递减， 因为，，所以， 【点睛】关键点睛：本题利用导数分析函数单调性与最值及零点，进而证明不等式的问题.需要根据题意找到间的关系，平时积累常见的函数如的图象性质与指对数函数的常见化简如等是关键，同时也要注意根据零点的关系，，构造函数证明不等式的方法. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$