精品解析：江苏省盐城中学2023-2024学年高二下学期5月阶段性质量检测数学试题

高二年级阶段性质量检测 数学试卷 （2024.05） 命题人：杨志明 柏志林 审题人：马岚 试卷说明：本场考试时间120分钟，总分150分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.） 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 某质点沿直线运动，位移S（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则当时该质点的瞬时速度为（ ） A. 10m/s B. 11m/s C. 13m/s D. 28m/s 3. 根据分类变量Ⅰ与Ⅱ的统计数据，计算得到，则（ ） 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A. 变量Ⅰ与Ⅱ相关 B. 变量Ⅰ与Ⅱ相关，这个结论犯错误的概率不超过0.05 C. 变量Ⅰ与Ⅱ不相关 D. 变量Ⅰ与Ⅱ不相关，这个结论犯错误的概率不超过0.05 4. 已知函数，，则大致图象如图的函数可能是（ ） A. B. C. D. 5. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则实数m的值为（ ） A. B. C. 3 D. 9 6. 已知点是椭圆的左右焦点，点为椭圆上一点，点关于平分线的对称点也在椭圆上，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知棱长为1的正方体，以正方体中心为球心的球与正方体的各条棱相切，若点在球的正方体外部（含正方体表面）运动，则的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 8. 某羽毛球俱乐部，安排男女选手各6名参加三场双打表演赛（一场为男双，一场为女双，一场为男女混双），每名选手只参加1场表演赛，则所有不同的安排方法有（ ） A. 2025种 B. 4050种 C. 8100种 D. 16200种 二.多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，若部分选对得部分分，若错选不得分.） 9. 抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，记下骰子朝上面的点数.若用表示红色骰子的点数，若用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果，定义事件：“为奇数”，“”，“”，则下列结论正确的是（ ） A. B. 与互斥 C. 与独立 D. 与独立 10. 分别以一个直角三角形的斜边，两条直角边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成3个几何体，这3个几何体分别记作，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 11. 已知函数，若存在直线，使得是曲线与曲线的公切线，则实数的取值可能是（ ） A. B. C. 2 D. 3 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知A，B两个袋子中有除了颜色外完全相同的黑球，白球若干.其中A袋子有2只黑球，1只白球，B袋子中有2只黑球，2只白球.现从A，B两袋中随机选一只球交换，则交换后A袋中黑球个数的数学期望为______. 13. 已知点，若点和点在直线上，则点到直线的距离为______． 14. 已知数列的首项,且,则满足条件的最大整数______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知数列的前n项和为，且. （1）求的通项公式； （2）若数列满足，求的前项和. 16. 甲､乙两人进行中国象棋比赛，采用五局三胜制，假设他们没有平局的情况，甲每局赢的概率均为，且每局的胜负相互独立， （1）求该比赛三局定胜负的概率； （2）在甲赢第一局的前提下，设该比赛还需要进行的局数为 ，求 的分布列与数学期望. 17. 在直四棱柱中，底面为矩形，，分别为底面的中心和的中点，连接． （1）求证：平面平面； （2）若，求平面与平面所成角的余弦值． 18. 已知函数． （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）若函数在区间上的最小值为1，求a的值． 19. 已知抛物线C的顶点为原点,焦点F在x轴的正半轴,F到直线的距离为.点为此抛物线上的一点,. （1）求抛物线方程和N点坐标； （2）已知A、B是抛物线C上的两个动点,且点A在第一象限,点B在第四象限,直线分别过点A、B且与抛物线C相切,P为的交点.设C、D为直线与直线的交点,求面积的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级阶段性质量检测 数学试卷 （2024.05） 命题人：杨志明 柏志林 审题人：马岚 试卷说明：本场考试时间120分钟，总分150分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.） 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线斜率的定义直接得出结果. 【详解】由得， 故倾斜角满足为， 故. 故选：D 2. 某质点沿直线运动，位移S（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则当时该质点的瞬时速度为（ ） A. 10m/s B. 11m/s C. 13m/s D. 28m/s 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的导数，根据导数的几何意义求解. 【详解】因为， 所以， 所以， 即当时该质点的瞬时速度为10m/s. 故选：A 3. 根据分类变量Ⅰ与Ⅱ的统计数据，计算得到，则（ ） 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A. 变量Ⅰ与Ⅱ相关 B. 变量Ⅰ与Ⅱ相关，这个结论犯错误的概率不超过0.05 C. 变量Ⅰ与Ⅱ不相关 D. 变量Ⅰ与Ⅱ不相关，这个结论犯错误的概率不超过0.05 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知：，根据独立性检验思想分析判断. 【详解】由题意可知：， 根据独立性检验思想可知：变量Ⅰ与Ⅱ相关，这个结论犯错误的概率不超过0.05. 故选：B. 4. 已知函数，，则大致图象如图的函数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由函数的奇偶性及选项逐项排除即可得到答案． 【详解】，的定义域均为，且,， 所以为奇函数，为偶函数. 由图易知其为奇函数，而与为非奇非偶函数，故排除AB. 当时，，排除C. 故选:D． 5. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则实数m的值为（ ） A. B. C. 3 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】由双曲线的渐近线方程对比列方程即可得解. 【详解】由题意双曲线的一条渐近线方程为，所以，解得. 故选：B. 6. 已知点是椭圆的左右焦点，点为椭圆上一点，点关于平分线的对称点也在椭圆上，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据角平分线的对称性以及椭圆的性质，建立方程，表示出焦半径，利用余弦定理，结合齐次方程的思想，可得答案. 【详解】由题意可作图如下： 由图可知：， 由平分，则，所以， 由，则解得， 由是关于直线的对称点，则共线，，，， 所以，在中，， 可得，解得，， 在中，由余弦定理，可得， 代入可得：，化简可得：， 所以其离心率. 故选：C. 7. 已知棱长为1的正方体，以正方体中心为球心的球与正方体的各条棱相切，若点在球的正方体外部（含正方体表面）运动，则的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取中点，根据空间向量的数量积运算得，判断的最大值即可求解. 【详解】取中点，可知在球面上，可得， 所以， 点在球的正方体外部（含正方体表面）运动，当为直径时，， 所以的最大值为. 故选：B. 8. 某羽毛球俱乐部，安排男女选手各6名参加三场双打表演赛（一场为男双，一场为女双，一场为男女混双），每名选手只参加1场表演赛，则所有不同的安排方法有（ ） A. 2025种 B. 4050种 C. 8100种 D. 16200种 【答案】B 【解析】 【分析】首先考虑两对混双的组合，再考虑余下名男选手和名女选手组成两对男双组合，两对女双组合，按照分步乘法计数原理计算可得. 【详解】先考虑两对混双的组合有种不同的方法， 余下名男选手和名女选手各有种不同的配对方法组成两对男双组合，两对女双组合， 故共有． 故选：B 二.多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，若部分选对得部分分，若错选不得分.） 9. 抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，记下骰子朝上面的点数.若用表示红色骰子的点数，若用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果，定义事件：“为奇数”，“”，“”，则下列结论正确的是（ ） A. B. 与互斥 C. 与独立 D. 与独立 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，列举出事件、的所有基本事件，根据古典概型的概率求法求出和，从而可判断AB选项；求出和，可知，再根据独立事件的定义，从而可判断C选项；列举出事件的所有基本事件，根据古典概型的概率求法求出，进而得出，最后根据独立事件的定义即可判断D选项. 【详解】解：由题可知，“为奇数”，“”，“”， 则事件的所有情况为： ，共18种情况， 所以， 事件的所有情况为：，共6种情况， 所以，所以，且与互斥，故AB选项正确； 则，， 可知，所以与不独立，故C不正确； 事件的所有情况为： ，共12种情况， 所以，，， 可知，所以与独立，故D正确. 故选：ABD. 10. 分别以一个直角三角形的斜边，两条直角边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成3个几何体，这3个几何体分别记作，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】在直角三角形中，是斜边，是斜边上的高，记，求出，利用基本不等式判断AB，确定它们的关系后，判断CD． 【详解】如图，直角三角形中，是斜边，是斜边上的高，记，显然，则， 所以，，， 选项AB， ，， 即，A正确，B错误； 选项CD，由得，， 若，则， 若，则，C正确，D错误， 故选：AC． 11. 已知函数，若存在直线，使得是曲线与曲线的公切线，则实数的取值可能是（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】ACD 【解析】 【分析】分别设出直线与两曲线的切点坐标，，利用导数的几何意义求出切线方程，根据题意得到，记，分类讨论a与1的大小关系，利用导数与函数的单调性结合零点存在性定理分析求解. 【详解】设直线为曲线在点处的切线，， 所以，即； 设直线为曲线在点处的切线，， 所以，即； 由题意知，因为，可知， 由可得， 将其代入可得：， 令，则在上有零点， 令，则， 令，解得；令，解得； 在区间上单调递增，在区间上单调递减， 当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减， 且， 当时，，故在上恒有零点，从而恒成立； 当时，，无零点，不成立； 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 且当时，， 则，解得； 综上所述：实数的取值范围是. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：求曲线的切线问题主要分两大类： 一类是切点已知，那么只需将切点横坐标代入到原函数与导函数中求出切点和斜率即可； 另一类是切点未知，那么先要设出切点坐标，利用导数表示切线的斜率以及切线方程，根据所过的点求切点，得出切线方程. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知A，B两个袋子中有除了颜色外完全相同的黑球，白球若干.其中A袋子有2只黑球，1只白球，B袋子中有2只黑球，2只白球.现从A，B两袋中随机选一只球交换，则交换后A袋中黑球个数的数学期望为______. 【答案】## 【解析】 【分析】由交换后A袋中黑球个数可能的取值，求出对应的概率，利用公式计算数学期望. 【详解】设交换后A袋中黑球个数为X，则X可能的取值为1，2，3， 是A袋的黑球换了B袋的白球；是A，B两袋中同色球进行了交换；是A袋的白球换了B袋的黑球. 则，，， 所以. 故答案为： 13. 已知点，若点和点在直线上，则点到直线的距离为______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据题意求得，结合到直线的距离，即可求解. 【详解】由题意知，点，，，可得，， 则，，， 所以， 可得， 所以点到直线的距离为． 故答案为：1. 14. 已知数列的首项,且,则满足条件的最大整数______. 【答案】2024 【解析】 【分析】将已知条件递推公式,取倒数,变换为,则有是等比数列,从而得,分组求和求出新数列,根据的单调性,即可得答案. 【详解】因为，所以，所以， 所以数列是等比数列，首项为,公比为， 所以,即， 所以 ， 而当时，单调递增， 又因为,且， 所以满足条件的最大整数. 故答案为：2024. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知数列的前n项和为，且. （1）求的通项公式； （2）若数列满足，求的前项和. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据的关系由：求解即可； （2）根据通项分奇偶分别计算求和，结合裂项相消和等比数列求和公式即可. 【小问1详解】 当时，. 当时，， 当时，也符合. 综上，. 【小问2详解】 由 则 ， 故的前项和. 16. 甲､乙两人进行中国象棋比赛，采用五局三胜制，假设他们没有平局的情况，甲每局赢的概率均为，且每局的胜负相互独立， （1）求该比赛三局定胜负的概率； （2）在甲赢第一局的前提下，设该比赛还需要进行的局数为 ，求 的分布列与数学期望. 【答案】（1） （2） 2 3 4 【解析】 【分析】（1）分析三局定胜负的情况，利用独立事件的概率公式即可得解； （2）根据题意得到 的可能取值，再根据相应取值的比赛情况求得对应概率，从而得到 的分布列，进而求得其数学期望，从而得解. 【小问1详解】 该比赛三局定胜负意味着甲、乙两人前面三局有一人连赢， 则该比赛三局定胜负的概率为. 【小问2详解】 依题意， 的可能取值为2，3，4， 则，， ， 则 的分布列为 2 3 4 故. 17. 在直四棱柱中，底面为矩形，，分别为底面的中心和的中点，连接． （1）求证：平面平面； （2）若，求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】（1） 因为分别为底面的中心和的中点， 所以， 因为平面，平面，所以， 又因为，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面． （2） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直得到线线垂直，即，进而得到平面，证明出面面垂直； （2）建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，利用法向量的夹角余弦公式求出答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为空间坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系． 由已知得， 所以， 又， 设平面与平面的法向量分别为， 所以，解得，令，则， 故， 所以，解得，令，则， 故， 因为，所以， 设平面与平面所成角的大小为， 所以． 18. 已知函数． （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）若函数在区间上的最小值为1，求a的值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义即可得解； （2）方法一：利用导数与函数的关系，结合题意得到与，利用观察法求得，进而得到，从而得解；方法二：利用必要性先行得到，再分别检验与两种情况，从而得解. 【小问1详解】 当时，，， 则， 故，， 所以在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 方法一：因为， 所以，显然单调递增， 因为在区间上有最小值，则在上存在零点， 即存在唯一的，使得，即． 当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增， 因此的最小值就是, 令，则易知在上单调递减，且， 所以由的最小值为，求得， 代入得， 结合，解得，此时． 方法二：因为在区间上的最小值为1， 所以，即，解得， 令，则， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以，则，当且仅当时，等号成立， 将代换成，得， 则当时，有，即，当且仅当时，等号成立， 所以当时，， 当且仅当时取到等号，符合题意； 当时，，不符合题意； 综上，. 【点睛】结论点睛：两个常见的重要不等式： （1）；（2）. 19. 已知抛物线C的顶点为原点,焦点F在x轴的正半轴,F到直线的距离为.点为此抛物线上的一点,. （1）求抛物线方程和N点坐标； （2）已知A、B是抛物线C上的两个动点,且点A在第一象限,点B在第四象限,直线分别过点A、B且与抛物线C相切,P为的交点.设C、D为直线与直线的交点,求面积的最小值. 【答案】（1）, （2） 【解析】 【分析】（1）设抛物线的标准方程为,利用点到直线距离公式可求出,再利用焦半径公式可求出N点坐标； （2）设出两点,还有方程为方程为,求出交点,还有,坐标,进而得出和,后用函数导数解决. 【小问1详解】 设抛物线的标准方程为,则. 由于 F到直线的距离为， 即，解得. 所以抛物线方程为. 又,且, 则. 故抛物线的方程为,. 【小问2详解】 设, 显然直线的斜率存在且不为0，设直线， 联立方程，消去x可得， 则，可得， 直线， 同理可得：直线方程为, 联立方程组，解得，即, 将代入方程,可以求得的坐标分别为, 则. 可得. 设, 由知, 当且仅当时，等号成立, 可得. 设,则. 当时,；当时,, 可知在区间上单调递减,在区间上单调递增. 则时,取最小值. 所以当,即时,面积取最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $