精品解析：河南省驻马店市名校2026-2027学年第一学期高三测评考试（一）数学试题

使用日期：2026年8月5日 2026-2027学年度第一学期考试（一） 高三数学试题 注意事项： 1． 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题上． 2． 作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂 黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3． 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相 应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 4． 考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 第I卷 选择题 一、单选题（共40分） 1. 某市工信局对辖区内 100 家专精特新中小企业开展 "数字化转型" 专项调研，统计结果显示：完成生产端数字化改造的企业有 68 家，完成管理端数字化改造的企业有 52 家，两类改造均未完成的企业有 9 家．则两类改造均完成的企业数量为（ ） A. 29 B. 31 C. 39 D. 41 【答案】A 【解析】 【详解】依题意，两类改造均完成的企业数量为. 2. 热释光测年法是古陶瓷年代鉴定的核心技术之一，其原理基于陶瓷中石英矿物的辐射剂量随时间的衰减规律．若某古陶瓷样品的辐射剂量与距今时间（单位：年）满足函数关系，(为烧制完成时的初始剂量)．记距今 1000 年时剂量为，距今 2000 年时为，距今 3000 年时为，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数模型，代值后利用指数函数的单调性即可比较大小. 【详解】依题意，， 因函数在上单调递减， 故， 又因，故得. 3. 斗拱是中国传统木构建筑的核心榫卯构件，某宋代斗拱的简化模型可看作由一个正四棱柱与一个正四棱锥上下拼接而成（拼接面完全重合）．已知正四棱柱的底面边长为 2、高为 1，正四棱锥的底面边长与棱柱一致，高为 1.5，则该模型的体积为（ ） 宋代斗拱 A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】采用分割法，分别计算棱柱、棱锥体积再求和即可. 【详解】. 4. 某县采用分层抽样的方法，对下辖甲、乙、丙三个乡镇的乡村电商直播商户进行营收调研．已知三个乡镇的直播商户数量之比为(4：5：6)，若从乙乡镇抽取了 15 户商户，则本次调研抽取的样本总容量为（ ） A. 35 B. 40 C. 45 D. 50 【答案】C 【解析】 【分析】在分层抽样中，各层抽取的样本数之比等于各层个体数之比，按比例计算即可. 【详解】三个乡镇商户数量比为，乙乡镇占比为. 设样本总量为，则乙乡镇抽取商户数为. 已知乙乡镇抽取了15户，即，解得. 5. 塔式光热电站的定日镜反射面为旋转抛物面，其轴截面是一条开口向上的抛物线．若该抛物面的顶点到焦点的距离为 2 米，以顶点为原点、对称轴为y轴建立平面直角坐标系，则对应抛物线标准方程中p的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【详解】由抛物线的定义知： . 6. 已知双曲线 左、右焦点分别为，．过的直线的斜率为，直线交双曲线右支于点．点在双曲线左支上，且．若双曲线离心率，则比值为（　　） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由离心率求出与关于的关系，再把过左焦点且斜率已知的直线与双曲线联立，求出点的坐标．由得为水平线，进而求出点的坐标和所求比值． 【详解】设双曲线的半焦距为． 由得 又，所以 于是 直线的方程为 联立，消去，得 因为在双曲线右支上，所以其横坐标为. 代入直线方程得，故. 因为，所以垂直于轴． 又，故平行于轴，即点的纵坐标也为． 将代入双曲线方程，得所以 由于在左支上，故 因此，从而 7. 天气分为晴天、阴天两种状态，次日天气只由当日天气决定．若今日晴天，则次日晴天的概率为 70%，阴天的概率为 30%；若今日阴天，则次日晴天的概率为 50%，阴天的概率为 50%．已知今天是晴天，则两天后为阴天的概率为（ ） A. 34% B. 36% C. 38% D. 40% 【答案】B 【解析】 【详解】设事件：今天晴天；：明天晴天，：明天阴天； ：后天晴天，：后天阴天. 已知，，，，. 由全概率公式得， . 8. 已知函数，若存在两个不等正数，，满足，则下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求导确定单调区间，然后通过构造函数证明恒成立. 【详解】的定义域为，. 当时, ，函数单调递减； 当时，，函数单调递增. 且，且当时，，时 ， 故在上递减，在上递增，最小值为. 若存在使，则、必位于的两侧，不妨设. 令，， 则， 即在上恒成立， 即在上单调递增， 又，所以当时，，即， 令，则， 又，即， 又，，且在上单调递增， 所以，即，故A错误，B错误； 令，. 则， 所以在上单调递减，故，即. 令，得， 又，所以. 由于，，且在单调递增， 故，即.因此C正确，D错误. 二、多选题（共18分） 9. 某运动队由足球运动员人，篮球运动员人，乒乓球运动员人组成（每人只参加一项），现从这些运动员中抽取一个容量为的样本，若采用比例分配的分层随机抽样的方法，且不用删除个体，则样本量的取值可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据分层抽样的定义直接可得解. 【详解】由已知三种球类运动员人数比为， 即抽取的样本中各类运动员人数比也为， 则样本容量，， 当时，，当时，. 10. 已知函数 ，定义域，下列说法正确的是（ ） A. 在 处取得极小值 B. 函数最小值为 C. 函数最大值为3 D. 在区间单调递减 【答案】ABC 【解析】 【详解】因为函数的图象是开口向上的抛物线，且对称轴为. 又函数的定义域为，所以函数在上单调递减，在上单调递增. 所以函数 在 处取得极小值，故A正确； 因为，所以函数最小值为 ，故B正确； 因为，，所以函数最大值为3，故C正确； 因为 在区间单调递增，故D错误. 11. 对于有序数组，称运算满足如下规则： ① ； ② 若为正整数，； 我们称有序数组为平衡组，当且仅当均为非负整数，且． 下列说法正确的是（ ） A. 若都是平衡组，则一定是平衡组 B. 若是平衡组，为正整数，则一定是平衡组 C. 是平衡组 D. 存在两个平衡组，使得 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于选项A，设，均为平衡组， 则，，且各分量为非负整数.， 且， 又均为非负整数，故是平衡组，故A正确； 对于选项B，若是平衡组，则，为非负整数，， ，为非负整数，故是平衡组，故B正确； 对于选项C，对，，不满足，不是平衡组，故C错误； 对于选项D，设为平衡组，则， 由， 得，代入， 得，符合上式. 取一组非负整数解：， 则，二者均为平衡组，且， 故存在两个平衡组，故D正确. 第II卷 非选择题 三、填空题 12. 若的展开式中常数是，则实数=______ 【答案】 【解析】 【分析】由二项定理展开式通项可，结合常数项即可求得的值. 【详解】根据二项定理展开式的通项可知， 所以，即时为常数项， 所以， 解得， 故答案为：. 【点睛】本题考查了二项定理展开式通项的应用，由常数项求参数，属于基础题. 13. 若函数对任意的实数且则=_______ . 【答案】 或 【解析】 【详解】对任意的实数,说明函数图像的一条对称轴为，，则 ， 或. 14. 在中，，是边上一点（与不重合），且，则等于___________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用勾股定理与数量积运算得到的关系式，从而得到为中点，由此得解. 【详解】在中作边上的高，不妨设在上， 设，则， 则在中，， 在中，， 故， 因为， 所以，即， 则， 所以，即为中点， 于是为等腰三角形．又顶角为，则底角． 故答案为： 四、解答题 15. 某商场进行抽奖促销活动，抽奖箱中有大小完全相同的4个小球，分别标有 “A”“B”“C”“D”．顾客从中任意取出1个球，记下上面的字后放回箱中，再从中任取1个球，重复以上操作，最多取4次．规定：若取出“D”字球，则停止取球．获奖规则如下：依次取到标有“A”“B”“C”“D”字的球为一等奖；不分顺序取到标有“A”“B”“C”“D”字的球，为二等奖；取到的4个球中有标有“A”“B”“C”三个字的球为三等奖． （1）求分别获得一、二、三等奖的概率； （2）设摸球次数为，求 的分布列和数学期望． 【答案】（1），， （2） 1 2 3 4 【解析】 【分析】（1）由题意设“摸到一等奖、二等奖、三等奖”分别为事件E，F，G，利用独立事件同时发生的概率公式及互斥事件的概率公式即可求得. （2）由于摸球次数为，的可能取值为1、2、3、4，利用随机变量的定义及随机变量的分布列及期望定义即可求得. 【小问1详解】 设“摸到一等奖、二等奖、三等奖”分别为事件E，F，G． 则一等奖的情况有“A，B，C，D”，， 二等奖的情况有前3次恰好是“A”“B”“C”的全排列，最后1次为“D”， 再减去“一等奖”的1次，基本事件有个，， 三等奖的情况有：“A”“A”“B”“C”；“A”“B”“B”“C”；“A”“B”“C”“C”三种情况， . 【小问2详解】 设摸球的次数为，则的可能取值为1、2、3、4． ，，， . 故取球次数的分布列为 1 2 3 4 数学期望. 16. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，侧面底面，,, 分别为的中点，点在线段上． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）若为的中点，求证：平面； （Ⅲ）当时，求四棱锥的体积． 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）24． 【解析】 【详解】试题分析：（1）证明线面垂直，一般利用线面垂直判定定理，即从线线垂直出发给予证明，而线线垂直的证明与寻找，往往从两个方面，一是利用面面垂直转化为线面垂直底面，再由线面垂直性质定理转化为线线垂直，另一是结合平面几何的条件，如本题利用等腰三角形及平行四边形性质得（2）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行的寻找与论证，往往需结合平面几何的条件，如三角形中位线性质得，即得平面.同理，得平面，最后根据线面平行证得面面平行平面平面，再由面面平行得线面平行（3）求四棱锥体积，关键在于确定高，即线面垂直.由底面，所以底面，所以 试题解析：（1）证明：在平行四边形中，因为，， 所以. 由分别为的中点，得， 所以. 因为侧面底面，且 ， 所以底面. 又因为底面，所以. 又因为，平面，平面， 所以平面. （2）证明：因为为的中点，分别为的中点， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面. 同理，得平面，又因为， 平面， 平面， 所以平面平面， 又因为平面， 所以平面. （3）在中，过作交于点， 由，得， 又因为，所以， 因为底面，所以底面， 所以四棱锥的体积 . 考点：线面垂直判定与性质定理，面面垂直性质定理，线面平行判定与性质定理，四棱锥体积 【思想点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. (1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行. (2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直. (3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直. 17. 如图，O为坐标原点，点F为抛物线C1：的焦点，且抛物线C1上点M处的切线与圆C2：相切于点Q． （Ⅰ）当直线MQ的方程为时，求抛物线C1的方程； （Ⅱ）当正数p变化时，记S1 ，S2分别为△FMQ，△FOQ的面积，求的最小值． 【答案】（1）x2y（2） 【解析】 【详解】试题分析：（1）依据题设条件，借助导数的几何意义求出切点坐标及其斜率，建立方程组求解；（2）运用直线与圆相切的建立等量关系，通过解方程组求得点Q的坐标，进而求出S1 ，S2，建立目标函数，然后运用基本不等式求解： 解：（Ⅰ）设点，由得，，求导， 而直线的斜率为1，所以且，解得 所以抛物线标准方程为 （Ⅱ）因为点M处的切线方程为：，即， 根据切线又与圆相切，得，即，化简得， 由方程组，解得Q（，）， 所以|PQ|=|xP-xQ|==， 点F（0，）到切线PQ的距离是d==， 所以=××=， =， 而由知，4p2=，得|x0|＞2， 所以=== ==+3≥2+3，当且仅当时取“=”号，即，此时，p=，所以的最小值为． ． 18. 已知椭圆的中心在原点，离心率，短轴的一个端点为，点为直线与该椭圆在第一象限内的交点，平行于的直线交椭圆于两点． （1）求椭圆的方程； （2）求证：直线，与轴始终围成一个等腰三角形． 【答案】（1） （2） 由（1）知椭圆方程为． 联立，解得或， 因为点在第一象限内，所以， 设直线的方程为． 由， 得， 设直线，的斜率分别为， 设，则，． 由， 得，， ． 即． 故直线，与轴始终围成一个等腰三角形． 【解析】 【分析】（1）椭圆由短轴的端点、离心率求出，得到椭圆的方程； （2）要证与x轴围成等腰三角形，转化证明两直线斜率之和为0，设出直线，和椭圆联立，利用韦达定理代入化简分子等于0. 【小问1详解】 设椭圆方程为， 由离心率，得， 由短轴的一个端点为，得， 因为，所以，所以， 所以椭圆方程为． 【小问2详解】 略. 19. 已知函数． （1）当时，求函数的最小值； （2）若时，，求实数a的取值范围； （3）求证：． 【答案】（1）1 （2） （3） 证明：由（2）知，当时，在上单调递增． 则，即． ∴． ∴，即． 【解析】 【分析】（1）当时，对求导，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，即可求出函数的最小值； （2）由题意可得，令，通过讨论a的范围，确定函数的单调性，从而求出满足条件的取值范围； （3）令，在上单调递增，得到，从而证出结论. 【小问1详解】 解：当时，，则． 令，得． 当时，；当时，． ∴函数在区间上单调递减，在区间上单调递增． ∴当时，函数取得最小值，其值为． 【小问2详解】 若时，，即． ，令， 则 ①若，由（1）知，即，则，故， 所以， 所以函数在区间上单调递增， 所以，所以. ②若，令， 则 所以函数在区间上单调递增， 由于， ， 故，使得， 则当时，，即， ∴函数在区间上单调递减， ∴，即式不恒成立． 综上所述，实数a的取值范围是 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 使用日期：2026年8月5日 2026-2027学年度第一学期考试（一） 高三数学试题 注意事项： 1． 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题上． 2． 作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂 黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3． 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相 应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 4． 考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 第I卷 选择题 一、单选题（共40分） 1. 某市工信局对辖区内 100 家专精特新中小企业开展 "数字化转型" 专项调研，统计结果显示：完成生产端数字化改造的企业有 68 家，完成管理端数字化改造的企业有 52 家，两类改造均未完成的企业有 9 家．则两类改造均完成的企业数量为（ ） A. 29 B. 31 C. 39 D. 41 2. 热释光测年法是古陶瓷年代鉴定的核心技术之一，其原理基于陶瓷中石英矿物的辐射剂量随时间的衰减规律．若某古陶瓷样品的辐射剂量与距今时间（单位：年）满足函数关系，(为烧制完成时的初始剂量)．记距今 1000 年时剂量为，距今 2000 年时为，距今 3000 年时为，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 斗拱是中国传统木构建筑的核心榫卯构件，某宋代斗拱的简化模型可看作由一个正四棱柱与一个正四棱锥上下拼接而成（拼接面完全重合）．已知正四棱柱的底面边长为 2、高为 1，正四棱锥的底面边长与棱柱一致，高为 1.5，则该模型的体积为（ ） 宋代斗拱 A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 4. 某县采用分层抽样的方法，对下辖甲、乙、丙三个乡镇的乡村电商直播商户进行营收调研．已知三个乡镇的直播商户数量之比为(4：5：6)，若从乙乡镇抽取了 15 户商户，则本次调研抽取的样本总容量为（ ） A. 35 B. 40 C. 45 D. 50 5. 塔式光热电站的定日镜反射面为旋转抛物面，其轴截面是一条开口向上的抛物线．若该抛物面的顶点到焦点的距离为 2 米，以顶点为原点、对称轴为y轴建立平面直角坐标系，则对应抛物线标准方程中p的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 6. 已知双曲线 左、右焦点分别为，．过的直线的斜率为，直线交双曲线右支于点．点在双曲线左支上，且．若双曲线离心率，则比值为（　　） A. B. C. 1 D. 7. 天气分为晴天、阴天两种状态，次日天气只由当日天气决定．若今日晴天，则次日晴天的概率为 70%，阴天的概率为 30%；若今日阴天，则次日晴天的概率为 50%，阴天的概率为 50%．已知今天是晴天，则两天后为阴天的概率为（ ） A. 34% B. 36% C. 38% D. 40% 8. 已知函数，若存在两个不等正数，，满足，则下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共18分） 9. 某运动队由足球运动员人，篮球运动员人，乒乓球运动员人组成（每人只参加一项），现从这些运动员中抽取一个容量为的样本，若采用比例分配的分层随机抽样的方法，且不用删除个体，则样本量的取值可能是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数 ，定义域，下列说法正确的是（ ） A. 在 处取得极小值 B. 函数最小值为 C. 函数最大值为3 D. 在区间单调递减 11. 对于有序数组，称运算满足如下规则： ① ； ② 若为正整数，； 我们称有序数组为平衡组，当且仅当均为非负整数，且． 下列说法正确的是（ ） A. 若都是平衡组，则一定是平衡组 B. 若是平衡组，为正整数，则一定是平衡组 C. 是平衡组 D. 存在两个平衡组，使得 第II卷 非选择题 三、填空题 12. 若的展开式中常数是，则实数=______ 13. 若函数对任意的实数且则=_______ . 14. 在中，，是边上一点（与不重合），且，则等于___________． 四、解答题 15. 某商场进行抽奖促销活动，抽奖箱中有大小完全相同的4个小球，分别标有 “A”“B”“C”“D”．顾客从中任意取出1个球，记下上面的字后放回箱中，再从中任取1个球，重复以上操作，最多取4次．规定：若取出“D”字球，则停止取球．获奖规则如下：依次取到标有“A”“B”“C”“D”字的球为一等奖；不分顺序取到标有“A”“B”“C”“D”字的球，为二等奖；取到的4个球中有标有“A”“B”“C”三个字的球为三等奖． （1）求分别获得一、二、三等奖的概率； （2）设摸球次数为，求 的分布列和数学期望． 16. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，侧面底面，,, 分别为的中点，点在线段上． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）若为的中点，求证：平面； （Ⅲ）当时，求四棱锥的体积． 17. 如图，O为坐标原点，点F为抛物线C1：的焦点，且抛物线C1上点M处的切线与圆C2：相切于点Q． （Ⅰ）当直线MQ的方程为时，求抛物线C1的方程； （Ⅱ）当正数p变化时，记S1 ，S2分别为△FMQ，△FOQ的面积，求的最小值． 18. 已知椭圆的中心在原点，离心率，短轴的一个端点为，点为直线与该椭圆在第一象限内的交点，平行于的直线交椭圆于两点． （1）求椭圆的方程； （2）求证：直线，与轴始终围成一个等腰三角形． 19. 已知函数． （1）当时，求函数的最小值； （2）若时，，求实数a的取值范围； （3）求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $