精品解析：湖北省黄冈市浠水县第一中学2023-2024学年高二下学期期末质量检测数学试题

浠水一中2024年高二年级下学期期末质量检测 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，，则（ ） A. 空集 B. 或 C. 或且 D. 以上都不对 【答案】A 【解析】 【分析】先求出集合，再由交集的定义求解即可. 【详解】， 或或， 所以. 故选：A 2. 已知函数 的导函数为 ，且 ，则 （ ） A. 2 B. C. 10 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意结合导数的定义分析求解. 【详解】由题意可得：. 故选：C. 3. 已知函数，若的值域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助的值域为可得要取遍所有的正数，对进行分类讨论即可得. 【详解】若函数的值域为，则要取遍所有的正数． 所以或，解得， 即实数的取值范围是. 故选：A． 4. 设函数，则“”是“在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先利用在上单调递增，根据条件及图象与性质，得到，再根据，得不到在上单调递增，利用充分条件和必要条件的判断方法，即可求出结果. 【详解】若在上单调递增，可得，所以， 则有，由图象与性质知， 又，所以， 又，则有，所以，故满足“必要条件”； 但当时，对于，无法成立，故不满足“充分条件”， 故选：B. 5. 已知直线是曲线与曲线的公切线，则等于（ ） A. B. 3 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】由求得切线方程，结合该切线也是的切线列方程，求得切点坐标以及斜率，进而求得直线，从而求得正确答案. 【详解】设是图象上的一点，， 所以在点处的切线方程为，①， 令，解得， ，所以， ，所以或（此时①为，，不符合题意，舍去）， 所以，此时①可化为， 所以. 故选：D 6. 某人在次射击中击中目标的次数为，且，记，，若是唯一的最大值，则的值为（ ） A. 7 B. 7.7 C. 8.4 D. 9.1 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项分布的概率公式，，利用是唯一最大值可得，代入可求出，再利用二项分布的期望公式可求得结果. 【详解】因为，，若是唯一最大值， 则，所以， 由，得，解得， 由，得，解得， 所以， 因为，所以，得， 因为为正整数，所以， 所以， 故选：A 7. 现有4名男生和3名女生计划利用假期到某地景区旅游，由于是旅游的旺季，他们在景区附近订购了一家酒店的5间风格不同的房间，并约定每个房间都要住人，每个房间最多住2人，且男女不能混住．则不同的安排方法有（ ）种 A. 1960 B. 2160 C. 2520 D. 2880 【答案】C 【解析】 【分析】就3名女生需要的房间数分类讨论后可得正确的选项. 【详解】3名女生需要住2个房间或3个房间． 若3名女生住2个房间，则不同的方法种数为， 若3名女生住3个房间，则不同的方法种数为， 则不同的安排方法有种． 故选:． 8. 甲乙两人进行乒乓球赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是，随机变量表示最终的比赛局数，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合二项分布可计算随机变量的分布列，再利用公式可求、，最后利用二次函数的性质可求其范围. 【详解】随机变量可能的取值为. . ， 故的分布列为： 2 3 故 因为，故，而，故A、B错误. 而， 令，因为， 故，此时， 必成立，故C错误，D正确. 故选：D. 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列、期望、方差的计算以及函数的值域的求法，计算分布列时可借助常见的分布列（如二项分布等）来计算，估计方差的范围时，注意利用换元法把高次函数的值域问题转化为二次函数的值域问题. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 数据1，2，4，8，9的第百分位数是3 B. 若，，则 C. 一组数据，，，，的线性回归方程为，则对应的残差为 D. 对于分类变量，，若随机变量的观测值越大，则推断“与有关系”时犯错误的概率越大 【答案】AB 【解析】 【分析】根据百分位数计算规则判断A，根据二项分布、正态分布的方差公式判断B，求出样本中心点，即可求出，从而得到回归方程，再计算残差，即可判断C，根据独立性检验的思想判断D. 【详解】对于A：因为，所以第百分位数为，故A正确； 对于B：，，则，， 所以，故B正确； 对于C：，， 所以样本中心点为，所以，解得， 所以，所以， 则对应的残差为，故C错误； 对于D：对于分类变量，，若随机变量的观测值越大， 则推断“与有关系”时犯错误的概率越小，故D错误. 故选：AB 10. 若，则下列结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据二项式展开式和系数的性质，逐项分析即可得出答案. 【详解】令可得，①，故A正确； 令可得：，② ①②可得：，故，故B正确； 令可得：，③ 令可得：，④ 把③代入④即可得出：，故C错误； 两边对 求导得． 令可得，故D正确. 故选：ABD 11. 已知可导函数及其导函数的定义域均为，若是奇函数，，且对任意，恒有，则一定有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】先根据题意，利用赋值法，结合函数奇偶函数的定义得出：是上的奇函数，周期为，是上的偶函数，周期为；再逐项分析即可解答. 【详解】因为是上的奇函数， 所以， 则，即是上的偶函数. 令，由得：，① 令 取，得， 结合是上的奇函数，是上的偶函数，得，② 结合，由①②可得：，即. 所以， 又因为是上的奇函数， 所以， 则， 所以函数，是周期为的函数. 对于选项A：因为，， 所以令，得， 所以，故选项A正确； 对于选项B：因为是上的奇函数，周期为， 所以，故选项B正确； 对于选项C：因为， 所以，故选项C错误； 对于选项D：因为是上的偶函数，周期为， 所以. 令，，由得：，解得：， 所以，故选项D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查抽象函数的性质，涉及函数的奇偶性、周期性及导数的计算.解题关键在于熟练地应用函数奇偶性、周期性的定义及导数的计算，利用赋值法推导出函数，的性质. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知正态分布密度曲线,且,则方差为_____. 【答案】2 【解析】 【详解】试题分析：正态分布密度曲线可知对称轴为=20,所以函数的最大值是，所以，即=，所以方差为2. 考点：正态分布曲线的特点; 正态分布曲线所表示的意义. 13. 已知，则函数的图像过点的切线方程为___________. 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意，设切点为，然后结合导数的几何意义，代入计算，即可得到结果. 【详解】设切点为，由可得，， 由导数的几何意义可得，切线的斜率， 因为，所以切线方程为， 将点代入，得， 即，得， 解得或， 当时，切点坐标为，相应的切线方程为； 当时，切点坐标为，相应的切线方程为，即， 所以切线方程为或. 故答案为：或 14. 已知有两个盒子，其中盒装有3个黑球和3个白球，盒装有3个黑球和2个白球，这些球除颜色外完全相同．甲从盒、乙从盒各随机取出一个球，若2个球同色，则甲胜，并将取出的2个球全部放入盒中，若2个球异色，则乙胜，并将取出的2个球全部放入盒中．按上述方法重复操作两次后，盒中恰有7个球的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】确定出两次取球后盒中恰有7个球必须满足两次取球均为乙获胜，再分别计算出第一次取黑球、第二次取白球和第一次取白球、第二次取黑球的概率，相加即可求得结果. 【详解】若两次取球后，盒中恰有7个球，则两次取球均为乙获胜； 若第一次取球甲取到黑球，乙取到白球，其概率为， 第一次取球后盒中有2个黑球和3个白球，盒装有4个黑球和2个白球， 第二次取到异色球为取到一个白球一个黑球，其概率为； 此时盒中恰有7个球的概率为； 若第一次取球甲取到白球，乙取到黑球，其概率为， 第一次取球后盒中有3个黑球和2个白球，盒装有3个黑球和3个白球， 第二次取到异色球为取到一个白球一个黑球，其概率为； 此时盒中恰有7个球的概率为； 所以盒中恰有7个球的概率为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的突破口在于先分清楚两次取球后，盒中恰有7个球必须满足两次取球均为乙获胜；再分别讨论并计算出第一次取黑球、第二次取白球和第一次取白球、第二次取黑球的概率即可求得结果. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知二项式的展开式中仅第5项的二项式系数最大，且第4项，第5项，第6项的系数成等差数列． （1）求和n的值； （2）当，，时，若恰好能被6整除，求的最小值． 【答案】（1），或 （2）5 【解析】 【分析】（1）根据二项式系数的特征求出，再写出展开式的通项，根据等差中项的性质得到方程，解得即可； （2）依题意可得，利用二项式定理写出的展开式，即可求出的取值，从而得解. 【小问1详解】 因为二项式的展开式中仅第项的二项式系数最大，所以， 因为二项式，展开式的通项公式为（且）， 所以第 项，第项，第项的系数分别为，，， 由，又，所以，解得或． 【小问2详解】 因为，所以． 当时，． 因为 ， 且恰好能被整除，所以，． 因为，所以的最小值为． 16. 已知 （1）当时，求证： （2）若恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） 方法一：当时，要证，即证， 设，则， 在上单调递增， 即； 设则在上单调递增， 即 故证得 方法二：当时，要证，即证， 如图所示，在单位圆中，设锐角， 则劣弧， 的面积扇形的面积， 的面积 故证得 （2） 【解析】 【分析】（1）思路一：先分析，要证，即证，利用作差法构造函数，求解单调性最值，进而证得不等式成立； 思路二：先分析，要证，即证，在单位圆中，利用图形面积大小关系证得不等式成立； （2）分离参数，构造函数，借用单调性最值求得的取值范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 变形得得恒成立， 令， 则 当时，，由（1）知， 所以，得， 当时，得 在上单调递减， 17. 某投资公司现从甲投资研究室（人）、乙投资研究室（人）中随机选出名资深投资顾问对某项目进行考察投资. （1）记选出的名资深投资顾问中，甲投资研究室的人数为，求的分布列和均值； （2）为给投资提供决策依据，资深投资顾问对此项目的个子项目调查了年研发经费（单位：万元）和年销售额（单位：十万元），并对数据进行了初步处理，得到一些统计量的值：，，，，根据散点图认为 关于 的经验回归方程为，求与的值（结果精确到）. 参考公式：，其中 【答案】（1）的分布列为 均值 （2）， 【解析】 【分析】（1）根据超几何分布，求出对应的概率，得到分布列和均值； （2）先求均值，再代入公式可求以及. 【小问1详解】 的可能取值为， 故， ， ， 故的分布列为 故均值. 【小问2详解】 由题中数据，, 又因为,， 故， . 18. 已知函数 （1）若，且，求的最小值； （2）证明：曲线是中心对称图形； （3）若当且仅当，求的取值范围． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）求出后根据可求的最小值； （2）设为图象上任意一点，可证关于的对称点为也在函数的图像上，从而可证对称性； （3）根据题设可判断即，再根据在上恒成立可求得. 【小问1详解】 时，，其中， 则， 因为，当且仅当时等号成立， 故，而成立，故即， 所以的最小值为.， 【小问2详解】 的定义域为， 设为图象上任意一点， 关于的对称点为， 因为在图象上，故， 而， ， 所以也在图象上， 由 的任意性可得图象为中心对称图形，且对称中心为. 【小问3详解】 因为当且仅当，故为的一个解， 所以即， 先考虑时，恒成立. 此时即为在上恒成立， 设，则在上恒成立， 设， 则， 当，， 故恒成立，故在上单调递增， 故即在上恒成立. 当时，， 故恒成立，故在上单调递增， 故即在上恒成立. 当，则当时， 故在上单调递减，故，不合题意，舍； 综上，在上恒成立时. 而当时， 而时，由上述过程可得在递增，故的解为， 即的解为. 综上，. 【点睛】思路点睛：一个函数不等式成立的充分必要条件就是函数不等式对应的解，而解的端点为函数对一个方程的根或定义域的端点，另外，根据函数不等式的解确定参数范围时，可先由恒成立得到参数的范围，再根据得到的参数的范围重新考虑不等式的解的情况. 19. 设离散型随机变量X，Y的取值分别为，．定义X关于事件“”的条件数学期望为，已知条件数学期望满足全期望公式．解决如下问题：为了研究某药物对于微生物A生存状况的影响，某实验室计划进行生物实验．在第1天上午，实验人员向培养皿中加入10个A的个体．从第1天开始，实验人员在每天下午向培养皿中加入该种药物．当加入药物时，A的每个个体立即产生1次如下的生理反应（设A的每个个体在当天的其他时刻均不发生变化，不同个体的生理反应相互独立）：①直接死亡；②分裂为2个个体，且这两种生理反应是等可能的． 设第n天上午培养皿中A的个体数量为．规定，． （1）求，； （2）证明； （3）已知，求，并结合（2）说明其实际含义． 附：对于随机变量X，． 【答案】（1）， （2）证明见解析 （3），含义见解析 【解析】 【分析】（1）事件发生当且仅当在第1天内A个体有2个分裂，8个死亡，计算可得，方法一：的取值集合为，求得，计算可求； 方法二：如果在第三天下午加入药物后，有K个个体分裂，可得，可求； （2）随机变量Z表示第天下午加入药物之后分裂的个体数目，则且，可得设的取值集合为，则由全期望公式可求得结论； （3）由（2）可知，可求得，进而可得. 【小问1详解】 事件发生当且仅当在第1天内A个体有2个分裂，8个死亡． 所以． 方法1．在事件发生的条件下，如果在第三天下午加入药物后，有k个个体分裂， 则的取值为，所以的取值集合为， 所以， 方法2．在事件发生的条件下，如果在第三天下午加入药物后，有K个个体分裂， 则，， 所以，． 【小问2详解】 由（1）可类似得到：在事件发生的条件下，如果在第天下午加入药物之后， 有k个个体分裂，则的取值为． 在事件发生的条件下，令随机变量Z表示第天下午加入药物之后分裂的个体数目， 则且． 因此． 设的取值集合为，则由全期望公式可知 ． 这表明是常数列，所以． 【小问3详解】 由（2）可知 ． 这表明是公差为10的等差数列． 又因为，所以， 从而． 可以看出，随着n的增大而增大，而为定值． 这表明药物的介入会使得微生物A的种群数量越来越不稳定，种族灭绝的风险越来越大． 【点睛】关键点点睛：理解期望与方差的计算公式，以及题意是解题的关键，以及二项分布的应用，属难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浠水一中2024年高二年级下学期期末质量检测 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，，则（ ） A. 空集 B. 或 C. 或且 D. 以上都不对 2. 已知函数 的导函数为 ，且 ，则 （ ） A. 2 B. C. 10 D. 5 3. 已知函数，若的值域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 设函数，则“”是“在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知直线是曲线与曲线的公切线，则等于（ ） A. B. 3 C. D. 2 6. 某人在次射击中击中目标的次数为，且，记，，若是唯一的最大值，则的值为（ ） A. 7 B. 7.7 C. 8.4 D. 9.1 7. 现有4名男生和3名女生计划利用假期到某地景区旅游，由于是旅游的旺季，他们在景区附近订购了一家酒店的5间风格不同的房间，并约定每个房间都要住人，每个房间最多住2人，且男女不能混住．则不同的安排方法有（ ）种 A. 1960 B. 2160 C. 2520 D. 2880 8. 甲乙两人进行乒乓球赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是，随机变量表示最终的比赛局数，若，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 数据1，2，4，8，9的第百分位数是3 B. 若，，则 C. 一组数据，，，，的线性回归方程为，则对应的残差为 D. 对于分类变量，，若随机变量的观测值越大，则推断“与有关系”时犯错误的概率越大 10. 若，则下列结果正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知可导函数及其导函数的定义域均为，若是奇函数，，且对任意，恒有，则一定有（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知正态分布密度曲线,且,则方差为_____. 13. 已知，则函数的图像过点的切线方程为___________. 14. 已知有两个盒子，其中盒装有3个黑球和3个白球，盒装有3个黑球和2个白球，这些球除颜色外完全相同．甲从盒、乙从盒各随机取出一个球，若2个球同色，则甲胜，并将取出的2个球全部放入盒中，若2个球异色，则乙胜，并将取出的2个球全部放入盒中．按上述方法重复操作两次后，盒中恰有7个球的概率是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知二项式的展开式中仅第5项的二项式系数最大，且第4项，第5项，第6项的系数成等差数列． （1）求和n的值； （2）当，，时，若恰好能被6整除，求的最小值． 16. 已知 （1）当时，求证： （2）若恒成立，求的取值范围． 17. 某投资公司现从甲投资研究室（人）、乙投资研究室（人）中随机选出名资深投资顾问对某项目进行考察投资. （1）记选出的名资深投资顾问中，甲投资研究室的人数为，求的分布列和均值； （2）为给投资提供决策依据，资深投资顾问对此项目的个子项目调查了年研发经费（单位：万元）和年销售额（单位：十万元），并对数据进行了初步处理，得到一些统计量的值：，，，，根据散点图认为 关于 的经验回归方程为，求与的值（结果精确到）. 参考公式：，其中 18. 已知函数 （1）若，且，求的最小值； （2）证明：曲线是中心对称图形； （3）若当且仅当，求的取值范围． 19. 设离散型随机变量X，Y的取值分别为，．定义X关于事件“”的条件数学期望为，已知条件数学期望满足全期望公式．解决如下问题：为了研究某药物对于微生物A生存状况的影响，某实验室计划进行生物实验．在第1天上午，实验人员向培养皿中加入10个A的个体．从第1天开始，实验人员在每天下午向培养皿中加入该种药物．当加入药物时，A的每个个体立即产生1次如下的生理反应（设A的每个个体在当天的其他时刻均不发生变化，不同个体的生理反应相互独立）：①直接死亡；②分裂为2个个体，且这两种生理反应是等可能的． 设第n天上午培养皿中A的个体数量为．规定，． （1）求，； （2）证明； （3）已知，求，并结合（2）说明其实际含义． 附：对于随机变量X，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $