第3讲 导数小题（十三大题型）-2023-2024学年高二数学下学期《考点•题型•密卷》期末精讲与精练（人教A版2019）

第3讲 导数小题 【复习目录】 一、瞬时变化率与导数的概念 二、求函数的导数 三、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 四、求过一点的切线方程 五、已知切线（斜率）求参数 六、函数与导函数图像之间的关系 七、利用导数求函数的单调区间 八、由函数的单调性求参数 九、求已知函数的极值/最值 十、已知极值（极值点）/最值求参数 十一、函数单调性、极值与最值的综合应用 十二、恒（能）成立问题 十三、构造函数解不等式或比较大小 【知识归纳】 1．导数的概念 (1)一般地，函数y＝f (x)在x＝x0处的瞬时变化率是 ＝ ， 我们称它为函数y＝f (x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ ＝ . (2)如果函数y＝f (x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数y＝f (x)在开区间(a，b)内的导函数．简称导数，记作f′(x)或y′. 2．导数的几何意义 函数y＝f (x)在点x＝x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f (x)在点P(x0，f (x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0)． 3．基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导数 f (x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f (x)＝xα(α∈Q*) f′(x)＝αxα－1 f (x)＝sin x f′(x)＝cos x f (x)＝cos x f′(x)＝－sin x f (x)＝ex f′(x)＝ex f (x)＝ax(a>0) f′(x)＝axln a f (x)＝ln x f′(x)＝ f (x)＝logax(a>0，a≠1) f′(x)＝ 4.导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有 (1)[f (x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f (x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f (x)g′(x)； (3)′＝(g(x)≠0)． 5．复合函数的导数 复合函数y＝f (g(x))的导数和函数y＝f (u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 6：函数的单调性与导数的关系 条件 恒有 结论 函数y＝f (x)在区间(a，b)上可导 f′(x)>0 f (x)在(a，b)内单调递增 f′(x)<0 f (x)在(a，b)内单调递减 f′(x)＝0 f (x)在(a，b)内是常数函数 7．函数的极值与导数 条件 f′(x0)＝0 x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0 x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0 图象 极值 f (x0)为极大值 f (x0)为极小值 极值点 x0为极大值点 x0为极小值点 8.函数的最值 (1)在闭区间[a，b]上连续的函数f (x)在[a，b]上必有最大值与最小值． (2)若函数f (x)在[a，b]上单调递增，则f (a)为函数的最小值，f (b)为函数的最大值； 若函数f (x)在[a，b]上单调递减，则f (a)为函数的最大值，f (b)为函数的最小值． 【题型归纳】 题型一、瞬时变化率与导数的概念 1．（23-24高二上·云南昭通·期末）设函数在处存在导数为2，则（    ） A．2 B．1 C． D．6 2．（23-24高二上·河北石家庄·期末）设是可导函数，且，则（   ） A．2 B． C． D． 3．（23-24高二上·湖北武汉·期末）函数是定义在上的可导函数，若，则（    ） A．2 B．3 C． D． 题型二、求函数的导数 4．（23-24高二上·福建南平·期末）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·福建福州·期末）下列求导数的运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·云南昆明·期末）下列求导运算错误的是（    ） A． B． C． D． 题型三、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 7．（22-23高二下·安徽合肥·期末）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 8．（22-23高二下·河南许昌·期末）曲线在点处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 9．（22-23高二下·河南南阳·期中）已知函数的图象在点处的切线经过点，则实数（    ） A． B． C．1 D．2 题型四、求过一点的切线方程 10．（22-23高二上·江苏淮安·期末）直线与曲线相切于点，则（    ） A． B．1 C． D．2 11．（20-21高二上·山东临沂·期末）已知函数，若过点可作曲线的三条切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（22-23高二下·广东深圳·期末）已知点在直线上运动，若过点恰有三条不同的直线与曲线相切，则点的轨迹长度为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 题型五、已知切线（斜率）求参数 13．（23-24高二上·山东滨州·期末）若点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高二上·江苏连云港·期末）已知曲线存在过坐标原点的切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高二上·湖北·期末）点M是曲线上的动点，则点M到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型六、函数与导函数图像之间的关系 16．（23-24高二上·安徽·期末）已知函数为连续可导函数，的图像如图所示，以下命题正确的是（    ）    A．是函数的极大值 B．是函数的极小值 C．在区间上单调递增 D．的零点是和 17．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知函数 在定义域内可导，的图象如下，则其导函数的图象可能为（   ） A．B．C． D． 18．（22-23高二下·北京通州·期中）已知函数的导函数为，若的图像如图所示，下列结论错误的是（    ）    A．当时， B．当时， C．当时，取得极大值 D．当时，取得最大值 题型七、利用导数求函数的单调区间 19．（22-23高二上·江苏常州·期末）函数的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 20．（2023·贵州贵阳·模拟预测）若在和处有极值，则函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 21．（22-23高二上·重庆沙坪坝·期末）已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为，若，且，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 题型八、由函数的单调性求参数 22．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知函数在区间上单调递增，则实数a的最小值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 23．（2023·宁夏银川·三模）若函数在区间上不单调，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D．m>1 24．（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型九、求已知函数的极值/最值 25．（22-23高二下·江西·期末）已知为等比数列，函数，若与恰好为的两个极值点，那么的值为（    ） A．或 B． C．2 D． 26．（23-24高三上·湖南·阶段练习）已知函数（为自然对数的底数），则函数的极小值为（    ） A． B． C． D．1 27．（2023·甘肃兰州·一模）已知函数的极值点为，函数的最大值为，则（    ） A． B． C． D． 题型十、已知极值（极值点）/最值求参数 28．（23-24高二下·江苏宿迁·期中）若是函数的极小值点,则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 29．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知函数的导函数，若是函数的极大值点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 30．（23-24高三上·宁夏银川·阶段练习）已知函数在处取得极大值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型十一、函数单调性、极值与最值的综合应用 31．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）函数是定义在上的奇函数，对任意实数恒有，则（    ） A． B． C． D． 32．（23-24高三上·江苏常州·期末）已知定义在上的函数的导数为，，且对任意的满足，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 33．（23-24高二上·江苏盐城·期末）设函数，若函数存在两个极值点，且不等式恒成立，则t的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 题型十二、恒（能）成立问题 34．（22-23高二下·安徽合肥·期末）设实数，若对任意的，不等式恒成立，则实数m的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 35．（2023·四川乐山·二模）若存在，使不等式成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 36．（22-23高二下·北京·期末）已知函数，若存在，使，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型十三、构造函数解不等式或比较大小 37．（23-24高二下·全国·期末）不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 38．（23-24高二下·山东泰安·期中）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 39．（2024·安徽·三模）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【专题强化】 一、单选题 40．（23-24高二下·内蒙古·期末）曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 41．（23-24高二下·全国·期末）如果函数的图象如图，那么导函数的图象可能是（    ） A．B．C． D． 42．（23-24高二下·全国·期末）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 43．（2024·四川·模拟预测）已知函数为定义在上的函数的导函数，为奇函数，为偶函数，且，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 44．（23-24高二下·甘肃·阶段练习）已知函数，若，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 45．（23-24高二上·湖南长沙·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 46．（23-24高三上·浙江绍兴·期末）若对任意实数，恒有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 47．（23-24高三上·河北衡水·期末）若斜率为1的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为（    ） A．0或2 B．0或 C．2 D． 48．（23-24高二上·山西运城·期末）已知函数，只有一个极值点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 49．（23-24高二上·山西运城·期末）定义在上的可导函数满足，当时，，若实数a满足，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 50．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知，下列说法正确的是（　　） A．在 处的切线方程为 B．的单调递减区间为 C．的极大值为 D．方程有两个不同的解 51．（23-24高二上·山西吕梁·期末）已知函数，下列说法正确的是（　　） A．的单调递减区间是 B．在点处的切线方程是 C．若方程只有一个解，则 D．设，若对，使得成立，则 52．（23-24高二上·福建福州·期末）已知函数，则（    ） A．当时，函数在上一定单调递增 B．当时，函数有两个零点 C．当时，方程一定有解 D．当时，在上恒成立 53．（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知函数的定义域为，其导函数为，且对任意的，都有，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 54．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知函数，其中，则（    ）． A．不等式对恒成立 B．若直线与函数的图象有且只有两个不同的公共点，则k的取值范围是 C．方程恰有3个实根 D．若关于x的不等式恰有1个负整数解，则a的取值范围为 55．（23-24高二上·安徽六安·期末）对于函数，若存在，使，则称点与点是函数的一对“隐对称点”．若函数的图像恰好有2对“隐对称点”，则实数的取值可以是（    ） A．1 B． C． D． 三、填空题 56．（23-24高二下·广东·期末）已知函数有三个零点，求的取值范围 ． 57．（2024·上海普陀·二模）已知，若关于的不等式的解集中有且仅有一个负整数，则的取值范围是 . 58．（23-24高二上·山西吕梁·期末）已知函数，若成立，则的最小值为 . 59．（23-24高二上·福建福州·期末）函数在上单调递减，则实数m的取值范围是 ． 60．（23-24高二上·福建福州·期末）若数列满足：，则定义数列为函数的“切线——零点数列”．已知，数列为函数的“切线——零底数列”，，若数列满足，则数列的前n项和 ． 61．（23-24高二上·陕西西安·期末）已知若存在，使得成立，则的最大值为 . 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3讲 导数小题 【复习目录】 一、瞬时变化率与导数的概念 二、求函数的导数 三、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 四、求过一点的切线方程 五、已知切线（斜率）求参数 六、函数与导函数图像之间的关系 七、利用导数求函数的单调区间 八、由函数的单调性求参数 九、求已知函数的极值/最值 十、已知极值（极值点）/最值求参数 十一、函数单调性、极值与最值的综合应用 十二、恒（能）成立问题 十三、构造函数解不等式或比较大小 【知识归纳】 1．导数的概念 (1)一般地，函数y＝f (x)在x＝x0处的瞬时变化率是 ＝ ， 我们称它为函数y＝f (x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ ＝ . (2)如果函数y＝f (x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数y＝f (x)在开区间(a，b)内的导函数．简称导数，记作f′(x)或y′. 2．导数的几何意义 函数y＝f (x)在点x＝x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f (x)在点P(x0，f (x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0)． 3．基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导数 f (x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f (x)＝xα(α∈Q*) f′(x)＝αxα－1 f (x)＝sin x f′(x)＝cos x f (x)＝cos x f′(x)＝－sin x f (x)＝ex f′(x)＝ex f (x)＝ax(a>0) f′(x)＝axln a f (x)＝ln x f′(x)＝ f (x)＝logax(a>0，a≠1) f′(x)＝ 4.导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有 (1)[f (x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f (x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f (x)g′(x)； (3)′＝(g(x)≠0)． 5．复合函数的导数 复合函数y＝f (g(x))的导数和函数y＝f (u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 6：函数的单调性与导数的关系 条件 恒有 结论 函数y＝f (x)在区间(a，b)上可导 f′(x)>0 f (x)在(a，b)内单调递增 f′(x)<0 f (x)在(a，b)内单调递减 f′(x)＝0 f (x)在(a，b)内是常数函数 7．函数的极值与导数 条件 f′(x0)＝0 x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0 x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0 图象 极值 f (x0)为极大值 f (x0)为极小值 极值点 x0为极大值点 x0为极小值点 8.函数的最值 (1)在闭区间[a，b]上连续的函数f (x)在[a，b]上必有最大值与最小值． (2)若函数f (x)在[a，b]上单调递增，则f (a)为函数的最小值，f (b)为函数的最大值； 若函数f (x)在[a，b]上单调递减，则f (a)为函数的最大值，f (b)为函数的最小值． 【题型归纳】 题型一、瞬时变化率与导数的概念 1．（23-24高二上·云南昭通·期末）设函数在处存在导数为2，则（    ） A．2 B．1 C． D．6 【答案】B 【分析】由导数的概念求解. 【详解】由已知有， 则. 故选：B 2．（23-24高二上·河北石家庄·期末）设是可导函数，且，则（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】由导数的定义计算即可得出结果. 【详解】∵， ∴， ∴ . 故选：B 3．（23-24高二上·湖北武汉·期末）函数是定义在上的可导函数，若，则（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用导数的定义直接求解即得, 【详解】依题意，. 故选：C 题型二、求函数的导数 4．（23-24高二上·福建南平·期末）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由基本初等函数求导法则，导数四则运算以及复合函数求导法则运算即可逐一判断每个选项. 【详解】，，，. 故选：D. 5．（23-24高二上·福建福州·期末）下列求导数的运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由基本函数的导数和复合函数的导数运算可得. 【详解】A：，故A错误； B：，故B错误； C：，故C错误； D：，故D正确； 故选：D. 6．（23-24高二上·云南昆明·期末）下列求导运算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据导数的运算法则依次得出答案. 【详解】因为，所以A选项正确； 因为，所以B选项正确； 因为，所以C选项错误； 因为，所以D选项正确. 故选：C. 题型三、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 7．（22-23高二下·安徽合肥·期末）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用导数的计算及几何意义，求解切线的斜率，然后求出切线方程即可． 【详解】求导得，则， 所以曲线在点处的切线方程． 故选：B. 8．（22-23高二下·河南许昌·期末）曲线在点处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出原函数的导函数，得到，再求出，由此得解． 【详解】因为，所以， 则，又， 所以在点处的切线方程为，即. 故选：A. 9．（22-23高二下·河南南阳·期中）已知函数的图象在点处的切线经过点，则实数（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据导数的几何意义，结合直线的点斜式方程进行求解即可. 【详解】，所以有， 所以切线方程为，把代入，得 ， 故选：B 题型四、求过一点的切线方程 10．（22-23高二上·江苏淮安·期末）直线与曲线相切于点，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】直线与曲线相切于点, 可得求得的导数,可得,即可求得答案. 【详解】直线与曲线相切于点 将代入可得: 解得: 由,解得:. 可得, 根据在上 ,解得: 故选:. 11．（20-21高二上·山东临沂·期末）已知函数，若过点可作曲线的三条切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】首先设过点的切线方程，切点，利用导数的几何意义列式，转化为有三个解，通过设函数，问题转化为与有三个交点，求的取值范围. 【详解】设过点的直线为， ，设切点为， 则 ，得有三个解， 令，， 当，得或，，得， 所以在，单调递增，单调递减， 又，，有三个解， 得，即. 故选：D 【点睛】方法点睛：本题考查根据方程实数根的个数求参数的取值范围，一般可采用1.直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解，此时需要根据零点个数合理寻找“临界”情况，特别注意边界值的取舍. 12．（22-23高二下·广东深圳·期末）已知点在直线上运动，若过点恰有三条不同的直线与曲线相切，则点的轨迹长度为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】求出曲线的导函数，得到的表达式，构造新函数，得出单调性，即可求出点的轨迹长度. 【详解】由题意， 设点，过点的直线与曲线相切于点， ∴，的方程为， ∴，化简得， 设， ∴在区间上单调递减，在区间上单调递增， ∵若过点恰有三条不同的直线与曲线相切， ， ∴满足条件的恰有三个， ∴，即， ∴点的轨迹长度为8. 故选：D. 题型五、已知切线（斜率）求参数 13．（23-24高二上·山东滨州·期末）若点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用导数求得平行于直线与曲线相切的切点坐标，再利用点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】由函数，可得， 令，可得， 因为，可得，则， 即平行于直线且与曲线相切的切点坐标为， 由点到直线的距离公式，可得点到直线的距离为. 故选：B. 14．（23-24高二上·江苏连云港·期末）已知曲线存在过坐标原点的切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有实数根，求得的取值范围. 【详解】∵， ∴， 设切点为，则，切线斜率， ∴切线方程为， ∵切线过原点， ∴，整理得： ∵存在过坐标原点的切线， ∴，解得或， ∴实数的取值范围是. 故选：B. 15．（23-24高二上·湖北·期末）点M是曲线上的动点，则点M到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数的几何意义及点到直线的距离计算即可. 【详解】因为， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减． 由，所以， 易得函数为在上单调递增函数，为零点， 此时M的坐标为， 由点到直线的距离公式可得M到直线的距离的最小值为. 故选: 题型六、函数与导函数图像之间的关系 16．（23-24高二上·安徽·期末）已知函数为连续可导函数，的图像如图所示，以下命题正确的是（    ）    A．是函数的极大值 B．是函数的极小值 C．在区间上单调递增 D．的零点是和 【答案】B 【分析】根据题意结合导数判断的单调性，进而逐项分析判断. 【详解】因为， 由图可知：，；或，； 且或，；，； 可得或，；，； 且函数为连续可导函数， 则在内单调递减，在内单调递增， 可知有且仅有一个极小值，无极大值，故AC错误，B正确； 由于不知的解析式，故不能确定的零点，故D错误； 故选：B. 17．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知函数 在定义域内可导，的图象如下，则其导函数的图象可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定函数的图象，确定函数的单调性，再探讨的正负及零点个数作答. 【详解】观察图象知，当时，单调递减，，选项B、D不满足; 当时，函数先递增，再递减，然后又递增，有一个极大值点和一个极小值点， 则的值先正，再负，然后又为正，有两个不同的零点，A满足，C错误. 故选：A. 18．（22-23高二下·北京通州·期中）已知函数的导函数为，若的图像如图所示，下列结论错误的是（    ）    A．当时， B．当时， C．当时，取得极大值 D．当时，取得最大值 【答案】D 【分析】由的图像得到函数的单调区间，即可得到和为的两根，结合函数极值的定义分别判断各个选项即可. 【详解】由的图像可知在上单调递减, ，A正确； 由的图像可知在和上单调递减,在上单调递增， 所以在处取得极小值，在处取得极大值，所以，B正确, C正确; 在处取得极大值，但不是的最大值，故D错误. 故选：D. 题型七、利用导数求函数的单调区间 19．（22-23高二上·江苏常州·期末）函数的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出导数，利用导数小于0可得答案. 【详解】函数的定义域为， ， 由得， 所以的单调减区间为. 故选：D. 20．（2023·贵州贵阳·模拟预测）若在和处有极值，则函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的导函数，依题意且，即可得到方程组，从而求出、的值，再利用导数求出函数的单调递增区间. 【详解】因为，所以， 由已知得 ，解得， 所以，所以， 由，解得，所以函数的单调递增区间是. 故选：C． 21．（22-23高二上·重庆沙坪坝·期末）已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为，若，且，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意令，求导分析单调性，不等式，可转化为，即，即可得出答案． 【详解】解：依题意令，则， 所以在上单调递减， 对于不等式，显然，则，即， 又，所以， 所以，即， 所以， 解得，即关于的不等式的解集为. 故选：B． 题型八、由函数的单调性求参数 22．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知函数在区间上单调递增，则实数a的最小值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据题意，恒成立，分离参数结合二次函数的性质求得答案. 【详解】因为函数在上单调递增，所以对恒成立， 即恒成立，设，， 当时，，所以，则， 所以实数a的最小值为. 故选：B. 23．（2023·宁夏银川·三模）若函数在区间上不单调，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D．m>1 【答案】B 【详解】首先求出的定义域和极值点，由题意得极值点在区间内，且，得出关于的不等式组，求解即可． 【分析】函数的定义域为， 且， 令，得， 因为在区间上不单调， 所以，解得： 故选：B. 24．（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的导数，通过在上单调递减，列出不等式然后通过函数的最值求解实数的取值范围. 【详解】由题意知在上恒成立， 所以在上恒成立. 令，所以， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递琙， 所以，所以，解得， 即的取值范围是. 故选：C. 题型九、求已知函数的极值/最值 25．（22-23高二下·江西·期末）已知为等比数列，函数，若与恰好为的两个极值点，那么的值为（    ） A．或 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】设等比数列的公比为，结合导数分析函数的单调性，进而确定极值点，可得，且，进而结合等比数列的性质求解即可. 【详解】设等比数列的公比为， 由， 得， 令，则或；令，则， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得极大值；当时，取得极小值. 因为与恰好为的两个极值点， 所以，且， 又，且， 所以. 故选：C. 26．（23-24高三上·湖南·阶段练习）已知函数（为自然对数的底数），则函数的极小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】对函数求导后，由导数的正负求出函数的单调区间，从而由极值的定义可求出函数的极小值. 【详解】因为，， 所以. 当或时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，. 故选：D. 27．（2023·甘肃兰州·一模）已知函数的极值点为，函数的最大值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题目条件求出，，即可判断． 【详解】的定义域为， 在上单调递增，且，， 所以，， 所以当时，当时，即在上单调递减，在上单调递增， 则在处取得极小值且． 的定义域为，由， 当时，，当时，， 故在处取得极大值，也是最大值，， 即．所以． 故选：A 题型十、已知极值（极值点）/最值求参数 28．（23-24高二下·江苏宿迁·期中）若是函数的极小值点,则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对求导,得到的值,再根据是函数的极小值点列出不等式即可求解. 【详解】由题意得, 当,则或, 因为是函数的极小值点, 所以, 解得. 故选:C. 29．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知函数的导函数，若是函数的极大值点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析得导函数必有2个零点，并且1必为小的零点，据此列不等式求解. 【详解】令，则或， 明显函数在上单调递增，且值域为， 所以方程必有根，设为， 即的根为或， 又是函数的极大值点， 则函数在上单调递增，上单调递减，上单调递增， 即，所以，得. 故选：B. 30．（23-24高三上·宁夏银川·阶段练习）已知函数在处取得极大值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的导函数，结合已知条件和导函数与函数极值的关系即可判断. 【详解】因为函数，定义域为， 则， 当时，由，可得或，由，可得，函数在处取得极大值； 当时，恒成立，函数不存在极值； 当时，由，可得或，由，可得，函数在处取得极小值； 所以， 故选：C. 题型十一、函数单调性、极值与最值的综合应用 31．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）函数是定义在上的奇函数，对任意实数恒有，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先构造函数， 根据导数判断函数的单调性，再结合选项，依次判断. 【详解】设，则， 由条件可知，，所以，则函数在上单调递增， 因为函数是定义在上的奇函数，则，即，故A错误； 由函数的单调性可知，，得，故B正确； 由，得，故C错误； 由，得，故D错误. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造函数，从而可以根据函数的单调性，判断选项. 32．（23-24高三上·江苏常州·期末）已知定义在上的函数的导数为，，且对任意的满足，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构建，根据题意分析可知在上单调递减，结合函数单调性解不等式. 【详解】构建，则， 因为，则，即， 可知在上单调递减，且， 由可得，即，解得， 所以不等式的解集是. 故选：A． 【点睛】关键点点睛：根据构建，进而利用导数判断函数单调性，结合单调性解不等式. 33．（23-24高二上·江苏盐城·期末）设函数，若函数存在两个极值点，且不等式恒成立，则t的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用函数存在两个极值点，转化为函数的导函数在上有两个不相等的实数根，利用一元二次方程根与系数的关系，用字母表示出，，然后把写成关于的函数，求该函数的最小值即可得到问题答案. 【详解】函数的定义域为：，且，. 因为函数存在两个极值点， 所以方程：在有两个不同的解， 所以：， 且，. 所以：. 设， 则，由，得，由得. 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为：. 所以. 故选：B 【点睛】关键点点睛：该问题先利用函数存在两个极值点，把问题转化为二次函数在给定区间上有两个不相等的实数根的问题，再利用一元二次方程根与系数的关系，用字母把，表示出来，再构造新函数，利用导数分析函数的单调性，求函数的最小值即可. 题型十二、恒（能）成立问题 34．（22-23高二下·安徽合肥·期末）设实数，若对任意的，不等式恒成立，则实数m的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据对数的运算性质将不等式等价为恒成立，构造函数，，利用导数求解函数单调性进而得最值即可求解. 【详解】因为，不等式成立，即，进而转化为恒成立， 构造函数，可得， 当，，单调递增，则不等式恒成立等价于恒成立，即恒成立，即恒成立， 设，可得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以当，函数取得最大值，最大值为， 所以，即实数m的取值范围是． 故选：B． 【点睛】对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 35．（2023·四川乐山·二模）若存在，使不等式成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】等价变形给定的不等式，并令，构造函数，将问题转化为存在，使得成立，再借助导数求解即得. 【详解】依题意， ， 令，即，由，得， 令，则原问题等价于存在，使得成立， 求导得，由，得，由，得， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 而，又， 则当时，，若存在，使得成立， 只需且，解得且，即， 所以的取值范围为. 故选：D 【点睛】思路点睛：构造函数是基本的解题思路，因此观察题目所给的数的结构特点，以及数与数之间的内在联系，合理构造函数，利用导数判断单调性是解题的关键. 36．（22-23高二下·北京·期末）已知函数，若存在，使，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将题意转化为，，令，即，对求导，求出在的最大值即可得出答案. 【详解】若存在，使，即， 所以，令，， ，令，解得：， 令，解得：， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以 所以. 故选：C. 题型十三、构造函数解不等式或比较大小 37．（23-24高二下·全国·期末）不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】不等式等价于，构造函数，求导，确定单调性，利用单调性解不等式即可. 【详解】由， 即，得， 设，则，所以在上单调递减， 故由得， 所以，解得. 故选：B. 【点睛】方法点睛：同构法解不等式 将不等式两边整理为结构相同的形式，由此构造新函数，本题中将不等式整理为，从而构造函数，不等式化为，由的单调性解不等式. 38．（23-24高二下·山东泰安·期中）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据所给式子结构，构造函数，利用导数判断函数的单调性，根据单调性求解即可. 【详解】令，则， 当时，，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，，，且， 所以，， 故选：D 39．（2024·安徽·三模）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出，构造函数，利用导数研究单调性，比较出，构造函数，比较出，即可求解. 【详解】依题意，则. 令，故， 故当时，在上单调递增， 故，则.令， 则，故当时，在上单调递增， 则，则. 综上所述：. 故选：A 【专题强化】 一、单选题 40．（23-24高二下·内蒙古·期末）曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由导数的几何意义求出切线斜率，利用点斜式求解切线方程即可. 【详解】，，则所求切线切点坐标为， ，有，则所求切线斜率为， 所求的切线方程为，即. 故选：B 41．（23-24高二下·全国·期末）如果函数的图象如图，那么导函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用奇偶性，再利用原函数增减性与导数的正负情况对比即可. 【详解】先由原函数是偶函数，可知导函数是奇函数，故排除， 再由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正负正负， 故选：． 42．（23-24高二下·全国·期末）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据导数的运算法则即可求解. 【详解】对于A，，故A错误， 对于B，，故B错误， 对于C，，故C正确， 对于D，，故D错误． 故选：C． 43．（2024·四川·模拟预测）已知函数为定义在上的函数的导函数，为奇函数，为偶函数，且，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由奇函数、偶函数性质可得与，分别对两式两边求导可得与，进而可得的一个周期，结合赋值法及周期性判断各项即可. 【详解】因为为奇函数，所以，① 因为为偶函数，所以，② 对①两边求导可得，即，③ 对②两边求导可得，即，④ 对于A项，将代入②可得，故A项正确； 对于B项，将代入④可得，故B项正确； 对于C项，将代入④可得，将代入③可得，所以，故C项错误； 对于D项，由③可得，即，⑤ 所以由④⑤可得，⑥ 所以由⑥可得，即，⑦ 由⑦可得，⑧ 所以由⑦⑧可得，故8是的一个周期. 所以， 将代入④可得，即， 由C项知，， 将代入⑦可得，即， 所以，故D项正确. 故选：C. 44．（23-24高二下·甘肃·阶段练习）已知函数，若，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意的值域包含于的值域，再分别求导分析函数的单调性与最值，进而根据值域区间端点满足的不等式列式求解即可. 【详解】，，令，解得， 令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增， 又，所以的值域为. 当时，，所以在上单调递增， 又，所以的值域为， 又，使得，所以，解得， 即实数的取值范围是． 故选：B． 45．（23-24高二上·湖南长沙·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，利用导数判断单调性，结合单调性分析判断. 【详解】因为， 构造函数，则， 令，解得；当时，令，解得； 可得在上单调递减，在上单调递增； 且，所以，即. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：根据题意构建，结合函数单调性比较大小. 46．（23-24高三上·浙江绍兴·期末）若对任意实数，恒有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】移项整理得，设，利用导数得到其单调性，分和讨论即可. 【详解】， ， 设，则， 设，则在上恒成立， 在上单调递增，且， 当时，在单调递增， ，即， 当时，则，不妨取，即， 当时，，时，， 在上单调递减，在上单调递增， ， ， ，即，而有在上恒成立， ，即， 综上可得. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是移项整理，利用导数并分类讨论求其最小值，对时需利用隐零点法求解其最值. 47．（23-24高三上·河北衡水·期末）若斜率为1的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为（    ） A．0或2 B．0或 C．2 D． 【答案】A 【分析】设直线与曲线的切点为，先根据导数的几何意义求出在切点处的切线方程，再根据直线与圆相切和圆心到直线的距离关系列式求解即可. 【详解】设直线与曲线的切点为，由，则， 则，即切点为，所以直线为， 又直线与圆都相切， 则有，解得或． 故选：A 48．（23-24高二上·山西运城·期末）已知函数，只有一个极值点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求函数的导数，利用参变分离得，再构造函数，利用导数分析函数的图象，转化函数的交点问题，即可求解. 【详解】，令，得， 设，，得， 当时，，函数在区间单调递增， 当时，，函数在区间单调递减， 当时，的最大值为， 并且时，，时，， 如图，画出函数的图象， 因为函数只有一个极值点，即与只有一个交点，且， 所以. 故选：A 49．（23-24高二上·山西运城·期末）定义在上的可导函数满足，当时，，若实数a满足，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件构造函数，利用偶函数的定义及导数的正负与函数的单调性的关系，结合偶函数的性质及函数的单调性即可求解. 【详解】由，得. 令，则，即为偶函数. 当时，，所以在上单调递增； 所以在上单调递减. 由， 得，即. 又为偶函数，所以， 因为在上单调递减， 所以，即，解得，或， 所以a的取值范围为. 故选：C. 【点睛】关键点睛：解决此题的关键是构造函数，利用偶函数定义和导数法求出函数的单调性，再利用偶函数和单调性即可解决抽象不等式. 二、多选题 50．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知，下列说法正确的是（　　） A．在 处的切线方程为 B．的单调递减区间为 C．的极大值为 D．方程有两个不同的解 【答案】BC 【分析】根据导数的几何意义求解切线方程；根据导数求解函数的单调区间，从而求出极值；求出函数零点即可求出与交点的个数，从而判断出方程的解. 【详解】对于选项， 的定义域为，， ∵，∴， 由导数的几何意义可知在 处的切线方程的斜率为， ∴在 处的切线方程为，则错误； 对于选项，令得， ∴的单调递减区间为，则正确； 对于选项，令得， ∴的单调递增区间为， ∵在上单调递增，在上单调递减， ∴在处取得极大值， ，则正确； 对于选项，∵ ， ∴在上存在一个零点， ∵当时，， ∴在上没有零点， ∴与只有一个交点， ∴方程只有一个解，则错误； 故选： . 51．（23-24高二上·山西吕梁·期末）已知函数，下列说法正确的是（　　） A．的单调递减区间是 B．在点处的切线方程是 C．若方程只有一个解，则 D．设，若对，使得成立，则 【答案】BD 【分析】对函数求导，分析其单调性得到其图象，可判断ABC，对应选项D，设函数的值域为，的值域为G，由求解判断. 【详解】函数，，， 令，得或；令，得； 可得函数在和上单调递减，在单调递增，其大致图象如图：    对于，由上述分析可得A错误； ，由，，得， 所以切线为，故B正确； 对于C，由方程只有一解，由图象可知，或，故C错误； 对于D，设函数的值域为，函数的值域为， 对于， ，， 对于，，， 若，，使得成立， 则，故D正确， 故选：BD. 52．（23-24高二上·福建福州·期末）已知函数，则（    ） A．当时，函数在上一定单调递增 B．当时，函数有两个零点 C．当时，方程一定有解 D．当时，在上恒成立 【答案】ABD 【分析】求导，根据导函数正负判断单调性和极值最值，判断AB正确，C错误；构造函数，求导，求出最小值，得其最小值大于2，判断D正确. 【详解】对于时，，所以在上一定单调递增，故选项正确； 对于B，当时，，令，得，故在区间上单调递减，上单调递增，，又，所以在上各有一个零点，共两个零点，故选项B正确； 对于，取，则， 当时，，单调递减，当时，单调递增， 所以，故选项C错误. 对于，当时，，此时，令在递增，，由零点定理，在上存在，使①，从而在递减，递增，所以，由①，所以（因为在上，所以等号不成立），故选项正确. 故选： 53．（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知函数的定义域为，其导函数为，且对任意的，都有，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】令，可得在上单调递增，取自变量的值可得结果. 【详解】令，所以， 所以在上单调递增， 所以，即，故A错误，B正确； 又，所以， 即，故C正确，D错误. 故选：BC. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤 (1)作差或变形． (2)构造新的函数． (3)利用导数研究的单调性或最值． (4)根据单调性及最值，得到所证不等式． 54．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知函数，其中，则（    ）． A．不等式对恒成立 B．若直线与函数的图象有且只有两个不同的公共点，则k的取值范围是 C．方程恰有3个实根 D．若关于x的不等式恰有1个负整数解，则a的取值范围为 【答案】AD 【分析】对函数求导，判断其单调性，求出其最小值，可判断A选项；作出曲线的图象，根据图象可判断B选项；令，解得，数形结合可判断C选项；由直线过原点，再结合图象分析即可判断D选项． 【详解】对于选项A，， 当或时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以在出取得极小值，， 在处取得极大值，， 而时，恒有成立， 所以的最小值是，即，对恒成立，故A正确； 对于B选项，若函数与直线有且只有两个交点， 由A选项分析，函数的大致图象如下，    由图知，当或时， 函数与直线有且只有两个交点，故B错误； 对于C选项，由，得，解得， 令，和，而， 由图象知，和分别有两解： 综上，方程共有4个根，C错误；    对于D选项，直线过原点，且，， 记，， 易判断，， 不等式恰有1个负整数解， 即曲线在的图象下方对应的x值恰有1个负整数， 由图可得，即，故D正确．    故选：AD 【点睛】方法点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 55．（23-24高二上·安徽六安·期末）对于函数，若存在，使，则称点与点是函数的一对“隐对称点”．若函数的图像恰好有2对“隐对称点”，则实数的取值可以是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由题意可得，函数关于原点对称的图象与函数的图象有两个交点，再次转化为与的图象有2 个交点，然后画出图象，根据图象可求得答案. 【详解】依题意，函数关于原点对称的图象与函数的图象有两个交点，即方程有两个根， 即：，令，， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 又在处的切线方程为，如图， 由图可知，要使方程有两个根，则或． 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合应用，考查导数的几何意义，考查函数的新定义，解题有关键是对新定义的正确理解，从而将问题转化为方程有2个根，然后构造函数，利用函数图象求解，考查数学转化思想和数形结合的思想，属于较难题. 三、填空题 56．（23-24高二下·广东·期末）已知函数有三个零点，求的取值范围 ． 【答案】 【分析】根据零点定义得方程后，参数分离，构造函数求值域后数形结合即可得. 【详解】由得，令， 则，令，得或， 时，，时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 极小值为，极大值为，且恒成立， 所以函数的大致图像如图所示： 所以函数有三个零点，则. 故答案为： 57．（2024·上海普陀·二模）已知，若关于的不等式的解集中有且仅有一个负整数，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】原式可化为，然后研究函数的图象，只需当时，直线在曲线上方时，只有一个负整数即可，构造不等式组求解． 【详解】原不等式可化为：， 令，，显然时，，单调递减； 时，，单调递增， 所以，且时，，, 同一坐标系中，作出与（过定点的图象： 据图可知，满足题意的整数解为，此时应满足， 解得． 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：本题考查不等式解问题，关键是将不等式适当变形，转化为两个函数交点问题. 58．（23-24高二上·山西吕梁·期末）已知函数，若成立，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】根据给定条件，构造函数并利用导数求出函数的最小值即得. 【详解】函数，由，得，则， 令，求导得，当时，，当时，， 因此函数在上单调递减，在上单调递增，则， 所以的最小值为. 故答案为： 59．（23-24高二上·福建福州·期末）函数在上单调递减，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】 利用函数性质进行分析得出在上恒成立. 【详解】 在上恒成立，当时, 满足题意， 当时, 且,即解得所以, 当时，函数的对称轴为, 所以只需,即所以，所以， 综上. 故答案为：. 60．（23-24高二上·福建福州·期末）若数列满足：，则定义数列为函数的“切线——零点数列”．已知，数列为函数的“切线——零底数列”，，若数列满足，则数列的前n项和 ． 【答案】 【分析】由已知得，则有，可得数列为等比数列，求和即可. 【详解】，则， 依题意可知， 所以， 故，即， 且，所以（常数）， 故是以为首项，以2为公比的等比数列， 所以． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：利用导数求出数列的递推公式后，关键点是由，研究数列的性质，从而得到数列的性质. 61．（23-24高二上·陕西西安·期末）已知若存在，使得成立，则的最大值为 . 【答案】/ 【分析】根据两函数的同构特征，不难发现，考查利用函数的单调性推得，从而将转化为，最后通过的最大值求得的最大值. 【详解】因则， 由知时，，即函数在上单调递增. 由可得：且,故得：， 则，不妨设，则， 故当时，，递增，当时，，递减， 即，故的最大值为. 故答案为：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$