5.3.2 第1课时 函数的极值 课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦函数极值的概念、判定及求法，从导数与函数单调性的联系切入，通过“导数为0的点是否为极值点”等问题链衔接旧知，构建从概念理解到方法应用的学习支架。 其亮点在于以微点拨、微思考深化数学抽象，如辨析极值局部性及导数为0的必要非充分条件，结合含参数极值讨论、由极值求参数等例题培养逻辑推理，规律方法总结步骤助力学生掌握运算技巧，教师可依托分层例题提升教学效率，学生能在探究中发展数学思维与解决问题的能力。

第五章 　5.3.2　第1课时　函数的极值 学习目标 1.了解函数的极值、极值点的概念.(数学抽象) 2.理解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.(数学抽象) 3.能利用导数求某些函数的极大值、极小值.(数学抽象、数学运算) 基础落实·必备知识全过关 知识点1　函数极值的概念 1.若函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点处的函数值都小,f'(a)=0,而且在点x=a附近的左侧　　　　　,右侧　　　　　,就把a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.  只与附近值比较 不是点的坐标 2.若函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点处的函数值都大,f'(b)=0,而且在点x=b附近的左侧　　　　　　,右侧　　　　　　,就把b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.  3.极大值点和极小值点统称为　　　　　　,极大值和极小值统称为　　　　___________.  f'(x)<0 f'(x)>0 f'(x)>0 f'(x)<0 极值点 极值 微点拨 1.极值是一个局部概念.极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小. 2.函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点. 3.若函数在极值点处存在导数,则这点的导数为0,但导数为0的点可能不是函数的极值点.也就是说,若f'(c)存在,则“f'(c)=0”是“f(x)在x=c处取到极值”的必要条件,但不是充分条件. 4.若f(x)在区间(a,b)内有极值,则f(x)在区间(a,b)内一定不是单调函数,即在某区间上单调的函数没有极值. 5.如果函数f(x)在区间[a,b]上有极值,那么它的极值点的分布是有规律的.相邻两个极大值点之间必有一个极小值点,同样,相邻两个极小值点之间必有一个极大值点.一般地,当函数f(x)在区间[a,b]上连续且有有限个极值点时,函数f(x)在区间[a,b]上的极大值点、极小值点是交替出现的. 微思考 函数的极大值一定大于极小值吗? 提示 不一定.如图所示, 极大值f(x1)小于极小值f(x2). 知识点2　函数极值的求法 一般地,可按如下方法求函数y=f(x)的极值: 解方程　　　　　　,当f'(x0)=0时:  (1)如果在x0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,那么f(x0)是　　　　　;  (2)如果在x0附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,那么f(x0)是　　　　　. 可导函数在x=x0处取得极值的充要条件是 f '(x0)=0且在x=x0两侧f '(x)符号相反 f'(x)=0 极大值 极小值 微思考 三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)可以只有一个极值点吗? 提示三次函数不可能只有一个极值,这是因为f'(x)=3ax2+2bx+c,当Δ=4b2-12ac>0时,f'(x)=0有两个不相等的实数根,它们都是极值点,其中一个是极大值点,另一个是极小值点;当Δ<0时,f'(x)=0没有实数根,函数没有极值点;当Δ=0时,f'(x)=0有两个相等的实数根,但由于在这个根两侧导数值符号相同,所以它不是极值点,故三次函数要么有两个极值点,要么没有极值点,不可能只有一个极值点. 重难探究·能力素养速提升 重难探究·能力素养速提升 问题1在用导数研究函数的单调性时,我们发现利用导数的正负可以判断函数的增减.如果函数在某点处的导数为0,那么在这个点处函数的取值有何特点? 问题2回顾必修第一册中函数最大值与最小值的定义,极大值与极小值刻画了函数的局部性质,它们与最大值、最小值的区别与联系是什么? 探究点一　利用导数求函数的极值 问题3极值点是函数增减性的分界点,如何利用导数求函数的极值? 【例1】 求下列函数的极值: (1)f(x)=x3-x2-3x+3; 解函数的定义域为R,f'(x)=x2-2x-3. 令f'(x)=0,得x=3或x=-1. 当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表: x (-∞,-1) -1 (-1,3) 3 (3,+∞) f'(x) + 0 - 0 + f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值-6 单调递增 ∴x=-1是f(x)的极大值点,x=3是f(x)的极小值点. f(x)极大值=,f(x)极小值=-6. (2)f(x)=; 解 函数f(x)的定义域为R,f'(x)=()'=. 令f'(x)=0,得x=-2,或x=2. 当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表: x (-∞,-2) -2 (-2,2) 2 (2,+∞) f'(x) - 0 + 0 - f(x) 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 所以函数f(x)在x=-2处取得极小值f(-2)=-,在x=2处取得极大值f(2)=. (3)f(x)=. 解 函数定义域为(0,+∞),f'(x)=, 令f'(x)=0,得x=, 当0<x<时,f'(x)>0,当x>时,f'(x)<0, ∴f(x)在x=处取得极大值f()=,无极小值. 规律方法　利用导数求函数极值的方法与步骤 【例2】 已知函数f(x)= x3-(a+1)·x2+4ax+2(a为实数),求函数f(x)的极值. 解 因为f(x)= x3-(a+1)x2+4ax+2, 所以f'(x)=x2-2(a+1)x+4a=(x-2)(x-2a). 令f'(x)=0,解得x=2或x=2a. ①当a=1时,2a=2,因此f'(x)=(x-2)2≥0,故f(x)在R上单调递增,函数不存在极值. 问题4函数的解析式含有参数时,应先视参数为常数.如何利用导数,对参数进行恰当的讨论,求函数的极值? x (-∞,2a) 2a (2a,2) 2 (2,+∞) f'(x) + 0 - 0 + f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 由上表可知f(x)在区间(-∞,2a)和(2,+∞)上单调递增,在区间(2a,2)上单调递减, ②当a<1时,2a<2,当x变化时,f(x),f'(x)随x的变化情况如下表: ③当a>1时,2a>2,因此函数f(x)在区间(-∞,2)和(2a,+∞)上单调递增,在区间 规律方法　解析式中含参数的函数极值的求法 由于求函数的极值首先需要确定函数的单调区间,因此解析式中含参数的函数极值的求法类似于解析式中含参数的函数的单调区间的求法,求解的方法是:先根据参数对导数的零点的影响确定分类讨论的标准(导数是否存在零点以及导数存在零点时零点的大小),再根据函数的单调区间确定函数的极值. 探究点二　由极值求参数的值或取值范围 角度1.根据极值求参数值 【例3】 已知函数f(x)=x3+ax2+bx+4在x=1处取得极值 . (1)求a,b的值; (2)求函数的另一个极值. 分析 (1)可利用f'(1)=0,f(1)= 建立关于a,b的方程组求解;(2)按照求极值的步骤求解. 问题5当已知函数在某处取得极值时,如何利用导数,求函数中参数的值或取值范围? 当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表: 规律方法　已知函数极值,确定函数解析式中的参数时,注意两点: (1)根据可导函数极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解; (2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求解后必须验证. 问题6当已知函数在某区间内有多个极值点时,如何利用导数,通过等价转换,求函数中参数的取值范围? 【例4】 已知函数f(x)=2ln x+x2+2ax有两个极值点,试求实数a的取值范围. 解函数f(x)的定义域为(0,+∞)且f'(x)=. 因为f(x)有两个极值点,所以方程f'(x)=0,即x2+2ax+2=0在(0,+∞)上有两个不同的实数根x1,x2, 因此解得a<-, 所以实数a的取值范围是(-∞,-). 规律方法　已知函数极值点的个数求参数取值范围的方法 已知函数极值点的个数求参数取值范围,其本质是导函数存在变号零点的问题,解决此类问题可转化为导函数y=f'(x)在区间(a,b)内变号零点的个数问题求解. 探究点三　由函数图象分析函数的极值 AD 问题7如何通过f'(x)的图象在相关区间上的符号,以及在相关各点的左右两侧的导数值是否异号,分析函数f(x)的相关结论? 【例5】 (多选题)已知函数f(x)的导函数为f'(x),y=f'(x)的部分图象如图所示,则以下结论中正确的是(　　) A.函数f(x)在(0,4)内单调递增 B.函数f(x)在x=3处取得极小值 C.函数f(x)在x=1处取得极大值 D.函数f(x)在x=0处取得极小值 规律方法　根据导函数的图象确定函数的极值的方法 根据导函数的图象确定函数的极值的方法主要是根据导函数的符号确定函数的单调性及单调区间,然后结合函数单调性确定函数的极值. 解析 由题中图象可知,当x∈(0,4)时,f'(x)>0,所以函数f(x)在(0,4)内单调递增,故A正确;虽然f(x)在x=3处的导数等于0,但在x=3两侧导数值符号不相反,所以3不是极值点,同理1也不是极值点,故B,C错误;又因为f'(0)=0,且在x=0左侧导数值小于0,右侧导数值大于0,所以0是函数的极小值点,故D正确,故选AD. 探究点四　极值的综合应用 【例6】 已知函数f(x)=x3-3x+a(a∈R),若方程f(x)=0有三个不同实根,求实数a的取值范围. 解 令f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1)=0,解得x1=-1,x2=1. 当x<-1时,f'(x)>0;当-1<x<1时,f'(x)<0;当x>1时,f'(x)>0. 所以当x=-1时,f(x)有极大值f(-1)=2+a;当x=1时,f(x)有极小值f(1)=-2+a. 因为方程f(x)=0有三个不同实根,所以y=f(x)的图象与x轴有三个交点,则应 问题8函数的极值刻画了函数的局部性质,如何利用极值的定义,解决与其相关的综合问题? 规律方法　利用导数可以判断函数的单调性,研究函数的极值情况,并能在此基础上画出函数的大致图象,从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点个数,从而为研究方程根的个数问题提供了方便. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)函数极值的概念. (2)函数极值的判定及求解. (3)函数极值的应用. 2.方法归纳:方程思想、分类讨论思想、数形结合思想. 3.常见误区:容易误认为使导数等于零的点是极值点. 重难探究·能力素养速提升 学以致用·随堂检测促达标 知识点1 对函数极值的相关概念的理解 1.对于定义在上的可导函数， 为其导函数，下列说法正确的是 ( ) D A.使的 一定是函数的极值点 B.在上单调递增是在 上恒成立的充要条件 C.若函数 既有极小值又有极大值，则其极小值一定不会比它的极大值大 D.若在上存在极值，则它在 上一定不单调 33 【解析】 A 使的不一定是函数的极值点，比如在 处 的导数值为0，但不是 的极值点. B 在 上单调递增，但可能会在某点的导数值等于0，比如 在上单调递增，其在 处的导数值为0. C 若函数 既有极小值又有极大值，则其极小值可能会比它的极大 值大，比如，在处取得极大值，在 处 取得极小值2，极小值大于极大值. D √ 根据极值点和极值的定义可知D正确. 34 2.（多选）函数的导函数 的图象如图所示，则( ) AD A.是 的极小值点 B.是 的一个零点 C.在 处取极大值 D. 【解析】 由题图知当时，， 单调递减；当 时，，单调递增，所以是函数 的极小 值点，A正确；导函数图象无法提供原函数的零点信息，B错误；因为 在上单调递增，所以在 处取不到极大值，且 ,C错误，D正确. 35 知识点2 求函数的极值点或极值 3.[2026广东华附、省实、广雅、深中四校联考]函数 的极小值点是( ) C A. B. C.1 D. 36 【解析】 由题意得 . 令，得或.令，得或 ；令 ，得.所以函数在， 上单调递增， 在上单调递减，所以函数 的极小值点是1.（ 函数的极值点 是使函数取得极值时自变量的值，不是点.）故选C. . . 37 4.函数 的极大值为( ) D A. B. C. D. 【解析】 函数的定义域为 ， .令，得或 ，所以当 或时，当时，所以 在 ，上单调递增，在上单调递减，所以 的极大值为 . 38 5.易错题 [2026江西南昌一中期中]函数 的极值点的个 数是( ) C A.3 B.2 C.1 D.0 【解析】 ,所以 .令 ,可得或,因为在左右两侧都有 ,所以 不是的极值点（ 检验方程 的根的左右两侧的符 号.），是的极小值点，故函数 只有1个极值点. . . . . . . 39 6.[2026湖南长沙月考]将函数在区间 内的极值 点按从小到大的顺序排成数列，则 _____. 【解析】 由，得，当 时， 令，得 ， ， ， ， ，经判断，除0外， 的零点均为的极值点，所以在 内的极值点从小到大依次 为 , , , , ，所以. 40 7.求下列函数的极值，并作出函数图象的示意图. （1） ； 【解析】 . 令,解得, . 当变化时,, 的变化情况如下表： 2 0 - 0 10 41 由上表看出,当时,取得极大值,为；当时, 取得极小值,为 . 作出函数 的大致图象，如图所示. 42 （2） ； 【解析】 . 令,解得, . 当变化时,, 的变化情况如下表： 1 - 0 0 - 43 由上表看出,当时,取得极小值,为 ； 当时,取得极大值,为 . 作出函数 的大致图象，如图所示. 44 （3） . 【解析】 易得函数的定义域为， ，令 ，得 . 当变化时，, 的变化情况如下表： - - 0 由上表看出，当时，取得极小值，为 ,无极大值. 45 作出函数 的大致图象，如图所示. 46 知识点3 由函数的极值情况求参 8.[2026山东临沂月考]若函数存在极值点，则实数 的取值 范围是( ) A A. B. C. D. 47 【解析】 由,得的定义域为.若函数 存在极值点， 则在上有解，即在 上有解，又 ，所以.此时令,得 ,当 时,,当时，,故是 的极小 值点，所以 符合题意. 48 9.易错题 函数在处有极值10，则 ( ) B A.6 B. C.或15 D.6或 49 【解析】 .由题意得 即 解得或当 时， ，所以在 上为增函数，不存 在极值，不满足题意;（ 注意检验.）当 时， ，易知函数在 处有极值10，满足题意.故 . . . . . . . 10.若函数既有极大值又有极小值，则实数 的取值范 围为______. 【解析】 ，则 .函数 既有极大值又有极小值， 等价于一元二次方程在 上有2个不同的实根，则 解得，即实数的取值范围为 . 51 11.[2026河南商丘期末]若函数 没有极值，则 实数 的取值范围是_______. 【解析】 由题意知 ， 因为没有极值，所以或 恒成立.设 ，，因为 ，所以 对任意恒成立，所以 解得 . 52 12.新定义 若，为函数相邻的两个极值点，且在， 处分别取 得极小值和极大值，则定义为函数 的一个“极优差”.那么， 函数 的“极优差”为_______. 【解析】 由题意，得.令 ，得 ，得或 .当时，, 单调递减; 当时，，单调递增；当时, ， 单调递减.故的极大值为，极小值为 ，“极优差”为 . 53 13.已知函数 . （1）判断函数在 上是否存在极值点.若存在极值点，求出极 值；若不存在极值点，说明理由. 【解析】 因为， ， 所以，当且仅当 时，取 等号， 所以在上单调递增，故函数在 上不存在极值点. 54 （2）若函数有三个极值点，求实数 的取值范围. 【解析】 由题得 ， 因为函数 有三个极值点， 所以 有三个互不相等的正实数根. 由，得 . 令 ， 则问题转化为直线与 的图象有三个交点. . 55 令，得或，则当时，， 单调递 减， 当时，， 单调递增, 当时，， 单调递减， 又当时， ；当 时， ，且，，画出 的大 致图象和直线 如图所示，则由图可知直线 与图象有三个交点时， ，即实 数的取值范围为 . 57 (2)f(x)=; 解 函数定义域为(0,+∞),f'(x)=,令f'(x)=0,得x=, 当0<x<时,f'(x)>0,当x>时,f'(x)<0,∴f(x)在x=处取得极大值f()=,无极小值. 因此函数f(x)在x=2a处取得极大值f(2a)=-a3+4a2+2.函数f(x)在x=2处取得极小值f(2)=4a+. (2,2a)上单调递减,函数f(x)在x=2处取得极大值f(2)=4a+,函数f(x)在x=2a处取得极小值f(2a)=-a3+4a2+2. 综上,当a=1时,函数f(x)不存在极值;当a<1时,函数f(x)的极大值为-a3+4a2+2,极小值为4a+;当a>1时,函数f(x)的极大值为4a+,极小值为-a3+4a2+2. 解 (1)因为f(x)=x3+ax2+bx+4, 所以f'(x)=3x2+2ax+b.依题意可得 解得经检验满足题意. (2)由(1)知f(x)=x3-x2-2x+4,f'(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1). 令f'(x)=0,解得x=-或x=1. x (-∞,-) - (-,1) 1 (1,+∞) f'(x) + 0 - 0 + f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以函数的另一个极值在x=-处取得,是极大值,极大值为f(-)=. 有解得-2<a<2,故实数a的取值范围是(-2,2). $