精品解析：上海市宝山区2023-2024学年高二下学期期末教学质量监测数学试卷

2023学年第二学期期末 高二年级数学学科教学质量监测试卷 考生注意： 1.本试卷共21题，满分150分，考试时间120分钟； 2.本试卷包括试题卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面； 3.在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题； 4.可使用符合规定的计算器答题. 一､填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分），要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分. 1. 已知直线的方程为，则直线的倾斜角为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据直线方程可得斜率，从而利用可求倾斜角. 【详解】因为直线的方程为， 所以直线的斜率1， 令直线的倾斜角为，则， 因为， 所以. 故答案为：. 2. 在等差数列中，，则的值是__________. 【答案】12 【解析】 【分析】应用等差数列的性质即可求解. 【详解】在等差数列中， ，则， 所以. 故答案为：12 3. 若双曲线的一条渐近线方程为，则实数___________． 【答案】9 【解析】 【分析】根据双曲线焦点在 轴上的渐近线为 即可解决. 【详解】由题知双曲线的焦点在 轴上， 所以 即 解得 故答案为：9. 4. 若无论实数取何值，直线都经过一个定点，则该定点坐标为__________. 【答案】 【解析】 【分析】变形得到方程组，求出定点坐标. 【详解】令，解得，故经过的定点坐标为. 故答案为： 5. 经过点，且与直线平行的直线的方程为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据直线平行得到，得到，整理得到答案. 【详解】直线与直线平行，则，直线方程为， 即. 故答案为： 6. 已知向量，，则在方向上的投影向量为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量定义和向量坐标运算直接求解即可. 【详解】，又， 在方向上的投影向量为. 故答案为：. 7. 如图，在四面体中，是的中点，，设，，，则__________.（用表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据向量线性运算直接求解即可. 【详解】为中点，； ，； . 故答案为：. 8. 中中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.其意思是：有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起因为脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了__________里. 【答案】96 【解析】 【分析】由等比数列前项和公式即可求解. 【详解】由题意，此人每天走的路程可以构成等比数列， 公比，， 因为，解得， 所以（里）. 故答案为：96. 9. 在数列中，，且，则__________. 【答案】5 【解析】 【分析】用累加法求解. 【详解】 ， ， … ， 各式累加得. 故答案为：5. 10. 抛物线的焦点为，准线为，点是准线上的动点，若点在抛物线上，且，则（为坐标原点）的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意结合抛物线的定义求出，设点关于直线对称点为，则，从而可求出的最小值. 【详解】由，得，所以，准线为， 不妨设点在第一象限，过作于，则，得， 则，得，所以， 设点关于直线对称点为，则， 所以， 当且仅当三点共线时取等号， 所以的最小值为， 故答案为： 11. 已知点在椭圆上，为椭圆的右焦点，直线与圆相切，且（为原点），则椭圆的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】如图，左焦点为，由几何性质得，即可由相似求得，即可由勾股定理，及椭圆定义建立齐次式，从而求得离心率. 【详解】如图所示，左焦点为，设圆的圆心为，切圆C于A，则半径. ∵，∴， 则，∴， ∴，化简得. ∴ 椭圆的离心率为. 故答案为：. 12. 我国著名数学家华罗庚说“数缺形时少直观，形少数时难入微：数形结合百般好，隔离分家万事休”，包含的意思是：几何图形中都蕴藏着一定的数量关系，数量关系又常常可以通过几何图形做出直观的反映和描述，通过“数”与“形”的相互转化，常常可以巧妙地解决问题，所以“数形结合”是研究数学问题的重要思想方法之一.比如：这个代数问题可以转化为点与点之间的距离的几何问题.结合上述观点可得，方程的解为__________. 【答案】 【解析】 【分析】将原方程配方，方程的解转化为直线与双曲线的交点的纵坐标。 【详解】原方程可化为， 其几何意义为点到，距离之差的绝对值等于， 则该点的轨迹满足双曲线的定义，根据双曲线的定义得：，，，所以， 又因为双曲线焦点在轴上，所以双曲线的标准方程为：， 令得，所以原方程的解为。 故答案为： 二､选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分），每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得相应满分，否则一律得多分. 13. “”是“曲线表示椭圆”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据曲线表示椭圆，可求得t的范围，根据充分、必要条件的定义，即可得答案. 【详解】因为曲线为椭圆， 所以，解得且， 所以“”是“且”的必要而不充分条件. 故选：B 14. 已知直线的方向向量是，平面的一个法向量是，则与的位置关系是（ ） A. ⊥ B. C. 与相交但不垂直 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据，所以，进而可以得到与的关系. 【详解】因为， 所以，所以或. 故选：D. 15. 已知曲线，过点作该曲线的5条弦，这些弦的长度构成一个递增的等差数列，则该数列公差的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由直线与圆的位置关系求出最短弦长和最长弦长，然后利用等差数列基本量运算求解即可. 详解】曲线，即 由已知圆的圆心为，半径为，因为， 所以点在圆内，且， 所以过点的最短弦长为，最长弦长为直径长， 从而公差. 故选：B 16. 已知实数满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】去绝对值分别列出每个象限解析式，数形结合利用距离求解范围. 【详解】当，表示椭圆第一象限部分； 当，表示双曲线第四象限部分； 当，表示双曲线第二象限部分； 当，不表示任何图形； 以及两点， 作出大致图象如图： 曲线上的点到的距离为， 根据双曲线方程可得第二四象限双曲线渐近线方程都是， 直线与距离为， 曲线二四象限上的点到的距离为小于且无限接近1， 联立，消得， ，且， 所以直线与椭圆第一象限部分由两个交点， 考虑曲线第一象限的点到距离得最小值为， 所以， 所以的取值范围是. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：解决本题问题的关键是确定方程表示的图形，以及通过曲线上的点到直线的距离为的取值范围，间接求解的取值范围. 三､解答题（本大题共有5题，满分78分），解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤. 17. 已知直线和直线. （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值. 【答案】（1）0或2 （2） 【解析】 【分析】（1）根据两直线垂直的公式，即可求解； （2）根据两直线平行，，求解，再代回直线验证. 【小问1详解】 若，则 ，解得或2； 【小问2详解】 若，则 ，解得或1. 时，，满足， 时，，此时与重合， 所以. 18. 已知等差数列的首项为1，前项和为，且是3与的等比中项. （1）求数列的通项公式： （2）若是数列的前项和，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，由等比中项的性质即可得，再由等差数列的通项公式和前n项和公式代入化简可求出，即可求出数列的通项公式； （2）由裂项相消法求和即可得，根据数列单调性可求得答案. 【小问1详解】 设等差数列公差为，由题意， 即，解得， 所以， 即数列的通项公式为. 【小问2详解】 由， 因为，即， 所以为严格增数列， 所以时，有最小值. 19. 从空间一点出发作三条两两互相垂直的坐标轴，可以建立空间直角坐标系.如果坐标系中的坐标轴不垂直；那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.设是空间中相互成角的三条坐标轴，其中分别是轴､轴､轴正方向的单位向量. （1）计算的值， （2）若向量，则把有序数对叫做向量在该斜坐标系中的坐标.已知 ①求的值； ②求的面积： 【答案】（1） （2）①，② 【解析】 【分析】（1）直接根据数量积的定义求解； （2）①根据数量积定义求的值；②求出各边长，再求其面积. 【小问1详解】 同理， 所以. 【小问2详解】 ①， ， 所以 ②， 同理， ， ， 等腰中，可计算得边上的高为， 所以的面积为. 20. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，且. （1）求证：； （2）当为钝角时，求实数的取值范围； （3）若二面角的大小为，求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，由，即可证明； （2）首先求出点坐标，即可表示出，，依题意可得，即可求出的取值范围； （3）利用空间向量法求出二面角二余弦值，即可求出，从而得到平面的法向量，再由向量法求出点到平面的距离. 【小问1详解】 因为底面为正方形，底面， 如图以点为坐标原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 则， 所以， 因为， 所以； 【小问2详解】 因为， 所以， 所以，， 当为钝角时，， 化简得，解得， 显然不平行，所以； 【小问3详解】 因为，，显然， 设是平面的一个法向量， 则， 令，则，则， 又平面的一个法向量为， 则有，解得， 又由已知，所以. 所以，， 由， 所以点到平面的距离为. 21. 已知椭圆的离心率为，左､右顶点分别为，左､右焦点分别为，过右焦点的直线交椭圆于点，且的周长为16. （1）求椭圆的标准方程； （2）记直线的斜率分别为，证明：为定值： （3）记的面积分别为，求的取值范围. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件，确定的值，确定椭圆的标准方程. （2）设直线的方程为：，与椭圆方程联立，消去得到关于的一元二次方程，由韦达定理得到，，再把用，表示出来，努力化简即可. （3）把用，表示出来，写成的函数，利用换元的思想，转化成利用对勾函数的单调性求值域的问题解决. 【小问1详解】 由的周长为16可知：，即 又离心率为所以 . 所以椭圆的方程为：. 【小问2详解】 如图： 设 设直线的方程为：. 联立得： 所以. 所以，即： 又，则 所以为定值. 【小问3详解】 由题意可知： 由（2）知. 所以 . 令，则 则 因为在上严格增， 所以当，即时，取得最大值. 所以的取值范围是. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为，； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023学年第二学期期末 高二年级数学学科教学质量监测试卷 考生注意： 1.本试卷共21题，满分150分，考试时间120分钟； 2.本试卷包括试题卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面； 3.在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题； 4.可使用符合规定的计算器答题. 一､填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分），要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分. 1. 已知直线的方程为，则直线的倾斜角为__________. 2. 在等差数列中，，则的值是__________. 3. 若双曲线的一条渐近线方程为，则实数___________． 4. 若无论实数取何值，直线都经过一个定点，则该定点坐标为__________. 5. 经过点，且与直线平行的直线的方程为___________. 6. 已知向量，，则在方向上的投影向量为__________. 7. 如图，在四面体中，是的中点，，设，，，则__________.（用表示） 8. 中中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.其意思是：有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起因为脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了__________里. 9. 在数列中，，且，则__________. 10. 抛物线的焦点为，准线为，点是准线上的动点，若点在抛物线上，且，则（为坐标原点）的最小值为__________. 11. 已知点在椭圆上，为椭圆的右焦点，直线与圆相切，且（为原点），则椭圆的离心率为______. 12. 我国著名数学家华罗庚说“数缺形时少直观，形少数时难入微：数形结合百般好，隔离分家万事休”，包含的意思是：几何图形中都蕴藏着一定的数量关系，数量关系又常常可以通过几何图形做出直观的反映和描述，通过“数”与“形”的相互转化，常常可以巧妙地解决问题，所以“数形结合”是研究数学问题的重要思想方法之一.比如：这个代数问题可以转化为点与点之间的距离的几何问题.结合上述观点可得，方程的解为__________. 二､选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分），每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得相应满分，否则一律得多分. 13. “”是“曲线表示椭圆”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 已知直线的方向向量是，平面的一个法向量是，则与的位置关系是（ ） A. ⊥ B. C. 与相交但不垂直 D. 或 15. 已知曲线，过点作该曲线的5条弦，这些弦的长度构成一个递增的等差数列，则该数列公差的取值范围是（ ） A. B. C. D. 16. 已知实数满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 三､解答题（本大题共有5题，满分78分），解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤. 17. 已知直线和直线. （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值. 18. 已知等差数列的首项为1，前项和为，且是3与的等比中项. （1）求数列通项公式： （2）若是数列的前项和，求的最小值. 19. 从空间一点出发作三条两两互相垂直的坐标轴，可以建立空间直角坐标系.如果坐标系中的坐标轴不垂直；那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.设是空间中相互成角的三条坐标轴，其中分别是轴､轴､轴正方向的单位向量. （1）计算的值， （2）若向量，则把有序数对叫做向量在该斜坐标系中的坐标.已知 ①求值； ②求面积： 20. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，且. （1）求证：； （2）当为钝角时，求实数的取值范围； （3）若二面角的大小为，求点到平面的距离. 21. 已知椭圆的离心率为，左､右顶点分别为，左､右焦点分别为，过右焦点的直线交椭圆于点，且的周长为16. （1）求椭圆的标准方程； （2）记直线斜率分别为，证明：为定值： （3）记的面积分别为，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$