第09讲 根与系数的关系、用一元二次方程解决问题-2024年暑假九年级数学上册自学课系列（北师大版）

第09讲 根与系数的关系、用一元二次方程解决问题 【北师大版】 ·模块一 一元二次方程的根与系数的关系 ·模块二 用一元二次方程解决问题 ·模块三 课后作业 模块一 一元二次方程的根与系数的关系 根与系数的关系 若一元二次方程x2+px+q=0得两个根为x1,x2,,则有p, q； 若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1,x2,则有，. 【考点1 利用一元二次方程根与系数的关系求代数式的值】 【例1.1】（2024·新疆喀什·三模）方程的两根为、，下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【例1.2】（2023九年级·江苏苏州·期末）已知a，b是一元二次方程的两根，求代数式的值． 【例1.3】（2024·四川内江·二模）已知，是方程的两个实数根，则代数式的值为 ． 【变式1.1】（2023九年级·浙江杭州·期末）设，是方程的两个根，求下列各式的值． (1)； (2)． 【变式1.2】（2023九年级·四川达州·期末）已知m，n是一元二次方程的两个实数根． (1)求的值． (2)求的值． 【变式1.3】（2023九年级·江西赣州·期末）已知关于x的方程． (1)求证：k取任何实数值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若斜边长，另两条边长b，c恰好是这个方程的两个根，求的周长． 【考点2 利用一元二次方程根与系数的关系求方程的根】 【例2.1】（2023九年级·江苏无锡·期末）在关于x的一元二次方程中，a、b、c是有理数，且方程的一个根是，则方程的另一个根是 ． 【例2.2】（2024·江西·二模）已知关于x的方程 的一根是，则该方程的另一根为 . 【例2.3】（2023九年级·山东烟台·期中）已知的整数部分是方程的一个根，则该方程的另一根是（   ） A． B．1 C．2 D．3 【变式2.1】（2023九年级·广东广州·期中）已知方程的一根是，方程的另一根为 ． 【变式2.2】（2023九年级·湖南邵阳·期中）已知关于的一元二次方程的一个根为，则它的另一个根为 ． 【变式2.3】（2023九年级·湖北武汉·自主招生）已知关于x的方程无解，方程的一个根是m，则方程的另一个根为 ． 【考点3 利用一元二次方程根与系数的关系确定一元二次方程中未知字母的值】 【例3.1】（2024·江西九江·一模）已知关于x的一元二次方程，若该方程的两个实数根分别为α，β，且，求m的值． 【例3.2】（2023九年级·江西南昌·期末）已知一元二次方程． (1)若方程有实数根，求的取值范围； (2)若方程的两个实数根为，且，求的值． 【例3.3】（2023九年级·江苏苏州·期末）若关于x的一元二次方程的一个根大于1，另一个根小于1，则a的值可能为（    ） A． B． C．2 D．4 【变式3.1】（2023九年级·安徽安庆·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若此方程的两个实数根，满足，求k的值． 【变式3.2】（2024·北京东城·二模）若关于的一元二次方程的两个实数根的差等于2，则实数的值是 ． 【变式3.3】（2023九年级·广东广州·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两实数根为，且满足，试求出的值． 【规律方法综合练】 【题型1】（2024九年级·黑龙江哈尔滨·期末）对于字母m、n，定义新运算，若方程的解为a、b，则的值为 ． 【题型2】（2024·江苏南京·一模）关于x的方程的两根之和是 ． 【题型3】（2024·山东日照·一模）若实数，是一元二次方程的两个根，且，则点在第 象限． 【拓广探究创新练】 【题型1】（2024·广东佛山·模拟预测）若一个关于x的一元二次方程的两根互为相反数，请你写出一个满足条件的方程： ． 【题型2】（2023九年级·河北沧州·期末）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若是倍根方程，则 ． 【题型3】（2023九年级·河北沧州·期末）若关于x的一元二次方程的两根为 ()． (1)求k的取值范围； (2)若是一个矩形两条邻边长且矩形的对角线的长为，求的值． 模块二 用一元二次方程解决问题 一元二次方程与实际问题 解有关一元二次方程的实际问题的一般步骤： 第1步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系。 第2步：设未知数。根据题意及各个量的关系设未知数。 第3步：列方程。根据题中各个量的关系列出方程。 第4步：解方程。根据方程的类型采用相应的解法。 第5步：检验。检验所求得的根是否满足题意。 第6步：答。 【考点1 营销问题】 【例1.1】（2023九年级·河南三门峡·期末）一个农业合作社以64000元的成本收获了某种农产品80吨，目前可以以1200元/吨的价格售出，如果储藏起来，每星期会损失2吨，且每星期需支付各种费用1600元，但同时每星期每吨的价格将上涨200元．设储藏个星期再出售这批农产品，可获利122000元．根据题意，可列方程 ． 【例1.2】（2023·黑龙江鸡西·二模）某商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．经调查发现，商品销售单价每降1元，平均每天可多售出2件．在每件盈利不少于25元的前提下，要获利1200元利润，每件商品应降价（    ） A．10元 B．20元 C．10元或20元 D．13元 【例1.3】（2023九年级·重庆巫溪·期中）农历虎年之际，某社区为了突出浓浓年味，计划购买A与B两种贴花共500张．已知A贴花的售价是每张15元，B贴花的售价是每张30元，共花费9000元． (1)求计划购买多少张B贴花？ (2)为了节省费用，社区工作人员最终在网上购买，A贴花每张售价减少了，B贴花每张售价也便宜了m元．现在在（1）的基础上购买B贴花的数量增加了m张，总数量不变，并且总费用比原计划减少了元，求m的值． 【变式1.1】（2023九年级·四川宜宾·期末）某商店以每件80元的价格购进一批安全头盔，经市场调研发现，该头盔每周销售量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数，物价部门规定每件头盔的利润不能超过进价的．若商店计划每周销售该头盔获利200元，则每件头盔的售价应为 元． 【变式1.2】（2022九年级·上海·期末）某商品原价100元，连续两次打折后售价为81元，若每次所打折扣相同，则这件商品每次打 折． 【变式1.3】（2023九年级·重庆綦江·期中）温润有度，为爱加温．近年来设计精巧、物美价廉的暖风机逐渐成为人们冬天必备的“取暖神器”，今年11月下旬某商场计划购进A、B两种型号的暖风机共900台，每台型号暖风机售价为600元，每台B型号暖风机售价为900元． (1)若要使得A、B两种型号暖风机的销售额不低于69万元，则至多购进多少台A型号暖风机？ (2)由于质量超群、品质卓越，11月下旬购进的A、B两种型号的暖风机全部售完．该商场在12上旬又购进了A、B两种型号的暖风机若干台，并且进行“双12”促销活动，每台型号暖风机的售价比其11月下旬的售价优惠，A型号暖风机12月上旬的销售量比其在（1）问条件下的最高购进量增加，每台B型号暖风机的售价比其11月下旬的售价优惠，B型号暖风机12月上旬的销售量比其在（1）问条件下的最低购进量增加a%，、两种型号的暖风机在12月上旬的销售额比（1）问中最低销售额增加了，求的值． 【考点2 平均变化率问题】 【例2.1】（2023九年级·安徽安庆·期中）为了美化环境，2021年某市的绿化投资额为万元，2023年的绿化投资额为万元，则这两年该市绿化投资额的年平均增长率为（    ） A． B． C． D． 【例2.2】（2024九年级·全国·竞赛）在某农场，原来每亩地能生产出200千克油菜籽，每100千克油菜籽可榨出50千克油，即出油率为，现在每亩地生产出来的油菜籽可榨出132千克油，已知亩产量的增长率是出油率增长率的2倍，则亩产量的增长率为 ． 【例2.3】（2024·辽宁大连·二模）为了减轻百姓医疗负担，某制药厂将一种药剂价格逐年降低．2022年这种药剂价格为200元，2024年该药剂价格为98元． (1)求2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率； (2)该制药厂计划2025年对此药剂继续降价，并要求此种药剂的价格不低于73.5元，则此次价格的下降率最多是多少？ 【变式2.1】（2023·重庆渝北·一模）为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为100元的药品进行连续两次降价后为64元，则平均每次降价的百分率为（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（2023九年级·湖北武汉·期末）读书已经成为很多人的一种生活方式，城市书院是读书的重要场所之一．据统计，某书院对外开放的第一个月进书院600人次，进书院人次逐月增加，到第三个月末累计进书院2850人次，若进书院人次的月平均增长率为，则可列方程为 ． 【变式2.3】（2023九年级·黑龙江哈尔滨·期中）因地域特色鲜明、政府推动与支持、文化创新与传播以及旅游体验提升，哈尔滨在2024年冰雪节爆火出圈．2022年1月份哈尔滨冰雪大世界累计接待游客80万人次，  2024年1月份哈尔滨冰雪大世界累计接待游客万人次．哈尔滨美食无数，一家餐厅推出了一款新颖的饮品——冻梨汁．经测算，该冻梨汁成本价为每杯6元，借鉴以往经验：每杯卖25元，平均每天可销售300杯，若价格每降低1元，则平均每天多销售30杯． (1)求2022年1月份至2024年1月份哈尔滨冰雪大世界累计接待游客人次的年平均增长率； (2)为了更好地维护哈尔滨城市形象，餐厅规定每杯冻梨汁售价不得超过20元，则当每杯冻梨汁售价定为多少元时，餐厅才能实现每天利润6300元？ 【考点3 数字问题】 【例3.1】（2023九年级·湖南岳阳·开学考试）《念奴娇·赤壁怀古》，在苏轼笔下，周瑜年少有为，文采风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝，欣赏下面改编的诗歌，“大江东去浪淘尽，千古风流数人物． 而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符．”则这位风流人物去世的年龄为 岁． 【例3.2】（2023九年级·吉林长春·期末）如图是某月日历表的一部分，在此日历表上可以用一个矩形圈出个位置相邻的数（如）．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为，则这9个数中最小数为（    ）    A．18 B．13 C．7 D．3 【例3.3】（2023·山东枣庄·模拟预测）第十四届国际数学教育大会会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数八进制是以作为进位基数的数字系统，有共个基本数字，八进制数换算成十进制数是，表示的举办年份． (1)请把八进制数换算成十进制数； (2)小华设计了一个进制数，换算成十进制数是，求的值（为正整数）． 【变式3.1】（2023九年级·山西吕梁·期中）有一个两位数，个位数字与十位数字之和为8，把它的个位数字与十位数字对调，得到一个新数，新数与原数之积为1855，则原两位数是（   ） A．35 B．53 C．62 D．35或53 【变式3.2】（2023九年级·广东深圳·期末）五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数的平方和，你能求出这五个整数分别是 ． 【变式3.3】（2023九年级·全国·课后作业）阅读材料，回答下列问题： 反序数： 有这样一对数，一个数的数字排列完全颠倒过来变成另一个数，简单的说，就是顺序相反的两个数，我们把这样的一对数称为“反序数”，比如：的反序数是，的反序数是． 用方程知识解决问题： 若一个两位数，其十位上的数字比个位上的数字大3，这个两位数与其反序数之积为，求这个两位数． 【考点4 几何图形的面积问题】 【例4.1】（2023九年级·山西晋中·期末）如图，在打印图片之前，为确定打印区域，需设置纸张大小和页边距（纸张的边线到打印区域的距离），上、下、左、右页边距分别为a、b 、c 、d ．若纸张大小为，考虑到整体的美观性，要求各页边距相等并使打印区域的面积占纸张的，则需设置页边距为 ． 【例4.2】（2023九年级·北京石景山·期末）如图，矩形草地中，m，m，点为边中点，草地内铺了一条长和宽分别相等直角折线甬路（，），若草地总面积（两部分阴影之和）为，求甬路的宽． 【例4.3】（2023九年级·四川宜宾·期末）近年来，宜宾市聚焦打造乡村振兴，某农户要建一个长方形养鸡场，鸡场的边靠墙（墙长度等于），另外三边用木栏围成，木栏总长，设鸡场边的长为，鸡场面积为．    (1)养鸡场面积__________（用含x的代数式表示）； (2)当鸡场面积为时，求边的长； (3)若农户想围成的鸡场，可以实现吗？说明理由． 【变式4.1】（2023九年级·广西北海·期末）如图，在长为，宽为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为，则道路的宽为多少？    【变式4.2】（2023九年级·吉林长春·期末）如图，公园原有一块长，宽的矩形空地．后来从这块空地中划出不同区域种植不同品种的鲜花，中间铺设同样宽度的石子路将各区域间隔开．如果各区域鲜花面积和为，求所铺设的石子路的宽度． 【变式4.3】（2023九年级·浙江绍兴·期末）如图1的图案称“赵爽弦图”，是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的．它由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形．我们在此图形中连接四条线段得到如图2的图案，记阴影部分的面积为，空白部分的面积为，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若，则的值为 ． 【考点5 几何图形中的动点问题】 【例5.1】（2023九年级·河北邢台·期末）如图，在中，，，， （1） ． （2）现有动点从点出发，沿向点方向运动，动点从点出发，沿线段向点方向运动，如果点的速度是，点的速度是．、两点同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，另一点停止运动．设运动时间为秒．当 时，平分的面积． 【例5.2】（2023九年级·浙江衢州·期末）如图，B是AC上一点，且BC＝6cm，AB＝4cm，射线BD⊥AC，垂足为B，动点M从A出发以2cm/s的速度沿着AC向C运动，同时动点N从B出发以3cm/s的速度沿着射线BD向下运动，连接MN．当△BMN的面积为cm2，两动点运动了t（s），则t的值为 ． 【例5.3】（2023九年级·河北保定·期末）如图所示，A、B、C、D是矩形的四个顶点，，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以的速度向点D移动一直到达点B为止，点Q以的速度向点D移动．    (1)P、Q两点从出发开始到几秒时，四边形的面积为？ (2)P、Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离第一次是？ 【变式5.1】（2023九年级·浙江·期末）如图，在等腰中，，动点P从点A出发沿折线向点终B以的速度运动，于点Q．设运动时间为，当 s时，的面积为． 【变式5.2】（2023九年级·陕西宝鸡·期中）如图，在中，，点从点开始沿边向终点以的速度移动．与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．点分别从点同时出发，当点移动到点时，两点停止移动．设移动时间为． (1)填空：____________，____________（用含的代数式表示）． (2)是否存在的值，使得的面积为？若存在请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【变式5.3】（2023九年级·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动，如果P、Q同时出发，用t表示移动的时间（0≤t≤6）． 那么：（1）求四边形QAPC的面积； （2）当t为何值时，PCQ的面积是31cm2？ 模块三 课后作业 1．（2023九年级·河南周口·期末）已知关于x的的两根为，，则的值为（    ）． A．－8 B．－7 C．－14 D．－2 2．（2023九年级·山东济南·期末）新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱。中汽协称，我国新能源汽车近两年来高速发展，连续年位居全球第一，销量持续爆发式增长，年销量约为万辆，到年销量达到万辆。若年平均增长率相同设为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2023九年级·山东菏泽·期末）一元二次方程的两个根为，则的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 4．（2023·黑龙江佳木斯·二模）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的个主干上长出个枝干，每个枝干上再长出个小分支．若在一个主干上的主干，枝干和小分支的数量之和是个，则等于（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 5．（2023九年级·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图所示，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=8cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向B移动，一直到达B为止；点Q以2cm/s的速度向D移动．当P，Q两点从出发开始几秒时，点P和点Q的距离是10cm．(若一点到达终点，另一点也随之停止运动)（    ） A．2s或s B．1s或s C．s D．2s或s 6．（2023九年级·山东济宁·期末）已知方程的一个根是1，则它的另一根是 ． 7．（2023九年级·黑龙江七台河·期末）某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系．每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少元．要使每盆的盈利达到15元，则每盆应多植 株． 8．（2023九年级·贵州遵义·期末）已知是方程的两个根，则的值是 ． 9．（2021·福建龙岩·模拟预测）《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．甲、乙各走了多少步？”请问甲走的步数是 ． 10．（2023九年级·福建莆田·期末）若，则的值是 ． 11．（2023九年级·山东威海·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根； (2)若，是原方程的两根，且，求m的值． 12．（2023九年级·山西晋中·期中）2023年9月23日，杭州第19届亚运会在浙江杭州奥体中心体育场举行了盛大的开幕仪式，在本月日历表上可以用一个黑色方框圈出3个数（如图所示），若圈出的三个数中，最小数与最大数的乘积为207，求中间的数（请用方程知识解答）．        13．（2023九年级·山东烟台·期中）已知关于x的一元二次方程：． (1)求证：不论m为何实数，方程总有实数根； (2)当方程的两个根均为正数时， ①求m的取值范围； ②若分别是菱形的两条对角线的长，求菱形的边长（用含m的代数式表示）． 14．（2023九年级·安徽安庆·期中）某学校开辟一块矩形的蔬菜种植基地，该基地两边靠着一个直角围墙如图（围墙的长足够长），另两边和由总长为80米长的篱笆组成． (1)若蔬菜种植基地的面积为1200平方米，求的长； (2)能围成面积为1800平方米的蔬菜种植基地吗？若能，求出的长；若不能，请说明理由． 15．（2022·重庆渝中·二模）为了提升干线公路美化度，相关部门拟定派一个工程队对39000米的公路进行路面“白改黑”工程．该工程队计划使用一大一小两种型号设备交替的方式施工，原计划小型设备每小时铺设路面30米，大型设备每小时铺设路面60米． (1)由于小型设备工作效率较低，该工程队计划使用大型设备的时间比使用小型设备的时间多，当这个工程完工时，小型设备的使用时间为多少小时？ (2)通过勘察、又新增了部分支线公路美化，结果此工程的实际施工里程比最初拟定的里程39000米多了9000米，于是在实际施工中，小型设备在铺设公路效率不变的情况下，使用时间比原计划增加了18m小时，同时，因为新增的工人操作大型设备不够熟练，使得比原计划每小时下降了m米，使用时间增加了小时，求m的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 根与系数的关系、用一元二次方程解决问题 【北师大版】 ·模块一 一元二次方程的根与系数的关系 ·模块二 用一元二次方程解决问题 ·模块三 课后作业 模块一 一元二次方程的根与系数的关系 根与系数的关系 若一元二次方程x2+px+q=0得两个根为x1,x2,,则有p, q； 若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1,x2,则有，. 【考点1 利用一元二次方程根与系数的关系求代数式的值】 【例1.1】（2024·新疆喀什·三模）方程的两根为、，下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程的两根为，，则，．根据根与系数的关系直接求解即可． 【详解】解：∵方程的两根为、， ∴，， 故选：A． 【例1.2】（2023九年级·江苏苏州·期末）已知a，b是一元二次方程的两根，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查根与系数的关系．根据题意，得到，，整体代入代数式求值即可．掌握根与系数的关系，是解题的关键． 【详解】解：∵a，b是一元二次方程的两根， ∴，， ∴， ∴ ． 【例1.3】（2024·四川内江·二模）已知，是方程的两个实数根，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的定义和根与系数的关系，解题的关键是掌握，．把代入原方程得 ，根据一元二次方程根与系数的关系得出，，整理 ，即可求解． 【详解】解：把代入原方程得：， ∴， ∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴ ； 故答案为：4049． 【变式1.1】（2023九年级·浙江杭州·期末）设，是方程的两个根，求下列各式的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握韦达定理是解题的关键． （1）根据韦达定理可得，，代入变形后的代数式求解即可． （2）根据韦达定理可得，，代入变形后的代数式求解即可． 【详解】（1）解：∵，是方程的两个根， ∴， ∴ ； （2） 【变式1.2】（2023九年级·四川达州·期末）已知m，n是一元二次方程的两个实数根． (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2)48 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，根与系数的关系： （1）利用一元二次方程根与系数的关系，可得，即可求解； （2）利用一元二次方程的解的定义，根与系数的关系，可得，，再代入，即可求解． 【详解】（1）解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴； （2）解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ 【变式1.3】（2023九年级·江西赣州·期末）已知关于x的方程． (1)求证：k取任何实数值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若斜边长，另两条边长b，c恰好是这个方程的两个根，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)的周长为． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式的意义，根与系数的关系． （1）根据一元二次方程根的判别式的意义证明即可； （2）利用根与系数的关系求得，，再利用完全平方公式得到，求得，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵边长b，c恰好是这个方程的两个根， ∴，，（） ∵斜边长， ∴， ∴，即， 整理得，即， （负值已舍）， ∴， ∴的周长为； ∴的周长为． 【考点2 利用一元二次方程根与系数的关系求方程的根】 【例2.1】（2023九年级·江苏无锡·期末）在关于x的一元二次方程中，a、b、c是有理数，且方程的一个根是，则方程的另一个根是 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，可知两根的和、两根的积都是有理数，据此即可求得方程的另一个根是． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程中，a、b、c是有理数， ∴、都是有理数 ∵方程的一个根是， ∴满足题意得方程的另一个根是 故答案为： 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，以及根据一元二次方程根的情况求参数等内容，正确掌握，是解题的关键． 【例2.2】（2024·江西·二模）已知关于x的方程 的一根是，则该方程的另一根为 . 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系的应用，解此题的关键是根据根与系数的关系得到，解题即可． 【详解】解：设另一根为a， 则，解得， 故答案为：1． 【例2.3】（2023九年级·山东烟台·期中）已知的整数部分是方程的一个根，则该方程的另一根是（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查了无理数的估算，一元二次方程根与系数的关系，先确定的整数部分，再根据一元二次方程根与系数的关系求出另一个根． 【详解】∵， ∴的整数部分是6， ∴一元二次方程的一个根是6． 设另一个根是，则， 解得， 所以另一个根是． 故选：A． 【变式2.1】（2023九年级·广东广州·期中）已知方程的一根是，方程的另一根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键．根据一元二次方程根与系数的关系即可得． 【详解】解：设方程的另一根为， 由一元二次方程根与系数的关系得：， 解得， 即方程的另一根为， 故答案为：． 【变式2.2】（2023九年级·湖南邵阳·期中）已知关于的一元二次方程的一个根为，则它的另一个根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系．熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键． 设方程的两个根分别为，令，由题意知，，，计算求解即可． 【详解】解：设方程的两个根分别为，令， 由题意知，，， ∴， 解得，， ∴， ∴它的另一个根为， 故答案为：． 【变式2.3】（2023九年级·湖北武汉·自主招生）已知关于x的方程无解，方程的一个根是m，则方程的另一个根为 ． 【答案】 【分析】先解分式方程得到，再根据分式方程无解，求出，然后把代入方程中求出的值，再设方程的另外一个根是，由一元二次方程根于系数的关系得到，由此求解即可． 【详解】解:方程去分母得 解得： 分式方程无解， ，即 ,解得, 把代入方程得：, 解得; 设方程的另外一个根是， 由一元二次方程根于系数的关系得到：, 解得：, 方程的另一个根为3． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了解分式方程，解一元一次方程，一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，熟知以上相关知识是解题的关键． 【考点3 利用一元二次方程根与系数的关系确定一元二次方程中未知字母的值】 【例3.1】（2024·江西九江·一模）已知关于x的一元二次方程，若该方程的两个实数根分别为α，β，且，求m的值． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，． 【详解】解：方程的两个实数根分别为，， 由根与系数的关系可知，，. ， ，即， 解得， ， . 【例3.2】（2023九年级·江西南昌·期末）已知一元二次方程． (1)若方程有实数根，求的取值范围； (2)若方程的两个实数根为，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系；掌握它们是解题的关键． （1）根据方程有实数根，则判别式为非负，即可求得的取值范围； （2）由根与系数的关系得，代入已知条件中可求得，再把求得的根代入一元二次方程中，即可求得m的值． 【详解】（1）解：∵一元二次方程有实数根， ∴， 解得：； 即方程有实数根时，； （2）解：由根与系数的关系得：， ∵， ∴②-①得：， ∴； 把代入中，得， ∴． 【例3.3】（2023九年级·江苏苏州·期末）若关于x的一元二次方程的一个根大于1，另一个根小于1，则a的值可能为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】设的两根分别为 可得 由关于x的一元二次方程的一个根大于1，另一个根小于1，可得＜ 再列不等式：＜ 解不等式可得答案． 【详解】解：设的两根分别为 关于x的一元二次方程的一个根大于1，另一个根小于1， ＜ ＜ ＜ ＜ 符合题意，所以不符合题意，符合题意， 故选： 【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，一元一次不等式的解法，掌握以上知识是解题的关键． 【变式3.1】（2023九年级·安徽安庆·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若此方程的两个实数根，满足，求k的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)故k的值为1或． 【分析】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系： （1）通过计算根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义得到结论； （2）根据根与系数的关系得，再利用得到，从而得到满足条件的k的值． 【详解】（1）证明：∵， ∴该方程总有两个实数根； （2）解：根据根与系数的关系得， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 解得． 故k的值为1或． 【变式3.2】（2024·北京东城·二模）若关于的一元二次方程的两个实数根的差等于2，则实数的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，设方程的两个根为，，由题意得：，，，再利用完全平方公式的变形得出，求出的值，再利用判别式检验即可得出答案． 【详解】解：设方程的两个根为，， 由题意得：，，， ， ， 解得：或， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意， 综上所述，实数的值是或， 故答案为：或． 【变式3.3】（2023九年级·广东广州·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两实数根为，且满足，试求出的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系； （1）将原式整理为一元二次方程的一般式，然后根据根的判别式进行解答即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系求值即可． 【详解】（1）证明：方程为：， 方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由（1）得， 解得：， 实数的值为． 【规律方法综合练】 【题型1】（2024九年级·黑龙江哈尔滨·期末）对于字母m、n，定义新运算，若方程的解为a、b，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查定义新运算，一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系，得到，，根据新运算，列出代数式，整体代入法求值即可． 【详解】解：∵方程的解为a、b， ∴， ∵， ∴ ． 故答案为：10． 【题型2】（2024·江苏南京·一模）关于x的方程的两根之和是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题关键是把关于的方程转化成一般形式． 先设关于的方程的两根分别为：，，然后把关于的方程化成一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程根与系数的关系，求出答案即可． 【详解】解：设关于的方程的两根分别为：，， ， ， ， ∴， 故答案为：． 【题型3】（2024·山东日照·一模）若实数，是一元二次方程的两个根，且，则点在第 象限． 【答案】二 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、判断点所在的象限，根据一元二次方程根与系数的关系，结合已知，推出，，判断点所在的象限即可，掌握“对于一元二次方程，若，是该方程的两个实数根，则”是解题的关键． 【详解】解：∵实数，是一元二次方程的两个根， ∴， ∴实数，异号，即一正一负， 又∵， ∴，， ∴点在第二象限， 故答案为：二． 【拓广探究创新练】 【题型1】（2024·广东佛山·模拟预测）若一个关于x的一元二次方程的两根互为相反数，请你写出一个满足条件的方程： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了根与系数的关系．先设所求方程式，根据根与系数的关系、结合两根互为相反数，可求b以及c的取值范围，从而可求方程的解析式． 【详解】解：设所求方程式， ∵方程的两根互为相反数， ∴， ∴所求方程是， 故答案为：（答案不唯一）． 【题型2】（2023九年级·河北沧州·期末）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若是倍根方程，则 ． 【答案】或 【分析】考查一元二次方程的根以及新定义“倍根方程”的意义，熟练掌握“倍根方程”的意义是解决问题的关键； 通过解方程得到该方程的根，结合“倍根方程”的定义进行解答即可． 【详解】解： ，， 又是倍根方程， 当是的2倍时， 则， 解得：， 当是的2倍时， 则， 解得：， 故答案为：或． 【题型3】（2023九年级·河北沧州·期末）若关于x的一元二次方程的两根为 ()． (1)求k的取值范围； (2)若是一个矩形两条邻边长且矩形的对角线的长为，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：； （2）解：设方程的两根为，则， 由题意得：， ∴， 即：， 解得：，且符合， 综上所述：． 模块二 用一元二次方程解决问题 一元二次方程与实际问题 解有关一元二次方程的实际问题的一般步骤： 第1步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系。 第2步：设未知数。根据题意及各个量的关系设未知数。 第3步：列方程。根据题中各个量的关系列出方程。 第4步：解方程。根据方程的类型采用相应的解法。 第5步：检验。检验所求得的根是否满足题意。 第6步：答。 【考点1 营销问题】 【例1.1】（2023九年级·河南三门峡·期末）一个农业合作社以64000元的成本收获了某种农产品80吨，目前可以以1200元/吨的价格售出，如果储藏起来，每星期会损失2吨，且每星期需支付各种费用1600元，但同时每星期每吨的价格将上涨200元．设储藏个星期再出售这批农产品，可获利122000元．根据题意，可列方程 ． 【答案】 【分析】设储藏x星期出售这批农产品可获利122000元，则需要支付费用1600x元，损失2x吨，价格为（1200+200x）元，根据获利122000元，列方程求解． 【详解】解：设储藏x星期出售这批农产品可获利122000元， 由题意得（1200+200x）×（80-2x）-1600x-64000=122000， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系列方程． 【例1.2】（2023·黑龙江鸡西·二模）某商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．经调查发现，商品销售单价每降1元，平均每天可多售出2件．在每件盈利不少于25元的前提下，要获利1200元利润，每件商品应降价（    ） A．10元 B．20元 C．10元或20元 D．13元 【答案】A 【分析】根据题意设每件商品降价元，则平均每天可售出件，根据每日的总利润每件商品的利润每日的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合即可确定的值． 【详解】解：设每件商品降价元，则平均每天可售出件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 又， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【例1.3】（2023九年级·重庆巫溪·期中）农历虎年之际，某社区为了突出浓浓年味，计划购买A与B两种贴花共500张．已知A贴花的售价是每张15元，B贴花的售价是每张30元，共花费9000元． (1)求计划购买多少张B贴花？ (2)为了节省费用，社区工作人员最终在网上购买，A贴花每张售价减少了，B贴花每张售价也便宜了m元．现在在（1）的基础上购买B贴花的数量增加了m张，总数量不变，并且总费用比原计划减少了元，求m的值． 【答案】(1)100张 (2) 【分析】本题考查一元二次方程的应用，二元一次方程组的应用； （1）设购买A种贴花a张，购买B两种贴花b元，根据题意可构造二元一次方程组，求解即可得出结论； （2）根据题意可得出A种贴花的售价，B种贴花的售价和张数，根据“费用比原计划减少了元”建立方程，求解即可得出结论． 【详解】（1）设购买A种贴花a张，购买B两种贴花b元， 根据题意可得，， 解得． ∴计划购买100张B贴花． （2）根据题意可得出A种贴花的售价为：（元），A种贴花的张数为：张， B种贴花的售价为：元，B种贴花的张数为：， 根据题意可得，， 整理得， 解得（舍）或． 综上，m的值为． 【变式1.1】（2023九年级·四川宜宾·期末）某商店以每件80元的价格购进一批安全头盔，经市场调研发现，该头盔每周销售量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数，物价部门规定每件头盔的利润不能超过进价的．若商店计划每周销售该头盔获利200元，则每件头盔的售价应为 元． 【答案】100 【分析】本题考查了一元二次方程的应用； 根据商店计划每周销售该头盔获利200元列方程求出，再根据每件头盔的利润不能超过进价的舍去不合题意的解，然后可得答案． 【详解】解：由题意得：， 解得：， ∵每件头盔的利润不能超过进价的， ∴， ∴， 即每件头盔的售价应为100元， 故答案为：100． 【变式1.2】（2022九年级·上海·期末）某商品原价100元，连续两次打折后售价为81元，若每次所打折扣相同，则这件商品每次打 折． 【答案】九 【分析】根据题意列出一元二次方程并解方程即可； 【详解】解：设这件商品每次打x折， 依题意得：100×（）2＝81， 解得：x1＝9，x2＝﹣9（不合题意，舍去）， 即这件商品每次打九折销售． 故答案为：九． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，正确列出方程是解题的关键． 【变式1.3】（2023九年级·重庆綦江·期中）温润有度，为爱加温．近年来设计精巧、物美价廉的暖风机逐渐成为人们冬天必备的“取暖神器”，今年11月下旬某商场计划购进A、B两种型号的暖风机共900台，每台型号暖风机售价为600元，每台B型号暖风机售价为900元． (1)若要使得A、B两种型号暖风机的销售额不低于69万元，则至多购进多少台A型号暖风机？ (2)由于质量超群、品质卓越，11月下旬购进的A、B两种型号的暖风机全部售完．该商场在12上旬又购进了A、B两种型号的暖风机若干台，并且进行“双12”促销活动，每台型号暖风机的售价比其11月下旬的售价优惠，A型号暖风机12月上旬的销售量比其在（1）问条件下的最高购进量增加，每台B型号暖风机的售价比其11月下旬的售价优惠，B型号暖风机12月上旬的销售量比其在（1）问条件下的最低购进量增加a%，、两种型号的暖风机在12月上旬的销售额比（1）问中最低销售额增加了，求的值． 【答案】(1)至多购进400台A型号暖风机 (2)a的值为12.5 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）设购进台型号暖风机，则购进台型号暖风机，根据总价单价数量结合销售额不低于69万元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其最大值即可得出结论； （2）根据总价单价数量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】（1）解：设购进台型号暖风机，则购进台型号暖风机， 依题意，得：， 解得：． 答：至多购进400台型号暖风机． （2）依题意，得：， 整理，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：的值为12.5． 【考点2 平均变化率问题】 【例2.1】（2023九年级·安徽安庆·期中）为了美化环境，2021年某市的绿化投资额为万元，2023年的绿化投资额为万元，则这两年该市绿化投资额的年平均增长率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设这两年该市绿化投资额的年平均增长率为，利用2023年该市的绿化投资额2021年该市的绿化投资（额这两年该市绿化投资额的年平均增长率），可得出关于的一元二次方程求解，取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设这两年该市绿化投资额的年平均增长率为， 根据题意得：， ，解得：，（不符合题意，舍去）， ， 这两年该市绿化投资额的年平均增长率为． 故选：C． 【例2.2】（2024九年级·全国·竞赛）在某农场，原来每亩地能生产出200千克油菜籽，每100千克油菜籽可榨出50千克油，即出油率为，现在每亩地生产出来的油菜籽可榨出132千克油，已知亩产量的增长率是出油率增长率的2倍，则亩产量的增长率为 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，设亩产量的增长率为x，则出油率的增长率为，根据现在每亩地生产出来的油菜籽可榨出132千克油列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设亩产量的增长率为x，则出油率的增长率为， ， 解得（舍），或． ∴产量的增长率为． 故答案为： 【例2.3】（2024·辽宁大连·二模）为了减轻百姓医疗负担，某制药厂将一种药剂价格逐年降低．2022年这种药剂价格为200元，2024年该药剂价格为98元． (1)求2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率； (2)该制药厂计划2025年对此药剂继续降价，并要求此种药剂的价格不低于73.5元，则此次价格的下降率最多是多少？ 【答案】(1)2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率为 (2)此次价格的下降率最多是 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，正确理解题中的数量关系是解题的关键． （1）设2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率为x，200元经过两年下降后的价格为，由此列出方程，求解方程即得答案； （2）设此次价格的下降率为m，根据题中的数量关系列出不等式，求解不等式即得答案． 【详解】（1）设2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率为x， 根据题意得，， 解得，（舍去）， 答：2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率为； （2）设此次价格的下降率为m， 根据题意得， 解得， 答：此次价格的下降率最多是． 【变式2.1】（2023·重庆渝北·一模）为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为100元的药品进行连续两次降价后为64元，则平均每次降价的百分率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．设平均每次降价的百分率为x，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为x， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 故选：B． 【变式2.2】（2023九年级·湖北武汉·期末）读书已经成为很多人的一种生活方式，城市书院是读书的重要场所之一．据统计，某书院对外开放的第一个月进书院600人次，进书院人次逐月增加，到第三个月末累计进书院2850人次，若进书院人次的月平均增长率为，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找等量关系，列出方程是解题的关键．本题难度适中，属于中档题． 先分别表示出第二个月和第三个月的进书院人次，再根据第一个月的进书院人次加第二和第三个月的进书院人次等于2850，列方程即可． 【详解】解：设进书院人次的月平均增长率为，则第二个月进书院人次为，三个月的进书院人次为，由题意得： ． 故答案为：． 【变式2.3】（2023九年级·黑龙江哈尔滨·期中）因地域特色鲜明、政府推动与支持、文化创新与传播以及旅游体验提升，哈尔滨在2024年冰雪节爆火出圈．2022年1月份哈尔滨冰雪大世界累计接待游客80万人次，  2024年1月份哈尔滨冰雪大世界累计接待游客万人次．哈尔滨美食无数，一家餐厅推出了一款新颖的饮品——冻梨汁．经测算，该冻梨汁成本价为每杯6元，借鉴以往经验：每杯卖25元，平均每天可销售300杯，若价格每降低1元，则平均每天多销售30杯． (1)求2022年1月份至2024年1月份哈尔滨冰雪大世界累计接待游客人次的年平均增长率； (2)为了更好地维护哈尔滨城市形象，餐厅规定每杯冻梨汁售价不得超过20元，则当每杯冻梨汁售价定为多少元时，餐厅才能实现每天利润6300元？ 【答案】(1) (2)元 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键； （1）设年平均增长率为x，由两年后累计接待游客万人次，再建立方程求解即可； （2）设每杯冻梨汁定价为y元，由每杯利润乘以销售数量等于利润，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解∶  设年平均增长率为x，则 ， 解得 ：，（舍去） 答：累计接待游客人次的年平均增长率为； （2）设每杯冻梨汁定价为y元，则 ， 整理得：， 解得， ， ∵餐厅规定每杯冻梨汁售价不得超过20元， ∴， 答：当每杯冻梨汁售价定为20元时，餐厅才能实现每天利润6300元． 【考点3 数字问题】 【例3.1】（2023九年级·湖南岳阳·开学考试）《念奴娇·赤壁怀古》，在苏轼笔下，周瑜年少有为，文采风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝，欣赏下面改编的诗歌，“大江东去浪淘尽，千古风流数人物． 而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符．”则这位风流人物去世的年龄为 岁． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据“十位恰小个位三，个位平方与寿符”以及十位数字个位数字个位数字的平方，据此列方程可得答案，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设这位风流人物去世的年龄十位数字为，则个位数字为， 则根据题意：， 整理得：，解得，， 由题意，而立之年督东吴，则舍去， ∴这位风流人物去世的年龄为岁， 故答案为：． 【例3.2】（2023九年级·吉林长春·期末）如图是某月日历表的一部分，在此日历表上可以用一个矩形圈出个位置相邻的数（如）．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为，则这9个数中最小数为（    ）    A．18 B．13 C．7 D．3 【答案】C 【分析】根据日历上数字规律得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为，以及利用最大数与最小数的积为，求出两数，再利用上下对应数字关系得出其它数即可． 【详解】解：根据图象可以得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为，设最小数为：，则最大数为，根据题意得出： ， 解得：（不合题意舍去）， 故最小的三个数为：7， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用、数字变化规律以及一元二次方程的解法，根据已知得出最大数与最小数的差为16是解题关键． 【例3.3】（2023·山东枣庄·模拟预测）第十四届国际数学教育大会会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数八进制是以作为进位基数的数字系统，有共个基本数字，八进制数换算成十进制数是，表示的举办年份． (1)请把八进制数换算成十进制数； (2)小华设计了一个进制数，换算成十进制数是，求的值（为正整数）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，解题关键是根据题意找到进制转化的方法． （1）根据题意，从个位数字起，将八进制的每一位数分别乘以，，，，再把所得的结果相加即可； （2）根据进制数和十进制数的计算方法得到关于的方程，解方程即可． 【详解】（1） ． 故答案为：； （2）依题意有：， 解得，负值舍去． 故的值是． 【变式3.1】（2023九年级·山西吕梁·期中）有一个两位数，个位数字与十位数字之和为8，把它的个位数字与十位数字对调，得到一个新数，新数与原数之积为1855，则原两位数是（   ） A．35 B．53 C．62 D．35或53 【答案】D 【分析】设十位数字为x，则个位数字为，根据新数与原数之积为1855，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设十位数字为x，则个位数字为，根据题意得： ， 解得：或， ∴这个两位数为35或53，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系列出方程． 【变式3.2】（2023九年级·广东深圳·期末）五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数的平方和，你能求出这五个整数分别是 ． 【答案】 ，，0，1，2或10，11，12，13，14 【分析】设五个连续整数为x，，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：将这五个连续整数中的第一个数设为x， 那么其余四个数依次为， 根据题意，得． 也就是． 根据方程， 所以或． 因此这五个连续整数依次为，，0，1，2或10，11，12，13，14． 故答案为：，，0，1，2或10，11，12，13，14 【点睛】考查一元二次方程的应用，属于基础题，关键是得到5个连续数的平方的等量关系． 【变式3.3】（2023九年级·全国·课后作业）阅读材料，回答下列问题： 反序数： 有这样一对数，一个数的数字排列完全颠倒过来变成另一个数，简单的说，就是顺序相反的两个数，我们把这样的一对数称为“反序数”，比如：的反序数是，的反序数是． 用方程知识解决问题： 若一个两位数，其十位上的数字比个位上的数字大3，这个两位数与其反序数之积为，求这个两位数． 【答案】 【分析】设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为，根据这个两位数与其反序数之积为，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为， 根据题意得：， ∴，即， ∴， ∴ 解得或（舍去）， ∴， ∴这个两位数为． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【考点4 几何图形的面积问题】 【例4.1】（2023九年级·山西晋中·期末）如图，在打印图片之前，为确定打印区域，需设置纸张大小和页边距（纸张的边线到打印区域的距离），上、下、左、右页边距分别为a、b 、c 、d ．若纸张大小为，考虑到整体的美观性，要求各页边距相等并使打印区域的面积占纸张的，则需设置页边距为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设页边距为x，根据打印区域的面积占纸张面积的，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】解：设页边距为x， 由题意得：， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 故答案为：3． 【例4.2】（2023九年级·北京石景山·期末）如图，矩形草地中，m，m，点为边中点，草地内铺了一条长和宽分别相等直角折线甬路（，），若草地总面积（两部分阴影之和）为，求甬路的宽． 【答案】2m 【分析】设甬路的宽为m，先得出，即，再据题意列一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】解：设甬路的宽为m， ∵矩形中，，， ∴四边形是正方形， ∵点为边中点，m， ∴， ∴，即， 即据题意列方程，得：． 整理，得． 解得  ，（不合题意，舍去）． 答：甬路的宽为2m． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是得出以及找到等量关系． 【例4.3】（2023九年级·四川宜宾·期末）近年来，宜宾市聚焦打造乡村振兴，某农户要建一个长方形养鸡场，鸡场的边靠墙（墙长度等于），另外三边用木栏围成，木栏总长，设鸡场边的长为，鸡场面积为．    (1)养鸡场面积__________（用含x的代数式表示）； (2)当鸡场面积为时，求边的长； (3)若农户想围成的鸡场，可以实现吗？说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不能实现，理由见解析 【分析】本题考查了列代数式及一元二次方程的应用，正确理解题中的数量关系是解答本题的关键． （1）先求出的长，根据长方形的面积求解即可； （2）根据鸡场面积为，列一元二次方程并求解，即得答案； （3）根据鸡场面积为，列一元二次方程并求解，即可判断答案． 【详解】（1）， ， ； 故答案为：． （2）由题意得 ， 解得，， 又， 舍去， 边的长为； （3）不能实现，理由如下： 令， 化简得 ， ， 该方程无实数解， 不能实现． 【变式4.1】（2023九年级·广西北海·期末）如图，在长为，宽为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为，则道路的宽为多少？    【答案】道路的宽为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设道路的宽为，则余下的部分可合成长为，宽为的矩形，根据草坪的面积为，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设道路的宽为，根据题意得： ，     整理得，     解得，（不符合题意，舍去），     答：道路的宽为. 【变式4.2】（2023九年级·吉林长春·期末）如图，公园原有一块长，宽的矩形空地．后来从这块空地中划出不同区域种植不同品种的鲜花，中间铺设同样宽度的石子路将各区域间隔开．如果各区域鲜花面积和为，求所铺设的石子路的宽度． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设铺设的石子路的宽度为 ，则余下部分可合成长为，宽为的矩形，根据种植花卉的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【详解】解：设铺设的石子路的宽度为 ，则余下部分可合成长为，宽为的矩形， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：铺设的石子路的宽度为． 【变式4.3】（2023九年级·浙江绍兴·期末）如图1的图案称“赵爽弦图”，是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的．它由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形．我们在此图形中连接四条线段得到如图2的图案，记阴影部分的面积为，空白部分的面积为，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】可设图2阴影直角三角形另一条直角边为x，根据S1=S2，可得2x2=m2，则x=m，再根据勾股定理得到关于m，n的方程，可求的值． 【详解】解：设图2中阴影直角三角形另一条直角边为x，依题意有 4×x2=m2， 解得x=m， 由勾股定理得(m)2+(n+m)2=m2， 整理得：m2-2mn-2n2=0， 解得m1=(1-)n（舍去），m2=(1+)n， 则的值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，根据正方形的面积公式和三角形形的面积公式得出它们之间的关系是解题的关键． 【考点5 几何图形中的动点问题】 【例5.1】（2023九年级·河北邢台·期末）如图，在中，，，， （1） ． （2）现有动点从点出发，沿向点方向运动，动点从点出发，沿线段向点方向运动，如果点的速度是，点的速度是．、两点同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，另一点停止运动．设运动时间为秒．当 时，平分的面积． 【答案】 【分析】（）由勾股定理即可求解； （）先表示出，，根据平分的面积得到t的方程求解即可； 本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程并正确求解是解题的关键． 【详解】（）∵中，，，， 由勾股定理得：， 故答案为：； （）根据题意，，， ∵，， ∴， 由 点到点的时间为，则点到点的时间为， 由题意得：， 当平分的面积时，，即， ∴，整理得， 解得，(舍去)， ∴当时，平分的面积， 故答案为：． 【例5.2】（2023九年级·浙江衢州·期末）如图，B是AC上一点，且BC＝6cm，AB＝4cm，射线BD⊥AC，垂足为B，动点M从A出发以2cm/s的速度沿着AC向C运动，同时动点N从B出发以3cm/s的速度沿着射线BD向下运动，连接MN．当△BMN的面积为cm2，两动点运动了t（s），则t的值为 ． 【答案】或或 【分析】分点M在线段AB上或点M在线段BC上分别列出方程即可求解． 【详解】当点M在线段AB上时，t＜2，MB=4-2t，BN=3t ∵BD⊥AC，△BMN的面积为cm2， ∴ 即 解得t1=，t2= 当点M在线段BC上时，t＞2，MB=2t-4，BN=3t ∵BD⊥AC，△BMN的面积为cm2， ∴ 即 解得t=（舍去） 综上t的值为或或 故答案为或或． 【点睛】此题主要考查一元二次方程的几何应用，解题的关键是根据题意分情况讨论． 【例5.3】（2023九年级·河北保定·期末）如图所示，A、B、C、D是矩形的四个顶点，，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以的速度向点D移动一直到达点B为止，点Q以的速度向点D移动．    (1)P、Q两点从出发开始到几秒时，四边形的面积为？ (2)P、Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离第一次是？ 【答案】(1)5秒 (2)秒 【分析】当运动时间为t秒时，，， （1）利用梯形的面积公式结合四边形的面积为，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）过点Q作于点M，则，，利用勾股定理结合，即可得出关于t的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【详解】（1）解：当运动时间为t秒时，，， 由题意得，， 解得， 答：P、Q两点从出发开始到5秒时，四边形的面积为； （2）解：过点Q作于点M，如图， ∵，， ∴，即， 解得，（舍）， 答：P、Q两点从出发开始到秒时，点P和点Q的距离第一次是．    【点睛】本题考查一元一次方程的应用及一元二次方程的应用，解题的关键是利用梯形的面积和勾股定理列方程是解题的关键． 【变式5.1】（2023九年级·浙江·期末）如图，在等腰中，，动点P从点A出发沿折线向点终B以的速度运动，于点Q．设运动时间为，当 s时，的面积为． 【答案】或 【分析】利用等腰直角三角形的性质求出AB，设时间为秒，分和两种情况结合三角形面积分别计算． 【详解】解：∵在等腰中，，， ∴，，． ∵于点． ∴设当时间为秒时，的面积为． 当时，，， ，即， 解得：或（舍去）． 当时，，， ，即， 解得：或（舍去）． 综上所述：当或秒时，的面积为． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形面积公式，解一元二次方程，解题的关键是理解点的运动情况，注意分类讨论． 【变式5.2】（2023九年级·陕西宝鸡·期中）如图，在中，，点从点开始沿边向终点以的速度移动．与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．点分别从点同时出发，当点移动到点时，两点停止移动．设移动时间为． (1)填空：____________，____________（用含的代数式表示）． (2)是否存在的值，使得的面积为？若存在请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)当时，使得的面积为 【分析】本题考查了列代数式、一元二次方程的应用、三角形面积公式，理解题意，正确列出代数式和一元二次方程是解此题的关键． （1）根据路程速度时间表示出、，再由即可得到答案； （2）利用三角形的面积公式得出方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得：，， ， 故答案为：，； （2）解：由题意得：， 解得：，， 当时，，符合题意， 当时，，不符合题意，舍去， 当时，使得的面积为． 【变式5.3】（2023九年级·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动，如果P、Q同时出发，用t表示移动的时间（0≤t≤6）． 那么：（1）求四边形QAPC的面积； （2）当t为何值时，PCQ的面积是31cm2？ 【答案】（1）36（cm2）；（2）当t=1或5时，△PCQ的面积是31cm2． 【分析】（1）根据题意得到AP=2t，DQ=t，再根据四边形QAPC的面积=四边形ABCD的面积-△CDQ的面积-△PBC的面积计算； （2）用t表示出△PCQ的面积，根据题意列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：（1）由题意得，AP=2t cm，DQ=t cm， 则PB=（12-2t）cm，AQ=（6-t）cm， 四边形QAPC的面积=矩形ABCD的面积-△CDQ的面积-△PBC的面积 = =36（cm2）； （2）△PCQ的面积=四边形QAPC的面积-△QAP的面积 = =36-6t+t2， 当△PCQ的面积是31cm2时，36-6t+t2=31， 解得，t1=1，t2=5， 则当t=1或5时，△PCQ的面积是31cm2． 【点睛】本题考查的是矩形的性质、一元二次方程的应用，根据题意正确表示出线段AP、DQ的长度、灵活运用相关的性质定理列出关系式是解题的关键． 模块三 课后作业 1．（2023九年级·河南周口·期末）已知关于x的的两根为，，则的值为（    ）． A．－8 B．－7 C．－14 D．－2 【答案】C 【分析】本题主要考查根与系数的关系，掌握根与系数的关系求是解题的关键． 先根据根与系数的关系求得a、b的值，然后再代入计算即可． 【详解】解：∵关于x的的两根为，， ∴，， ∴， ∴． 故选C． 2．（2023九年级·山东济南·期末）新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱。中汽协称，我国新能源汽车近两年来高速发展，连续年位居全球第一，销量持续爆发式增长，年销量约为万辆，到年销量达到万辆。若年平均增长率相同设为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用年的销量年的销量(年平均增长率)2，即可列出关于的一元二次方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：根据题意得：． 故选：B． 3．（2023九年级·山东菏泽·期末）一元二次方程的两个根为，则的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根定义、根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题关键．根据一元二次方程的根定义、根与系数的关系即可得． 【详解】由一元二次方程的根定义得：，即， 由一元二次方程根与系数的关系得：， 则， 故选：D． 4．（2023·黑龙江佳木斯·二模）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的个主干上长出个枝干，每个枝干上再长出个小分支．若在一个主干上的主干，枝干和小分支的数量之和是个，则等于（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据在个主干上的主干、枝干和小分支的数量之和是个，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：依题意，得：， 整理，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 5．（2023九年级·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图所示，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=8cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向B移动，一直到达B为止；点Q以2cm/s的速度向D移动．当P，Q两点从出发开始几秒时，点P和点Q的距离是10cm．(若一点到达终点，另一点也随之停止运动)（    ） A．2s或s B．1s或s C．s D．2s或s 【答案】D 【分析】设当P、Q两点从出发开始到x秒时，点P和点Q的距离是10cm，此时AP=3xcm，DQ=（16-2x）cm，利用勾股定理即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设当P、Q两点从出发开始到xs时，点P和点Q的距离是10cm，此时AP=3xcm，DQ=（16-2x）cm， 根据题意得：（16-2x-3x）2+82=102， 解得：x1=2，x2=， 答：当P、Q两点从出发开始到2s或s时，点P和点Q的距离是10cm． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，利用勾股定理找出关于x的一元二次方程是解题的关键． 6．（2023九年级·山东济宁·期末）已知方程的一个根是1，则它的另一根是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，根据根与系数的关系，代入对应的数据计算即可. 【详解】解：设另一根为m，根据根与系数的关系可得：， ∴， ∴方程的另一个根是4. 故答案为：4. 7．（2023九年级·黑龙江七台河·期末）某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系．每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少元．要使每盆的盈利达到15元，则每盆应多植 株． 【答案】2或3 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，等量关系式：每盆花卉的株数每株花卉的盈利元，找出等量关系式是解题的关键． 【详解】解：设每盆应该多植x株，由题意得 ， 解得：，． 答：每盆应多植2株或3株，每盆的盈利15元， 故答案为：2或3． 8．（2023九年级·贵州遵义·期末）已知是方程的两个根，则的值是 ． 【答案】 【分析】 此题考查了一元二次方程的解和根与系数关系，根据一元二次方程的解和根与系数关系得到，，整体代入代数式即可得到答案． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴， ， ∴， ∴ 故答案为：. 9．（2021·福建龙岩·模拟预测）《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．甲、乙各走了多少步？”请问甲走的步数是 ． 【答案】 【分析】设甲、乙两人相遇的时间为，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步，利用勾股定理即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出值，将其正值代入中即可求出结论． 【详解】解：设甲、乙两人相遇的时间为，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步，则 依题意得：， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ，即甲走的步数是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 10．（2023九年级·福建莆田·期末）若，则的值是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，代数式求值．熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系，代数式求值是解题的关键． 由，可知是一元二次方程的两个实数根，则，然后代值求解即可． 【详解】解：∵， ∴是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴， 故答案为：6． 11．（2023九年级·山东威海·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根； (2)若，是原方程的两根，且，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系以及一元二次方程根与系数的关系． （1）根据一元二次方程根的判别式与根的关系即可求出答案； （2）先由根与系数的关系得到，，进而由完全平方公式的变形得到，解方程即可得到答案. 【详解】（1）证明：由题意得， ， ∴无论m取何值时，原方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵，是原方程的两根， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或. 12．（2023九年级·山西晋中·期中）2023年9月23日，杭州第19届亚运会在浙江杭州奥体中心体育场举行了盛大的开幕仪式，在本月日历表上可以用一个黑色方框圈出3个数（如图所示），若圈出的三个数中，最小数与最大数的乘积为207，求中间的数（请用方程知识解答）．        【答案】中间的数为16 【分析】本题考查一元二次方程的应用．设中间的数为，根据日历上数字的规律用含的代数式表示上面和下面的数字，结合最小数与最大数的乘积为207，列出方程进行求解即可．找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键． 【详解】解：设中间的数为x． 根据题意，得： 解得，（不合题意，舍去）． 答：中间的数为16． 13．（2023九年级·山东烟台·期中）已知关于x的一元二次方程：． (1)求证：不论m为何实数，方程总有实数根； (2)当方程的两个根均为正数时， ①求m的取值范围； ②若分别是菱形的两条对角线的长，求菱形的边长（用含m的代数式表示）． 【答案】(1)见解析 (2)①m的取值范围为；②菱形的边长为 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，也考查了根的判别式和菱形的性质，灵活运用所学知识是关键． （1）计算判别式的值即可判定方程实数根的情况； （2）①根据根与系数关系可得，即可求出m的取值范围；②根据菱形边长和对角线的关系即可求出，再根据根与系数关系即可求解． 【详解】（1）证明：∵        ∴不论m为何实数，方程总有实数根。 （2）解：①由题意得：   解得：，   ∴m的取值范围为 ②设菱形的边长为a，则 ∵ ∴ ∴ （舍） 所以，菱形的边长为 14．（2023九年级·安徽安庆·期中）某学校开辟一块矩形的蔬菜种植基地，该基地两边靠着一个直角围墙如图（围墙的长足够长），另两边和由总长为80米长的篱笆组成． (1)若蔬菜种植基地的面积为1200平方米，求的长； (2)能围成面积为1800平方米的蔬菜种植基地吗？若能，求出的长；若不能，请说明理由． 【答案】(1)的长为20米或60米 (2)不能围成面积为1800平方米的蔬菜种植基地，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式， （1）设的长为米，则的长为米，依题意列出方程，解方程即可求解； （2）根据题意，列出方程，由方程解的情况即可得解； 找准等量关系，正确列出一元二次方程是解决此题的关键． 【详解】（1）设的长为米，则的长为米， 根据题意，得， 整理，得， 解得：， 答：的长为20米或60米． （2）不能，理由如下： 根据题意，得， 整理，得， ， 该方程无实数根， 不能围成面积为1800平方米的蔬菜种植基地． 15．（2022·重庆渝中·二模）为了提升干线公路美化度，相关部门拟定派一个工程队对39000米的公路进行路面“白改黑”工程．该工程队计划使用一大一小两种型号设备交替的方式施工，原计划小型设备每小时铺设路面30米，大型设备每小时铺设路面60米． (1)由于小型设备工作效率较低，该工程队计划使用大型设备的时间比使用小型设备的时间多，当这个工程完工时，小型设备的使用时间为多少小时？ (2)通过勘察、又新增了部分支线公路美化，结果此工程的实际施工里程比最初拟定的里程39000米多了9000米，于是在实际施工中，小型设备在铺设公路效率不变的情况下，使用时间比原计划增加了18m小时，同时，因为新增的工人操作大型设备不够熟练，使得比原计划每小时下降了m米，使用时间增加了小时，求m的值． 【答案】(1)300 (2)5 【分析】（1）设小型设备的使用时间为x小时，则大型设备的使用时间为小时，根据题意列出方程，即可求解； （2）由（1）得：大型设备的原来使用时间为小时，根据题意可得小型设备的使用时间为小时，大型设备铺设公路每小时为米，大型设备的使用时间为小时，根据题意列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：设小型设备的使用时间为x小时，则大型设备的使用时间为小时，根据题意得： ， 解得：， 答：小型设备的使用时间为300小时； （2）解：由（1）得：大型设备的原来使用时间为小时， 根据题意得：小型设备的使用时间为小时，大型设备铺设公路每小时为米，大型设备的使用时间为小时， ∴， 整理得：， 解得：（舍去）． 即m的值为5． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$