精品解析：上海市七宝中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

2023学年第二学期高二期中考试 数学试卷 考生注意： 1．本试卷共4页，21道试题，满分150分．考试时间120分钟． 2．本考试分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂写在答题纸上，在试卷上作答一律不得分． 3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、班级、学号． 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知，则正整数______． 2. 已知函数，则______． 3. 函数的驻点为______． 4. 已知的展开式中二项式系数最大的项只有第8项，则______． 5. 二项式展开式中的常数项为______． 6. 已知有5个男生和个女生，若从中选择2个男生和1个女生在狂欢节中表演一个小品节目，共有30种不同选法，则______． 7. 一场晚会共有5个唱歌节目和3个舞蹈节目，随机排序形成一个节目单，则节目单中前3个节目都是舞蹈节目概率为：______． 8 已知，则______． 9. 用1､2､3､4､5组成没有重复数字的五位数，若满足的五位数有个，则在的展开式中，的系数是__________.（用数字作答） 10. 已知函数的导函数的图像如图所示，以下结论： ①在区间上有2个极值点 ②在处取得极小值 ③在区间上单调递减 ④的图像在处的切线斜率小于0 正确的序号是_____________ 11. 设，若关于的方程有三个实数解，则的取值范围为__________. 12. 已知函数，点、是函数图象上不同的两个点，设为坐标原点，则的取值范围是______． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. 若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数（ ） A. 1 B. C. 2 D. 14. 若能被13整除，则可以是（ ） A. 0 B. 1 C. 11 D. 12 15. 对于各数互不相等的正数数组（是不小于2的正整数），如果在时有，则称与是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为此数组的“逆序数”．例如，数组中有逆序“2，1”，“4，3”，“4，1”，“3，1”，其“逆序数”等于4．若各数互不相等的正数数组的“逆序数”是2，则的“逆序数”是（ ） A. 13 B. 24 C. 15 D. 25 16. 设曲线在点处的切线为l.则以下说法正确的个数是（ ） ①l与曲线可能没有交点 ； ②l与曲线一定只有一个交点；③l与曲线不可能有且仅有两个交点；④l与曲线可能有无穷多个交点 A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 三、解答题（共5题） 17. 5名男生，2名女生站成一排照相．求在下列约束条件下，有多少种站法？ （1）女生不站在两端； （2）女生相邻； （3）女生不相邻. 18. 已知． （1）求函数的单调减区间； （2）求函数在上的最大值和最小值． 19. 已知． （1）求展开式中含的项的系数； （2）设展开式中前三项的二项式系数的和为，的展开式中各项系数的和为，若，求实数的值． 20. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线为轴，求的值； （2）讨论在区间内的极值点个数； （3）若在区间内有零点，求证：． 21. 已知定义在上的函数的导函数为，若对任意恒成立，则称函数为“线性控制函数”. （1）判断函数和是否为“线性控制函数”，并说明理由； （2）若函数为“线性控制函数”，且在上严格增，设为函数图像上互异的两点，设直线的斜率为，判断命题“”的真假，并说明理由； （3）若函数为“线性控制函数”，且是以为周期的周期函数，证明：对任意都有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023学年第二学期高二期中考试 数学试卷 考生注意： 1．本试卷共4页，21道试题，满分150分．考试时间120分钟． 2．本考试分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂写在答题纸上，在试卷上作答一律不得分． 3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、班级、学号． 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知，则正整数______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据给定条件，结合组合数的性质列式计算即得. 【详解】由，得或，解得或（舍）， 经检验符合. 故答案为：1 2. 已知函数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的导数，再利用导数的定义求解即得. 【详解】函数，求导得， 所以. 故答案为： 3. 函数的驻点为______． 【答案】##05 【解析】 【分析】求出函数的导数，再求出驻点即得. 【详解】函数，求导得，由，得， 所以函数的驻点为. 故答案为： 4. 已知的展开式中二项式系数最大的项只有第8项，则______． 【答案】14 【解析】 【分析】根据给定条件，利用二项式系数的性质求出. 【详解】由的展开式中二项式系数最大的项只有第8项，得的展开式共有15项， 所以. 故答案为：14 5. 二项式的展开式中的常数项为______． 【答案】240 【解析】 【分析】根据题意，由二项式展开式的通项公式代入计算，即可得到结果. 【详解】二项式展开式的通项公式为， 令，解得，则常数项为. 故答案为：240 6. 已知有5个男生和个女生，若从中选择2个男生和1个女生在狂欢节中表演一个小品节目，共有30种不同的选法，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】由分步乘法计数原理列式，再由组合数公式求解. 【详解】由题，，， 故答案为：3. 7. 一场晚会共有5个唱歌节目和3个舞蹈节目，随机排序形成一个节目单，则节目单中前3个节目都是舞蹈节目的概率为：______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用排列计数问题，结合古典概率公式计算即得. 【详解】依题意，8个节目随机排列的所有可能结果有个， 前3个节目都是舞蹈节目的结果有， 所以节目单中前3个节目都是舞蹈节目的概率为. 故答案为： 8. 已知，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】利用赋值法求解. 【详解】因为， 令得：， 故答案为：1 9. 用1､2､3､4､5组成没有重复数字的五位数，若满足的五位数有个，则在的展开式中，的系数是__________.（用数字作答） 【答案】56 【解析】 【分析】首先根据排列组合的方式，确定符合条件的五位数有6个，再根据二项式定理，确定含项的系数． 【详解】由五位数需满足可知，， 再从2，3，4，5中任取两个数，大数是，小数是，剩下两个数按照大小分别是，． 故能组成个这样的五位数，则． 则在的展开式中，含项系数为． 故答案为：． 10. 已知函数的导函数的图像如图所示，以下结论： ①在区间上有2个极值点 ②在处取得极小值 ③在区间上单调递减 ④的图像在处的切线斜率小于0 正确的序号是_____________ 【答案】②③④ 【解析】 【分析】根据导函数的图像，求出函数的单调区间，求出函数的极值点，分析判断①②③，对于④：由于的图像在处的切线斜率为，从而可由导函数的图像判断. 【详解】根据的图像可得，在上，，所以在上单调递减， 所以在区间上没有极值点，故①错误，③正确； 由的图像可知，在单调递减，在单调递增，故②正确； 根据的图像可得，即的图像在处的切线斜率小于0，故④正确. 故答案为：②③④. 11. 设，若关于的方程有三个实数解，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设，根据题意转化为函数的图象与直线有三个不同的交点，求得，求得函数的单调性与极值，作出函数的图象，结合图象，即可求得实数的取值范围. 【详解】由，可得， 设函数，则函数的图象与直线有三个不同的交点， 又由， 当或时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以的极小值为，极大值为， 且时，，当时，， 作出函数的大致图象如图所示， 由图象可知，要使函数的图象与直线由三个不同的交点， 则满足，即实数的取值范围是. 故答案为：. 12. 已知函数，点、是函数图象上不同的两个点，设为坐标原点，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】作出函数的图形，求出过原点且与函数的图象相切的直线的方程，以及函数的渐近线方程，结合两角差的正切公式，数形结合可得出的取值范围. 【详解】当时，，则，函数在上为增函数， 当时，由，得，即， 作出函数的图象如下图所示： 设过原点且与函数的图象相切的直线的方程为，切点为， 则切线方程为， 将原点坐标代入切线方程得， 即，令函数，其中，则， 函数在上单调递减，且， 由，解得，则， 而函数的渐近线方程为， 设直线与的夹角为，设直线的倾斜角为， 则， 结合图形可知，. 故答案： 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于求出设过原点且与函数的图象相切的直线的方程以及函数的渐近线方程，再利用两角差的正切公式以及数形结合思想求解. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. 若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数的几何意义，求出切线斜率，再借助垂直关系求出值. 【详解】函数，求导得， 因此曲线在点处的切线斜率为， 而切线与直线垂直，所以. 故选：B 14. 若能被13整除，则可以是（ ） A. 0 B. 1 C. 11 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】利用二项式定理展开，然后根据整除列式计算即可. 【详解】因为 ， 又因为能被13整除， 所以能被13整除，观察选项可知可以是. 故选：B. 15. 对于各数互不相等的正数数组（是不小于2的正整数），如果在时有，则称与是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为此数组的“逆序数”．例如，数组中有逆序“2，1”，“4，3”，“4，1”，“3，1”，其“逆序数”等于4．若各数互不相等的正数数组的“逆序数”是2，则的“逆序数”是（ ） A. 13 B. 24 C. 15 D. 25 【答案】A 【解析】 【分析】利用组合计数问题，结合排除法求解即得. 【详解】在各数互不相等的正数数组（是不小于2的正整数）中任取2个数， 这2个数要么“顺序”（当时有），要么“逆序”，因此“顺序数”与“逆序数”和为， 各数互不相等的正数数组的“逆序数”是2，则其“顺序数”为， 显然数组的“逆序数”等于数组的“顺序数”， 所以的“逆序数”是13. 故选：A 16. 设曲线在点处的切线为l.则以下说法正确的个数是（ ） ①l与曲线可能没有交点 ； ②l与曲线一定只有一个交点；③l与曲线不可能有且仅有两个交点；④l与曲线可能有无穷多个交点 A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】根据切线的定义，结合直线与曲线的位置关系，即可判断. 【详解】①因为直线为曲线在点处的切线，所以至少有交点，故①错误； ②有可能切线与曲线有其他的交点，故②错误； ③切线与曲线有可能除切点外，还有1个交点，即仅有两个交点，故③错误； ④切线与曲线有可能有无穷多个交点，比如与，故④正确. 故选：B 三、解答题（共5题） 17. 5名男生，2名女生站成一排照相．求在下列约束条件下，有多少种站法？ （1）女生不站在两端； （2）女生相邻； （3）女生不相邻. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）先排两端再排中间即可得解. （2）用捆绑法即可得解. （3）使用插空法即可得解. 【小问1详解】 先考虑两端站的人，再考虑其他位置，满足条件的站法有（种）. 【小问2详解】 将2名女生捆绑，当作一个对象，与其他对象一起全排列，可得满足条件的站法有（种）. 【小问3详解】 分两步：第一步，先排男生，有种站法， 第二步，将2名女生插入男生所形成的6个空（包括两端）中，有种站法， 由分步乘法计数原理知，满足条件的站法有（种）. 18. 已知． （1）求函数的单调减区间； （2）求函数在上的最大值和最小值． 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）求定义域，求导，解不等式，得到单调区间； （2）求出极值和端点值，比较后即可确定最值． 【小问1详解】 的定义域为，且， 令得， 所以函数的递减区间． 【小问2详解】 因为， 令得或， 所以递增区间为，， 当变化时，，变化状态如下表： 1 3 0 0 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以函数在上的最大值为，最小值为． 19. 已知． （1）求展开式中含的项的系数； （2）设的展开式中前三项的二项式系数的和为，的展开式中各项系数的和为，若，求实数的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）求出展开式的通项公式，令的指数为，可求出值，从而得解； （2）求出的展开式中前三项的二项式系数和，再令，求出的展开式中各项系数的和，然后建立方程即可求解. 【小问1详解】 的展开式的通项为（，1，2，3，4，5）． 令，则， ∴展开式中含的项为， ∴展开式中含的项的系数为． 【小问2详解】 由题意可知，， ∵， ∴，解得或． 20. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线为轴，求的值； （2）讨论在区间内的极值点个数； （3）若在区间内有零点，求证：． 【答案】（1）； （2）答案见解析； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）先求函数的导函数，若在点处的切线为轴，只需，求解即可. （2）针对导函数，分和两种情况讨论求解即可. （3）当时显然在区间内无零点；当时，构造函数并研究其单调性即可. 【小问1详解】 由求导得：，依题意，，解得， 经验证，在点处的切线为， 所以. 【小问2详解】 由（1）知， （i）若，当时，恒成立，函数在上单调递增， 所以无极值点. （ii）若，当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 因此为的极小值点，且无极大值点， 所以当时，在内的极值点个数为0； 当时，在内的极值点个数为1. 【小问3详解】 由（2）知当时，函数在上单调递增， 因此，函数在内无零点； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为，， 若区间内有零点，则， 而，设， 则， 设，则，函数在上单调递增， 于是，即，函数在上单调递增， 则，即，又， 所以. 【点睛】关键点点睛：导数问题往往涉及到分类讨论，分类讨论标准的确定是关键，一般依据导数是否有零点、零点存在时零点是否在给定的范围内及零点在给定范围内时两个零点的大小关系来分层讨论. 21. 已知定义在上的函数的导函数为，若对任意恒成立，则称函数为“线性控制函数”. （1）判断函数和否为“线性控制函数”，并说明理由； （2）若函数为“线性控制函数”，且在上严格增，设为函数图像上互异的两点，设直线的斜率为，判断命题“”的真假，并说明理由； （3）若函数为“线性控制函数”，且是以为周期的周期函数，证明：对任意都有. 【答案】（1）不是，理由见解析 （2）真命题，理由见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据“线性控制函数”的定义即可判断选项； （2）根据为“线性控制函数”，构造函数，利用导数判断函数的单调性，再结合函数单调递增的式子，化简判断； （3）根据为“线性控制函数”，构造函数，利用导数判断函数的单调性，分，和三种情况讨论. 【小问1详解】 ，故是“线性控制函数”； ，故不是“线性控制函数”. 【小问2详解】 命题为真，理由如下： 设，其中 由于在上严格增，故，因此 由于为“线性控制函数”，故，即 令，故，因此在上为减函数 ， 综上所述，，即命题“”为真命题. 【小问3详解】 根据（2）中证明知，对任意都有 由于为“线性控制函数”，故，即 令，故，因此在上为增函数 因此对任意都有，即 当时，则恒成立 当时， 若，则，故 若时，则存在使得 故1，因此 综上所述，对任意都有. （事实上，对任意都有，此处不再赘述） 【点睛】关键点点睛：第二问构造函数并作差判断，第三问的关键是讨论和的关系，从而根据函数的单调性，证明不等式 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $