预习04充分条件和必要条件（六大考点）-2024年新高一数学暑假预习手册（人教A版2019必修第一册）

2024年新高一数学暑假预习手册（人教A版2019） 预习04充分条件和必要条件 一、命题及相关概念 定义：用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句。其中，真命题:判断为真的语句；假命题:判断为假的语句 形式:“若,则”.其中称为命题的条件﹐称为命题的结论 二、充分条件与必要条件 命题真假 “若,则”是真命题 “若,则”是假命题 推出关系及符号表示 由通过推理可得出,记作: 由条件不能推出结论,记作: 条件关系 是的充分条件； 是的必要条件 不是的充分条件； 不是的必要条件 注意：（1）充分、必要条件的判断讨论的是“若，则”形式的命题．若不是，则首先将命题改写成“若，则”的形式． （2）不能将“若，则”与“”混为一谈，只有“若，则”为真命题时，才有“”． 三、充要条件 如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均是真命题，即既有，又有，记作.此时既是的充分条件，也是的必要条件．我们说是的充分必要条件，简称为充要条件． 如果是的充要条件，那么也是的充要条件，即如果，那么与互为充要条件． 注意：（1）从概念的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件 ①若，则称是的充分条件，是的必要条件． ②若，则是的充要条件． ③若，且，则称是的充分不必要条件． ④若，且，则称是的必要不充分条件． ⑤若，且，则称是的既不充分也不必要条件． （2）“”的传递性 若是的充要条件，是的充要条件，即，，则有，即是的充要条件． 考点01 充分、必要条件的语言表述 【方法点拨】用充分、必要条件的语言表述定理的一般步骤：①分析定理的条件和结论；②将定理写成“若，则”的形式；③利用充分、必要条件的概念来表述定理． 【例1】命题“在三角形中，大边对大角”改写成“若，则q”的形式为（    ） A．在三角形中，若一边较大，则其对的角也较大 B．在三角形中，若一角较大，则其对的边也较大 C．若一个平面图形是三角形，则其大边对大角 D．若一个平面图形是三角形，则其大角对大边 【例2】将下列命题改写成“若p，则q”的形式． (1)在中，大角对大边． (2)矩形的对角线互相垂直． (3)相等的两个角的正弦值相等． (4)等底等高的两个三角形是全等三角形． 【变式1-1】如果将“偶数可被2整除”写成“若，则”的形式，那么： ，： . 【变式1-2】将下列命题改写成“若p，则q”（或“如果p，那么q”）的形式. （1）有一个内角是60°的等腰三角形是正三角形； （2）对顶角相等； （3）平行四边形的对角线互相平分； （4）对角线互相平分的四边形是平行四边形. 【变式1-3】将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假． (1)6是12和18的公约数； (2)当时，方程有两个不等实根； (3)平行四边形的对角线互相平分； (4)已知为非零自然数，当时，. 考点02 充分条件、必要条件的判定 【方法点拨】①如果命题：“若，则”为真命题，那么是的充分条件，同时是的必要条件； ②如果命题：“若，则”为假命题，那么不是的充分条件，同时也不是的必要条件． 显然，是的充分条件与是的必要条件表述的是同一个逻辑关系，即，只是说法不同而已 【例3】“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例4】下列各题中，是的充分条件的是 (填序号)． （1），； （2）两个三角形面积相等，两个三角形全等； （3），方程无实根． 【变式2-1】是的 条件（从“充分条件、必要条件、充要条件、既不充分又不必要条件”中选填）. 【变式2-2】“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2-3】设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2-4】对于变量，条件，条件，则是的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 考点03 探究命题的充分、必要条件 【方法点拨】①如果命题：“若，则”为真命题，那么是的充分条件，同时是的必要条件； ②如果命题：“若，则”为假命题，那么不是的充分条件，同时也不是的必要条件． 显然，是的充分条件与是的必要条件表述的是同一个逻辑关系，即，只是说法不同而已 【例5】设是两个实数，命题“中至少有一个数大于1”的充分条件是（    ） A． B． C． D． 【例6】写出的一个必要不充分条件是 . 【变式3-1】一次函数的图像不过第一象限的一个充分条件是 （答案不唯一）. 【变式3-2】（多选）下列条件中，是“”成立的必要条件的是（     ） A． B． C． D． 【变式3-3】若集合，，则的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 考点04 根据充分、必要条件求参数 【方法点拨】从集合角度看充分、必要条件：设命题分别对应集合，若，则是的充分条件；若，则是的必要条件 【例7】若关于x的不等式成立的充分条件是，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例8】已知全集，集合，. (1)当时，求； (2)已知“”是“”的必要条件，求实数的取值范围. 【变式4-1】若不等式的一个充分条件为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】已知集合. (1)若，请写出集合的所有子集； (2)若，且是的充分条件，求实数的取值范围. 【变式4-3】设集合． (1)，求； (2)若“”是“”的必要条件，求m的取值范围． 考点05 充要条件的判断及证明 【方法点拨】证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明，首先分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，即充分性需要证明“条件”⇒“结论”，必要性需要证明“结论”⇒“条件”． 【例9】设，集合．则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【例10】设集合，，则“且”成立的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】设a，b，，求证：关于x的方程有一个根是1的充要条件为. 【变式5-2】“且”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式5-3】设分别为的三边的长，求证：关于的方程与有公共实数根的充要条件是. 考点06 探求充要条件 【方法点拨】将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因此探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证． 【例11】的一个充要条件是（    ） A． B． C．， D．， 【例12】（多选）设全集为R，在下列条件中，满足的充要条件的有（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】等式成立的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】方程 有一正一负根的充要条件是 【变式6-3】若a，b都是正整数，则成立的充要条件是（　 　） A．a，b都大于1 B．a，b都不等于1 C．a，b至少有一个为1 D．a，b都等于1 一、单选题 1．下列命题为假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．命题甲：p是q的充分条件：命题乙：p是q的充要条件，则命题甲是命题乙的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．如果，为非0实数，则不等式成立的充要条件是　　 A．且 B．且 C．，或 D． 4．的一个必要条件但不是充分条件是（    ） A． B． C． D． 5．已知：，：，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．若甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要不充分条件，则下列说法正确的是（    ） A．乙是甲的必要不充分条件 B．甲是丙的充分不必要条件 C．丁是甲的既不充分也不必要条件 D．乙是丁的充要条件 7．（多选）下列是“，”的必要条件的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 8．用“充分条件但不是必要条件”“必要条件但不是充分条件”或“充要条件”填空： （1）“是有理数”是“是实数”的 ； （2）“”是“”的 ； （3）“”是“”的 ； （4）“”是“”的 ． 9．已知，（a为实数）．若q的一个充分不必要条件是p，则实数a的取值范围是 . 四、解答题 10．判断下列命题的真假: (1)点P到圆心O的距离大于圆的半径是点P在外的充要条件; (2)两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的充分不必要条件; (3)是的必要不充分条件; (4)x或y为有理数是xy为有理数的既不充分又不必要条件. 11．已知或，或． (1)若是的充分条件，求实数m的取值范围； (2)若是的必要条件，求实数m的取值范围． 12．已知的三边长为，其中.求证：为等边三角形的充要条件是． 13．已知集合，，. (1)求，； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024年新高一数学暑假预习手册（人教A版2019） 预习04充分条件和必要条件 一、命题及相关概念 定义：用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句。其中，真命题:判断为真的语句；假命题:判断为假的语句 形式:“若,则”.其中称为命题的条件﹐称为命题的结论 二、充分条件与必要条件 命题真假 “若,则”是真命题 “若,则”是假命题 推出关系及符号表示 由通过推理可得出,记作: 由条件不能推出结论,记作: 条件关系 是的充分条件； 是的必要条件 不是的充分条件； 不是的必要条件 注意：（1）充分、必要条件的判断讨论的是“若，则”形式的命题．若不是，则首先将命题改写成“若，则”的形式． （2）不能将“若，则”与“”混为一谈，只有“若，则”为真命题时，才有“”． 三、充要条件 如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均是真命题，即既有，又有，记作.此时既是的充分条件，也是的必要条件．我们说是的充分必要条件，简称为充要条件． 如果是的充要条件，那么也是的充要条件，即如果，那么与互为充要条件． 注意：（1）从概念的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件 ①若，则称是的充分条件，是的必要条件． ②若，则是的充要条件． ③若，且，则称是的充分不必要条件． ④若，且，则称是的必要不充分条件． ⑤若，且，则称是的既不充分也不必要条件． （2）“”的传递性 若是的充要条件，是的充要条件，即，，则有，即是的充要条件． 考点01 充分、必要条件的语言表述 【方法点拨】用充分、必要条件的语言表述定理的一般步骤：①分析定理的条件和结论；②将定理写成“若，则”的形式；③利用充分、必要条件的概念来表述定理． 【例1】命题“在三角形中，大边对大角”改写成“若，则q”的形式为（    ） A．在三角形中，若一边较大，则其对的角也较大 B．在三角形中，若一角较大，则其对的边也较大 C．若一个平面图形是三角形，则其大边对大角 D．若一个平面图形是三角形，则其大角对大边 【答案】A 【详解】命题的大前提是“在三角形中”，条件是“大边”，结论是“对大角”. 故选:A. 【例2】将下列命题改写成“若p，则q”的形式． (1)在中，大角对大边． (2)矩形的对角线互相垂直． (3)相等的两个角的正弦值相等． (4)等底等高的两个三角形是全等三角形． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【详解】（1）在中，若一内角较大，则其对的边也较大． （2）若一个四边形是矩形，则这个四边形的对角线互相垂直． （3）若两个角相等，则它们的正弦值相等． （4）若两个三角形等底等高，则这两个三角形全等． 【变式1-1】如果将“偶数可被2整除”写成“若，则”的形式，那么： ，： . 【答案】 一个数是偶数 这个数可以被2整除 【详解】将“偶数可被2整除”写成“若，则”的形式,则为：若一个数是偶数，则这个数可以被2整除. 故答案为(1). 一个数是偶数    (2). 这个数可以被2整除 【点睛】这个题目考查了命题的书写，是基础题.只要将条件和结论区分开即可. 【变式1-2】将下列命题改写成“若p，则q”（或“如果p，那么q”）的形式. （1）有一个内角是60°的等腰三角形是正三角形； （2）对顶角相等； （3）平行四边形的对角线互相平分； （4）对角线互相平分的四边形是平行四边形. 【答案】答案见解析 【详解】（1）若一个等腰三角形有一个内角是60°，则这个三角形是正三角形. （2）若两个角是对顶角，则这两个角相等. （3）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的对角线互相平分. （4）如果一个四边形的对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形. 【变式1-3】将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假． (1)6是12和18的公约数； (2)当时，方程有两个不等实根； (3)平行四边形的对角线互相平分； (4)已知为非零自然数，当时，. 【答案】(1)若一个数是6，则它是12和18的公约数，是真命题． (2)若，则方程有两个不等实根，是假命题． (3)若一个四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分，是真命题． (4)已知为非零自然数，若，则，是假命题． 【详解】（1）若一个数是6，则它是12和18的公约数． 因为，所以6是12和18的公约数， 所以，若一个数是6，则它是12和18的公约数是真命题. （2）若，则方程有两个不等实根， 当时，方程为，方程只有1个实根， 所以，若，则方程有两个不等实根是假命题． （3）若一个四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分． 根据平行四边形的性质可知，若一个四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分是真命题. （4）已知为非零自然数，若，则， 当时，满足， 所以，已知为非零自然数，若，则是假命题． 考点02 充分条件、必要条件的判定 【方法点拨】①如果命题：“若，则”为真命题，那么是的充分条件，同时是的必要条件； ②如果命题：“若，则”为假命题，那么不是的充分条件，同时也不是的必要条件． 显然，是的充分条件与是的必要条件表述的是同一个逻辑关系，即，只是说法不同而已 【例3】“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由等价于， 由等价于， 由推不出，由可以推出， 则“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 【例4】下列各题中，是的充分条件的是 (填序号)． （1），； （2）两个三角形面积相等，两个三角形全等； （3），方程无实根． 【答案】（3） 【详解】（1）∵， ∴或，不一定能推出， ∴不是的充分条件． （2）∵两个三角形面积相等，不能推出两个三角形全等， ∴不是的充分条件． （3）∵ ，∴， ∴方程，，方程无实根， ∴是的充分条件． 故答案为：（3）. 【变式2-1】是的 条件（从“充分条件、必要条件、充要条件、既不充分又不必要条件”中选填）. 【答案】充分条件 【详解】，解得或，则是的充分条件， 故答案为：充分条件. 【变式2-2】“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由，得，解得或, 所以时，具有充分性； 而时，或，不具有必要性. 故选：B 【变式2-3】设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】， 故是的必要不充分条件， 故选：B 【变式2-4】对于变量，条件，条件，则是的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】由，若取，则没有意义，显然不满足，即不是的充分条件； 由，若取，显然不满足，即不是的必要条件. 故选:D. 考点03 探究命题的充分、必要条件 【方法点拨】①如果命题：“若，则”为真命题，那么是的充分条件，同时是的必要条件； ②如果命题：“若，则”为假命题，那么不是的充分条件，同时也不是的必要条件． 显然，是的充分条件与是的必要条件表述的是同一个逻辑关系，即，只是说法不同而已 【例5】设是两个实数，命题“中至少有一个数大于1”的充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，当时，满足，但命题不成立； 对于C，D，当时，满足，，但命题不成立. 故选：B. 【例6】写出的一个必要不充分条件是 . 【答案】（答案不唯一） 【详解】由，等价于， 则不能能推出，能推出， 则是的必要不充分条件， 即的必要不充分条件是. 故答案为：（答案不唯一） 【变式3-1】一次函数的图像不过第一象限的一个充分条件是 （答案不唯一）. 【答案】且 【详解】由一次函数可知，，图像过一，三象限，过二，四象限， 且，一次函数图像交于轴正半轴，，一次函数图像交于轴负半轴，，一次函数图像过原点，所以一次函数的图像不过第一象限的充分条件是，取且即可. 故答案为：且 【变式3-2】（多选）下列条件中，是“”成立的必要条件的是（     ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】“”成立的必要条件即不能比范围小， 观察选项，BCD符合， 故选：BCD. 【变式3-3】若集合，，则的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为集合，， 若，利用数轴，可求， 故的一个充分不必要条件是. 故选：D. 考点04 根据充分、必要条件求参数 【方法点拨】从集合角度看充分、必要条件：设命题分别对应集合，若，则是的充分条件；若，则是的必要条件 【例7】若关于x的不等式成立的充分条件是，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，，解不等式，得， 由不等式成立的充分条件是，得， 于是，解得， 所以实数a的取值范围是. 故选：D 【例8】已知全集，集合，. (1)当时，求； (2)已知“”是“”的必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或. (2) 【详解】（1）当时，， 又，则或， 所以或. （2）由“”是“”的必要条件，知， 当时，显然，则，即； 当时，由得，即， 综上，，即实数的取值范围为. 【变式4-1】若不等式的一个充分条件为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得到， 又不等式的一个充分条件为，所以， 故选：C. 【变式4-2】已知集合. (1)若，请写出集合的所有子集； (2)若，且是的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)，，，； (2). 【详解】（1）时，， 所有子集有，，，； （2），由是的充分条件，可得， ①时，，此时，满足； ②时，，，满足； ③时，有两个元素，由可得， 则，0是方程两解，而，矛盾； 综上，实数的取值范围是. 【变式4-3】设集合． (1)，求； (2)若“”是“”的必要条件，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）当时，，故或， 又，故 （2）“”是“”的必要条件，故， 当时，，∴，符合题意； 当时，需满足，解得 综上所述，m的取值范围为或. 考点05 充要条件的判断及证明 【方法点拨】证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明，首先分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，即充分性需要证明“条件”⇒“结论”，必要性需要证明“结论”⇒“条件”． 【例9】设，集合．则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】因为， 当时，则有，或， 若，显然解得； 若，则，整理得， 因为，， 所以无解； 综上，，即充分性成立； 当时，显然，即必要性成立； 所以“”是“”的充分必要条件. 故选：C. 【例10】设集合，，则“且”成立的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知，，，即， 所以“且”成立的充要条件是． 故选：D． 【变式5-1】设a，b，，求证：关于x的方程有一个根是1的充要条件为. 【答案】证明见解析 【详解】充分性： ，， 代入方程得，即． 关于的方程有一个根为； 必要性：方程有一个根为， 满足方程， ，即． 故关于的方程有一个根是的充要条件为． 【变式5-2】“且”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】由且可知一定成立，故“且”是“”的充分条件， 又由可知中都不能为0，否则若，则必有，不满足，故“且”是“”的必要条件. 综上，即有“且”是“”的充分必要条件. 故选：C. 【变式5-3】设分别为的三边的长，求证：关于的方程与有公共实数根的充要条件是. 【答案】证明见解析 【详解】证明：必要性：设方程与有公共实数根， 则 两式相减并整理，可得 因为，所以，将此式代入中， 整理得，故. 充分性：因为，可得，所以， 将代入方程中，可得， 即， 将代入方程中，可得， 即 故两方程有公共实数根. 所以关于的方程与有公共实数根的充要条件. 考点06 探求充要条件 【方法点拨】将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因此探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证． 【例11】的一个充要条件是（    ） A． B． C．， D．， 【答案】A 【详解】由不等式，可得，即，所以A符合题意； 由，可得或，所以选项B是的充分不必要条件； 选项C和D都为的既不充分也不必要条件. 故选：A. 【例12】（多选）设全集为R，在下列条件中，满足的充要条件的有（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】因为时，，不满足题意，故A错误； 若，显然只有时成立，不满足题意，故B错误； 若，则，同时若时，，满足题意，故C正确； 当时，则，同时，则满足题意，故D正确， 故选：CD. 【变式6-1】等式成立的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 展开得，化简得，所以， 所以等式成立的充要条件是. 故选：D. 【变式6-2】方程 有一正一负根的充要条件是 【答案】 【详解】 有一正一负根 故答案为： 【变式6-3】若a，b都是正整数，则成立的充要条件是（　 　） A．a，b都大于1 B．a，b都不等于1 C．a，b至少有一个为1 D．a，b都等于1 【答案】C 【详解】因为a，b都是正整数， 所以， 若a，b都大于1，则，不满足题意，所以a，b至少有一个为1； 反之，若a，b至少有一个为1，则或. 综上，a，b都是正整数，则成立的充要条件是a，b至少有一个为1. 故选：C 一、单选题 1．下列命题为假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】对选项A：若，则，正确； 对选项B：若，则，正确； 对选项C：若，则，正确； 对选项D：当时，恒成立，不能得到，错误； 故选：D 2．命题甲：p是q的充分条件：命题乙：p是q的充要条件，则命题甲是命题乙的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】解：先看充分性 当“p是q的充分条件”成立，说明由p可以推出q， 但由q不一定能推出p，因此不一定有“p是q的充分必要条件” 故充分性不能成立， 再看必要性 当“p是q的充分必要条件”成立，说明由p可以推出q， 由q也可以推出p，因此“p是q的充分条件”成立 所以必要性成立 故选：B． 3．如果，为非0实数，则不等式成立的充要条件是　　 A．且 B．且 C．，或 D． 【答案】D 【详解】解：由两边同乘以，得，即， 反之由得，两边同除以，得． 故不等式成立的充要条件是， 故选：． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的关系是解决本题的关键． 4．的一个必要条件但不是充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】选项A：是的充要条件.判断错误； 选项B：是的必要条件但不是充分条件.判断正确； 选项C：是的充分不必要条件条件. 判断错误； 选项D：是的既不充分也不必要条件. 判断错误. 故选：B 5．已知：，：，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，， 因为是的必要不充分条件，所以， 所以，解得， 当时，，成立， 所以. 故选：A. 二、多选题 6．若甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要不充分条件，则下列说法正确的是（    ） A．乙是甲的必要不充分条件 B．甲是丙的充分不必要条件 C．丁是甲的既不充分也不必要条件 D．乙是丁的充要条件 【答案】AB 【详解】依题，四个命题的关系图可化为：. 则，所以乙是甲的必要不充分条件，A正确； ，甲是丙的充分不必要条件，B正确； 若甲：，丁：，乙和丙均为，满足题设，但此时丁是甲的充分必要条件， C错误； ，所以乙是丁的必要不充分条件，D错误. 故选：AB 7．（多选）下列是“，”的必要条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】取，，得，故A不是“，”的必要条件； 由，，得，故B是“，”的必要条件； 取，，得，故C不是“，”的必要条件； 由，，得，故D是“，”的必要条件． 故选：BD． 三、填空题 8．用“充分条件但不是必要条件”“必要条件但不是充分条件”或“充要条件”填空： （1）“是有理数”是“是实数”的 ； （2）“”是“”的 ； （3）“”是“”的 ； （4）“”是“”的 ． 【答案】 充分条件但不是必要条件 必要条件但不是充分条件 充要条件 必要条件但不是充分条件 【详解】（1）一方面若“是有理数”，则必定有“是实数”； 另一方面若“是实数”，则不一定有“是有理数”， 因为“可能是无理数”， 所以“是有理数”是“是实数”的充分条件但不是必要条件； （2）若，则， 所以“”是“”的必要条件但不是充分条件； （3）因为当且仅当，而当且仅当， 所以“”是“”的充要条件； （4）一方面设， 则，但， 这说明了“”不是“”的充分条件， 另一方面若，则， 这说明了“”是“”的必要条件， 结合以上两方面可知“”是“”的必要条件但不是充分条件. 故答案为：充分条件但不是必要条件；必要条件但不是充分条件；充要条件；必要条件但不是充分条件. 9．已知，（a为实数）．若q的一个充分不必要条件是p，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为q的一个充分不必要条件是p， 所以是的一个真子集， 则，即实数a的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 10．判断下列命题的真假: (1)点P到圆心O的距离大于圆的半径是点P在外的充要条件; (2)两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的充分不必要条件; (3)是的必要不充分条件; (4)x或y为有理数是xy为有理数的既不充分又不必要条件. 【答案】(1)真命题;(2)假命题;(3)假命题;(4)真命题. 【解析】(1)根据点与圆的位置关系判断. (2)举例说明即可. (3)根据集合的关系直接判断 (4)举例说明即可. 【详解】(1)根据点与圆的位置关系知点P到圆心O的距离大于圆的半径是点P在外的充要条件. 故(1)为真命题. (2)两个三角形面积相等也可能同底等高,全等三角形面积一定相等.故两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的必要不充分条件. 故(2)为假命题. (3)是的充要条件. 故(3)为假命题. (4)当时,满足“x或y为有理数”但“xy为有理数”不成立. 当时满足“xy为有理数”但“x或y为有理数”不成立. 故(4)为真命题. 【点睛】本题主要考查了充分与必要条件的辨析,属于基础题型. 11．已知或，或． (1)若是的充分条件，求实数m的取值范围； (2)若是的必要条件，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设或，或， 因为是的充分条件，所以， 当时，即，此时，不满足题意； 当时，即，有，解得； 综上：m的取值范围为. （2）因为是的必要条件，所以， 当时，即，此时，成立； 当时，即，有，无解. 综上：m的取值范围为. 12．已知的三边长为，其中.求证：为等边三角形的充要条件是． 【答案】证明见解析 【详解】证明：充分性： 当时，多项式可化为， 即，所以， 则，所以， 即，为等边三角形，即充分性成立； 必要性：由为等边三角形，且，所以， 则，，所以，即必要性成立． 故为等边三角形的充要条件是． 13．已知集合，，. (1)求，； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）因为集合，，所以； 又或，则. （2）因为是的必要不充分条件，所以集合是集合的真子集， 当时，，解得，满足题意； 当时，由题意或，所以； 综上所述：的取值范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$