专题04 函数的值域（六大题型）高频考点题型归纳-2024-2025学年高一数学上学期高频考点题型归纳与满分必练（人教A版2019必修第一册）

专题04 函数的值域（六大题型） 高频考点题型归纳 【题型1 常见(一次函数、二次函数、反比例函数等)的函数值域】 【题型2 复杂(根式型、分式型等)函数的值域】 【题型3 根据值域求参数的值或者范围】 【题型4 抽象函数的值域】 【题型5 复合函数的值域】 【题型6 根据函数的值域求定义域】 【题型1 常见(一次函数、二次函数、反比例函数等)的函数值域】 1．函数，的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由反比例函数的单调性求值域即可. 【详解】因为函数是反比例函数，在上单调递减，所以， 所以值域为． 故选：D 2．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出二次函数的对称轴，判断出的单调性，即可求得答案. 【详解】对称轴为, 所以在严格增，所以， 故选：C. 3．函数，则函数的值域是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数单调性即可求解函数值域. 【详解】当时，函数在上单调递增，单调递减，所以, 当时，函数单调递减，所以. 所以函数的值域为. 故选：. 4．多选题定义在内的函数满足，且当时，，，对，，使得，则实数的取值可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由题意整理函数解析式，根据其单调性求得值域，利用分情况讨论的思想，结合两个函数的值域之间的包含关系，建立不等式以及研究端点值，可得答案. 【详解】由，即，则， 由，则， 当时，，易知在上单调递减， 当时，， 当且仅当，即时，等号成立， 由，则在上单调递增， 由，， 当时，，当时，， 则当时，， 当时，在上单调递增， 则，，即， 由题意可得，则，解得； 当时，在上单调递减， 则，，即， 由题意可得，则，解得； 综上所述，，显然. 故选：ABD. 5．求值域： (1)， (2)， 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过配方，由二次函数的值域即可求解； （2）根据题意，由二次函数的性质，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）因为， 所以函数的值域为. （2）因为，其中对称轴为，且， 则时，函数有最小值为， 当时，函数有最大值为， 所以函数值域为. 【题型2 复杂(根式型、分式型等)函数的值域】 6．函数的值域为（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分离系数，得到，结合二次函数，求出值域即可. 【详解】， 当时，. 则. 故选：B. 7．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，，可得，利用函数单调性求值域. 【详解】令，，则， 所以函数，函数在上单调递增， 时，有最小值， 所以函数的值域为. 故选：C 8．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用换元法转化为二次函数求解值域即可． 【详解】根据题意知函数定义域为，令， 所以， 当时，，所以函数的值域为. 故选：C. 9．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】复合函数求值域，先令根号内的函数为新函数，利用配方法得到函数值域，再由外函数的单调性得到最值，从而求出值域. 【详解】令， ∵在上单调递减， 且当时，， ∴. 故选：A. 10．已知函数，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法及二次函数的性质计算可得. 【详解】令，则，， 则， 令，， 则，所以函数的值域为. 故选：B 11．函数的定义域为 ，其最大值是 ． 【答案】 ； /. 【分析】根据根式的意义求定义域即可；利用二次函数的性质可求最大值. 【详解】易知，解之得，所以函数的定义域为； 而， 当时取得最大值. 故答案为：；. 12．函数，的值域为 ． 【答案】 【分析】化简函数为，根据其单调性求解即可. 【详解】由， 函数在上单调递减， 所以当时，， 当时，， 所以函数，的值域为. 故答案为：. 13．函数的最大值是 ；最小值是 . 【答案】 2 【分析】确定函数定义域，然后将两边平方，求得其最大值和最小值，即可求得答案. 【详解】由可得，即函数定义域为， 则， 当时，取最小值0，故取到最大值4， 则函数的最大值为2； 当时，取最大值1，故取到最小值2， 则函数的最小值为； 故答案为：；. 14．函数的值域为 ． 【答案】 【分析】将函数式转化为方程，即该方程在上有解，讨论和，结合判别式法即可求值域. 【详解】由解析式知：函数的定义域为R，且， 整理可得，即该方程在上有解， 当时，，显然成立； 当时，有，整理得，即， 综上，有函数值域为. 故答案为：. 15．求下列函数的值域： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分离常数法即可求解； （2）由复合函数值域、二次函数值域求法即可求解； （3）由复合函数值域、二次函数值域求法即可求解. 【详解】（1），因为， 所以的值域为； （2），因为， 所以的值域为； （3），因为， 所以的值域为. 【题型3 根据值域求参数的值或者范围】 16．已知函数的值域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分、及，结合函数值域定义与二次函数性质计算即可得解. 【详解】若函数的值域为， 则内函数有定义，故内函数大于或等于0， 当时，函数其定义域为，值域为符合题意； 当时，函数开口向上，若要满足题意则需，解得； 当时，函数开口向下，不可能符合题意； 综上所述：. 故选：A. 17．已知函数的定义域是，值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合二次函数知识及题意画出图形，数形结合可得答案． 【详解】结合题意：函数 所以图象是开口向上的抛物线,其对称轴方程为， 所以，易知：， 由图可知,要使函数的定义域是，值域为， 则的取值范围是， 故选：B. 18．若函数的值域为，则实数m的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意由二次函数值域利用判别式即可求得实数m的取值范围. 【详解】因为函数的值域为， 所以能取遍所有大于或等于零的实数， 即方程在实数范围内有解． 所以，解得． 故选：B． 19．已知函数，若的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助的值域为可得要取遍所有的正数，对进行分类讨论即可得. 【详解】若函数的值域为，则要取遍所有的正数． 所以或，解得， 即实数的取值范围是. 故选：A． 20．已知函数， ，若函数的值域为，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先化简函数，根据，，列不等式求实数的取值范围. 【详解】，则有，， 由 ，， 所以 ，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛： 本题关键点是化简函数解析式后，得到，，由函数定义域和值域，结合二次函数的性质，列不等式即可求解. 21．函数的值域为R，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分 两种情况结合对数函数值域讨论函数值域为求参数. 【详解】当时，符合题意； 当时，需，解得． 综上可得． 故答案为：. 【题型4 抽象函数的值域】 22．已知函数的定义域为R，且，则函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，构造方程组消元求解出函数解析式，然后根据函数的性质求解的最大值. 【详解】因为，将置换解得：， ， 设当时， 当时，， 又因为， 当时，取得最大值，，即函数最大值为， 故选：B. 23．已知函数的定义域和值域都是，则函数的定义域和值域分别为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】根据抽象函数的定义域的求法及函数值域的概念求解即可. 【详解】因为函数的定义域为， 则，即， 所以函数的定义域为. 又函数的值域为， 所以的值域为. 故选：D. 24．若函数的值域是，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件，结合不等式性质求的范围即可. 【详解】因为函数的值域是， 所以， 所以， 所以， 所以， 故函数的值域是. 故选：C. 25．已知函数的值域为，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知求得的范围，即可得到的范围. 【详解】因为函数的值域为，即， 所以， 所以，即函数的值域为. 故选：A 26．多选题已知定义在上不为常数的函数满足，则（    ） A．B．C．D． 【答案】ABD 【分析】根据已知条件，利用赋值法依次验证各个选项. 【详解】对于A，令，则，即， 又函数不为常数，，即，故A正确； 对于B，令，则， 令，则，得， 令，则，得，故B正确； 对于C，令，则，所以，即，故C错误； 对于D，令，则，所以， 则，又， ， 当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题D选项，解题关键是先证明，结合，利用基本不等式证明. 【题型5 复合函数的值域】 27．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过计算函数定义域求出集合，计算函数值域求出集合，最后通过交集运算即可求解. 【详解】由，有，即，所以； 由令，根据二次函数的性质有， 所以，又因为，所以，； 所以. 故选：D 28．函数的值域为（    ） A． B． C．D． 【答案】D 【分析】令，即有，可求得u的范围，进而求外层函数值域 【详解】 令，有，可知： ∴ 故选：D 【点睛】本题考查了求函数的值域，利用在复合函数中内层函数的值域为外层函数的定义域求外层函数的值域 29．多选题已知函数，则下列说法正确的是（    ） A． 的定义域为 B．为奇函数 C．在定义域上是增函数 D．的值域为 【答案】ABC 【分析】根据函数的相关概念进行判断即可. 【详解】解：的定义域为， 又， 所以为奇函数，故AB正确； ，因为 在为增函数， 由复合函数的单调性可知在定义域上单调递增，故C正确. 因为函数定义域为. 时， 故 的值域为，故D错误. 故选：ABC. 30．函数的单调递减区间为 ，值域为 ． 【答案】 【分析】先求复合函数的内外函数的单调性与值域，再利用同增异减求得复合函数的单调性，利用内外函数的值域求得复合函数的值域. 【详解】令，则开口向下，对称轴为， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故，即， 又因为在上单调递增，故在上单调递增， 所以由得，故， 故在上单调递增，在上单调递减，且， 所以函数的单调递减区间为，值域为． 故答案为：；. 【题型6 根据函数的值域求定义域】 31．设函数，其中实数．若的值域为，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】考虑函数的单调性，结合值域求a的取值范围. 【详解】函数，由对勾函数的性质可知， 由于在上单调递减，在上单调递增， 且注意到，，， 所以所求a的取值范围是． 故选：D 32．已知函数的值域为.若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化复合函数为，，根据已知条件，确定的取值范围，再根据的取值范围确定的取值范围即可. 【详解】因为，令，所以； 令函数的值域为，因为， 所以，所以必须能取到上的所有值， ，解得. 故选：B 33．多选题已知定义域为D的函数其值域为，则定义域D可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】先作出函数图象；再利用数形结合思想，注意区间端点，即可得出答案. 【详解】先作出函数在R上的图象，如图所示：    结合函数图象可知当函数值域为时，选项A、D正确. 故选：AD. 34．写出使得函数的值域为的一个定义域 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】求出当和2时所对应的值，再根据二次函数的性质即可得到答案. 【详解】由得， 即，得， 由得，即或， 则根据二次函数的性质可举例定义域为. 故答案为：. 35．已知函数 的值域为，则的定义域可以是 【答案】（答案不唯一） 【分析】解分式不等式得到范围，写出符合题意的定义域即可. 【详解】令，解得或， 则的定义域可以是， 故答案为：（答案不唯一）. 36．已知函数的值域是，那么函数的定义域是 . 【答案】. 【分析】由可解得结果. 【详解】，由得，即，解得，所以的定义域是. 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 函数的值域（六大题型） 高频考点题型归纳 【题型1 常见(一次函数、二次函数、反比例函数等)的函数值域】 【题型2 复杂(根式型、分式型等)函数的值域】 【题型3 根据值域求参数的值或者范围】 【题型4 抽象函数的值域】 【题型5 复合函数的值域】 【题型6 根据函数的值域求定义域】 【题型1 常见(一次函数、二次函数、反比例函数等)的函数值域】 1．函数，的值域为（   ） A． B． C． D． 2．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 3．函数，则函数的值域是（ ） A． B． C． D． 4．多选题定义在内的函数满足，且当时，，，对，，使得，则实数的取值可能为（   ） A． B． C． D． 5．求值域： (1)， (2)， 【题型2 复杂(根式型、分式型等)函数的值域】 6．函数的值域为（   ）. A． B． C． D． 7．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 8．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 9．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 10．已知函数，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 11．函数的定义域为 ，其最大值是 ． 12．函数，的值域为 ． 13．函数的最大值是 ；最小值是 . 14．函数的值域为 ． 15．求下列函数的值域： (1)； (2)； (3)． 【题型3 根据值域求参数的值或者范围】 16．已知函数的值域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 17．已知函数的定义域是，值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18．若函数的值域为，则实数m的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 19．已知函数，若的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 20．已知函数， ，若函数的值域为，则实数的取值范围是 ． 21．函数的值域为R，则实数a的取值范围是 ． 【题型4 抽象函数的值域】 22．已知函数的定义域为R，且，则函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 23．已知函数的定义域和值域都是，则函数的定义域和值域分别为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 24．若函数的值域是，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 25．已知函数的值域为，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 26．多选题已知定义在上不为常数的函数满足，则（    ） A．B．C．D． 【题型5 复合函数的值域】 27．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 28．函数的值域为（    ） A． B． C．D． 29．多选题已知函数，则下列说法正确的是（    ） A． 的定义域为 B．为奇函数 C．在定义域上是增函数 D．的值域为 30．函数的单调递减区间为 ，值域为 ． 【题型6 根据函数的值域求定义域】 31．设函数，其中实数．若的值域为，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 32．已知函数的值域为.若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 33．多选题已知定义域为D的函数其值域为，则定义域D可能是（    ） A． B． C． D． 34．写出使得函数的值域为的一个定义域 ． 35．已知函数 的值域为，则的定义域可以是 36．已知函数的值域是，那么函数的定义域是 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$