精品解析：湖北省黄冈中学2024届高三第四次模拟考试（5月）数学试卷

湖北省黄冈中学5月第四次模拟考试 数学试卷 本试卷共4页，19题.满分150分.考试用时120分钟. 考试时间：2024年5月30日下午15：00—17：00 ☆祝考试顺利☆ 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，表示z的共轭复数，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 为了解高中学生每天的体育活动时间,某市教育部门随机抽取高中学生进行调查,把每天进行体育活动的时间按照时长（单位：分钟）分成组:,,,,,.然后对统计数据整理得到如图所示的频率分布直方图,则可估计这名学生每天体育活动时间的第百分位数为（ ） A. B. C. D. 5. 椭圆的离心率记为，双曲线的离心率记为，若，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 函数的图象向左平移个单位后得到的图象，若是的一个零点，则的可能取值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列的首项，且满足，若，则满足条件的最大整数（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 8道四选一的单选题，随机猜结果，猜对答案的题目数 B. 100件产品中包含5件次品，不放回地随机抽取8件，其中的次品数 C. 设随机变量，，则 D. 设M，N为两个事件，已知，，，则 10. 已知函数，则（ ） A. 时， B. 在上单调递增 C. 的极大值为1 D. 的极大值为 11. 如图，正方体的棱长为3，点E、F，G分别在棱，，上，满足，，记平面与平面的交线为l，则（ ） A. ，平面 B. 平面截正方体所得截面图形为六边形的充分不必要条件是 C. 时，三棱锥的外接球表面积为 D. 时，直线l与平面所成角的正弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，的系数为__________． 13. 已知圆和圆，M、N分别是圆C、D上的动点，P为x轴上的动点，则的最小值是______. 14. 函数,,则的值域为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 已知函数. （1）当时，求的图象在处的切线方程； （2）若函数在上单调递增，求实数a的取值范围. 16. 如图，在四面体中，分别为的中点． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 17. 手中有把钥匙，其中有把能打开房门，每次随机选取一把试验，试验完后就分开放在一边. （1）求第二次才能打开房门的概率； （2）为了甄别出能打开房门的三把钥匙，需要试验X次，求X的分布列及数学期望. 18. 如图，A，B是抛物线上两点，满足（O是坐标原点），过点O作直线的垂线，垂足为D，记D的轨迹为M. （1）求M的方程； （2）设是M上一点，从P出发的平行于x轴的光线被抛物线C反射，证明：反射光线必过抛物线C的焦点. 19. 空间内一点P可用三个有次序的数来确定，其中r为原点O与点P间的距离；为有向线段与z轴正向的夹角；为从正z轴来看自x轴按逆时针方向转到所转过的角，这里M为点P在面上的投影，这样的三个数叫做点P的球面坐标，其中，，，如图所示. 球面距离是指球面上两点之间的最短路径长度，这条路径是通过这两点的大圆上的劣弧（大圆是过球心的平面与球面相交形成的圆）. （1）已知，，求A，B间的球面距离； （2）若，，记P，Q间的球面距离为d，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北省黄冈中学5月第四次模拟考试 数学试卷 本试卷共4页，19题.满分150分.考试用时120分钟. 考试时间：2024年5月30日下午15：00—17：00 ☆祝考试顺利☆ 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，表示z的共轭复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的除法运算求出，再利用共轭复数及复数模的意义求解即得. 【详解】，因此， 所以. 故选：C 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先分别求出，运用交集定义求出即可. 【详解】由得，解得， 当时，，当时等号成立， 所以，，则 故选:C. 3. 已知向量，，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面垂直向量的坐标表示可得，即可求解. 【详解】由题意知，， 则，又， 所以 故选：B 4. 为了解高中学生每天的体育活动时间,某市教育部门随机抽取高中学生进行调查,把每天进行体育活动的时间按照时长（单位：分钟）分成组:,,,,,.然后对统计数据整理得到如图所示的频率分布直方图,则可估计这名学生每天体育活动时间的第百分位数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据第百分位数的概念，知道它在第二组里.运用概率之和为，构造方程，解出即可. 【详解】第百分位数设为，而，则所求百分位数在第二组， 则可列方程解得. 故选:A. 5. 椭圆的离心率记为，双曲线的离心率记为，若，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设出双曲线渐近线方程据椭圆离心率的公式，双曲线离心率的公式，构造方程组，解出即可. 【详解】设双曲线的渐近线方程为 记椭圆和双曲线的半焦距分别为，因为， 则, 令，则， 解得，（舍去），故，双曲线渐近线方程为： . 故选:A. 6. 函数的图象向左平移个单位后得到的图象，若是的一个零点，则的可能取值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题利用平移变换得到方程，从中求得，将其代入另一条件，整理得即可判断结果. 【详解】依题意，，则，解得； 又即得，， 则得，即，. 故选：B. 7. 已知，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用切线放缩公式：比较，再由三角函数的单调性，比较. 【详解】由，当时等号成立，知，∵，∴，. 故选：B. 8. 已知数列的首项，且满足，若，则满足条件的最大整数（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】令，根据构造法求得，结合等比数列前n项求和公式建立不等式即可求解. 【详解】，令， 则，又， 所以是以1为首项，2为公比的等比数列， 得，所以， ∴， 由，解得. 故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 8道四选一的单选题，随机猜结果，猜对答案的题目数 B. 100件产品中包含5件次品，不放回地随机抽取8件，其中的次品数 C. 设随机变量，，则 D. 设M，N为两个事件，已知，，，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由二项分布的概念可判断；对于B，由超几何分布的概念可判断；对于C，由正太分布曲线的特点即可判断；对于D，由条件概率即可判断. 【详解】对于A，8道四选一的单选题，随机猜结果，猜对答案的题目数服从二项分布：，故A正确； 对于B，100件产品中包含5件次品，不放回地随机抽取8件，其中的次品数服从超几何分布，故B错误； 对于C，设随机变量，，而，这表明在0附近的数据集中一些，从而，故C正确； 对于D，， ∴， 则. 故选：ACD. 10. 已知函数，则（ ） A. 时， B. 在上单调递增 C. 的极大值为1 D. 的极大值为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，由函数解析式直接判断，对于BCD，对函数求导后，由导数的正负求出函数的单调区间，从而可求出函数的极值. 【详解】对于A，当时，，所以，所以A正确， 对于BCD，由，得， 由，得或，由，得或， 所以在，上单调递增，在，上单调递减， 所以的极大值为，极小值为， 所以BD错误，C正确， 故选：AC 11. 如图，正方体的棱长为3，点E、F，G分别在棱，，上，满足，，记平面与平面的交线为l，则（ ） A. ，平面 B. 平面截正方体所得截面图形为六边形的充分不必要条件是 C. 时，三棱锥的外接球表面积为 D. 时，直线l与平面所成角的正弦值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据线面平行的判定定理判断A；画出截面即可判断B；建立如图空间直角坐标系，确定球心和半径即可判断C；作出截面，如图，确定交线，利用空间向量法求解线面角即可判断D. 【详解】A：由题设及正方体结构特征，有且平面，平面，故平面，故A正确； B：当时，平面截正方体所得截面图形为五边形或六边形， 如图，所以充分性不成立，故B错误： C：以D为原点，以，，所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 当时，，，，，， 外接球的球心在过线段的中点，且垂直于平面的直线上， 的中点，可记球心，外接球的半径， 所以，解得，， 所以三棱锥的外接球表面积为，故C正确； D：作出截面图形，交于，交于， 直线即为直线，，又平面的法向量为， 则与平面所成的角满足，故D正确. 故选：ACD 【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下： （1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径； （2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的； （3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，的系数为__________． 【答案】10 【解析】 【分析】根据二项式定理写出通项公式，令即可求的系数. 【详解】展开式的第项为， 令，则. 故答案为：10 13. 已知圆和圆，M、N分别是圆C、D上的动点，P为x轴上的动点，则的最小值是______. 【答案】 【解析】 【分析】先得到，当且仅当三点共线，且三点共线时，等号成立，设C关于x轴的对称点，求出的最小值，进而得到的最小值. 【详解】的圆心为，半径为1， ，圆心为，半径为2， 结合两圆位置可得，， 当且仅当三点共线，且三点共线时，等号成立， 设C关于x轴的对称点，连接，与轴交于点，此点即为所求， 此时， 故即为的最小值， 故的最小值为 故答案为： 14. 函数,,则的值域为______. 【答案】. 【解析】 【分析】由题得出函数周期为,借助导数得出单调性,进而求出值域. 【详解】由解析式，易知，则是的周期,考虑, 求导, 在上，递减,在上，递增, 则值域为. 故答案为: . 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 已知函数. （1）当时，求的图象在处的切线方程； （2）若函数在上单调递增，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）求出，切点为，直接写出切线方程； （2）转化为对于恒成立，求实数a的取值范围. 【小问1详解】 当时，，， ，，， 所以的图象在处的切线方程为：. 【小问2详解】 ， 若函数在上单调递增，则对于恒成立， 即对于恒成立， 令， 当时，， 则函数在上单调递增，所以， 故. 16. 如图，在四面体中，分别为的中点． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 取的中点，连接，， 因为，所以，且， 又，所以，≌， 则，有， 因为，所以，则， 又，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）取的中点，借助勾股定理逆定理证得，再利用线面垂直、面面垂直的判断推理即得. （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量求法求解即得. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由（1）知，两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图， 设，则， 因为，分别为，的中点，所以， 则， 设平面的法向量为，则， 令，得， 设平面的法向量为， 则，令，得， ， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 17. 手中有把钥匙，其中有把能打开房门，每次随机选取一把试验，试验完后就分开放在一边. （1）求第二次才能打开房门的概率； （2）为了甄别出能打开房门的三把钥匙，需要试验X次，求X的分布列及数学期望. 【答案】（1） （2）分布列： X 数学期望为 【解析】 【分析】（1）先将所有情况算出来是种，再将第二次能打开的情况算出来:种，根据古典概型公式求出概率即可. （2）先确定X可取三种，后按照（1）的方法求出对应概率，列出分布列，利用期望公式求出数学期望即可. 【小问1详解】 总的基本事件数为，第二次才能打开包含的基本事件数为， 由古典概型公式得所求事件的概率. 【小问2详解】 依题意X可取2，3，4， ,,, X的分布列为： X ∴. 18. 如图，A，B是抛物线上两点，满足（O是坐标原点），过点O作直线的垂线，垂足为D，记D的轨迹为M. （1）求M的方程； （2）设是M上一点，从P出发的平行于x轴的光线被抛物线C反射，证明：反射光线必过抛物线C的焦点. 【答案】（1） （2）证明：设从P出发的平行于x轴的光线与抛物线C的交点为， 过Q的切线设为，联立抛物线C， 得，由，解得. 设切线的倾斜角为，则反射光线的倾斜角是或， 得反射光线的斜率为，所以反射光线的方程为， 整理得，恒过点. 若或，则反射光线的方程为. 从而反射光线必过抛物线C的焦点. 【解析】 【分析】（1）设，联立抛物线方程，利用韦达定理和平面向量数量积的坐标表示解出b，则过定点，进而确定点M的轨迹，即可求解； （2）易知若切线的倾斜角或，反射光线的方程为；若，设从P出发的平行于x轴的光线与抛物线C的交点为，过Q的切线设为，联立抛物线方程，由得.利用点斜式方程表示反射光线方程，即可证明. 【小问1详解】 易知，设，联立抛物线C得， ∴，，由得 ， ∴，故过定点.∵， ∴D的轨迹是以为直径的圆（除去原点）， 即M的方程为； 【小问2详解】 略 19. 空间内一点P可用三个有次序的数来确定，其中r为原点O与点P间的距离；为有向线段与z轴正向的夹角；为从正z轴来看自x轴按逆时针方向转到所转过的角，这里M为点P在面上的投影，这样的三个数叫做点P的球面坐标，其中，，，如图所示. 球面距离是指球面上两点之间的最短路径长度，这条路径是通过这两点的大圆上的劣弧（大圆是过球心的平面与球面相交形成的圆）. （1）已知，，求A，B间的球面距离； （2）若，，记P，Q间的球面距离为d，证明：. 【答案】（1） （2） ，， 由空间两点间距离公式得 ∵，由余弦定理得 ，得证. 【解析】 【分析】（1）考虑球坐标和直角坐标之间的关系，再用距离公式和弧度的定义求解； （2）求出的长度，然后用弧度的定义及余弦定理即得结论. 【小问1详解】 球坐标系与直角坐标系的转换关系为 ，， 则，，故. 这表明是边长为的等边三角形，所以，故A，B间的球面距离为. 【小问2详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于直角坐标系和球坐标系之间的转换. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $