3.2导数与函数的单调性讲义-2025届高三数学一轮复习

第二节　导数与函数的单调性 课程目标 1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系. 2.能利用导数研究函数的单调性，对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间. 基础知识 函数的单调性与导数的关系 条件 恒有 结论 函数y＝f（x）在区间（a，b）上可导 f'（x）＞0 f（x）在区间（a，b）上　　　　 f'（x）＜0 f（x）在区间（a，b）上　　　　 f'（x）＝0 f（x）在区间（a，b）上是　　　　 提醒　讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则. 基础自测 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）函数f（x）在（a，b）内单调递增，那么一定有f'（x）＞0.（　　） （2）如果f（x）在某个区间内恒有f'（x）＝0，则f（x）在此区间内没有单调性.（　　） （3）若函数f（x）在定义域上都有f'（x）＞0，则f（x）在定义域上一定是增函数.（　　） 2.如图是函数y＝f（x）的导函数y＝f'（x）的图象，则下列判断正确的是（　　） A.在区间（－2，1）上f（x）单调递增 B.在区间（1，3）上f（x）单调递减 C.在区间（4，5）上f（x）单调递增 D.在区间（3，5）上f（x）单调递增 3.函数f（x）＝cos x－x在（0，π）上的单调性为（　　） A.先增后减　 B.先减后增 C.单调递增　 D.单调递减 4.若函数f（x）＝kx－ln x在区间（1，＋∞）上单调递增，则k的取值范围是（　　） A.（－∞，－2]　 B.（－∞，－1] C.[2，＋∞）　 D.[1，＋∞） 5.函数y＝4x2＋的单调递增区间为　　　　. 常用结论 1.若可导函数f（x）在（a，b）上单调递增，则当x∈（a，b）时，f'（x）≥0恒成立；若可导函数f（x）在（a，b）上单调递减，则当x∈（a，b）时，f'（x）≤0恒成立. 2.若可导函数f（x）在（a，b）上存在单调递增区间，则当x∈（a，b）时，f'（x）＞0有解；若可导函数 f（x）在（a，b）上存在单调递减区间，则当x∈（a，b）时，f'（x）＜0有解. 结论运用 1.已知f（x）是定义在（a，b）内的可导函数，则“f'（x）＞0”是“f（x）在（a，b）内为增函数”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.若函数f（x）＝ex＋ax－x2存在单调递减区间，则实数a的取值范围是　　　　. 　　聚焦考点 课堂演练 考点1 证明（判断）函数的单调性 【例1】　（2023·新高考Ⅰ卷19题节选）已知函数f（x）＝a（ex＋a）－x，讨论f（x）的单调性. 方法技巧 讨论函数f（x）单调性的步骤 （1）确定函数f（x）的定义域； （2）求导数f'（x），并求方程f'（x）＝0的根； （3）利用f'（x）＝0的根将函数的定义域分成若干个子区间，在这些子区间上讨论f'（x）的正负，由符号确定f（x）在该区间上的单调性. 提醒　研究含参函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论. 跟踪训练 （2024·惠州模拟）已知函数f（x）＝aln x＋2x2－2（a∈R），讨论函数f（x）的单调性. 考点2 求函数的单调区间 【例2】　（1）函数f（x）＝＋＋x的单调递减区间为　　　　； （2）已知定义在区间（0，π）上的函数f（x）＝x＋2cos x，则f（x）的单调递增区间为　　　　. 方法技巧 利用导数求函数单调区间的方法 （1）当导函数不等式可解时，解不等式f'（x）＞0或f'（x）＜0求出单调区间； （2）当方程f'（x）＝0可解时，解出方程的实根，依照实根把函数的定义域划分为几个区间，确定各区间f'（x）的符号，从而确定单调区间； （3）若导函数对应的方程、不等式都不可解，根据f'（x）的结构特征，利用图象与性质确定f'（x）的符号，从而确定单调区间. 提醒　若所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用“∪”及“或”连接，只能用“，”“和”隔开. 跟踪训练 　已知函数f（x）＝ex－ax－a，a∈R，求f（x）的单调区间. 考点3 函数单调性的简单应用 考向1　比较大小 【例3】　已知a＝，b＝，c＝e，则下列大小关系正确的是（　　） A.a＜b＜c　 B.a＜c＜b C.c＜b＜a　 D.c＜a＜b 方法技巧 利用导数比较大小的策略 利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小. 考向2　解不等式 【例4】　函数f（x）＝ex－e－x＋sin x，则不等式f（x）＞0的解集是（　　） A.（0，＋∞）　 B.（－∞，0） C.（0，π）　 D.（－π，0） 方法技巧 　　解函数不等式，如果直接求解比较烦琐时，可以通过导数研究函数的单调性，得出函数的极值、最值等性质，利用数形结合的方法确定不等式的解集. 考向3　已知函数单调性求参数 【例5】　（2023·新高考Ⅱ卷6题）已知函数f（x）＝aex－ln x在区间（1，2）上单调递增，则实数a的最小值为（　　） A.e2　 B.e C.e－1　 D.e－2 变式 若本例条件变为：函数g（x）＝2x＋ln x－在区间[1，2]上不单调，则实数a的取值范围为　　　　. 方法技巧 根据函数单调性求参数的一般思路 （1）由函数f（x）在区间[a，b]上单调递增（减）可知f'（x）≥0（f'（x）≤0）在区间[a，b]上恒成立，列出不等式； （2）利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题； （3）对等号单独检验，检验参数的取值能否使f'（x）在整个区间恒等于0.若f'（x）恒等于0，则参数的这个值应舍去；若只有在个别点处有f'（x）＝0，则参数可取这个值. 提醒　当已知函数在某区间上不单调时，则转化为关于导函数的方程在该区间上有解问题. 跟踪训练 1.已知定义在R上的函数f（x），其导函数f'（x）的大致图象如图所示，则下列结论正确的是（　　） A.f（b）＞f（c）＞f（a） B.f（b）＞f（c）＝f（e） C.f（c）＞f（b）＞f（a） D.f（e）＞f（d）＞f（c） 2.设函数f（x）为奇函数，且当x≥0时，f（x）＝ex－cos x，则不等式f（2x－1）＋f（x－2）＞0的解集为（　　） A.（－∞，1）　 B.（－∞，） C.（，＋∞）　 D.（1，＋∞） 第二节　导数与函数的单调性 课后分层跟踪巩固 基础达标 A 1.函数y＝f（x）的导函数y＝f'（x）的图象如图所示，则函数y＝f（x）的图象可能是（　　） 2.下列函数中，在（0，＋∞）内单调递增的是（　　） A.f（x）＝sin 2x　 B.f（x）＝xex C.f（x）＝x3－x　 D.f（x）＝－x＋ln x 3.函数f（x）＝ln x－ax（a＞0）的单调递增区间为（　　） A.（0，）　 B.（，＋∞） C.（－∞，）　 D.（－∞，a） 4.（2024·邯郸一模）已知函数f（x）＝3x＋2cos x.若a＝f（3），b＝f（2），c＝f（log27），则a，b，c的大小关系是（　　） A.a＜b＜c　 B.c＜b＜a C.b＜a＜c　 D.b＜c＜a 5.若函数f（x）＝－x2＋4x＋bln x在区间（0，＋∞）上是减函数，则实数b的取值范围是（　　） A.[－1，＋∞）　 B.（－∞，－1] C.（－∞，－2]　 D.[－2，＋∞） 6.（多选）如果函数f（x）对定义域内的任意两实数x1，x2（x1≠x2）都有＞0，则称函数y＝f（x）为“F函数”.下列函数不是“F函数”的是（　　） A.f（x）＝ex　 B.f（x）＝x2 C.f（x）＝ln x　 D.f（x）＝sin x 7.请写出一个同时满足下列三个条件的函数f（x）： （1）f（x）是偶函数；（2）f（x）在（0，＋∞）上单调递减； （3）f（x）的值域是（0，＋∞）.则f（x）＝　 　. 8.已知函数f（x）＝＋＋ax＋1存在三个单调区间，则实数a的取值范围是　 　. 9.已知函数f（x）＝－x2－3x＋4ln x在（t，t＋2）上不单调，则实数t的取值范围是　 　. 10.（2023·全国甲卷21题改编）已知函数f（x）＝8x－，x∈（0，），讨论f（x）的单调性. 综合应用 B 巩固 11.（2024·重庆模拟）已知函数f（x）＝ax3＋x2＋x＋4，则“a≥0”是“∀x∈R，f（x）是增函数”的（　　） A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 12.已知函数y＝f（x）（x∈R）的图象如图所示，则不等式xf'（x）≥0的解集为　 　. 13.已知函数f（x）＝ln x－ax2－2x（a≠0）. （1）若函数f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围； （2）若函数f（x）在[1，4]上单调递减，求a的取值范围. 14.如果函数y＝f（x）在区间I上单调递增，且函数y＝在区间I上单调递减，那么称函数y＝f（x）是区间I上的“缓增函数”，区间I叫做“缓增区间”.若函数f（x）＝x2－x＋是区间I上的“缓增函数”，则“缓增区间”I为　 　. 15.已知函数f（x）＝exln（1＋x）. （1）设g（x）＝f'（x），讨论函数g（x）在[0，＋∞）上的单调性； （2）证明：对任意的s，t∈（0，＋∞），有f（s＋t）＞f（s）＋f（t）. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二节　导数与函数的单调性 课程目标 1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系. 2.能利用导数研究函数的单调性，对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间. 基础知识 函数的单调性与导数的关系 条件 恒有 结论 函数y＝f（x）在区间（a，b）上可导 f'（x）＞0 f（x）在区间（a，b）上　单调递增　 f'（x）＜0 f（x）在区间（a，b）上　单调递减　 f'（x）＝0 f（x）在区间（a，b）上是　常数函数　 提醒　讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则. 基础自测 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）函数f（x）在（a，b）内单调递增，那么一定有f'（x）＞0.（　×　） （2）如果f（x）在某个区间内恒有f'（x）＝0，则f（x）在此区间内没有单调性.（　√　） （3）若函数f（x）在定义域上都有f'（x）＞0，则f（x）在定义域上一定是增函数.（　×　） 2.如图是函数y＝f（x）的导函数y＝f'（x）的图象，则下列判断正确的是（　　） A.在区间（－2，1）上f（x）单调递增 B.在区间（1，3）上f（x）单调递减 C.在区间（4，5）上f（x）单调递增 D.在区间（3，5）上f（x）单调递增 解析：C　在（4，5）上f'（x）＞0恒成立，∴f（x）在区间（4，5）上单调递增. 3.函数f（x）＝cos x－x在（0，π）上的单调性为（　　） A.先增后减　 B.先减后增 C.单调递增　 D.单调递减 解析：D　因为在区间（0，π）内，f'（x）＝－sin x－1＜0恒成立，所以f（x）在（0，π）上单调递减，故选D. 4.若函数f（x）＝kx－ln x在区间（1，＋∞）上单调递增，则k的取值范围是（　　） A.（－∞，－2]　 B.（－∞，－1] C.[2，＋∞）　 D.[1，＋∞） 解析：D　因为f（x）＝kx－ln x，所以f'（x）＝k－.因为f（x）在区间（1，＋∞）上单调递增，所以当x＞1时，f'（x）＝k－≥0恒成立，即k≥在区间（1，＋∞）上恒成立.因为x＞1，所以0＜＜1，所以k≥1. 5.函数y＝4x2＋的单调递增区间为　（，＋∞）　. 解析：由y＝4x2＋（x≠0），得y'＝8x－，令y'＞0，即8x－＞0，解得x＞，∴函数y＝4x2＋的单调递增区间为（，＋∞）. 常用结论 1.若可导函数f（x）在（a，b）上单调递增，则当x∈（a，b）时，f'（x）≥0恒成立；若可导函数f（x）在（a，b）上单调递减，则当x∈（a，b）时，f'（x）≤0恒成立. 2.若可导函数f（x）在（a，b）上存在单调递增区间，则当x∈（a，b）时，f'（x）＞0有解；若可导函数f（x）在（a，b）上存在单调递减区间，则当x∈（a，b）时，f'（x）＜0有解. 结论运用 1.已知f（x）是定义在（a，b）内的可导函数，则“f'（x）＞0”是“f（x）在（a，b）内为增函数”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：A　由结论1知选A. 2.若函数f（x）＝ex＋ax－x2存在单调递减区间，则实数a的取值范围是　（－∞，－1）　. 解析：函数f（x）的定义域是R，则f'（x）＝ex＋a－x.由结论2，若f（x）存在单调递减区间，则a＜（x－ex）max.令g（x）＝x－ex，则g'（x）＝1－ex，令g'（x）＞0，解得x＜0，令g'（x）＜0，解得x＞0，故g（x）在（－∞，0）上单调递增，在（0，＋∞）上单调递减，故g（x）max＝g（0）＝－1，故a＜－1. 　　聚焦考点 课堂演练 考点1 证明（判断）函数的单调性 【例1】已知函数f（x）＝a（ex＋a）－x，讨论f（x）的单调性. 解：由题意知，f（x）的定义域为（－∞，＋∞），f'（x）＝aex－1. 当a≤0时，易知f'（x）＜0，则f（x）在（－∞，＋∞）上是减函数. 当a＞0时，令f'（x）＝0，得x＝ln. 当x∈（－∞，ln）时，f'（x）＜0；当x∈（ln，＋∞）时，f'（x）＞0. 所以f（x）在（－∞，ln）上单调递减，在（ln，＋∞）上单调递增. 综上可知，当a≤0时，f（x）在（－∞，＋∞）上是减函数；当a＞0时，f（x）在（－∞，ln）上单调递减，在（ln，＋∞）上单调递增. 方法技巧 讨论函数f（x）单调性的步骤 （1）确定函数f（x）的定义域； （2）求导数f'（x），并求方程f'（x）＝0的根； （3）利用f'（x）＝0的根将函数的定义域分成若干个子区间，在这些子区间上讨论f'（x）的正负，由符号确定f（x）在该区间上的单调性. 提醒　研究含参函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论. 跟踪训练 已知函数f（x）＝aln x＋2x2－2（a∈R），讨论函数f（x）的单调性. 解：函数f（x）的定义域为（0，＋∞），且f'（x）＝＋4x＝. 当a≥0时，f'（x）＞0恒成立，则函数f（x）在（0，＋∞）上是增函数； 当a＜0时，令f'（x）＝0，解得x＝， 由f'（x）≤0，得0＜x≤；由f'（x）≥0，得x≥. 则函数f（x）在（0，］上单调递减，在［，＋∞）上单调递增. 综上，当a≥0时，函数f（x）在（0，＋∞）上是增函数；当a＜0时，函数f（x）在（0，］上单调递减，在［，＋∞）上单调递增. 考点2 求函数的单调区间 【例2】（1）函数f（x）＝＋＋x的单调递减区间为　（0，）　； （2）已知定义在区间（0，π）上的函数f（x）＝x＋2cos x，则f（x）的单调递增区间为　（0，），（，π）　. 解析：（1）f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝－＋1＝，当x∈（0，）时，f'（x）＜0，当x∈（，＋∞）时，f'（x）＞0，∴f（x）的单调递减区间为（0，）. （2）f'（x）＝1－2sin x，x∈（0，π）.令f'（x）＝0，得x＝或x＝，当0＜x＜或＜x＜π时，f'（x）＞0，当＜x＜时，f'（x）＜0，∴f（x）在（0，）和（，π）上单调递增，在（，）上单调递减. 方法技巧 利用导数求函数单调区间的方法 （1）当导函数不等式可解时，解不等式f'（x）＞0或f'（x）＜0求出单调区间； （2）当方程f'（x）＝0可解时，解出方程的实根，依照实根把函数的定义域划分为几个区间，确定各区间f'（x）的符号，从而确定单调区间； （3）若导函数对应的方程、不等式都不可解，根据f'（x）的结构特征，利用图象与性质确定f'（x）的符号，从而确定单调区间. 提醒　若所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用“∪”及“或”连接，只能用“，”“和”隔开. 跟踪训练 　已知函数f（x）＝ex－ax－a，a∈R，求f（x）的单调区间. 解：函数f（x）＝ex－ax－a的定义域为R， 求导得f'（x）＝ex－a， 当a≤0时，f'（x）＞0恒成立，即f（x）在R上是增函数； 当a＞0时，令f'（x）＝ex－a＞0，解得x＞ln a，令f'（x）＝ex－a＜0，解得x＜ln a， 即f（x）在（－∞，ln a）上单调递减，在（ln a，＋∞）上单调递增， 所以当a≤0时，f（x）在R上是增函数； 当a＞0时，f（x）的单调递减区间为（－∞，ln a），单调递增区间为（ln a，＋∞）. 考点3 函数单调性的简单应用 考向1　比较大小 【例3】已知a＝，b＝，c＝e，则下列大小关系正确的是（　　） A.a＜b＜c　 B.a＜c＜b C.c＜b＜a　 D.c＜a＜b 解析：C　由题，c＝.令f（x）＝（x≥e），则f'（x）＝，因为x≥e，所以f'（x）≥0，所以f（x）＝在[e，＋∞）上单调递增，又a＝f（4），b＝f（3），c＝f（e），e＜3＜4，故c＜b＜a.故选C. 方法技巧 利用导数比较大小的策略 利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小. 考向2　解不等式 【例4】函数f（x）＝ex－e－x＋sin x，则不等式f（x）＞0的解集是（　　） A.（0，＋∞）　 B.（－∞，0） C.（0，π）　 D.（－π，0） 解析：A　对函数f（x）求导得f'（x）＝ex＋e－x＋cos x，因为ex＋≥2，当且仅当x＝0时等号成立，－1≤cos x≤1，所以f'（x）＞0，所以f（x）在R上是增函数，又因为f（0）＝e0－e－0＋sin 0＝0，所以f（x）＞0的解集为（0，＋∞）. 方法技巧 　　解函数不等式，如果直接求解比较烦琐时，可以通过导数研究函数的单调性，得出函数的极值、最值等性质，利用数形结合的方法确定不等式的解集. 考向3　已知函数单调性求参数 【例5】（2023·新高考Ⅱ卷6题）已知函数f（x）＝aex－ln x在区间（1，2）上单调递增，则实数a的最小值为（　　） A.e2　 B.e　　C.e－1　　 D.e－2 解析：C　法一　由题意，得f'（x）＝aex－，∴f'（x）＝aex－≥0在区间（1，2）上恒成立，即a≥在区间（1，2）上恒成立.设函数g（x）＝，x∈（1，2），则g'（x）＝－＜0，∴函数g（x）在区间（1，2）单调递减.∴∀x∈（1，2），g（x）＜g（1）＝＝e－1.∴a≥e－1，∴a的最小值为e－1.故选C. 法二　∵函数f（x）＝aex－ln x，∴f'（x）＝aex－.∵函数f（x）＝aex－ln x在区间（1，2）单调递增，∴f'（x）≥0在（1，2）恒成立，即aex－≥0在（1，2）恒成立，易知a＞0，则0＜≤xex在（1，2）恒成立.设g（x）＝xex，则g'（x）＝（x＋1）ex.当x∈（1，2）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，∴在（1，2）上，g（x）＞g（1）＝e，∴≤e，即a≥＝e－1，故选C. 变式 若本例条件变为：函数g（x）＝2x＋ln x－在区间[1，2]上不单调，则实数a的取值范围为　（－10，－3）　. 解析：g'（x）＝，∵函数g（x）在区间[1，2]上不单调，∴g'（x）＝0在区间（1，2）内有解，则a＝－2x2－x＝－2（x＋）2＋在（1，2）内有解，易知函数y＝－2x2－x在（1，2）上单调递减，∴y＝－2x2－x在（1，2）上的值域为（－10，－3），因此实数a的取值范围为（－10，－3）. 方法技巧 根据函数单调性求参数的一般思路 （1）由函数f（x）在区间[a，b]上单调递增（减）可知f'（x）≥0（f'（x）≤0）在区间[a，b]上恒成立，列出不等式； （2）利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题； （3）对等号单独检验，检验参数的取值能否使f'（x）在整个区间恒等于0.若f'（x）恒等于0，则参数的这个值应舍去；若只有在个别点处有f'（x）＝0，则参数可取这个值. 提醒　当已知函数在某区间上不单调时，则转化为关于导函数的方程在该区间上有解问题. 跟踪训练 1.已知定义在R上的函数f（x），其导函数f'（x）的大致图象如图所示，则下列结论正确的是（　　） A.f（b）＞f（c）＞f（a） B.f（b）＞f（c）＝f（e） C.f（c）＞f（b）＞f（a） D.f（e）＞f（d）＞f（c） 解析：D　由f'（x）图象可知f（x）图象大致如图，由图可知f（a）＞f（b），f（b）＜f（c）＜f（d）＜f（e），故仅有D选项是正确的.故选D. 2.设函数f（x）为奇函数，且当x≥0时，f（x）＝ex－cos x，则不等式f（2x－1）＋f（x－2）＞0的解集为（　　） A.（－∞，1）　 B.（－∞，） C.（，＋∞）　 D.（1，＋∞） 解析：D　根据题意，当x≥0时，f（x）＝ex－cos x，此时有f'（x）＝ex＋sin x＞0，则f（x）在[0，＋∞）上单调递增，又f（x）为R上的奇函数，故f（x）在R上为增函数.f（2x－1）＋f（x－2）＞0⇒f（2x－1）＞－f（x－2）⇒f（2x－1）＞f（2－x）⇒2x－1＞2－x，解得x＞1，即不等式的解集为（1，＋∞）. 第二节　导数与函数的单调性 课后分层跟踪巩固 基础达标 A 1.函数y＝f（x）的导函数y＝f'（x）的图象如图所示，则函数y＝f（x）的图象可能是（　　） 解析：D　利用导数与函数的单调性进行验证.f'（x）＞0的解集对应y＝f（x）的单调递增区间，f'（x）＜0的解集对应y＝f（x）的单调递减区间，验证只有D符合. 2.下列函数中，在（0，＋∞）内单调递增的是（　　） A.f（x）＝sin 2x　 B.f（x）＝xex C.f（x）＝x3－x　 D.f（x）＝－x＋ln x 解析：B　由于x＞0，对于A选项，f'（x）＝2cos 2x，f'（）＝－1＜0，不符合题意；对于B选项，f'（x）＝（x＋1）ex＞0，符合题意；对于C选项，f'（x）＝3x2－1，f'（）＝－＜0，不符合题意；对于D选项，f'（x）＝－1＋，f'（2）＝－＜0，不符合题意.故选B. 3.函数f（x）＝ln x－ax（a＞0）的单调递增区间为（　　） A.（0，）　 B.（，＋∞） C.（－∞，）　 D.（－∞，a） 解析：A　函数f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝－a，令f'（x）＝－a＞0，得0＜x＜，所以f（x）的单调递增区间为（0，）. 4.已知函数f（x）＝3x＋2cos x.若a＝f（3），b＝f（2），c＝f（log27），则a，b，c的大小关系是（　　） A.a＜b＜c　 B.c＜b＜a C.b＜a＜c　 D.b＜c＜a 解析：D　由题意，得f'（x）＝3－2sin x.因为－1≤sin x≤1，所以f'（x）＞0恒成立，所以函数f（x）是增函数.因为＞1，所以3＞3.又log24＜log27＜log28，即2＜log27＜3，所以2＜log27＜3，所以f（2）＜f（log27）＜f（3），即b＜c＜a. 5.若函数f（x）＝－x2＋4x＋bln x在区间（0，＋∞）上是减函数，则实数b的取值范围是（　　） A.[－1，＋∞）　 B.（－∞，－1] C.（－∞，－2]　 D.[－2，＋∞） 解析：C　∵函数f（x）在（0，＋∞）上是减函数，∴f'（x）≤0在（0，＋∞）上恒成立，∴f'（x）＝－2x＋4＋≤0，即b≤2x2－4x在（0，＋∞）上恒成立，∵2x2－4x＝2（x－1）2－2≥－2，∴b≤－2. 6.（多选）如果函数f（x）对定义域内的任意两实数x1，x2（x1≠x2）都有＞0，则称函数y＝f（x）为“F函数”.下列函数不是“F函数”的是（　　） A.f（x）＝ex　 B.f（x）＝x2 C.f（x）＝ln x　 D.f（x）＝sin x 解析：ACD　依题意，函数g（x）＝xf（x）为定义域上的增函数.对于A，g（x）＝xex，g'（x）＝（x＋1）ex，当x∈（－∞，－1）时，g'（x）＜0，∴g（x）在（－∞，－1）上单调递减，故A中函数不是“F函数”；对于B，g（x）＝x3在R上是增函数，故B中函数为“F函数”；对于C，g（x）＝xln x，g'（x）＝1＋ln x，当x∈（0，）时，g'（x）＜0，故C中函数不是“F函数”；对于D，g（x）＝xsin x，g'（x）＝sin x＋xcos x，当x∈（－，0）时，g'（x）＜0，故D中函数不是“F函数”. 7.请写出一个同时满足下列三个条件的函数f（x）： （1）f（x）是偶函数；（2）f（x）在（0，＋∞）上单调递减； （3）f（x）的值域是（0，＋∞）.则f（x）＝　x－2（x≠0）（答案不唯一）　. 解析：设f（x）＝x－2（x≠0），因为f（－x）＝x－2＝f（x）（x≠0），所以f（x）是偶函数；x＞0时，f'（x）＝－2x－3＜0，所以f（x）在（0，＋∞）上单调递减；f（x）＝x－2＞0，f（x）的值域是（0，＋∞）. 8.已知函数f（x）＝＋＋ax＋1存在三个单调区间，则实数a的取值范围是　（－∞，0）∪（4，＋∞）　. 解析：由函数f（x）＝＋＋ax＋1，可得f'（x）＝x2＋ax＋a，由函数f（x）存在三个单调区间，可得f'（x）有两个不相等的实数根，则满足Δ＝a2－4a＞0，解得a＜0或a＞4，即实数a的取值范围是（－∞，0）∪（4，＋∞）. 9.已知函数f（x）＝－x2－3x＋4ln x在（t，t＋2）上不单调，则实数t的取值范围是　[0，1）　. 解析：由题意，f（x）＝－x2－3x＋4ln x的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝－x－3＋＝－，当f'（x）＝0时，有x2＋3x－4＝0，得x＝－4或x＝1，∵f（x）在（t，t＋2）上不单调，且（t，t＋2）⊆（0，＋∞），∴可得t∈[0，1）. 10.已知函数f（x）＝8x－，x∈（0，），讨论f（x）的单调性. 解：f（x）＝8x－（0＜x＜）， 则f'（x）＝＝＝. 令f'（x）＞0，则cos x＞或cos x＜－. 又0＜x＜，所以0＜x＜. 令f'（x）＜0，则－＜cos x＜. 又0＜x＜，所以＜x＜.所以f（x）在（0，）上单调递增，在（，）上单调递减. 综合应用 B 巩固 11.已知函数f（x）＝ax3＋x2＋x＋4，则“a≥0”是“∀x∈R，f（x）是增函数”的（　　） A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 解析：C　因为f（x）＝ax3＋x2＋x＋4，所以f'（x）＝ax2＋2x＋1.由∀x∈R，f（x）是增函数，得∀x∈R，f'（x）≥0恒成立，当a＝0时，显然不成立，当a≠0时，解得a≥1.当a≥1时，∀x∈R，f（x）是增函数，所以“∀x∈R，f（x）是增函数”的充要条件是“a≥1”.因为“a≥0”是“a≥1”的必要不充分条件，所以“a≥0”是“∀x∈R，f（x）是增函数”的必要不充分条件，故选C. 12.已知函数y＝f（x）（x∈R）的图象如图所示，则不等式xf'（x）≥0的解集为　［0，］∪[2，＋∞）　. 解析：由题中f（x）的图象特征可得，在（－∞，］和[2，＋∞）上f'（x）≥0，在（，2）上f'（x）＜0，所以xf'（x）≥0⇔或⇔0≤x≤或x≥2，所以xf'（x）≥0的解集为［0，］∪[2，＋∞）. 13.已知函数f（x）＝ln x－ax2－2x（a≠0）. （1）若函数f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围； （2）若函数f（x）在[1，4]上单调递减，求a的取值范围. 解：（1）f（x）＝ln x－ax2－2x，x∈（0，＋∞）， 所以f'（x）＝－ax－2，由于f（x）在（0，＋∞）上存在单调递减区间， 所以当x∈（0，＋∞）时，－ax－2＜0有解. 即a＞－有解， 设G（x）＝－， 所以只要a＞G（x）min即可. 而G（x）＝－1， 所以G（x）min＝－1. 所以a＞－1. 又a≠0，即a的取值范围是（－1，0）∪（0，＋∞）. （2）由f（x）在[1，4]上单调递减得，当x∈[1，4]时，f'（x）＝－ax－2≤0恒成立， 即a≥－恒成立. 所以a≥G（x）max， 而G（x）＝－1， 因为x∈[1，4]， 所以∈， 所以G（x）max＝－（此时x＝4）， 所以a≥－， 又a≠0，即a的取值范围是∪（0，＋∞）. 14.如果函数y＝f（x）在区间I上单调递增，且函数y＝在区间I上单调递减，那么称函数y＝f（x）是区间I上的“缓增函数”，区间I叫做“缓增区间”.若函数f（x）＝x2－x＋是区间I上的“缓增函数”，则“缓增区间”I为　[1， ]　. 解析：因为函数f（x）＝x2－x＋的对称轴为x＝1，所以函数y＝f（x）在区间[1，＋∞）上单调递增，又当x≥1时，＝x－1＋，令g（x）＝x－1＋（x≥1），则g'（x）＝－＝，由g'（x）≤0得1≤x≤，即函数＝x－1＋在区间[1， ]上单调递减，故“缓增区间”I为[1， ]. 15.已知函数f（x）＝exln（1＋x）. （1）设g（x）＝f'（x），讨论函数g（x）在[0，＋∞）上的单调性； （2）证明：对任意的s，t∈（0，＋∞），有f（s＋t）＞f（s）＋f（t）. 解：（1）由题得g（x）＝f'（x）＝ex·ln（1＋x）＋ex·＝ex·［ln（1＋x）＋］，x∈[0，＋∞）， 则g'（x）＝ex·［ln（1＋x）＋－］＝ex·［ln（1＋x）＋］＝ex·［ln（1＋x）＋＋］. 由于x∈[0，＋∞）， 故ln（1＋x）≥0，＞0，≥0， 所以对任意x∈[0，＋∞），g'（x）＞0恒成立， 故g（x）在[0，＋∞）上单调递增. （2）证明：设函数F（x）＝f（x＋t）－f（x）（x＞0）， F'（x）＝f'（x＋t）－f'（x）＝g（x＋t）－g（x）. 因为t＞0， 所以x＋t＞x＞0. 因为g（x）在[0，＋∞）上单调递增， 所以g（x＋t）＞g（x）， 即g（x＋t）－g（x）＞0， F'（x）＞0，所以F（x）在（0，＋∞）上单调递增. 又因为s＞0， 所以F（s）＞F（0）， 即f（s＋t）－f（s）＞f（t）－f（0）. 又f（0）＝0， 所以f（s＋t）＞f（s）＋f（t 学科网（北京）股份有限公司 $$