3.1导数的概念及运算讲义-2025届高三数学一轮复习

第三章 一元函数的导数及其应用 第一节　导数的概念及运算 课程目标 1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景；通过函数图象直观理解导数的几何意义. 2.能根据导数定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数. 3.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数；能求简单的复合函数（限于形如f（ax＋b））的导数. 基础知识 1.导数的概念 （1）平均变化率：对于函数y＝f（x），我们把比值，即＝　　　　　　　　　　　叫做函数y＝f（x）从x0到x0＋Δx的平均变化率； 提醒　Δx可以是正值，也可以是负值，但不为0. （2）函数y＝f（x）在x＝x0处的导数：函数y＝f（x）在x＝x0处的瞬时变化率＝叫做函数y＝f（x）在x＝x0处的导数，记作f'（x0）或y'｜x＝x0，即f'（x0）＝＝； （3）导函数：当x变化时，y＝f'（x）就是x的函数，我们称它为y＝f（x）的导函数（简称导数），y＝f（x）的导函数有时也记作y'，即f'（x）＝y'＝； 提醒　f'（x0）代表函数f（x）在x＝x0处的导数值；（f（x0））'是函数值f（x0）的导数，而函数值f（x0）是一个常量，其导数一定为0，即（f（x0））'＝0. （4）复合函数导数：复合函数y＝f（g（x））的导数和函数y＝f（u），u＝g（x）的导数间的关系为y'x＝　. 2.导数的几何意义 函数y＝f（x）在x＝x0处的导数就是曲线y＝f（x）在点P（x0，y0）处切线的　　　　，相应的切线方程为y－y0＝k（x－x0），其中k＝＝f'（x0）. 3.基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导数 f（x）＝c（c为常数） f'（x）＝　　　 f（x）＝xα（α∈R，且α≠0） f'（x）＝　　　 f（x）＝sin x f'（x）＝　　　 f（x）＝cos x f'（x）＝　　　 f（x）＝ex f'（x）＝　　　 f（x）＝ax（a＞0，且a≠1） f'（x）＝　　　 f（x）＝ln x f'（x）＝　　　 f（x）＝logax（a＞0，且a≠1） f'（x）＝　　　 4.导数的运算法则 （1）[f（x）±g（x）]'＝　　　　　　　　　； （2）[f（x）g（x）]'＝　　　　　　　　　　； （3）［］'＝　　　　　　　　　　　　　（g（x）≠0）. 基础知识 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）f'（x0）是函数y＝f（x）在x＝x0附近的平均变化率.（　　） （2）求f'（x0）时，可先求f（x0），再求f'（x0）.（　　） （3）函数y＝sin 的导数为y'＝cos .（　　） （4）曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.（　　） 2.下列函数的求导正确的是（　　） A.（x－2）'＝－2x B.（xcos x）'＝cos x－xsin x C.（ln 10）'＝ D.（e2x）'＝2ex 3.函数y＝f（x）的图象如图，则导函数f'（x）的大致图象为（　　） 4.已知函数f（x）＝x（19＋ln x），若f'（x0）＝20，则x0＝　　　　. 5.曲线y＝x3＋1在点（－1，a）处的切线方程为　　　　. 常用结论 1.奇函数的导函数是偶函数，偶函数的导函数是奇函数，周期函数的导函数还是周期函数. 2.熟记以下结论：（1）（）'＝－； （2）［］'＝－（f（x）≠0）； （3）[af（x）±bg（x）]'＝af'（x）±bg'（x）. 结论运用 1.一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程中，水面高度y（单位：cm）关于时间t（单位：s）的函数为y＝h（t）＝，当t＝3时，水面下降的速度为（　　） A.－ cm/s　 B. cm/s C.－ cm/s　 D. cm/s 2.观察（x2）'＝2x，（x4）'＝4x3，（cos x）'＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f（x）满足f（－x）＝f（x），记g（x）为f（x）的导函数，则g（－x）＝　　　　. 　　聚焦考点 课堂演练 考点1 导数的基本概念 【例1】设f（x）在x0处可导，下列式子与f'（x0）相等的是（　　） A. B. C. D. 方法技巧 求函数f（x）在x＝x0处的导数的步骤 （1）求平均变化率＝； （2）求瞬时变化率，即取极限，得到f'（x0）. 提醒　函数y＝f（x）的导数f'（x）反映了函数f（x）的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小｜f'（x）｜反映了变化的快慢，｜f'（x）｜越大，曲线在这点处的切线越“陡峭”. 跟踪训练 1.某旅游者爬山的高度h（单位：m）是时间t（单位：h）的函数，关系式是h（t）＝－100t2＋800t，则他在2 h这一时刻的高度变化的速度是（　　） A.500 m/h　 B.1 000 m/h C.400 m/h　 D.1 200 m/h 2.已知函数f（x）在R上可导，其部分图象如图所示，设＝a，则下列不等式正确的是（　　） A.a＜f'（2）＜f'（4） B.f'（2）＜a＜f'（4） C.f'（4）＜f'（2）＜a D.f'（2）＜f'（4）＜a 考点2 导数的运算 【例2】求下列函数的导数： （1）y＝x（ln x＋cos x）； （2）y＝； （3）y＝xsin（2x＋）cos（2x＋）. 方法技巧 函数求导应遵循的原则 （1）求导之前，应利用代数、三角恒等变换等对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错； （2）进行导数运算时，要牢记导数公式和导数的四则运算法则，切忌记错记混； （3）复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后求导. 提醒　当函数解析式中含有待定系数（如f'（x0），a，b等），求导时把待定系数看成常数，再根据题意求解即可. 跟踪训练 1.（多选）下列求导运算正确的是（　　） A.若f（x）＝sin（2x＋3），则f'（x）＝2cos（2x＋3） B.若f（x）＝e－2x＋1，则f'（x）＝e－2x＋1 C.若f（x）＝，则f'（x）＝ D.若f（x）＝xln x，则f'（x）＝ln x＋1 2.已知f（x）的导函数为f'（x），f（x）＝＋2f'（1）·x，则f'（1）＝　　　　. 考点2 导数的几何意义及应用 考向1　求切线方程 【例3】（1）曲线y＝在点（1，）处的切线方程为（　　） A.y＝x　 B.y＝x C.y＝x＋　 D.y＝x＋ （2）曲线y＝ln ｜x｜过坐标原点的两条切线的方程为　　　　，　　　　. 方法技巧 求曲线切线方程的步骤 （1）求出函数y＝f（x）在点x＝x0处的导数，即曲线y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处切线的斜率； （2）由点斜式方程求得切线方程为y－f（x0）＝f'（x0）·（x－x0）. 提醒　注意“过”与“在”的区别，前者P（x0，f（x0））为切点，而后者P（x0，f（x0））不一定为切点. 考向2　求切点坐标 【例4】　在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝ln x上，且该曲线在点A处的切线经过点（－e，－1）（e为自然对数的底数），则点A的坐标是　　　　. 方法技巧 求切点坐标的思路 已知切线方程（或斜率）求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标. 考向3　求参数的值（范围） 【例5】　（2022·新高考Ⅰ卷15题）若曲线y＝（x＋a）ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是　　　　. 变式 本例中条件改为“曲线y＝xln x过点P（1，a）的切线有且只有两条”，则实数a的取值范围是　　　　. 方法技巧 利用导数的几何意义求参数的基本方法 　　利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程（组）或者参数满足的不等式（组），进而求出参数的值或取值范围. 提醒　（1）注意曲线上横坐标的取值范围； （2）谨记切点既在切线上又在曲线上. 跟踪训练 1.函数f（x）＝exsin x的图象在点（0，f（0））处的切线的倾斜角为（　　） A.0　　 B.1　　　 C.　　 D. 2.曲线y＝x3＋m在点A处的切线方程为y＝3x＋2m－2，则切点A的坐标为　　　　. 3.曲线y＝在点（2，1）处的切线与直线y＝ax＋1垂直，则实数a＝　　　　. 第一节　导数的概念及运算 课后分层跟踪巩固 基础达标 A 1.某物体做直线运动，位移y（单位：m）与时间t（单位：s）满足关系式y＝2t2＋1，那么该物体在t＝3 s时的瞬时速度是（　　） A.2 m/s　 B.4 m/s C.7 m/s　 D.12 m/s 2.函数f（x）＝2x2－3x，则＝（　　） A.－1　 B.1 C.2　 D.－3 3.曲线f（x）＝xe2x－1在点P（，f（））处的切线方程为（　　） A.6x－4y－1＝0　 B.6x－4y－5＝0 C.4x－2y－1＝0　 D.4x－2y－3＝0 4.下列求导运算正确的是（　　） A.（x＋）'＝1＋ B.（）'＝ C.[（3x＋5）3]'＝3（3x＋5）2 D.（2x＋cos x）'＝2xln 2－sin x 5.若直线y1＝ax＋a与曲线y2＝ln x＋2相切，则a＝（　　） A.4　 B.3 C.2　 D.1 6.（多选）已知函数f（x）的图象如图，f'（x）是f（x）的导函数，则下列结论正确的是（　　） A.f'（3）＞f'（2） B.f'（3）＜f'（2） C.f（3）－f（2）＞f'（3） D.f（3）－f（2）＜f'（2） 7.（2024·阳江模拟）设函数f（x）＝，若f'（1）＝，则a＝　 　. 8.函数f（x）＝ex－e－x＋ax2的导函数为f'（x），若f'（x）是偶函数，则实数a＝　 　，此时，曲线y＝f（x）在原点处的切线方程为　 　. 9.已知函数f（x）＝x3－ax2＋（a＋1）x（a∈R），若曲线y＝f（x）存在两条垂直于y轴的切线，则a的取值范围为　 　. 10.已知函数f（x）的导函数为f'（x），且满足f（x）＝2xf'（e）＋ln x. （1）求f'（e）及f（e）的值； （2）求f（x）在点（e2，f（e2））处的切线方程. 综合应用 B 巩固 11.已知P是曲线y＝－sin x（x∈[0，π]）上的动点，点Q在直线x－2y－6＝0上运动，则当｜PQ｜取最小值时，点P的横坐标为（　　） A.　 B. C.　 D. 12.已知定义在区间（0，＋∞）上的函数f（x）＝－2x2＋m，g（x）＝－3ln x－x，若以上两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，则m的值为（　　） A.2　 B.5 C.1　 D.0 13.函数f（x）＝x3－3x2的图象上过点（3，0）的切线方程为　 　. 14.已知函数f（x）＝x－1＋（a∈R，e为自然对数的底数）. （1）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求a的值； （2）当a＝1时，若直线l：y＝kx－1与曲线y＝f（x）相切，求直线l的方程. 15.已知函数f（x）＝ax3＋3x2－6ax－11，g（x）＝3x2＋6x＋12和直线m：y＝kx＋9，且f'（－1）＝0. （1）求a的值； （2）是否存在k，使直线m既是曲线y＝f（x）的切线，又是曲线y＝g（x）的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由. 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 一元函数的导数及其应用 第一节　导数的概念及运算 课程目标 1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景；通过函数图象直观理解导数的几何意义. 2.能根据导数定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数. 3.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数；能求简单的复合函数（限于形如f（ax＋b））的导数. 基础知识 　　 1.导数的概念 （1）平均变化率：对于函数y＝f（x），我们把比值，即＝　　叫做函数y＝f（x）从x0到x0＋Δx的平均变化率； 提醒　Δx可以是正值，也可以是负值，但不为0. （2）函数y＝f（x）在x＝x0处的导数：函数y＝f（x）在x＝x0处的瞬时变化率＝叫做函数y＝f（x）在x＝x0处的导数，记作f'（x0）或y'，即f'（x0）＝＝； （3）导函数：当x变化时，y＝f'（x）就是x的函数，我们称它为y＝f（x）的导函数（简称导数），y＝f（x）的导函数有时也记作y'，即f'（x）＝y'＝； 提醒　f'（x0）代表函数f（x）在x＝x0处的导数值；（f（x0））'是函数值f（x0）的导数，而函数值f（x0）是一个常量，其导数一定为0，即（f（x0））'＝0. （4）复合函数的导数：复合函数y＝f（g（x））的导数和函数y＝f（u），u＝g（x）的导数间的关系为y'x＝　y'u·u'x　. 2.导数的几何意义 函数y＝f（x）在x＝x0处的导数就是曲线y＝f（x）在点P（x0，y0）处切线的　斜率　，相应的切线方程为y－y0＝k（x－x0），其中k＝＝f'（x0）. 3.基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导数 f（x）＝c（c为常数） f'（x）＝　0　 f（x）＝xα（α∈R，且α≠0） f'（x）＝　αxα－1　 f（x）＝sin x f'（x）＝　cos x　 f（x）＝cos x f'（x）＝　－sin x　 基本初等函数 导数 f（x）＝ex f'（x）＝　ex　 f（x）＝ax（a＞0，且a≠1） f'（x）＝　axln a　 f（x）＝ln x f'（x）＝　　 f（x）＝logax（a＞0，且a≠1） f'（x）＝　　 4.导数的运算法则 （1）[f（x）±g（x）]'＝　f'（x）±g'（x）　； （2）[f（x）g（x）]'＝　f'（x）g（x）＋f（x）g'（x）　； （3）［］'＝　　（g（x）≠0）. 基础自测 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）f'（x0）是函数y＝f（x）在x＝x0附近的平均变化率.（　×　） （2）求f'（x0）时，可先求f（x0），再求f'（x0）.（　×　） （3）函数y＝sin 的导数为y'＝cos .（　×　） （4）曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.（　√　） 2.下列函数的求导正确的是（　　） A.（x－2）'＝－2x　 B.（xcos x）'＝cos x－xsin x C.（ln 10）'＝　 D.（e2x）'＝2ex 解析：B　∵（x－2）'＝－2x－3，∴A错误；（xcos x）'＝cos x－xsin x，∴B正确；（ln 10）'＝0，∴C错误；（e2x）'＝2e2x，∴D错误.故选B. 3.函数y＝f（x）的图象如图，则导函数f'（x）的大致图象为（　　） 解析：B　由导数的几何意义可知，f'（x）为常数，且f'（x）＜0. 4.已知函数f（x）＝x（19＋ln x），若f'（x0）＝20，则x0＝　1　. 解析：f'（x）＝19＋ln x＋x·＝20＋ln x，由f'（x0）＝20，得20＋ln x0＝20，则ln x0＝0，解得x0＝1. 5.曲线y＝x3＋1在点（－1，a）处的切线方程为　y＝3x＋3　. 解析：因为（－1，a）在曲线y＝x3＋1上，所以a＝0.令f（x）＝x3＋1，则f'（x）＝3x2，f'（－1）＝3，即切线的斜率k＝3，所以所求切线的方程为y＝3（x＋1），即y＝3x＋3. 常用结论 1.奇函数的导函数是偶函数，偶函数的导函数是奇函数，周期函数的导函数还是周期函数. 2.熟记以下结论：（1）（）'＝－； （2）［］'＝－（f（x）≠0）； （3）[af（x）±bg（x）]'＝af'（x）±bg'（x）. 结论运用 1.一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程中，水面高度y（单位：cm）关于时间t（单位：s）的函数为y＝h（t）＝，当t＝3时，水面下降的速度为（　　） A.－ cm/s　 B. cm/s C.－ cm/s　 D. cm/s 解析：B　由结论2知，h'（t）＝＝，所以h'（3）＝＝－，故当t＝3时，水面下降的速度为 cm/s，故选B. 2.观察（x2）'＝2x，（x4）'＝4x3，（cos x）'＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f（x）满足f（－x）＝f（x），记g（x）为f（x）的导函数，则g（－x）＝　－g（x）　. 解析：由结论1知，偶函数的导函数为奇函数，因此当f（x）是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g（－x）＝－g（x）. 　　聚焦考点 课堂演练 考点1 导数的基本概念 【例1】　设f（x）在x0处可导，下列式子与f'（x0）相等的是（　　） A. B. C. D. 解析：B　对于A，＝－＝－f'（x0），A错误；对于B，＝f'（x0），B正确；对于C，＝2＝2f'（x0），C错误；对于D，＝－＝－f'（x0），D错误.故选B. 方法技巧 求函数f（x）在x＝x0处的导数的步骤 （1）求平均变化率＝； （2）求瞬时变化率，即取极限，得到f'（x0）. 提醒　函数y＝f（x）的导数f'（x）反映了函数f（x）的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小｜f'（x）｜反映了变化的快慢，｜f'（x）｜越大，曲线在这点处的切线越“陡峭”. 跟踪训练 1.某旅游者爬山的高度h（单位：m）是时间t（单位：h）的函数，关系式是h（t）＝－100t2＋800t，则他在2 h这一时刻的高度变化的速度是（　　） A.500 m/h　 B.1 000 m/h C.400 m/h　 D.1 200 m/h 解析：C　h'（t）＝－200t＋800，∴h'（2）＝－200×2＋800＝400（m/h）. 2.已知函数f（x）在R上可导，其部分图象如图所示，设＝a，则下列不等式正确的是（　　） A.a＜f'（2）＜f'（4）　 B.f'（2）＜a＜f'（4） C.f'（4）＜f'（2）＜a　 D.f'（2）＜f'（4）＜a 解析：B　从函数的图象可知，函数值在[2，4]上的增长越来越快，故函数在[2，4]上各点处的斜率也越来越大.因为＝a，所以f'（2）＜a＜f'（4），故选B. 考点2 导数的运算 【例2】求下列函数的导数： （1）y＝x（ln x＋cos x）； （2）y＝； （3）y＝xsin（2x＋）cos（2x＋）. 解：（1）y'＝ln x＋cos x＋x（－sin x）＝ln x＋cos x－xsin x＋1. （2）y'＝＝. （3）∵y＝xsin（2x＋）cos（2x＋）＝xsin（4x＋π）＝－xsin 4x. ∴y'＝－sin 4x－x·4cos 4x＝－sin 4x－2xcos 4x. 方法技巧 函数求导应遵循的原则 （1）求导之前，应利用代数、三角恒等变换等对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错； （2）进行导数运算时，要牢记导数公式和导数的四则运算法则，切忌记错记混； （3）复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后求导. 提醒　当函数解析式中含有待定系数（如f'（x0），a，b等），求导时把待定系数看成常数，再根据题意求解即可. 跟踪训练 1.（多选）下列求导运算正确的是（　　） A.若f（x）＝sin（2x＋3），则f'（x）＝2cos（2x＋3） B.若f（x）＝e－2x＋1，则f'（x）＝e－2x＋1 C.若f（x）＝，则f'（x）＝ D.若f（x）＝xln x，则f'（x）＝ln x＋1 解析：ACD　f（x）＝sin（2x＋3），f'（x）＝cos（2x＋3）·（2x＋3）'＝2cos（2x＋3），故A正确；f（x）＝e－2x＋1，则f'（x）＝－2e－2x＋1，故B错误；f（x）＝，f'（x）＝＝，故C正确；f（x）＝xln x，f'（x）＝x'ln x＋x（ln x）'＝ln x＋1，故D正确. 2.已知f（x）的导函数为f'（x），f（x）＝＋2f'（1）·x，则f'（1）＝　－　　. 解析：∵f（x）＝＋2f'（1）·x，∴f'（x）＝＋2f'（1），∴f'（1）＝＋2f'（1），解得f'（1）＝－. 考点3 导数的几何意义及应用 考向1　求切线方程 【例3】（1）曲线y＝在点（1，）处的切线方程为（　C　） A.y＝x　 B.y＝x C.y＝x＋　 D.y＝x＋ （2）曲线y＝ln ｜x｜过坐标原点的两条切线的方程为　y＝x，　y＝－x　. 解析：（1）由题意可知y'＝＝，则曲线y＝在点（1，）处的切线斜率k＝y'｜x＝1＝，所以曲线y＝在点（1，）处的切线方程为y－＝（x－1），即y＝x＋，故选C. （2）先求当x＞0时，曲线y＝ln x过原点的切线方程，设切点为（x0，y0），则由y'＝，得切线斜率为，又切线的斜率为，所以＝，解得y0＝1，代入y＝ln x，得x0＝e，所以切线斜率为，切线方程为y＝x.同理可求得当x＜0时的切线方程为y＝－x.综上可知，两条切线方程为y＝x，y＝－x. 方法技巧 求曲线切线方程的步骤 （1）求出函数y＝f（x）在点x＝x0处的导数，即曲线y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处切线的斜率； （2）由点斜式方程求得切线方程为y－f（x0）＝f'（x0）·（x－x0）. 提醒　注意“过”与“在”的区别，前者P（x0，f（x0））为切点，而后者P（x0，f（x0））不一定为切点. 考向2　求切点坐标 【例4】　在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝ln x上，且该曲线在点A处的切线经过点（－e，－1）（e为自然对数的底数），则点A的坐标是　（e，1）　. 解析：设A（m，n），则曲线y＝ln x在点A处的切线方程为y－n＝（x－m）.又切线过点（－e，－1），所以有n＋1＝（m＋e）.再由n＝ln m，解得m＝e，n＝1.故点A的坐标为（e，1）. 方法技巧 求切点坐标的思路 已知切线方程（或斜率）求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标. 考向3　求参数的值（范围） 【例5】若曲线y＝（x＋a）ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是　（－∞，－4）∪（0，＋∞）　. 解析：因为y＝（x＋a）ex，所以y'＝（x＋a＋1）ex.设切点为A（x0，（x0＋a）），O为坐标原点，依题意得，切线斜率kOA＝y'＝（x0＋a＋1）＝，化简，得＋ax0－a＝0.因为曲线y＝（x＋a）ex有两条过坐标原点的切线，所以关于x0的方程＋ax0－a＝0有两个不同的根，所以Δ＝a2＋4a＞0，解得a＜－4或a＞0，所以a的取值范围是（－∞，－4）∪（0，＋∞）. 变式 本例中条件改为“曲线y＝xln x过点P（1，a）的切线有且只有两条”，则实数a的取值范围是　（－∞，0）　. 解析：因为y＝xln x，则y'＝ln x＋1，设切点为（x0，y0 ），y'＝ln x0＋1，所以切线方程为y－x0ln x0＝（ln x0＋1）（x－x0），代入P（1，a），得a－x0ln x0＝（ln x0＋1）（1－x0），即a＝ln x0－x0＋1有两个解，令g（x）＝ln x－x＋1（x＞0），g'（x）＝－1＝，故g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减，所以当x＝1 时，函数g（x）有最大值，g（1）＝0，且x→＋∞，g（x）→－∞，x→0，g（x）→－∞，所以a＜0. 方法技巧 利用导数的几何意义求参数的基本方法 　　利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程（组）或者参数满足的不等式（组），进而求出参数的值或取值范围. 提醒　（1）注意曲线上横坐标的取值范围； （2）谨记切点既在切线上又在曲线上. 跟踪训练 1.函数f（x）＝exsin x的图象在点（0，f（0））处的切线的倾斜角为（　　） A.0　　 B.1　　C.　　 D. 解析：C　由题意知f'（x）＝exsin x＋excos x＝ex（sin x＋cos x），则曲线在点（0，f（0））处的切线斜率k＝f'（0）＝e0（sin 0＋cos 0）＝1.设切线的倾斜角为α，则tan α＝1，又α∈[0，π），所以α＝. 2.曲线y＝x3＋m在点A处的切线方程为y＝3x＋2m－2，则切点A的坐标为　（－1，3）或（1，1）　. 解析：由曲线在点A处的斜率y'＝3x2＝3得x＝±1，由切点A的横坐标为±1，所以（－1）3＋m＝－3＋2m－2或13＋m＝3＋2m－2，解得m＝4或m＝0，所以A的坐标为（－1，3）或（1，1）. 3.曲线y＝在点（2，1）处的切线与直线y＝ax＋1垂直，则实数a＝　2　. 解析：由题意得，y'＝－，则曲线y＝在点（2，1）处的切线的斜率k＝y'｜x＝2＝－＝－，又曲线y＝在点（2，1）处的切线与直线y＝ax＋1垂直，所以－a＝－1，所以a＝2. 第一节　导数的概念及运算 课后分层跟踪巩固 基础达标 A 1.某物体做直线运动，位移y（单位：m）与时间t（单位：s）满足关系式y＝2t2＋1，那么该物体在t＝3 s时的瞬时速度是（　　） A.2 m/s　 B.4 m/s C.7 m/s　 D.12 m/s 解析：D　y'＝4t，当t＝3时，y'＝4×3＝12（m/s），所以物体在t＝3 s时的瞬时速度是12 m/s，故选D. 2.函数f（x）＝2x2－3x，则＝（　　） A.－1　 B.1 C.2　 D.－3 解析：B　由题意有f'（x）＝4x－3，由导数定义知f'（1）＝，所以＝4×1－3＝1.故选B. 3.曲线f（x）＝xe2x－1在点P（，f（））处的切线方程为（　　） A.6x－4y－1＝0　 B.6x－4y－5＝0 C.4x－2y－1＝0　 D.4x－2y－3＝0 解析：C　因为f（x）＝xe2x－1，所以f'（x）＝e2x－1＋2xe2x－1＝（2x＋1）e2x－1.设切线的斜率为k，则k＝f'（）＝2，又f（）＝，故所求切线方程为y＝2（x－）＋，化简得4x－2y－1＝0.故选C. 4.下列求导运算正确的是（　　） A.（x＋）'＝1＋ B.（）'＝ C.[（3x＋5）3]'＝3（3x＋5）2 D.（2x＋cos x）'＝2xln 2－sin x 解析：D　对于A，（x＋）'＝1－，A不正确；对于B，（）'＝＝，B不正确；对于C，[（3x＋5）3]'＝3（3x＋5）2·3＝9（3x＋5）2，C不正确；对于D，（2x＋cos x）'＝2xln 2－sin x，D正确. 5.若直线y1＝ax＋a与曲线y2＝ln x＋2相切，则a＝（　　） A.4　 B.3 C.2　 D.1 解析：D　由题设，y'2＝，根据＝a知x＝，所以当x＝时，y1＝1＋a，即切点为（，1＋a），则1＋a＝ln＋2，解得a＝1. 6.（多选）已知函数f（x）的图象如图，f'（x）是f（x）的导函数，则下列结论正确的是（　　） A.f'（3）＞f'（2） B.f'（3）＜f'（2） C.f（3）－f（2）＞f'（3） D.f（3）－f（2）＜f'（2） 解析：BCD　f'（x0）的几何意义是f（x）在x＝x0处的切线的斜率.由题图知f'（2）＞f'（3）＞0，故A错误，B正确；设A（2，f（2）），B（3，f（3）），则f（3）－f（2）＝＝kAB，由题图知f'（3）＜kAB＜f'（2），即f'（3）＜f（3）－f（2）＜f'（2），故C、D正确.故选B、C、D. 7.设函数f（x）＝，若f'（1）＝，则a＝　1　. 解析：由于f'（x）＝，故f'（1）＝＝，解得a＝1. 8.（2024·西安一模）函数f（x）＝ex－e－x＋ax2的导函数为f'（x），若f'（x）是偶函数，则实数a＝　0　，此时，曲线y＝f（x）在原点处的切线方程为　y＝2x　. 解析：由题知f'（x）＝ex＋e－x＋2ax，因为f'（x）是偶函数，所以f'（－x）＝f'（x）在x∈R上恒成立，则e－x＋ex－2ax＝ex＋e－x＋2ax在x∈R上恒成立，故a＝0.因为f（0）＝0，f'（0）＝2，所以曲线y＝f（x）在原点处的切线方程为y－0＝2（x－0），即y＝2x. 9.已知函数f（x）＝x3－ax2＋（a＋1）x（a∈R），若曲线y＝f（x）存在两条垂直于y轴的切线，则a的取值范围为　（－∞，－1）∪（3，＋∞）　. 解析：因为f（x）＝x3－ax2＋（a＋1）x（a∈R），所以f'（x）＝3x2－2ax＋a＋1，因为曲线y＝f（x）存在两条垂直于y轴的切线，所以关于x的方程f'（x）＝3x2－2ax＋a＋1＝0有两个不相等的实根，则Δ＝4a2－12（a＋1）＞0，即a2－2a－3＞0，解得a＞3或a＜－1，所以a的取值范围是（－∞，－1）∪（3，＋∞）. 10.已知函数f（x）的导函数为f'（x），且满足f（x）＝2xf'（e）＋ln x. （1）求f'（e）及f（e）的值； （2）求f（x）在点（e2，f（e2））处的切线方程. 解：（1）∵f（x）＝2xf'（e）＋ln x， ∴f'（x）＝2f'（e）＋，f'（e）＝2f'（e）＋， ∴f'（e）＝－，f（x）＝－＋ln x， ∴f（e）＝－＋ln e＝－1. （2）∵f（x）＝－＋ln x，f'（x）＝－＋， ∴f（e2）＝－＋ln e2＝2－2e，f'（e2）＝－＋， ∴f（x）在点（e2，f（e2））处的切线方程为y－（2－2e）＝（－＋）（x－e2）， 即（2e－1）x＋e2y－e2＝0. 综合应用 B 巩固 11.已知P是曲线y＝－sin x（x∈[0，π]）上的动点，点Q在直线x－2y－6＝0上运动，则当｜PQ｜取最小值时，点P的横坐标为（　　） A.　 B. C.　 D. 解析：C　如图所示，若使｜PQ｜取得最小值，则曲线y＝－sin x（x∈[0，π]）在点P处的切线与直线x－2y－6＝0平行，对函数y＝－sin x求导得y'＝－cos x，令y'＝，可得cos x＝－，因为0≤x≤π，解得x＝.故选C. 12.已知定义在区间（0，＋∞）上的函数f（x）＝－2x2＋m，g（x）＝－3ln x－x，若以上两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，则m的值为（　　） A.2　 B.5 C.1　 D.0 解析：C　根据题意，设两曲线y＝f（x）与y＝g（x）的公共点为（a，b），其中a＞0，由f（x）＝－2x2＋m，可得f'（x）＝－4x，则切线的斜率为k＝f'（a）＝－4a，由g（x）＝－3ln x－x，可得g'（x）＝－－1，则切线的斜率为k＝g'（a）＝－－1，因为两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，所以－4a＝－－1，解得a＝1或a＝－（舍去），又由g（1）＝－1，即公共点的坐标为（1，－1），将点（1，－1）代入f（x）＝－2x2＋m，可得m＝1. 13.函数f（x）＝x3－3x2的图象上过点（3，0）的切线方程为　y＝0或y＝9x－27　. 解析：由题意得f'（x）＝3x2－6x.设切点为（x0，y0），则f'（x0）＝3－6x0，∴切线的方程为y－y0＝（3－6x0）（x－x0），又切线过点（3，0），∴0－y0＝（3－6x0）（3－x0），又y0＝f（x0）＝－3，得2－12＋18x0＝0，∴x0＝0或3，当x0＝0时，切线方程为y＝0，当x0＝3时，切线方程为y＝9（x－3）＝9x－27. 14.已知函数f（x）＝x－1＋（a∈R，e为自然对数的底数）. （1）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求a的值； （2）当a＝1时，若直线l：y＝kx－1与曲线y＝f（x）相切，求直线l的方程. 解：（1）f'（x）＝1－，∵曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，∴f'（1）＝1－＝0，解得a＝e. （2）当a＝1时，f（x）＝x－1＋，f'（x）＝1－. 设切点为（x0，y0）， ∵f（x0）＝x0－1＋＝kx0－1，　① f'（x0）＝1－＝k，　② ①＋②得x0＝kx0－1＋k，即（k－1）（x0＋1）＝0. 若k＝1，则②式无解， ∴x0＝－1，k＝1－e. ∴直线l的方程为y＝（1－e）x－1. 15.已知函数f（x）＝ax3＋3x2－6ax－11，g（x）＝3x2＋6x＋12和直线m：y＝kx＋9，且f'（－1）＝0. （1）求a的值； （2）是否存在k，使直线m既是曲线y＝f（x）的切线，又是曲线y＝g（x）的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由. 解：（1）由已知得f'（x）＝3ax2＋6x－6a， 因为f'（－1）＝0，所以3a－6－6a＝0， 所以a＝－2. （2）存在.由已知得，直线m恒过定点（0，9）， 若直线m是曲线y＝g（x）的切线， 则设切点为（x0，3＋6x0＋12）. 因为g'（x）＝6x＋6，g'（x0）＝6x0＋6， 所以切线方程为y－（3＋6x0＋12）＝（6x0＋6）（x－x0），将（0，9）代入切线方程，解得x0＝±1. 当x0＝－1时，切线方程为y＝9； 当x0＝1时，切线方程为y＝12x＋9. 由（1）知f（x）＝－2x3＋3x2＋12x－11，f'（x）＝－6x2＋6x＋12， ①由f'（x）＝0得－6x2＋6x＋12＝0， 解得x＝－1或x＝2. 在x＝－1处，y＝f（x）的切线方程为y＝－18； 在x＝2处，y＝f（x）的切线方程为y＝9. 所以y＝f（x）与y＝g（x）的公切线是直线y＝9. ②由f'（x）＝12得－6x2＋6x＋12＝12， 解得x＝0或x＝1. 在x＝0处，y＝f（x）的切线方程为y＝12x－11； 在x＝1处，y＝f（x）的切线方程为y＝12x－10. 所以此时y＝f（x）与y＝g（x）无公切线. 综上所述，y＝f（x）与y＝g（x）的公切线是直线y＝9，此时k＝ 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$