微专题：抽象函数求解模型化讲义-2025届高三数学一轮复习

微专题提优2 　抽象函数求解模型化 　　抽象函数是指没有给出具体的函数表达式,只给出了函数所具有的某些性质或运算特征的一类函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,由于抽象函数概念抽象,性质隐而不显,技巧性强,因此学生在做有关抽象函数的题目时,往往感觉无处下手.其实,只要平时学生在学习过程中善于思考,勤于总结,就会发现抽象函数问题也并不是想象中的那样难,由于这类问题可以全面考查学生对函数概念和性质的理解，同时抽象函数问题又将函数的定义域，值域，单调性，奇偶性，周期性和图像集于一身，所以在高考中不断出现；并以此作为解题的突破口，必能为我们的解题提供思路和方法. 常见的抽象函数对应的基本初等函数模型如下： 基本初等函数模型 抽象函数性质 一次函数f（x）＝kx＋b（k≠0） f（x±y）＝f（x）±f（y）∓b 幂函数f（x）＝xn f（xy）＝f（x）f（y）或f（）＝ 二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0） f（x＋y）＝f（x）＋f（y）＋2axy－c 指数函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1） f（x＋y）＝f（x）f（y）或f（x－y）＝ 对数函数f（x）＝logax（a＞0且a≠1） f（xy）＝f（x）＋f（y）或f（）＝f（x）－f（y）或f（xm）＝mf（x） 余弦函数f（x）＝Acos ωx（Aω≠0） f（x）＋f（y）＝f（）·f（）或f（x＋y）＋f（x－y）＝f（x）· f（y） 一、以一次函数为模型的抽象函数 【例1】已知函数f（x）对任意x，y∈R，满足条件f（x）＋f（y）＝2＋f（x＋y），且当x＞0时，f（x）＞2，f（3）＝5，则不等式f（a2－2a－2）＜3的解集为　　　　. 二、以幂函数为模型的抽象函数 【例2】已知函数f（x）对任意实数x，y都有f（xy）＝f（x）f（y），且f（－1）＝1，f（27）＝9，当0≤x＜1时，f（x）∈[0，1）.若a≥0且f（a＋1）≤，则a的取值范围为　　　　. 三、以二次函数为模型的抽象函数 【例3】定义在R上的函数f（x）满足f（x＋y）＝f（x）＋f（y）＋2xy，f（1）＝2，则f（－3）＝（　　） A.2　 B.3 C.6　 D.9 四、以指数函数为模型的抽象函数 【例4】已知函数f（x）对于一切实数x，y满足f（0）≠0，f（x＋y）＝f（x）f（y），且当x＜0时，f（x）＞1.则当x＞0时f（x）的取值范围为　　　　. 五、以对数函数为模型的抽象函数 【例5】已知函数f（x）是定义域为（0，＋∞）的增函数，满足f（4）＝1，f（xy）＝f（x）＋f（y），若f（x）＋f（x－3）≤1，则x的取值范围为　　　　. 六、以余弦函数为模型的抽象函数 【例6】已知函数f（x）的定义域为R，且f（x＋y）＋f（x－y）＝f（x）·f（y），f（1）＝1，则f（k）＝（　　） A.－3　　 B.－2　　　 C.0　　 D.1 课后练习 1.已知且，则不等于 A． B． C． D． 2.已知函数的定义域为，且，若，则下列结论错误的是（    ） A． B． C．函数是偶函数 D．函数是减函数 3．已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知定义在上的奇函数满足，则以下说法错误的是（    ） A． B．是周期函数 C． D． 5．（多选）已知非常数函数的定义域为，且，则（    ） A． B．或 C．是上的增函数 D．是上的增函数 6．（多选）已知函数在上可导，且的导函数为.若为奇函数，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 7.若函数满足，写出一个符合要求的解析式 ． 8.已知函数的定义域为，且，，则 ． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 微专题提优2 抽象函数求解模型化 抽象函数是指没有给出具体的函数表达式,只给出了函数所具有的某些性质或运算特征的一类函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,由于抽象函数概念抽象,性质隐而不显,技巧性强,因此学生在做有关抽象函数的题目时,往往感觉无处下手.其实,只要平时学生在学习过程中善于思考,勤于总结,就会发现抽象函数问题也并不是想象中的那样难,由于这类问题可以全面考查学生对函数概念和性质的理解，同时抽象函数问题又将函数的定义域，值域，单调性，奇偶性，周期性和图像集于一身，所以在高考中不断出现；并以此作为解题的突破口，必能为我们的解题提供思路和方法. 常见的抽象函数对应的基本初等函数模型如下： 基本初等函数模型 抽象函数性质 一次函数f（x）＝kx＋b（k≠0） f（x±y）＝f（x）±f（y）∓b 幂函数f（x）＝xn f（xy）＝f（x）f（y）或f（）＝ 二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0） f（x＋y）＝f（x）＋f（y）＋2axy－c 基本初等函数模型 抽象函数性质 指数函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1） f（x＋y）＝f（x）f（y）或f（x－y）＝ 对数函数f（x）＝logax（a＞0且a≠1） f（xy）＝f（x）＋f（y）或f（）＝f（x）－f（y）或f（xm）＝mf（x） 余弦函数f（x）＝Acos ωx（Aω≠0） f（x）＋f（y）＝f（）·f（）或f（x＋y）＋f（x－y）＝f（x）·f（y） 一、以一次函数为模型的抽象函数 【例1】已知函数f（x）对任意x，y∈R，满足条件f（x）＋f（y）＝2＋f（x＋y），且当x＞0时，f（x）＞2，f（3）＝5，则不等式f（a2－2a－2）＜3的解集为　{a｜－1＜a＜3}　. 解析：法一（常规解法）　设x1＜x2，则x2 －x1＞0，∵当x＞0时，f（x）＞2，∴f（x2－x1）＞2，则f（x2）＝f[（x2－x1）＋x1]＝f（x2－x1）＋f（x1）－2＞2＋f（x1）－2＝f（x1），即f（x2）＞f（x1），∴f（x）为增函数.∵f（3）＝f（2＋1）＝f（2）＋f（1）－2＝[f（1）＋f（1）－2]＋f（1）－2＝3f（1）－4，又∵f（3）＝5，∴f（1）＝3.∴f（a2－2a－2）＜f（1），∴a2－2a－2＜1，即a2－2a－3＜0，解得不等式的解集为{a｜－1＜a＜3}. 法二（模型解法）　由f（x）＋f（y）＝2＋f（x＋y），即f（x＋y）＝f（x）＋f（y）－2，可设函数f（x）＝kx＋2（k≠0），由f（3）＝5，得3k＋2＝5，k＝1，即f（x）＝x＋2，满足当x＞0时，f（x）＞2，则不等式f（a2－2a－2）＜3可化为a2－2a－2＋2＜3，即a2－2a－3＜0，解得－1＜a＜3，故不等式的解集为{a｜－1＜a＜3}. 二、以幂函数为模型的抽象函数 【例2】已知函数f（x）对任意实数x，y都有f（xy）＝f（x）f（y），且f（－1）＝1，f（27）＝9，当0≤x＜1时，f（x）∈[0，1）.若a≥0且f（a＋1）≤，则a的取值范围为　[0，2]　. 解析：法一（常规解法）　设0≤x1＜x2，∴0≤＜1，f（x1）＝f（·x2）＝f（）·f（x2），∵0≤x＜1时，f（x）∈[0，1），∴0≤f（）＜1，∴f（x1）＜f（x2），故f（x）在[0，＋∞）上单调递增.∵f（27）＝9，又f（3×9）＝f（3）×f（9）＝f（3）·f（3）·f（3）＝[f（3）]3，∴9＝[f（3）]3，∴f（3）＝，∵f（a＋1）≤，∴f（a＋1）≤f（3），∴a＋1≤3，即a≤2，又a≥0，故a的取值范围为[0，2]. 法二（模型解法）　由f（xy）＝f（x）f（y），可设函数f（x）＝xn，由f（－1）＝1，f（27）＝9，得n＝，即f（x）＝，满足当0≤x＜1时，f（x）∈[0，1）.由f（a＋1）≤，即（a＋1≤，即（a＋1≤，即a＋1≤3，得a≤2，又a≥0，故a的取值范围为[0，2]. 三、以二次函数为模型的抽象函数 【例3】定义在R上的函数f（x）满足f（x＋y）＝f（x）＋f（y）＋2xy，f（1）＝2，则f（－3）＝（　　） A.2　 B.3 C.6　 D.9 解析：C　法一（常规解法）　f（－3）＝f（－1）＋f（－2）＋4＝3f（－1）＋6，f（0）＝f（0）＋f（0）＋0，f（0）＝0，又f（0）＝f（1－1）＝f（1）＋f（－1）－2＝f（－1），所以f（－3）＝6. 法二（模型解法）　由f（x＋y）＝f（x）＋f（y）＋2xy，设函数f（x）＝x2＋bx，又由f（1）＝2，得b＝1，所以f（x）＝x2＋x，f（－3）＝6. 四、以指数函数为模型的抽象函数 【例4】已知函数f（x）对于一切实数x，y满足f（0）≠0，f（x＋y）＝f（x）f（y），且当x＜0时，f（x）＞1.则当x＞0时f（x）的取值范围为　（0，1）　. 解析：法一（常规解法）　∵对于一切x，y∈R，f（x＋y）＝f（x）f（y）且f（0）≠0，令x＝y＝0，则f（0）＝1，设x＞0，则－x＜0，∴f（－x）＞1，又f（0）＝f（x－x）＝f（x）f（－x）＝1，∴f（－x）＝＞1，∴0＜f（x）＜1. 法二（模型解法）　由f（x＋y）＝f（x）f（y），可设函数f（x）＝ax（a＞0，且a≠1），由当x＜0时，f（x）＞1，结合指数函数的图象特征知0＜a＜1，取a＝，则f（x）＝（）x满足题意，故当x＞0时，f（x）的取值范围为（0，1）. 五、以对数函数为模型的抽象函数 【例5】已知函数f（x）是定义域为（0，＋∞）的增函数，满足f（4）＝1，f（xy）＝f（x）＋f（y），若f（x）＋f（x－3）≤1，则x的取值范围为　（3，4]　. 解析：法一（常规解法）　f（x）＋f（x－3）＝f[x（x－3）]≤1＝f（4），又f（x）是定义域为（0，＋∞）的增函数，∴⇒3＜x≤4，∴x的取值范围为（3，4]. 法二（模型解法）　由f（xy）＝f（x）＋f（y），可设函数f（x）＝logax（a＞0，且a≠1）.由f（4）＝1，得a＝4，则f（x）＝log4x，由f（x）＋f（x－3）≤1，得log4x＋log4（x－3）≤1，即log4[x（x－3）]≤1，故解得3＜x≤4，故x的取值范围为（3，4]. 六、以余弦函数为模型的抽象函数 【例6】已知函数f（x）的定义域为R，且f（x＋y）＋f（x－y）＝f（x）f（y），f（1）＝1，则f（k）＝（　　） A.－3　 B.－2 C.0　 D.1 解析：A　法一（常规解法）　因为f（1）＝1，所以在f（x＋y）＋f（x－y）＝f（x）f（y）中，令y＝1，得f（x＋1）＋f（x－1）＝f（x）·f（1），所以f（x＋1）＋f（x－1）＝f（x）　①，所以f（x＋2）＋f（x）＝f（x＋1）　②.由①②相加，得f（x＋2）＋f（x－1）＝0，故f（x＋3）＋f（x）＝0，所以f（x＋3）＝－f（x），所以f（x＋6）＝－f（x＋3）＝f（x），所以函数f（x）的一个周期为6.在f（x＋y）＋f（x－y）＝f（x）f（y）中，令x＝1，y＝0，得f（1）＋f（1）＝f（1）f（0），所以f（0）＝2.令x＝1，y＝1，得f（2）＋f（0）＝f（1）·f（1），所以f（2）＝－1.由f（x＋3）＝－f（x），得f（3）＝－f（0）＝－2，f（4）＝－f（1）＝－1，f（5）＝－f（2）＝1，f（6）＝－f（3）＝2，所以f（1）＋f（2）＋…＋f（6）＝1－1－2－1＋1＋2＝0，根据函数的周期性知，f（k）＝f（1）＋f（2）＋f（3）＋f（4）＝1－1－2－1＝－3，故选A. 法二（模型解法）　由f（x＋y）＋f（x－y）＝f（x）·f（y），可设函数f（x）＝2cos ωx，由f（1）＝1，得2cos ω＝1，即ω＝＋2kπ，取k＝0，得ω＝，即f（x）＝2cos，可得f（x）的周期T＝＝6，且f（1）＋f（2）＋…＋f（6）＝0.由于22除以6余4，所以f（k）＝f（1）＋f（2）＋f（3）＋f（4）＝1－1－2－1＝－3.故选A. 课后练习 1.已知且，则不等于 A． B． C． D． 解析：，， 构造函数，则，且， 令，则， 令，，得， ，即， 所以，数列为等差数列，且首项为，公差为，， ，则. ， ，合乎题意； ，合乎题意； 故选D. 2.已知函数的定义域为，且，若，则下列结论错误的是（ ） A． B． C．函数是偶函数 D．函数是减函数 解析：对于A，令、，则有， 又，故，即， 令、，则有， 即，由，可得， 又，故，故A正确； 对于C，令，则有， 则，故函数是奇函数，故C错误； 对于D，有，即， 则函数是减函数，故D正确； 对于B，由，令，有，故B正确. 故选：C 3．已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（    ） A． B． C． D． 解析：在上的奇函数满足，则， 于是，即函数的周期为4， 而，则，，又当时，， 所以. 故选：A 4．已知定义在上的奇函数满足，则以下说法错误的是（    ） A． B．是周期函数 C． D． 解析：对A：由为定义在上的奇函数，故，即，故A正确； 对B：由，则，即有， 故是以为周期的周期函数，故B正确； 对C：由，，故C错误； 对D：由，故，又， 故，故D正确. 故选：C. 5．（多选）已知非常数函数的定义域为，且，则（    ） A． B．或 C．是上的增函数 D．是上的增函数 解析：在中， 令，得，即． 因为函数为非常数函数，所以，A正确． 令，则． 令，则，① 令，则，② 由①②，解得，从而，B错误． 令，则，即， 因为，所以，所以C正确，D错误． 故选：AC 6．（多选）已知函数在上可导，且的导函数为.若为奇函数，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 解析：对于D，由，所以，即， 所以的周期为4， 且， 所以，故D正确； 对于A，由为奇函数知关于对称，所以， 由得0，即， 故的周期为4且，可得，故A正确； 对于BC，由上知的周期为4且关于对称，所以关于对称， 则有，即，所以， 令，得，故，所以关于对称， 又，所以，故B错误； 又，所以，故C正确. 故选：ACD. 7.若函数满足，写出一个符合要求的解析式 ． 解析：因为函数满足， 所以x， 故答案为：x,答案不唯一 8.已知函数的定义域为，且，，则 ． 解析：令，则， 因为，所以， 令，则，得， 令，则，即， 所以， 所以 所以，所以，即， 是以6为周期的周期函数， 所以， 故答案为：. 学科网（北京）股份有限公司 $$